2020人教版九年级（上）期末数学试卷 含解析答案 113页

人教版九年级（上）期末数学试卷（一） 一．选择题（共 10 小题） 1．已知 m，n 是一元二次方程 x2＝x 的两个实数根，则下列结论错误的是（ ） A．m+n＝0 B．m•n＝0 C．m2＝m D．n2＝n 2．在平面直角坐标系中，抛物线 y＝x（x+2）经过平移变换后得到抛物线 y＝（x﹣1）2， 其变换是（ ） A．右移 2 个单位，下移 1 个单位 B．右移 2 个单位，上移 1 个单位 C．左移 2 个单位，上移 1 个单位 D．左移 2 个单位，下移 1 个单位 3．在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的两个锐角顶点坐标为（2，3），（0，﹣1），则 它的直角顶点坐标为（ ） A．（3，0） B．（﹣1，2） C．（1，1） D．（3，0），（﹣1，2） 4．如图，AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙O 的直径，将 沿着 AB 弦翻折，恰好经过圆心 O．若⊙O 的半径为 6，则图中阴影部分的面积等于（ ） A．6π B．9 C．9π D．6 5．已知事件：①掷一次骰子，向上一面的点数是偶数；②在 13 位同学中至少有 2 人生肖 相同；③若彩票中奖率 10%，那么买 10 张彩票一定中奖；④任意画一个三角形，其内角 和为 360°，其中随机事件是（ ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 6．如图，点 P 在函数 y＝ （x＞0）的图象上，过点 P 分别作 x 轴，y 轴的平行线，交函 数 y＝﹣ 的图象于点 A，B，则△PAB 的面积等于（ ） A． B． C． D． 7．已知 A（0，﹣1），B（1，﹣3），先将线段 AB 向左平移 3 个单位，再以原点 O 为位似中 心，在第一象限内，将其扩大为原来 3 倍，则点 A 的对应点坐标为（ ） A．（3，9） B．（6，3） C．（6，9） D．（9，3） 8．如图，过菱形 ABCD 的顶点 C 的直线与 AB 的延长线交于点 E，与 AD 的延长线交于点 F， 若菱形的边长为 x，BE＝a，DF＝b，则 a，b，x 满足的关系是（ ） A．2x＝a+b B．x2＝a•b C．x（a+b）＝a•b D．2x2＝a2+b2 9．直线 y＝kx+4 与函数 y＝ 的图象有且只有一个公共点，则 k 的值为（ ） A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．±2 10．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，点 D 是 AB 边上的动点，设 AD＝x，CD＝y，y 关于 x 的函数关系图象如图所示，其中 M 为曲线部分的最低点，则 BC 的长为（ ） A．10 B．15 C．20 D．25 二．填空题（共 5 小题） 11．配方 4a（ax2+bx+c）＝（2ax+b）2+m，则 m＝ ． 12．已知抛物线 y＝﹣x2+bx+c 经过（﹣1，a）和（3，a）两点，则 a﹣c＝ ． 13．直线 y＝ax（a≠0）与函数 y＝ （k≠0）的图象交于点 A（1，2），若 ＞ax，则 x 的 取值范围是 ． 14．某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮 30 秒，绿灯亮 25 秒，黄灯亮 5 秒，当你抬头 看信号灯时，是绿灯的概率为 ． 15．如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB＝2，点 E 是 BC 边的中点，连接 AE，△AB′E 和△ABE 关于 AE 所在直线对称，若△B′CD 是直角三角形，则 BC 边的长为 ． 三．解答题（共 8 小题） 16．关于 x 的方程（m+2）x2﹣4x+1＝0 有两个不相等实数根． （1）求 m 的取值范围； （2）当 m 为正整数时，求方程的根． 17．某公司推出一款新产品，该产品的成本单价是 80 元，经市场调查发现，该产品的日销 售量 y（个）与销售单价 x（元）之间满足一次函数关系 y＝﹣5x+600． （注：日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价）） （1）销售单价 x＝ 元时，日销售利润 w 最大，最大值是 元； （2）要实现销售单价为 90 元时，日销售利润不低于 3750 元的销售目标，该产品的成本 单价应不超过多少元？ 18．在甲、乙两个不透明的盒子中，分别装有除颜色外其它完全相同的小球，其中，甲盒 子装有 2 个白球，1 个红球；乙盒子装有 2 个红球，1 个白球． （1）将甲盒子摇匀后，随机取出一个小球，求小球是白色的概率； （2）小华和同桌商定：将两个盒子摇匀后，各随机摸出一个小球．若颜色相同，则小华 获胜；若颜色不同，则同桌获胜，请用列表法或画出树状图的方法说明谁赢的可能性大． 19．如图，是一座横跨沙颖河的斜拉桥，拉索两端分别固定在主梁 l 和索塔 h 上，索塔 h 垂直于主梁 l，垂足为 D．拉索 AE，BF，CG 的仰角分别是α，45°，β，且α+β＝90 °（α＜β），AB＝15m，BC＝5m，CD＝4m，EF＝3FG，求拉索 AE 的长．（精确到 1m，参 考数据： ≈2.24， ≈1.41） 20．如图，直线 y＝ x+b 与 y 轴交于点 A（0，4），与函数 y＝ （k＞0，x＜0）的图象交 于点 C，以 AC 为对角线作矩形 ABCD，使顶点 B，D 落在 x 轴上（点 D 在点 B 的右边），BD 与 AC 交于点 E． （1）求 b 和 k 的值； （2）求顶点 B，D 的坐标． 21．如图，点 P 在∠MAN 内，PA 平分∠MAN，PB⊥AM 于点 B，PC⊥AN 于点 C，点 D 是射线 AM 上点 B 右侧的一个定点． （1）作经过 A，P，D 三点的圆；（保留作图痕进，不写作法） （2）设圆与 AN 交于点 E，∠MAN＝60°，PA＝4，求 AE+AD 的值． 22．在△ABC 中，CA＝CB，∠ACB＝α（0°＜α＜180°）．点 P 是平面内不与 A，C 重合的 任意一点，连接 AP，将线段 AP 绕点 P 逆时针旋转α得到线段 DP，连接 AD，CP．点 M 是 AB 的中点，点 N 是 AD 的中点． （1）问题发现 如图 1，当α＝60°时， 的值是 ，直线 MN 与直线 PC 相交所成的较小角的度 数是 ． （2）类比探究 如图 2，当α＝120°时，请写出的 值及直线 MN 与直线 PC 相交所成的较小角的度数， 并就图 2 的情形说明理由． （3）解决问题 如图 3，当α＝90°时，若点 E 是 CB 的中点，点 P 在直线 ME 上，请直接写出点 B，P，D 在同一条直线上时 的值． 23．如图，抛物线 y＝ax2+ x+c 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C．直线 y＝﹣ +2 经过 点 A，C． （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 在抛物线在第一象限内的图象上，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 D，交直线 AC 于点 E，连接 PC，设点 P 的横坐标为 m． ①当△PCE 是等腰三角形时，求 m 的值； ②过点 C 作直线 PD 的垂线，垂足为 F．点 F 关于直线 PC 的对称点为 F′，当点 F′落在 坐标轴上时，请直接写出点 P 的坐标． 参考答案与试题解析 一．选择题（共 10 小题） 1．已知 m，n 是一元二次方程 x2＝x 的两个实数根，则下列结论错误的是（ ） A．m+n＝0 B．m•n＝0 C．m2＝m D．n2＝n 【分析】可以根据根与系数的关系判断选项 A、B；求出方程的解，即可判断选项 C、D． 【解答】解：x2＝x， x2﹣x＝0，由根与系数的关系得：m+n＝1，m•n＝0， 解方程 x2﹣x＝0 得：x＝0 或 1， ∵m，n 是一元二次方程 x2＝x 的两个实数根， ∴设 m＝0，n＝1， ∴m2＝m，n2＝n， 即只有选项 A 符合题意，选项 B、C、D 都不符合题意； 故选：A． 2．在平面直角坐标系中，抛物线 y＝x（x+2）经过平移变换后得到抛物线 y＝（x﹣1）2， 其变换是（ ） A．右移 2 个单位，下移 1 个单位 B．右移 2 个单位，上移 1 个单位 C．左移 2 个单位，上移 1 个单位 D．左移 2 个单位，下移 1 个单位 【分析】根据变换前后的两抛物线的顶点坐标找变换规律． 【解答】解：y＝x（x+2）＝（x+1）2﹣1，顶点坐标是（﹣1，﹣1）． y＝（x﹣1）2，顶点坐标是（1，0）． 所以将抛物线 y＝x（x+2）右移 2 个单位，上移 1 个单位得到抛物线 y＝（x﹣1）2， 故选：B． 3．在平面直角坐标系中，等腰直角三角形的两个锐角顶点坐标为（2，3），（0，﹣1），则 它的直角顶点坐标为（ ） A．（3，0） B．（﹣1，2） C．（1，1） D．（3，0），（﹣1，2） 【分析】画出相应的图形，借助网格作出 AB 的中垂线，直角顶点一定在 AB 的中垂线上， 借助可求出四边形 ACBD 的边长，进而得出 ACBD 是正方形，得到点 C、D 符合题意． 【解答】解：将 A（2，3），B（0，﹣1）描述在坐标系中，如图所示： 借助网格，可以作出 AB 的中垂线 CD，此时由勾股定理可求出： AD＝BD＝BC＝AC＝ ＝ ， 可得 ACBD 是正方形，从而△ACB，△DAB 是等腰直角三角形， ∴C（﹣1，2），D（3，0）符合题意， 故选：D． 4．如图，AB 是⊙O 的弦，AC 是⊙O 的直径，将 沿着 AB 弦翻折，恰好经过圆心 O．若⊙O 的半径为 6，则图中阴影部分的面积等于（ ） A．6π B．9 C．9π D．6 【分析】由题意△OBC 是等边三角形，弓形 OnB 的面积＝弓形 BmC 的面积，根据 S 阴＝S △OBC 计算即可． 【解答】解：如图，连接 OB，BC． 由题意△OBC 是等边三角形，弓形 OnB 的面积＝弓形 BmC 的面积， ∴S 阴＝S△OBC＝ ×62＝9 ， 故选：B． 5．已知事件：①掷一次骰子，向上一面的点数是偶数；②在 13 位同学中至少有 2 人生肖 相同；③若彩票中奖率 10%，那么买 10 张彩票一定中奖；④任意画一个三角形，其内角 和为 360°，其中随机事件是（ ） A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【分析】根据随机事件、必然事件以及不可能事件的定义即可作出判断． 【解答】解：随机事件：①③； 必然事件：②； 不可能事件：④． 故选：B． 6．如图，点 P 在函数 y＝ （x＞0）的图象上，过点 P 分别作 x 轴，y 轴的平行线，交函 数 y＝﹣ 的图象于点 A，B，则△PAB 的面积等于（ ） A． B． C． D． 【分析】根据题意设 P 点坐标为 P（x， ），再利用反比例函数解析式 y＝﹣ 分别表示 点 A、点 B 的坐标，然后根据三角形面积公式计算． 【解答】解：∵点 P 在函数 y＝ （x＞0）的图象上，PA∥x 轴，PB∥y 轴， ∴设 P（x， ）， ∴点 B 的坐标为（x，﹣ ），A 点坐标为（﹣ x， ）， ∴△PAB 的面积＝ （x+ ）（ + ）＝ ． 故选：D． 7．已知 A（0，﹣1），B（1，﹣3），先将线段 AB 向左平移 3 个单位，再以原点 O 为位似中 心，在第一象限内，将其扩大为原来 3 倍，则点 A 的对应点坐标为（ ） A．（3，9） B．（6，3） C．（6，9） D．（9，3） 【分析】先利用点平移的坐标特征写出平移后 A 点的对应点的坐标，然后把平移后的点 的横纵坐标都乘以﹣3 得到位似后点 A 的对应点坐标． 【解答】解：线段 AB 向左平移 3 个单位得到 A 点的对应点的坐标为（﹣3，﹣1）， 以原点 O 为位似中心，在第一象限内，将其扩大为原来 3 倍， 所以点 A 的对应点坐标为（9，3）． 故选：D． 8．如图，过菱形 ABCD 的顶点 C 的直线与 AB 的延长线交于点 E，与 AD 的延长线交于点 F， 若菱形的边长为 x，BE＝a，DF＝b，则 a，b，x 满足的关系是（ ） A．2x＝a+b B．x2＝a•b C．x（a+b）＝a•b D．2x2＝a2+b2 【分析】利用相似三角形的性质构建关系式即可解决问题． 【解答】解：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴CD∥AE， ∴△FDC∽△FAE， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， 整理得：x2＝ab， 故选：B． 9．直线 y＝kx+4 与函数 y＝ 的图象有且只有一个公共点，则 k 的值为（ ） A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．±2 【分析】解方程组得到 kx2+4x﹣2＝0，由反比例函数的图象与直线 y＝kx+4（k≠0）只 有一个公共点，得到△＝16+8k＝0，求得 k＝﹣2． 【解答】解：解 得 kx2+4x﹣2＝0， ∵线 y＝kx+4 与函数 y＝ 的图象有且只有一个公共点， ∴△＝16+8k＝0， ∴k＝﹣2， 故选：B． 10．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，点 D 是 AB 边上的动点，设 AD＝x，CD＝y，y 关于 x 的函数关系图象如图所示，其中 M 为曲线部分的最低点，则 BC 的长为（ ） A．10 B．15 C．20 D．25 【分析】由图象可得当 CD⊥AB 时，CD 的长最小，可得此时 AD＝9，CD＝12，由勾股定理 可求 AC，由锐角三角函数可求 BC 的长． 【解答】解：由题意可得当 CD⊥AB 时，CD 的长最小， ∴此时 AD＝9，CD＝12， ∴AC＝ ＝ ＝15， ∵tan∠A＝ ， ∴ ∴BC＝20， 故选：C． 二．填空题（共 5 小题） 11．配方 4a（ax2+bx+c）＝（2ax+b）2+m，则 m＝ 4ac﹣b2 ． 【分析】根据完全平方公式配方，即可得 m． 【解答】解：4a（ax2+bx+c）＝4a2x2+4abx+b2﹣b2+4ac＝（2ax+b）2+﹣b2+4ac＝（2ax+b） 2+m，则 m＝4ac﹣b2． 故答案是：4ac﹣b2． 12．已知抛物线 y＝﹣x2+bx+c 经过（﹣1，a）和（3，a）两点，则 a﹣c＝ ﹣3 ． 【分析】根据已知抛物线 y＝﹣x2+bx+c 经过（﹣1，a）和（3，a）两点求出抛物线的对 称轴，求出 b 的值，再把点（﹣1，a）代入，即可求出答案． 【解答】解：∵抛物线 y＝﹣x2+bx+c 经过（﹣1，a）和（3，a）两点， ∴抛物线的对称轴是直线 x＝ ＝1， 即﹣ ＝1， 解得：b＝2， 即 y＝﹣x2+bx+c＝﹣x2+2x+c， 把（﹣1，a）代入得：a＝﹣1﹣2+c， 即 a﹣c＝﹣3， 故答案为：﹣3． 13．直线 y＝ax（a≠0）与函数 y＝ （k≠0）的图象交于点 A（1，2），若 ＞ax，则 x 的 取值范围是 0＜x＜1 或 x＜﹣1 ． 【分析】根据对称性即可得到点 B 的坐标，然后根据 A、B 点的坐标即可求得 x 的取值范 围． 【解答】解：∵直线 y＝ax（a≠0）与函数 y＝ （k≠0）的图象交于点 A（1，2）， ∴直线 y＝ax（a≠0）与函数 y＝ （k≠0）的图象交于另一个点 B 的坐标是（﹣1，﹣2）， 如图，若 ＞ax，则 x 的取值范围是 0＜x＜1 或 x＜﹣1， 故答案为 0＜x＜1 或 x＜﹣1． 14．某十字路口的交通信号灯每分钟红灯亮 30 秒，绿灯亮 25 秒，黄灯亮 5 秒，当你抬头 看信号灯时，是绿灯的概率为 ． 【分析】随机事件 A 的概率 P（A）＝事件 A 可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数， 据此用绿灯亮的时间除以三种灯亮的总时间，求出抬头看信号灯时，是绿灯的概率为多 少即可． 【解答】解：抬头看信号灯时，是绿灯的概率为 ． 故答案为： ． 15．如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB＝2，点 E 是 BC 边的中点，连接 AE，△AB′E 和△ABE 关于 AE 所在直线对称，若△B′CD 是直角三角形，则 BC 边的长为 4 或 2 ． 【分析】连接 BB′，根据直角三角形的判定定理得到∠BB′C＝90°，求得∠B′CD＜90 °，（1）如图 1，∠B′DC＝90°，（2）如图 2，∠CB′D＝90°，则 B，B′D 三点共线， 设 AE，BB′交于 F，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【解答】解：连接 BB′， ∵BE＝B′E＝EC， ∴∠BB′C＝90°， ∴∠B′CD＜90°， （1）如图 1，∠B′DC＝90°， 则四边形 ABEB′和 ECDB′是正方形， ∴BC＝2AB＝4， （2）如图 2，∠CB′D＝90°， 则 B，B′D 三点共线， 设 AE，BB′交于 F， 则 F，B′是对角线 BD 的三等分点， ∵△BCB′∽△CDB′， ∴ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴BC＝ CD＝2 ， 故答案为：4 或 2 ． 三．解答题（共 8 小题） 16．关于 x 的方程（m+2）x2﹣4x+1＝0 有两个不相等实数根． （1）求 m 的取值范围； （2）当 m 为正整数时，求方程的根． 【分析】（1）根据当△＞0 时，方程有两个不相等的两个实数根、一元二次方程的定义 列式计算即可； （2）根据题意求出 m，利用因式分解法解出方程． 【解答】解：（1）由题意得，m+2≠0，（﹣4）2﹣4×（m+2）＞0， 解得，m＜2 且 m≠﹣2； （2）∵m＜2，m 为正整数， ∴m＝1， 则原方程可化为 3x2﹣4x+1＝0， （3x﹣1）（x﹣1）＝0， 解得，x1＝ ，x2＝1． 17．某公司推出一款新产品，该产品的成本单价是 80 元，经市场调查发现，该产品的日销 售量 y（个）与销售单价 x（元）之间满足一次函数关系 y＝﹣5x+600． （注：日销售利润＝日销售量×（销售单价﹣成本单价）） （1）销售单价 x＝ 100 元时，日销售利润 w 最大，最大值是 2000 元； （2）要实现销售单价为 90 元时，日销售利润不低于 3750 元的销售目标，该产品的成本 单价应不超过多少元？ 【分析】（1）根据题意列出有关利润 w 与销售单价 x 之间的二次函数，配方后即可确定 最值； （2）根据销售利润不低于 3750 元列出不等式即可确定正确的答案． 【解答】解：（1）w＝（﹣5x+600）（x﹣80）＝﹣5x2+1000x﹣48000＝﹣5（x﹣100）2+2000， ∵﹣5＜0， ∴当 x＝100 时，w 取得最大值，最大值是 2000； 故答案为：100，2000； （2）设成本单价为 a 圆，当 x＝100 时，w＝（﹣5×90+600）（90﹣a）≥3750， 解得，a≤65， 答：该产品的成本单价应不超过 65 元． 18．在甲、乙两个不透明的盒子中，分别装有除颜色外其它完全相同的小球，其中，甲盒 子装有 2 个白球，1 个红球；乙盒子装有 2 个红球，1 个白球． （1）将甲盒子摇匀后，随机取出一个小球，求小球是白色的概率； （2）小华和同桌商定：将两个盒子摇匀后，各随机摸出一个小球．若颜色相同，则小华 获胜；若颜色不同，则同桌获胜，请用列表法或画出树状图的方法说明谁赢的可能性大． 【分析】（1）由概率公式即可得出答案； （2）由列表可知，共有 9 种等可能结果，其中颜色不相同的结果有 4 种，颜色相同的结 果有 5 种，P（颜色不相同）＝ ，P（颜色相同）＝ ，即可得出答案． 【解答】解：（1）共有 3 种等可能结果，而摸出白球的结果有 2 种 ∴P（摸出白球）＝ ； （2）根据题意，列表如下： 由上表可知，共有 9 种等可能结果，其中颜色不相同的结果有 5 种，颜色相同的结果有 4 种， ∴P（颜色不相同）＝ ，P（颜色相同）＝ ，∵ ＜ ， ∴同桌获胜获胜的可能性大． 19．如图，是一座横跨沙颖河的斜拉桥，拉索两端分别固定在主梁 l 和索塔 h 上，索塔 h 垂直于主梁 l，垂足为 D．拉索 AE，BF，CG 的仰角分别是α，45°，β，且α+β＝90 °（α＜β），AB＝15m，BC＝5m，CD＝4m，EF＝3FG，求拉索 AE 的长．（精确到 1m，参 考数据： ≈2.24， ≈1.41） 【分析】证出△BDF 是等腰直角三角形，得出 FD＝BD＝BC+CD＝9m，证明△ADE∽△GDC， 得出 ＝ ，则 AD•CD＝GD•ED，设 EF＝3FG＝3x，则 24×4＝（9﹣x）（9+3x），解得 EF＝3，得出 DE＝EF+FD＝12m，由勾股定理求出 AE 即可． 【解答】解：在 Rt△BDF 中，∵∠DBF＝45°，∠BDF＝90°， ∴△BDF 是等腰直角三角形， ∴FD＝BD＝BC+CD＝9m， ∵α+β＝90°，∠ADE＝∠GDC＝90°， ∴△ADE∽△GDC， ∴ ＝ ， ∴AD•CD＝GD•ED， 设 EF＝3FG＝3x，则 24×4＝（9﹣x）（9+3x）， 解得：x＝1，或 x＝5（舍去）， ∴EF＝3， ∴DE＝EF+FD＝12m， ∵AD＝AB+BD＝24m， ∴AE＝ ＝ ＝12 ≈27（m）， 答：拉索 AE 的长约为 27m． 20．如图，直线 y＝ x+b 与 y 轴交于点 A（0，4），与函数 y＝ （k＞0，x＜0）的图象交 于点 C，以 AC 为对角线作矩形 ABCD，使顶点 B，D 落在 x 轴上（点 D 在点 B 的右边），BD 与 AC 交于点 E． （1）求 b 和 k 的值； （2）求顶点 B，D 的坐标． 【分析】（1）根据点 A 坐标可以确定 b 的值，得出直线的解析式，令 y＝0，求得 E 的坐 标，由 E（﹣3，0）是 AC 的中点，推出点 C（﹣6，﹣4），然后根据待定系数法即可求得 k； （2）根据勾股定理求得 AE，利用矩形的性质 EA＝EB＝ED，即可解决问题； 【解答】解：（1）∵直线 y＝ x+b 与 y 轴交于点 A（0，4）， ∴b＝4， ∴直线为 y＝ x+4， 令 y＝0，解得 x＝﹣3， ∴E（﹣3，0）， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴E（﹣3，0）是 AC 的中点， ∴C（﹣6，﹣4）， ∵点 C 在函数 y＝ 的图象上， ∴k＝﹣6×（﹣4）＝24； （2）∵AE2＝AO2+EO2， ∴AE＝ ＝5， ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴ED＝EB＝EA＝5， ∴B（﹣8，0），D（2，0）． 21．如图，点 P 在∠MAN 内，PA 平分∠MAN，PB⊥AM 于点 B，PC⊥AN 于点 C，点 D 是射线 AM 上点 B 右侧的一个定点． （1）作经过 A，P，D 三点的圆；（保留作图痕进，不写作法） （2）设圆与 AN 交于点 E，∠MAN＝60°，PA＝4，求 AE+AD 的值． 【分析】（1）作 AP 和 AD 的垂直平分线，两条直线的交点即为过 A、P、D 三点的圆心； （2）连接 PE、PD 证明△PCE 与△PBD 全等即可求解． 【解答】解：（1）如图所示： 作 AP 和 AD 的垂直平分线，两条线相交于点 O， 以点为圆心，OA 为半径的圆即为所求作的图形； （2）连接 PE、PD， ∵PA 平分∠MAN，PB⊥AD 于点 B，PC⊥AN 于点 C， ∴PB＝PC， 在圆中，∵∠EAP＝∠DAP， ∴PE＝PD， 在△PCE 和△PBD 中， ∵∠PCE＝∠PBD＝90°，PB＝PC，PE＝PD． ∴Rt△PCE≌Rt△PBD（HL）． ∴CE＝BD． ∵∠MAN＝60°，PA 平分∠MAN， ∴∠PAB＝30°，PA＝4， ∴AB＝2 ， ∴AE+AD＝2AB＝4 ． 22．在△ABC 中，CA＝CB，∠ACB＝α（0°＜α＜180°）．点 P 是平面内不与 A，C 重合的 任意一点，连接 AP，将线段 AP 绕点 P 逆时针旋转α得到线段 DP，连接 AD，CP．点 M 是 AB 的中点，点 N 是 AD 的中点． （1）问题发现 如图 1，当α＝60°时， 的值是 ，直线 MN 与直线 PC 相交所成的较小角的度数 是 60° ． （2）类比探究 如图 2，当α＝120°时，请写出的 值及直线 MN 与直线 PC 相交所成的较小角的度数， 并就图 2 的情形说明理由． （3）解决问题 如图 3，当α＝90°时，若点 E 是 CB 的中点，点 P 在直线 ME 上，请直接写出点 B，P，D 在同一条直线上时 的值． 【分析】（1）如图 1 中，连接 PC，BD，延长 BD 交 PC 于 K，交 AC 于 G．证明△PAC≌△ DAB（SAS），利用全等三角形的性质以及三角形的中位线定理即可解决问题． （2）如图设 MN 交 AC 于 F，延长 MN 交 PC 于 E．证明△ACP∽△AMN，推出∠ACP＝∠AMN， ＝ ＝ 可得结论． （3）分两种情形分别画出图形，利用三角形中位线定理即可解决问题． 【解答】解：（1）如图 1 中，连接 PC，BD，延长 BD 交 PC 于 K，交 AC 于 G． ∵CA＝CB，∠ACB＝60°， ∴△ABC 是等边三角形， ∴∠CAB＝∠PAD＝60°，AC＝AB， ∴∠PAC＝∠DAB， ∵AP＝AD， ∴△PAC≌△DAB（SAS）， ∴PC＝BD，∠ACP＝∠ABD， ∵AN＝ND，AM＝BM， ∴BD＝2MN， ∴ ＝ ． ∵∠CGK＝∠BGA，∠GCK＝∠GBA， ∴∠CKG＝∠BAG＝60°， ∴BK 与 PC 的较小的夹角为 60°， ∵MN∥BK， ∴MN 与 PC 较小的夹角为 60°． 故答案为 ，60°． （2）如图设 MN 交 AC 于 F，延长 MN 交 PC 于 E． ∵CA＝CB，PA＝PD，∠APD＝∠ACB＝120°， ∴△PAD∽△CAB， ∴ ＝ ， ∵AM＝MB，AN＝ND， ∴ ＝ ， ∴△ACP∽△AMN， ∴∠ACP＝∠AMN， ＝ ＝ ， ∵∠CFE＝∠AFM， ∴∠FEC＝∠FAM＝30°． （3）设 MN＝a，∵ ＝ ＝ ， ∴PC＝ a， ∵ME 是△ABC 的中位线，∠ACB＝90°， ∴ME 是线段 BC 的中垂线， ∴PB＝PC＝ a， ∵MN 是△ADB 的中位线， ∴DB＝2MN＝2a， 如图 3﹣1 中，当点 P 在线段 BD 上时，PD＝DB﹣PB＝（2﹣ ）a， ∴ ＝2﹣ ． 如图 3﹣2 中，PD＝DB+PB＝（2+ ）a， ∴ ＝2+ ． 23．如图，抛物线 y＝ax2+ x+c 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C．直线 y＝﹣ +2 经过 点 A，C． （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 在抛物线在第一象限内的图象上，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足为 D，交直线 AC 于点 E，连接 PC，设点 P 的横坐标为 m． ①当△PCE 是等腰三角形时，求 m 的值； ②过点 C 作直线 PD 的垂线，垂足为 F．点 F 关于直线 PC 的对称点为 F′，当点 F′落在 坐标轴上时，请直接写出点 P 的坐标． 【分析】（1）先由直线 y＝﹣ x+2 求出 A，C 的坐标，再将其代入抛物线 y＝ax2+ x+c 中，即可求出抛物线解析式； （2）①用含 m 的代数表示出 P，E 的坐标，再求出含 m 的代数式的 PE 的长度，将等腰三 角形分三种情况进行讨论，即可分别求出 m 的值； ②当点 F'落在坐标轴上时，存在两种情形，一种是点 F'落在 y 轴上，一种是点 F′落在 x 轴上，分情况即可求出点 P 的坐标． 【解答】解：（1）∵直线 y＝﹣ x+2 经过 A，C， ∴A（4，0），C（0，2）， ∵抛物线 y＝ax2+ x+c 交 x 轴于点 B，交 y 轴于点 C， ∴ ， ∴a＝﹣ ，c＝2， ∴抛物线的解析式为 y＝﹣ x2+ x+2； （2）∵点 P 在抛物线在第一象限内的图象上，点 P 的横坐标为 m， ∴0＜m＜4，P（m，﹣ m2+ m+2）， ①∵PD⊥x 轴，交直线 y＝﹣ x+2 于点 E， ∴E（m，﹣ m+2）， ∴PE＝（﹣ m2+ m+2）﹣（﹣ m+2）＝﹣ m2+2m， ∵PD∥CO， ∴ ＝ ， ∴CE＝ ＝ m， 当 PE＝CE 时，﹣ m2+2m＝ m， 解得，m1＝4﹣ ，m2＝0（舍去）； 当 PC＝CE 时，PD+ED＝2CO， 即（﹣ m2+ m+2）+（﹣ m+2）＝2×2， ∴﹣ m2+m＝0， 解得，m1＝2，m2＝0（舍去）； 当 PC＝PE 时，取 CE 中点 G，则 G（ m，﹣ m+2），PG⊥AC， ∴∠GEP＝∠OCA， ∴Rt△PGE∽Rt△AOC， ∴ ＝ ＝2， ∴（﹣ m2+ m+2）﹣（﹣ m+2）＝2（m﹣ m）， ﹣ m2+ m＝0， 解得，m1＝ ，m2＝0（舍去）， 综上，当△PCE 是等腰三角形时，m 的值为 m＝4﹣ ，2， ； ②P（1，3），P（ ， ），理由如下， 当点 F'落在坐标轴上时，存在两种情形： 如图 2﹣1，当点 F'落在 y 轴上时，点 P（m，﹣ m2+ m+2）在直线 y＝x +2 上， ∴﹣ m2+ m+2＝m+2， 解得，m1＝1，m2＝0（舍去）， ∴P（1，3）； 如图 2﹣2，当点 F'落在 x 轴上时，△COF'∽△F'DP， ∴ ＝ ＝ ， ∴ ＝ ， ∵PF＝2﹣（﹣ m2+ m+2）＝ m（m﹣3）， ∴F'D＝ ＝m﹣3， ∴OF'＝OD﹣FD＝m﹣（m﹣3）＝3， 在△CBF'中，CF'＝ ＝ ， ∴m＝ ，P（ ， ）， 综上所述，当点 F′落在坐标轴上时，点 P 的坐标为（1，3）或（ ， ）． 人教版九年级（上）期末数学试卷（二） 一．选择题（共 10 小题） 1．若一元二次方程 x2+2x+a＝0 有一根为 1，则 a 的值为（ ） A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3 2．下列语句描述的事件中，是随机事件的为（ ） A．心想事成 B．只手遮天 C．瓜熟蒂落 D．水能载舟亦能覆舟 3．把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少 为（ ） A．30° B．90° C．120° D．180° 4．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ） A． B． C． D． 5．某农产品市场经销一种销售成本为 40 元的水产品，据市场分析，若按每千克 50 元销售， 一个月能售出 500 千克：销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10 千克，设销售单价为每 干克 x 元，月销售利润可以表示为（ ） A．（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]元 B．（x﹣40）（10x﹣500）元 C．（x﹣40）（500﹣10x）元 D．（x﹣40）[500﹣10（50﹣x）]元 6．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 7．如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，半径为 4，则这个正六边形的边心距 OM 和 的长 分别为（ ） A．2， B．2 ，π C． ， D．2 ， 8．小明乘坐摩天轮转一圈，他距离地面的高度 y（米）与旋转时间 x（分）之间的关系可 以近似地用二次函数来刻画．经侧试得部分数据如下表： x/分 … 2.66 3.23 3.46 … y/米 … 69.16 69.62 68.46 … 下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是（ ） A．7 分 B．6.5 分 C．6 分 D．5.5 分 9．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果 下面有三个推断： ①当抛掷次数是 100 时，计算机记录“正面向上”的次数是 47，所以“正面向上”的概 率是 0.47； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在 0.5 附近摆动，显示出一定的稳定性， 可以估计“正面向上”的概率是 0.5； ③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为 150 时，“正面向上”的频率一定是 0.45． 其中合理的是（ ） A．① B．② C．①② D．①③ 10．二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线 x＝﹣1，与 x 轴的交 点为（x1，0）、（x2，0），其中 0＜x1＜1，有下列结论：①c＞0；②﹣3＜x2＜﹣2；③a+b+c ＜0；④b2﹣4ac＞0；⑤已知图象上点 A（4，y1），B（1，y2），则 y1＞y2．其中，正确结 论的个数有（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 二．填空题（共 8 小题） 11．已知二次函数 y＝ax2 的图象开口向上，则 a ． 12．如果关于 x 的一元二次方程 ax2+x+1＝0 没有实数根，则 a 的取值范围是 ． 13．如图，小艾同学坐在秋千上，秋千旋转了 80°，小艾同学的位置也从 A 点运动到了 A' 点，则∠OAA'的度数为 ． 14．将抛物线 y＝3x2 先向左平移一个单位，再向上平移两个单位，两次平移后得到的抛物 线解析式为 ． 15．如图，在⊙O 中， 所对的圆周角∠ACB＝50°，若 P 为 上一点，∠AOP＝55°，则 ∠POB 的度数为 ． 16．电影《中国机长》首映当日票房已经达到 1.92 亿元，2 天后当日票房达到 2.61 亿元， 设平均每天票房的增长率为 x，则可列方程为 ． 17．欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其扣，徐以杓酌油沥 之，自钱孔入，而钱不湿，因曰：我亦无他，唯手熟尔．”可见技能通过反复苦练而达到 熟能生巧．若铜钱是直径为 4cm 的圆，中间有边长为 1cm 的正方形孔，你随机向铜钱上 滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为 ．（结果保留π） 18．如图，在单位长度为 1 米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为 2 米，圆心角为 120 °圆弧多次复制并首尾连接而成，现有一点 P 从 A（A 为坐标原点），以每秒 米的速 度沿曲线向右运动，则在第 2020 秒时点 P 的纵坐标为 ． 三．解答题（共 8 小题） 19．先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中 a 是一元二次方程对 a2+3a﹣2 ＝0 的根． 20．对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境．为了 检查垃圾分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分 别对辖区内的 A，B，C，D 四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查． （1）甲组抽到 A 小区的概率是 ； （2）请用列表或画树状图的方法求甲组抽到 A 小区，同时乙组抽到 C 小区的概率． 21．在如图所示 8×7 的正方形网格中，A（2，0），B（3，2），C（4，2），请按要求解答下 列问题： （1）将△ABO 向右平移 4 个单位长度得到△A1B1O1，请画出△A1B1O1 并写出点 A1 的坐标； （2）将△ABO 绕点 C（4，2）顺时针旋转 90°得到△A2B2O2，请画出△A2B2O2 并写出点 A2 的坐标； （3）将△A1B1O1 绕点 Q 旋转 90°可以和△A2B2O2 完全重合，请直接写出点 Q 的坐标． 22．（北师大版）连接着汉口集家咀的江汉三桥（晴川桥），是一座下承式钢管混凝土系杆 拱桥．它犹如一道美丽的彩虹跨越汉江，是江城武汉的一道靓丽景观．桥的拱肋 ACB 视 为抛物线的一部分，桥面（视为水平的）与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，相邻系杆之 间的间距均为 5 米（不考虑系杆的粗细），拱肋的跨度 AB 为 280 米，距离拱肋的右端 70 米处的系杆 EF 的长度为 42 米．以 AB 所在直线为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴建立如图 ②所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）正中间系杆 OC 的长度是多少米？是否存在一根系杆的长度恰好是 OC 长度的一半？ 请说明理由． 23．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，切点为 A，BC 交⊙O 于点 D，点 E 是 AC 的 中点． （1）试判断直线 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若⊙O 的半径为 2，∠B＝50°，AC＝6，求图中阴影部分的面积． 24．每年 5 月的第二个星期日即为母亲节，“父母恩深重，恩怜无歇时”，许多市民喜欢在 母亲节为母亲送花，感恩母亲，祝福母亲．今年节日前夕，某花店采购了一批康乃馨， 经分析上一年的销售情况，发现这种康乃馨每天的销售量 y（支）是销售单价 x（元）的 一次函数，已知销售单价为 7 元/支时，销售量为 16 支；销售单价为 8 元/支时，销售量 为 14 支． （1）求这种康乃馨每天的销售量 y（支）关于销售单价 x（元/支）的一次函数解析式； （2）若按去年方式销售，已知今年这种康乃馨的进价是每支 5 元，商家若想每天获得 42 元的利润，销售单价要定为多少元？ （3）在（2）的条件下，当销售单价 x 为何值时，花店销售这种康乃馨每天获得的利润 最大？并求出获得的最大利润． 25．如图，△ABC 是等边三角形，D 是 BC 边的中点，以 D 为顶点作一个 120°的角，角的两 边分别交直线 AB、直线 AC 于 M、N 两点．以点 D 为中心旋转∠MDN（∠MDN 的度数不变）， 当 DM 与 AB 垂直时（如图①所示），易证 BM+CN＝BD． （1）如图②，当 DM 与 AB 不垂直，点 M 在边 AB 上，点 N 在边 AC 上时，BM+CN＝BD 是否 仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （2）如图③，当 DM 与 AB 不垂直，点 M 在边 AB 上，点 N 在边 AC 的延长线上时，BM+CN ＝BD 是否仍然成立？若不成立，请写出 BM，CN，BD 之间的数量关系，不用证明． 26．如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx+3（a≠0）与 x 轴分别交于 A（﹣3， 0），B 两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点 E（﹣1，4），对称轴交 x 轴于点 F． （1）请直接写出这条抛物线和直线 AE、直线 AC 的解析式； （2）连接 AC、AE、CE，判断△ACE 的形状，并说明理由； （3）如图 2，点 D 是抛物线上一动点，它的横坐标为 m，且﹣3＜m＜﹣1，过点 D 作 DK ⊥x 轴于点 K，DK 分别交线段 AE、AC 于点 G、H．在点 D 的运动过程中， ①DG、GH、HK 这三条线段能否相等？若相等，请求出点 D 的坐标；若不相等，请说明理 由； ②在①的条件下，判断 CG 与 AE 的数量关系，并直接写出结论． 参考答案与试题解析 一．选择题（共 10 小题） 1．若一元二次方程 x2+2x+a＝0 有一根为 1，则 a 的值为（ ） A．1 B．﹣1 C．3 D．﹣3 【分析】将 x＝1 代入方程即可求出 a 的值． 【解答】解：将 x＝1 代入方程可得：1+2+a＝0， ∴a＝﹣3， 故选：D． 2．下列语句描述的事件中，是随机事件的为（ ） A．心想事成 B．只手遮天 C．瓜熟蒂落 D．水能载舟亦能覆舟 【分析】直接利用随机事件以及必然事件、不可能事件的定义分别分析得出答案． 【解答】解：A、心想事成是随机事件，故此选项正确． B、只手遮天是不可能事件，故此选项错误； C、瓜熟蒂落是必然事件，故此选项错误； D、水能载舟，亦能覆舟是必然事件，故此选项错误； 故选：A． 3．把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少 为（ ） A．30° B．90° C．120° D．180° 【分析】根据图形的对称性，用 360°除以 3 计算即可得解． 【解答】解：∵360°÷3＝120°， ∴旋转的角度是 120°的整数倍， ∴旋转的角度至少是 120°． 故选：C． 4．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到三角形外心的是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据三角形外心的定义，三角形外心为三边的垂直平分线的交点，然后利用基 本作图格选项进行判断． 【解答】解：三角形外心为三边的垂直平分线的交点，由基本作图得到 C 选项作了两边 的垂直平分线，从而可用直尺成功找到三角形外心． 故选：C． 5．某农产品市场经销一种销售成本为 40 元的水产品，据市场分析，若按每千克 50 元销售， 一个月能售出 500 千克：销售单价每涨 1 元，月销售量就减少 10 千克，设销售单价为每 干克 x 元，月销售利润可以表示为（ ） A．（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]元 B．（x﹣40）（10x﹣500）元 C．（x﹣40）（500﹣10x）元 D．（x﹣40）[500﹣10（50﹣x）]元 【分析】直接利用每千克利润×销量＝总利润，进而得出关系式． 【解答】解：设销售单价为每千克 x 元，则月销售利润＝（x﹣40）[500﹣10（x﹣50）]． 故选：A． 6．下列四个图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误； B、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误； C、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误； D、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确． 故选：D． 7．如图，正六边形 ABCDEF 内接于⊙O，半径为 4，则这个正六边形的边心距 OM 和 的长 分别为（ ） A．2， B．2 ，π C． ， D．2 ， 【分析】正六边形的边长与外接圆的半径相等，构建直角三角形，利用直角三角形的边 角关系即可求出 OM，再利用弧长公式求解即可． 【解答】解：连接 OB， ∵OB＝4， ∴BM＝2， ∴OM＝2 ， ＝ ＝ π， 故选：D． 8．小明乘坐摩天轮转一圈，他距离地面的高度 y（米）与旋转时间 x（分）之间的关系可 以近似地用二次函数来刻画．经侧试得部分数据如下表： x/分 … 2.66 3.23 3.46 … y/米 … 69.16 69.62 68.46 … 下列选项中，最接近摩天轮转一圈的时间的是（ ） A．7 分 B．6.5 分 C．6 分 D．5.5 分 【分析】利用二次函数的性质，由题意，最值在自变量大于 2.66 小于 3.23 之间，由此 不难找到答案． 【解答】解：最值在自变量大于 2.66 小于 3.23 之间， 所以最接近摩天轮转一圈的时间的是 6 分钟． 故选：C． 9．如图显示了用计算机模拟随机抛掷一枚硬币的某次实验的结果 下面有三个推断： ①当抛掷次数是 100 时，计算机记录“正面向上”的次数是 47，所以“正面向上”的概 率是 0.47； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在 0.5 附近摆动，显示出一定的稳定性， 可以估计“正面向上”的概率是 0.5； ③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为 150 时，“正面向上”的频率一定是 0.45． 其中合理的是（ ） A．① B．② C．①② D．①③ 【分析】随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在 0.5 附近摆动，显示出一定的稳 定性，可以估计“正面向上”的概率是 0.5，据此进行判断即可． 【解答】解：①当抛掷次数是 100 时，计算机记录“正面向上”的次数是 47，“正面向 上”的概率不一定是 0.47，故错误； ②随着试验次数的增加，“正面向上”的频率总在 0.5 附近摆动，显示出一定的稳定性， 可以估计“正面向上”的概率是 0.5，故正确； ③若再次用计算机模拟此实验，则当抛掷次数为 150 时，“正面向上”的频率不一定是 0.45，故错误． 故选：B． 10．二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，其对称轴为直线 x＝﹣1，与 x 轴的交 点为（x1，0）、（x2，0），其中 0＜x1＜1，有下列结论：①c＞0；②﹣3＜x2＜﹣2；③a+b+c ＜0；④b2﹣4ac＞0；⑤已知图象上点 A（4，y1），B（1，y2），则 y1＞y2．其中，正确结 论的个数有（ ） A．5 B．4 C．3 D．2 【分析】由图象可知当 x＝0 时，y＜0，所以 c＜0；函数与 x 轴有两个交点，所以△＞0， 即 b2﹣4ac＞0；当 x＝1 时，y＞0，所以 a+b+c＞0；由函数的对称性可知，对称轴为 x ＝﹣1，0＜x1＜1，则另一个交点为﹣3＜x2＜﹣2；由函数在对称轴的右侧 y 随 x 值的增 大而增大，可求 y1＞y2． 【解答】解：由图象可知，当 x＝0 时，y＜0， ∴c＜0， ∴①不正确； ∵对称轴为 x＝﹣1，0＜x1＜1， ∴﹣3＜x2＜﹣2， ∴②正确； 当 x＝1 时，y＞0， ∴a+b+c＞0， ∴③不正确； ∵函数与 x 轴有两个交点， ∴△＞0，即 b2﹣4ac＞0， ∴④正确； 由点 A（4，y1），B（1，y2）可知，点 A、B 在对称轴的右侧， ∴y 随 x 值的增大而增大， ∴y1＞y2， 故⑤正确； 故选：C． 二．填空题（共 8 小题） 11．已知二次函数 y＝ax2 的图象开口向上，则 a ＞0 ． 【分析】由二次函数图象的性质可得：a＞0 时图象开口向上． 【解答】解：∵二次函数 y＝ax2 的图象开口向上， ∴a＞0， 故答案为＞0． 12．如果关于 x 的一元二次方程 ax2+x+1＝0 没有实数根，则 a 的取值范围是 a＞ ． 【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到 a≠0 且△＝12﹣4a＜0，然后求 出两不等式的公共部分即可． 【解答】解：根据题意得 a≠0 且△＝12﹣4a＜0， 解得 a＞ ． 故答案为：a＞ ． 13．如图，小艾同学坐在秋千上，秋千旋转了 80°，小艾同学的位置也从 A 点运动到了 A' 点，则∠OAA'的度数为 50° ． 【分析】根据旋转角的定义、旋转的性质、等腰三角形的性质以及三角形内角和定理进 行解答． 【解答】解：∵秋千旋转了 80°，小林的位置也从 A 点运动到了 A'点， ∴AOA′＝80°，OA＝OA′， ∴∠OAA'＝ （180°﹣80°）＝50°． 故答案为 50°． 14．将抛物线 y＝3x2 先向左平移一个单位，再向上平移两个单位，两次平移后得到的抛物 线解析式为 y＝3（x+1）2+2 ． 【分析】按照“左加右减，上加下减”的规律，进而得出平移后抛物线的解析式即可． 【解答】解：抛物线 y＝3x2 先向左平移一个单位得到解析式：y＝3（x+1）2，再向上平 移两个单位得到抛物线的解析式为：y＝3（x+1）2+2． 故答案为 y＝3（x+1）2+2． 15．如图，在⊙O 中， 所对的圆周角∠ACB＝50°，若 P 为 上一点，∠AOP＝55°，则 ∠POB 的度数为 45° ． 【分析】先利用圆周角定理得到∠AOB＝2∠ACB＝100°，然后计算∠AOB﹣∠AOP 即可． 【解答】解：∵ 所对的圆周角∠ACB＝50°， ∴∠AOB＝2∠ACB＝2×50°＝100°， ∵∠AOP＝55°， ∴∠POB＝∠AOB﹣∠AOP＝100°﹣55°＝45°． 故答案为 45°． 16．电影《中国机长》首映当日票房已经达到 1.92 亿元，2 天后当日票房达到 2.61 亿元， 设平均每天票房的增长率为 x，则可列方程为 1.92（1+x）2＝2.61 ． 【分析】设平均每天票房的增长率为 x，根据当日票房已经达到 1.92 亿元，2 天后当日 票房达到 2.61 亿元，即可得出关于 x 的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：设平均每天票房的增长率为 x， 根据题意得：1.92（1+x）2＝2.61． 故答案为：1.92（1+x）2＝2.61． 17．欧阳修在《卖油翁》中写道：“（翁）乃取一葫芦置于地，以钱覆其扣，徐以杓酌油沥 之，自钱孔入，而钱不湿，因曰：我亦无他，唯手熟尔．”可见技能通过反复苦练而达到 熟能生巧．若铜钱是直径为 4cm 的圆，中间有边长为 1cm 的正方形孔，你随机向铜钱上 滴一滴油，则油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为 ．（结果保留π） 【分析】直接利用几何概率的意义分别得出圆和正方形面积进而得出答案． 【解答】解：由题意可得，圆的面积为：π×22＝4π（cm2），正方形面积为：1×1＝1 （cm2）， 故油（油滴的大小忽略不计）正好落入孔中的概率为： ． 故答案为： ． 18．如图，在单位长度为 1 米的平面直角坐标系中，曲线是由半径为 2 米，圆心角为 120 °圆弧多次复制并首尾连接而成，现有一点 P 从 A（A 为坐标原点），以每秒 米的速 度沿曲线向右运动，则在第 2020 秒时点 P 的纵坐标为 0 ． 【分析】先计算点 P 走一个 的时间，得到点 P 纵坐标的规律：以 1，0，﹣1，0 四个 数为一个周期依次循环，再用 2020÷4＝505，得出在第 2020 秒时点 P 的纵坐标为是 0． 【解答】解：点运动一个 用时为 ÷ π＝2 秒． 如图，作 CD⊥AB 于 D，与 交于点 E． 在 Rt△ACD 中，∵∠ADC＝90°，∠ACD＝ ∠ACB＝60°， ∴∠CAD＝30°， ∴CD＝ AC＝ ×2＝1， ∴DE＝CE﹣CD＝2﹣1＝1， ∴第 1 秒时点 P 运动到点 E，纵坐标为 1； 第 2 秒时点 P 运动到点 B，纵坐标为 0； 第 3 秒时点 P 运动到点 F，纵坐标为﹣1； 第 4 秒时点 P 运动到点 G，纵坐标为 0； 第 5 秒时点 P 运动到点 H，纵坐标为 1； …， ∴点 P 的纵坐标以 1，0，﹣1，0 四个数为一个周期依次循环， ∵2020÷4＝505， ∴第 2020 秒时点 P 的纵坐标为是 0． 故答案为 0． 三．解答题（共 8 小题） 19．先化简，再求值：（ ﹣ ）÷ ，其中 a 是一元二次方程对 a2+3a﹣2 ＝0 的根． 【分析】根据分式的减法和除法可以化简题目中的式子，然后根据 a2+3a﹣2＝0 可以得 到 a2+3a 的值，从而可以求得所求式子的值． 【解答】解：（ ﹣ ）÷ ＝[ ]•a（a﹣2） ＝（ ）•a（a﹣2） ＝ •a（a﹣2） ＝a（a+3） ＝a2+3a， ∵a2+3a﹣2＝0， ∴a2+3a＝2， ∴原式＝2． 20．对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境．为了 检查垃圾分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分 别对辖区内的 A，B，C，D 四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查． （1）甲组抽到 A 小区的概率是 ； （2）请用列表或画树状图的方法求甲组抽到 A 小区，同时乙组抽到 C 小区的概率． 【分析】（1）直接利用概率公式求解可得； （2）画树状图列出所有等可能结果，根据概率公式求解可得． 【解答】解：（1）甲组抽到 A 小区的概率是 ， 故答案为： ． （2）画树状图为： 共有 12 种等可能的结果数，其中甲组抽到 A 小区，同时乙组抽到 C 小区的结果数为 1， ∴甲组抽到 A 小区，同时乙组抽到 C 小区的概率为 ． 21．在如图所示 8×7 的正方形网格中，A（2，0），B（3，2），C（4，2），请按要求解答下 列问题： （1）将△ABO 向右平移 4 个单位长度得到△A1B1O1，请画出△A1B1O1 并写出点 A1 的坐标； （2）将△ABO 绕点 C（4，2）顺时针旋转 90°得到△A2B2O2，请画出△A2B2O2 并写出点 A2 的坐标； （3）将△A1B1O1 绕点 Q 旋转 90°可以和△A2B2O2 完全重合，请直接写出点 Q 的坐标． 【分析】（1）依据平移的方向和距离，即可得到△A1B1O1，进而写出点 A1 的坐标； （2）依据旋转方向、旋转角度以及旋转中心，即可得到△A2B2O2，进而得出点 A2 的坐标； （3）连接两对对应点，对应点连线的垂直平分线的交点，即为旋转中心的位置． 【解答】解：（1）如图所示，△A1B1O1 即为所求，点 A1 的坐标为（6，0）； （2）如图所示，△A2B2O2 即为所求，点 A2 的坐标为（2，4）； （3）如图所示，点 Q 的坐标为（6，4）． 22．（北师大版）连接着汉口集家咀的江汉三桥（晴川桥），是一座下承式钢管混凝土系杆 拱桥．它犹如一道美丽的彩虹跨越汉江，是江城武汉的一道靓丽景观．桥的拱肋 ACB 视 为抛物线的一部分，桥面（视为水平的）与拱肋用垂直于桥面的系杆连接，相邻系杆之 间的间距均为 5 米（不考虑系杆的粗细），拱肋的跨度 AB 为 280 米，距离拱肋的右端 70 米处的系杆 EF 的长度为 42 米．以 AB 所在直线为 x 轴，抛物线的对称轴为 y 轴建立如图 ②所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的解析式； （2）正中间系杆 OC 的长度是多少米？是否存在一根系杆的长度恰好是 OC 长度的一半？ 请说明理由． 【分析】（1）首先设抛物线的解析式，代入图中的坐标可解． （2）假设存在一根系杆的长度是 OC 的一半，长度为 28m，得出 x 的值与实际不符．故 没有． 【解答】解：（1）结合图象由题意： 抛物线图象的对称轴是 y 轴，与 x 轴交点的坐标是（﹣140，0）、（140，0），且经过点（70， 42）． 易求 y＝﹣ x2+56． （2）当 x＝0 时，y＝56 设存在一根系杆的长度是 OC 的一半，即这根系杆的长度是 28 米， x＝±70 相邻系杆之间的间距均为 5 米，最中间系杆 OC 在 y 轴上， ∴每根系杆上的点的横坐标均为整数． ∴x＝±70 与实际不符． ∴不存在一根系杆的长度恰好是 OC 长度的一半． 23．如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，切点为 A，BC 交⊙O 于点 D，点 E 是 AC 的 中点． （1）试判断直线 DE 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若⊙O 的半径为 2，∠B＝50°，AC＝6，求图中阴影部分的面积． 【分析】（1）连接 OE、OD，根据切线的性质得到∠OAC＝90°，根据三角形中位线定理 得到 OE∥BC，证明△AOE≌△DOE，根据全等三角形的性质、切线的判定定理证明； （2）根据扇形的面积公式计算即可． 【解答】解：（1）直线 DE 与⊙O 相切， 理由如下：连接 OE、OD，如图， ∵AC 是⊙O 的切线， ∴AB⊥AC， ∴∠OAC＝90°， ∵点 E 是 AC 的中点，O 点为 AB 的中点， ∴OE∥BC， ∴∠1＝∠B，∠2＝∠3， ∵OB＝OD， ∴∠B＝∠3， ∴∠1＝∠2， 在△AOE 和△DOE 中 ， ∴△AOE≌△DOE（SAS） ∴∠ODE＝∠OAE＝90°， ∴DE⊥OD， ∵OD 为⊙O 的半径， ∴DE 为⊙O 的切线； （2）∵DE、AE 是⊙O 的切线， ∴DE＝AE， ∵点 E 是 AC 的中点， ∴AE＝ AC＝3， ∠AOD＝2∠B＝2×50°＝100°， ∴图中阴影部分的面积＝2× ×2×3﹣ ＝6﹣ π． 24．每年 5 月的第二个星期日即为母亲节，“父母恩深重，恩怜无歇时”，许多市民喜欢在 母亲节为母亲送花，感恩母亲，祝福母亲．今年节日前夕，某花店采购了一批康乃馨， 经分析上一年的销售情况，发现这种康乃馨每天的销售量 y（支）是销售单价 x（元）的 一次函数，已知销售单价为 7 元/支时，销售量为 16 支；销售单价为 8 元/支时，销售量 为 14 支． （1）求这种康乃馨每天的销售量 y（支）关于销售单价 x（元/支）的一次函数解析式； （2）若按去年方式销售，已知今年这种康乃馨的进价是每支 5 元，商家若想每天获得 42 元的利润，销售单价要定为多少元？ （3）在（2）的条件下，当销售单价 x 为何值时，花店销售这种康乃馨每天获得的利润 最大？并求出获得的最大利润． 【分析】（1）根据销售单价为 7 元/支时，销售量为 16 支；销售单价为 8 元/支时，销售 量为 14 支．即可求出一次函数解析式； （2）根据销售利润＝单件利润×销售量，列出一元二次方程求解即可； （3）根据销售问题关系式可得二次函数，并求顶点坐标，即可得结论． 【解答】解：（1）设每天的销售量 y（支）是销售单价 x（元）的一次函数为 y＝kx+b， ∵销售单价为 7 元/支时，销售量为 16 支；销售单价为 8 元/支时，销售量为 14 支． ∴ 解得 所以 y 与 x 的函数解析式为 y＝﹣2x+30． 答：这种康乃馨每天的销售量 y（支）关于销售单价 x（元/支）的一次函数解析式为 y ＝﹣2x+30． （2）设商家若想每天获得 42 元的利润，销售单价要定为 x 元，根据题意，得 （x﹣5）（﹣2x+30）＝42 整理，得 x2﹣20x+96＝0 解得 x1＝8，x2＝12． 答：商家若想每天获得 42 元的利润，销售单价要定为 8 元或 12 元． （3）设花店销售这种康乃馨每天获得的利润为 w 元，根据题意，得 w＝（x﹣5）（﹣2x+30） ＝﹣2x2+40x﹣150 ＝﹣2（x﹣10）2+50 ∵﹣2＞0，当 x＝10 时， w 有最大值，最大值为 50． 答：当销售单价 10 元时，花店销售这种康乃馨每天获得的利润最大，最大利润为 50 元． 25．如图，△ABC 是等边三角形，D 是 BC 边的中点，以 D 为顶点作一个 120°的角，角的两 边分别交直线 AB、直线 AC 于 M、N 两点．以点 D 为中心旋转∠MDN（∠MDN 的度数不变）， 当 DM 与 AB 垂直时（如图①所示），易证 BM+CN＝BD． （1）如图②，当 DM 与 AB 不垂直，点 M 在边 AB 上，点 N 在边 AC 上时，BM+CN＝BD 是否 仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （2）如图③，当 DM 与 AB 不垂直，点 M 在边 AB 上，点 N 在边 AC 的延长线上时，BM+CN ＝BD 是否仍然成立？若不成立，请写出 BM，CN，BD 之间的数量关系，不用证明． 【分析】（1）过点 D 作 DE∥AC 交 AB 于 E，易证△BDE 是等边三角形，∠EDC＝120°，得 出 BD＝BE＝DE，∠EDN+∠CDN＝120°，证明∠CDN＝∠EDM，由 D 是 BC 边的中点，得出 DE＝BD＝CD，由 ASA 证得△CDN≌△EDM 得出 CN＝EM，即可得出结论； （2）过点 D 作 DE∥AC 交 AB 于 E，易证△BDE 是等边三角形，∠MED＝∠EDC＝120°，得 出 BD＝BE＝DE，∠NCD＝∠MED，∠EDM+∠CDM＝120°，证明∠CDN＝∠EDM，由 D 是 BC 边的中点得出 DE＝BD＝CD，由 ASA 证得△CDN≌△EDM 得出 CN＝EM，即可得出结果． 【解答】解：（1）结论 BM+CN＝BD 成立，理由如下： 如图②，过点 D 作 DE∥AC 交 AB 于 E， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∵DE∥AC， ∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°， ∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°， ∴△BDE 是等边三角形，∠EDC＝120°， ∴BD＝BE＝DE，∠EDN+∠CDN＝120°， ∵∠EDM+∠EDN＝∠MDN＝120°， ∴∠CDN＝∠EDM， ∵D 是 BC 边的中点， ∴DE＝BD＝CD， 在△CDN 和△EDM 中， ， ∴△CDN≌△EDM（ASA）， ∴CN＝EM， ∴BD＝BE＝BM+EM＝BM+CN； （2）上述结论不成立，BM，CN，BD 之间的数量关系为：BM﹣CN＝BD；理由如下： 如图③，过点 D 作 DE∥AC 交 AB 于 E， ∵△ABC 是等边三角形， ∴∠A＝∠B＝∠C＝60°， ∴∠NCD＝120°， ∵DE∥AC， ∴∠BED＝∠A＝60°，∠BDE＝∠C＝60°， ∴∠B＝∠BED＝∠BDE＝60°， ∴△BDE 是等边三角形，∠MED＝∠EDC＝120°， ∴BD＝BE＝DE，∠NCD＝∠MED，∠EDM+∠CDM＝120°， ∵∠CDN+∠CDM＝∠MDN＝120°， ∴∠CDN＝∠EDM， ∵D 是 BC 边的中点， ∴DE＝BD＝CD， 在△CDN 和△EDM 中， ， ∴△CDN≌△EDM（ASA）， ∴CN＝EM， ∴BD＝BE＝BM﹣EM＝BM﹣CN， ∴BM﹣CN＝BD． 26．如图 1，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2+bx+3（a≠0）与 x 轴分别交于 A（﹣3， 0），B 两点，与 y 轴交于点 C，抛物线的顶点 E（﹣1，4），对称轴交 x 轴于点 F． （1）请直接写出这条抛物线和直线 AE、直线 AC 的解析式； （2）连接 AC、AE、CE，判断△ACE 的形状，并说明理由； （3）如图 2，点 D 是抛物线上一动点，它的横坐标为 m，且﹣3＜m＜﹣1，过点 D 作 DK ⊥x 轴于点 K，DK 分别交线段 AE、AC 于点 G、H．在点 D 的运动过程中， ①DG、GH、HK 这三条线段能否相等？若相等，请求出点 D 的坐标；若不相等，请说明理 由； ②在①的条件下，判断 CG 与 AE 的数量关系，并直接写出结论． 【分析】（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）2+4＝a（x2+2x+1）+4，即可求解； （2）则 AC2＝18，CE2＝2，AE2＝20，即可求解； （3）设出点 D、G、H 的坐标，求出：DG＝﹣x2﹣2x+3﹣2x﹣6＝﹣x2﹣4x﹣3；HK＝x+3； GH＝2x+6﹣x﹣3＝x+3，即可求解； 【解答】解：（1）抛物线的表达式为：y＝a（x+1）2+4＝a（x2+2x+1）+4， 故 a+4＝3，解得：a＝﹣1， 故抛物线的表达式为：y＝﹣x2﹣2x+3； 将点 A、E 的坐标代入一次函数表达式并解得： 直线 AE 的表达式为：y＝2x+6； 同理可得：直线 AC 的表达式为：y＝x+3； （2）点 A、C、E 的坐标分别为：（﹣3，0）、（0，3）、（﹣1，4）， 则 AC2＝18，CE2＝2，AE2＝20， 故 AC2+CE2＝AE2，则△ACE 为直角三角形； （3）①设点 D、G、H 的坐标分别为：（x，﹣x2﹣2x+3）、（x，2x+6）、（x，x+3）， DG＝﹣x2﹣2x+3﹣2x﹣6＝﹣x2﹣4x﹣3；HK＝x+3；GH＝2x+6﹣x﹣3＝x+3； 当 DG＝HK 时，﹣x2﹣4x﹣3＝x+3，解得：x＝﹣2 或﹣3（舍去﹣3），故 x＝﹣2， 当 x＝﹣2 时，DG＝HK＝GH＝1， 故 DG、GH、HK 这三条线段相等时，点 D 的坐标为：（﹣2，3）； ②CG＝ ＝ ；AE＝ ＝2 ， 故 AE＝2CG． 人教版九年级（上）期末数学试卷（三） 一．选择题（共 14 小题） 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 2．抛掷一枚质地均匀的立方体骰子一次，骰子的六个面上分别标有数字 1，2，3，4，5，6， 则朝上一面的数字为 2 的概率是（ ） A． B． C． D． 3．已知反比例函数 y＝ 的图象经过点（2，﹣2），则 k 的值为（ ） A．4 B．﹣ C．﹣4 D．﹣2 4．如图，AB 与⊙O 相切于点 A，BO 与⊙O 相交于点 C，点 D 是优弧 AC 上一点，∠CDA＝27 °，则∠B 的大小是（ ） A．27° B．34° C．36° D．54° 5．若抛物线 y＝﹣x2+bx+c 经过点（﹣2，3），则 2c﹣4b﹣9 的值是（ ） A．5 B．﹣1 C．4 D．18 6．函数 y＝ax2+bx+c 的图象如图所示，关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c﹣4＝0 的根的情况 是（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个异号的实数根 7．如图，将△ABC 绕点 B 顺时针旋转 60°得△DBE，点 C 的对应点 E 恰好落在 AB 延长线上， 连接 AD．下列结论一定正确的是（ ） A．∠ABD＝∠E B．∠CBE＝∠C C．AD∥BC D．AD＝BC 8．用圆心角为 120°，半径为 6cm 的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示），则这 个纸帽的高是（ ） A． cm B．3 cm C．4 cm D．4cm 9．若关于 x 的一元二次方程 kx2﹣2x﹣1＝0 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围 是（ ） A．k＞﹣1 B．k＜1 且 k≠0 C．k≥﹣1 且 k≠0 D．k＞﹣1 且 k≠0 10．如图，O 为原点，点 A 的坐标为（3，0），点 B 的坐标为（0，4），⊙D 过 A、B、O 三点， 点 C 为 上一点（不与 O、A 两点重合），则 cosC 的值为（ ） A． B． C． D． 11．如图，Rt△OAB 的顶点 A（﹣2，4）在抛物线 y＝ax2 上，将 Rt△OAB 绕点 O 顺时针旋转 90°，得到△OCD，边 CD 与该抛物线交于点 P，则点 P 的坐标为（ ） A．（ ， ） B．（2，2） C．（ ，2） D．（2， ） 12．如图，已知“人字梯”的 5 个踩档把梯子等分成 6 份，从上往下的第二个踩档与第三 个踩档的正中间处有一条 60cm 长的绑绳 EF，tanα＝ ，则“人字梯”的顶端离地面的 高度 AD 是（ ） A．144cm B．180cm C．240cm D．360cm 13．抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）如图所示，下列结论：①abc＜0；②点（﹣3，y1），（1， y2）都在抛物线上，则有 y1＞y2；③b2＞（a+c）2；④2a﹣b＜0．正确的结论有（ ） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 14．如图，已知直线 y＝ x 与双曲线 y＝ （k＞0）交于 A、B 两点，A 点的横坐标为 3， 则下列结论：①k＝6；②A 点与 B 点关于原点 O 中心对称；③关于 x 的不等式 ＜0 的解集为 x＜﹣3 或 0＜x＜3；④若双曲线 y＝ （k＞0）上有一点 C 的纵坐标为 6，则 △AOC 的面积为 8，其中正确结论的个数（ ） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 二．填空题（共 5 小题） 15．已知反比例函数 的图象的一支位于第一象限，则常数 m 的取值范围是 ． 16．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，若∠CDB＝30°，⊙O 的半径为 5cm 则圆心 O 到弦 CD 的距离为 ． 17．如图，在△ABC 中，D 为 AC 边上一点，且∠DBA＝∠C，若 AD＝2cm，AB＝4cm，那么 CD 的长等于 cm． 18．如图，点 A 在双曲线 y＝ 上，点 B 在双曲线 y＝ （k≠0）上，AB∥x 轴，分别过点 A， B 向 x 轴作垂线，垂足分别为 D，C，若矩形 ABCD 的面积是 9，则 k 的值为 ． 19．对于任意非零实数 a、b，定义运算“⊕”，使下列式子成立：1⊕2＝﹣ ，2⊕1＝ ， （﹣2）⊕5＝ ，5⊕（﹣2）＝﹣ ，…，则 a⊕b＝ ． 三．解答题（共 6 小题） 20．解答下列各题： （1）计算：2cos30°﹣tan45°﹣ ； （2）解方程：x2﹣10x+9＝0． 21．如图，一艘游轮在 A 处测得北偏东 45°的方向上有一灯塔 B．游轮以 20 海里/时的 速度向正东方向航行 2 小时到达 C 处，此时测得灯塔 B 在 C 处北偏东 15°的方向上，求 A 处与灯塔 B 相距多少海里？（结果精确到 1 海里，参考数据： ≈1.41， ≈1.73） 22．如图，一次函数 y＝kx+b 与反比例函数 y＝ 的图象交于 A（2，3），B（﹣3，n）两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）过 B 点作 BC⊥x 轴，垂足为 C，若 P 是反比例函数图象上的一点，连接 PC，PB，求 当△PCB 的面积等于 5 时点 P 的坐标． 23．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯 D 的高度．如图，当李明走 到点 A 处时，张龙测得李明直立时身高 AM 与影子长 AE 正好相等；接着李明沿 AC 方向继 续向前走，走到点 B 处时，李明直立时身高 BN 的影子恰好是线段 AB，并测得 AB＝1.25m， 已知李明直立时的身高为 1.75m，求路灯的高 CD 的长．（结果精确到 0.1m）． 24．如图，在△ABC 中，AB＝AC，以 AB 为直径作⊙O 交 BC 于点 D，过点 D 作 AC 的垂线交 AC 于点 E，交 AB 的延长线于点 F． （1）求证：DE 与⊙O 相切； （2）若 CD＝BF，AE＝3，求 DF 的长． 25．已知二次函数 y＝x2﹣2mx+m2﹣1． （1）当二次函数的图象经过坐标原点 O（0，0）时，求二次函数的解析式； （2）如图，当 m＝2 时，该抛物线与 y 轴交于点 C，顶点为 D，求 C、D 两点的坐标； （3）在（2）的条件下，x 轴上是否存在一点 P，使得 PC+PD 最短？若 P 点存在，求出 P 点的坐标；若 P 点不存在，请说明理由． 参考答案与试题解析 一．选择题（共 14 小题） 1．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解． 【解答】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； C、是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不合题意； 故选：C． 2．抛掷一枚质地均匀的立方体骰子一次，骰子的六个面上分别标有数字 1，2，3，4，5，6， 则朝上一面的数字为 2 的概率是（ ） A． B． C． D． 【分析】让朝上一面的数字是 2 的情况数除以总情况数 6 即为所求的概率． 【解答】解：∵抛掷六个面上分别刻有的 1，2，3，4，5，6 的骰子有 6 种结果，其中朝 上一面的数字为 2 的只有 1 种， ∴朝上一面的数字为 2 的概率为 ， 故选：A． 3．已知反比例函数 y＝ 的图象经过点（2，﹣2），则 k 的值为（ ） A．4 B．﹣ C．﹣4 D．﹣2 【分析】把点（2，﹣2）代入已知函数解析式，通过方程即可求得 k 的值． 【解答】解：∵反比例函数 y＝ 的图象经过点（2，﹣2）， ∴k＝xy＝2×（﹣2）＝﹣4． 故选：C． 4．如图，AB 与⊙O 相切于点 A，BO 与⊙O 相交于点 C，点 D 是优弧 AC 上一点，∠CDA＝27 °，则∠B 的大小是（ ） A．27° B．34° C．36° D．54° 【分析】由切线的性质可知∠OAB＝90°，由圆周角定理可知∠BOA＝54°，根据直角三 角形两锐角互余可知∠B＝36°． 【解答】解：∵AB 与⊙O 相切于点 A， ∴OA⊥BA． ∴∠OAB＝90°． ∵∠CDA＝27°， ∴∠BOA＝54°． ∴∠B＝90°﹣54°＝36°． 故选：C． 5．若抛物线 y＝﹣x2+bx+c 经过点（﹣2，3），则 2c﹣4b﹣9 的值是（ ） A．5 B．﹣1 C．4 D．18 【分析】把（﹣2，3）代入 y＝﹣x2+bx+c 可得﹣2b+c＝7，再将所求的式子变形，整体 代入即可求出答案 【解答】解：∵抛物线 y＝﹣x2+bx+c 经过点（﹣2，3）， ∴﹣（﹣2）2﹣2b+c＝3， 整理得，﹣2b+c＝7， ∴2c﹣4b﹣9＝2（c﹣2b）﹣9＝2×7﹣9＝5， 故选：A． 6．函数 y＝ax2+bx+c 的图象如图所示，关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c﹣4＝0 的根的情况 是（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．有两个异号的实数根 【分析】根据函数图象可知函数 y＝ax2+bx+c 的最大值是 4，从而可以得到关于 x 的一元 二次方程 ax2+bx+c﹣4＝0 的根的情况，本题得以解决． 【解答】解：由函数图象可知， 函数 y＝ax2+bx+c 的最大值是 4， 即 4＝ax2+bx+c 对应的 x 的值只有一个， 即一元二次方程 ax2+bx+c﹣4＝0 有两个相等的实数根， 故选：A． 7．如图，将△ABC 绕点 B 顺时针旋转 60°得△DBE，点 C 的对应点 E 恰好落在 AB 延长线上， 连接 AD．下列结论一定正确的是（ ） A．∠ABD＝∠E B．∠CBE＝∠C C．AD∥BC D．AD＝BC 【分析】由旋转的性质得到∠ABD＝∠CBE＝60°，AB＝BD，推出△ABD 是等边三角形， 得到∠DAB＝∠CBE，于是得到结论． 【解答】解：∵△ABC 绕点 B 顺时针旋转 60°得△DBE， ∴∠ABD＝∠CBE＝60°，AB＝BD， ∴△ABD 是等边三角形， ∴∠DAB＝60°， ∴∠DAB＝∠CBE， ∴AD∥BC， 故选：C． 8．用圆心角为 120°，半径为 6cm 的扇形纸片卷成一个圆锥形无底纸帽（如图所示），则这 个纸帽的高是（ ） A． cm B．3 cm C．4 cm D．4cm 【分析】利用扇形的弧长公式可得扇形的弧长；让扇形的弧长除以 2π即为圆锥的底面 半径，利用勾股定理可得圆锥形筒的高． 【解答】解：L＝ ＝4π（cm）； 圆锥的底面半径为 4π÷2π＝2（cm）， ∴这个圆锥形筒的高为 ＝4 （cm）． 故选：C． 9．若关于 x 的一元二次方程 kx2﹣2x﹣1＝0 有两个不相等的实数根，则实数 k 的取值范围 是（ ） A．k＞﹣1 B．k＜1 且 k≠0 C．k≥﹣1 且 k≠0 D．k＞﹣1 且 k≠0 【分析】根据方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式的值大于 0 列出不等式，且 二次项系数不为 0，即可求出 k 的范围． 【解答】解：∵一元二次方程 kx2﹣2x﹣1＝0 有两个不相等的实数根， ∴△＝b2﹣4ac＝4+4k＞0，且 k≠0， 解得：k＞﹣1 且 k≠0． 故选：D． 10．如图，O 为原点，点 A 的坐标为（3，0），点 B 的坐标为（0，4），⊙D 过 A、B、O 三点， 点 C 为 上一点（不与 O、A 两点重合），则 cosC 的值为（ ） A． B． C． D． 【分析】连接 AB，利用圆周角定理得∠C＝∠ABO，将问题转化到 Rt△ABO 中，利用锐角 三角函数定义求解． 【解答】解：如图，连接 AB， ∵∠AOB＝90°，∴AB 为圆的直径， 由圆周角定理，得∠C＝∠ABO， 在 Rt△ABO 中，OA＝3，OB＝4，由勾股定理，得 AB＝5， ∴cosC＝cos∠ABO＝ ＝ ． 故选：D． 11．如图，Rt△OAB 的顶点 A（﹣2，4）在抛物线 y＝ax2 上，将 Rt△OAB 绕点 O 顺时针旋转 90°，得到△OCD，边 CD 与该抛物线交于点 P，则点 P 的坐标为（ ） A．（ ， ） B．（2，2） C．（ ，2） D．（2， ） 【分析】首先根据点 A 在抛物线 y＝ax2 上求得抛物线的解析式和线段 OB 的长，从而求 得点 D 的坐标，根据点 P 的纵坐标和点 D 的纵坐标相等得到点 P 的坐标即可； 【解答】解：∵Rt△OAB 的顶点 A（﹣2，4）在抛物线 y＝ax2 上， ∴4＝a×（﹣2）2， 解得：a＝1 ∴解析式为 y＝x2， ∵Rt△OAB 的顶点 A（﹣2，4）， ∴OB＝OD＝2， ∵Rt△OAB 绕点 O 顺时针旋转 90°，得到△OCD， ∴CD∥x 轴， ∴点 D 和点 P 的纵坐标均为 2， ∴令 y＝2，得 2＝x2， 解得：x＝± ， ∵点 P 在第一象限， ∴点 P 的坐标为：（ ，2） 故选：C． 12．如图，已知“人字梯”的 5 个踩档把梯子等分成 6 份，从上往下的第二个踩档与第三 个踩档的正中间处有一条 60cm 长的绑绳 EF，tanα＝ ，则“人字梯”的顶端离地面的 高度 AD 是（ ） A．144cm B．180cm C．240cm D．360cm 【分析】根据题意可知：△AEO∽△ABD，从而可求得 BD 的长，然后根据锐角三角函数的 定义可求得 AD 的长． 【解答】解：如图： 根据题意可知：△AFO∽△ACD，OF＝ EF＝30cm ∴ ， ∴ ∴CD＝72cm， ∵tanα＝ ∴ ∴AD＝ ＝180cm． 故选：B． 13．抛物线 y＝ax2+bx+c（a≠0）如图所示，下列结论：①abc＜0；②点（﹣3，y1），（1， y2）都在抛物线上，则有 y1＞y2；③b2＞（a+c）2；④2a﹣b＜0．正确的结论有（ ） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 【分析】利用抛物线开口方向得到 a＞0，利用抛物线的对称轴在 y 轴的左侧得到 b＞0， 利用抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方得到 c＜0，则可对①进行判断；通过对称轴的位置， 比较点（﹣3，y1）和点（1，y2）到对称轴的距离的大小可对②进行判断；由于（a+c）2 ﹣b2＝（a+c﹣b）（a+c+b），而 x＝1 时，a+b+c＞0；x＝﹣1 时，a﹣b+c＜0，则可对③进 行判断；利用﹣1＜﹣ ＜0 和不等式的性质可对④进行判断． 【解答】解：∵抛物线开口向上， ∴a＞0， ∵抛物线的对称轴在 y 轴的左侧， ∴a、b 同号， ∴b＞0， ∵抛物线与 y 轴的交点在 x 轴下方， ∴c＜0， ∴abc＜0，所以①正确； ∵抛物线的对称轴为直线 x＝﹣ ， 而﹣1＜﹣ ＜0， ∴点（﹣3，y1）到对称轴的距离比点（1，y2）到对称轴的距离大， ∴y1＞y2，所以，②正确； ∵x＝1 时，y＞0，即 a+b+c＞0， x＝﹣1 时，y＜0，即 a﹣b+c＜0， ∴（a+c）2﹣b2＝（a+c﹣b）（a+c+b）＜0， ∴b2＞（a+c）2，所以③正确； ∵﹣1＜﹣ ＜0， ∴﹣2a＜﹣b， ∴2a﹣b＞0，所以④错误． 故选：B． 14．如图，已知直线 y＝ x 与双曲线 y＝ （k＞0）交于 A、B 两点，A 点的横坐标为 3， 则下列结论：①k＝6；②A 点与 B 点关于原点 O 中心对称；③关于 x 的不等式 ＜0 的解集为 x＜﹣3 或 0＜x＜3；④若双曲线 y＝ （k＞0）上有一点 C 的纵坐标为 6，则 △AOC 的面积为 8，其中正确结论的个数（ ） A．4 个 B．3 个 C．2 个 D．1 个 【分析】①由 A 点横坐标为 3，代入正比例函数，可求得点 A 的坐标，继而求得 k 值； ②根据直线和双曲线的性质即可判断； ③结合图象，即可求得关于 x 的不等式 ＜0 的解集； ④过点 C 作 CD⊥x 轴于点 D，过点 A 作 AE⊥轴于点 E，可得 S△AOC＝S△OCD+S 梯形 AEDC﹣S△AOE ＝S 梯形 AEDC，由点 C 的纵坐标为 6，可求得点 C 的坐标，继而求得答案． 【解答】解：①∵直线 y＝ x 与双曲线 y＝ （k＞0）交于 A、B 两点，A 点的横坐标为 3， ∴点 A 的纵坐标为：y＝ ×3＝2， ∴点 A（3，2）， ∴k＝3×2＝6，故①正确； ②∵直线 y＝ x 与双曲线 y＝ （k＞0）是中心对称图形， ∴A 点与 B 点关于原点 O 中心对称，故②正确； ③∵直线 y＝ x 与双曲线 y＝ （k＞0）交于 A、B 两点， ∴B（﹣3，﹣2）， ∴关于 x 的不等式 ＜0 的解集为：x＜﹣3 或 0＜x＜3，故③正确； ④过点 C 作 CD⊥x 轴于点 D，过点 A 作 AE⊥x 轴于点 E， ∵点 C 的纵坐标为 6， ∴把 y＝6 代入 y＝ 得：x＝1， ∴点 C（1，6）， ∴S△AOC＝S△OCD+S 梯形 AEDC﹣S△AOE＝S 梯形 AEDC＝ ×（2+6）×（3﹣1）＝8，故④正确； 故选：A． 二．填空题（共 5 小题） 15．已知反比例函数 的图象的一支位于第一象限，则常数 m 的取值范围是 m＞1 ． 【分析】根据反比例函数的图象关于原点对称可得到图象的另一分支所在的象限及 m 的 取值范围． 【解答】解：∵反比例函数的图象关于原点对称，图象一支位于第一象限， ∴图象的另一分支位于第三象限； ∴m﹣1＞0， ∴m＞1； 故答案为：m＞1． 16．如图，AB 是⊙O 的直径，弦 CD⊥AB 于点 E，若∠CDB＝30°，⊙O 的半径为 5cm 则圆心 O 到弦 CD 的距离为 2.5cm ． 【分析】根据圆周角定理得到∠COB＝2∠CDB＝60°，然后根据含 30 度的直角三角形三 边的关系求出 OE 即可． 【解答】解：∵CD⊥AB， ∴∠OEC＝90°， ∵∠COB＝2∠CDB＝2×30°＝60°， ∴OE＝ OC＝ ×5＝2.5， 即圆心 O 到弦 CD 的距离为 2.5cm． 故答案为 2.5cm． 17．如图，在△ABC 中，D 为 AC 边上一点，且∠DBA＝∠C，若 AD＝2cm，AB＝4cm，那么 CD 的长等于 6 cm． 【分析】由条件可证得△ABC∽△ADB，可得到 ＝ ，从而可求得 AC 的长，最后计算 CD 的长． 【解答】解：∵∠DBA＝∠C，∠A 是公共角， ∴△ABC∽△ADB， ∴ ＝ ，即 ＝ ， 解得 AC＝8， ∴CD＝8﹣2＝6cm． 故答案为：6． 18．如图，点 A 在双曲线 y＝ 上，点 B 在双曲线 y＝ （k≠0）上，AB∥x 轴，分别过点 A， B 向 x 轴作垂线，垂足分别为 D，C，若矩形 ABCD 的面积是 9，则 k 的值为 13 ． 【分析】首先得出矩形 EODA 的面积为：4，利用矩形 ABCD 的面积是 9，则矩形 EOCB 的 面积为：4+9＝13，再利用 xy＝k 求出即可． 【解答】解：过点 A 作 AE⊥y 轴于点 E， ∵点 A 在双曲线 y＝ 上， ∴矩形 EODA 的面积为：4， ∵矩形 ABCD 的面积是 9， ∴矩形 EOCB 的面积为：4+9＝13， 则 k 的值为：xy＝k＝13． 故答案为 13． 19．对于任意非零实数 a、b，定义运算“⊕”，使下列式子成立：1⊕2＝﹣ ，2⊕1＝ ， （﹣2）⊕5＝ ，5⊕（﹣2）＝﹣ ，…，则 a⊕b＝ ． 【分析】根据已知数字等式得出变化规律，即可得出答案． 【解答】解：∵1⊕2＝﹣ ＝ ，2⊕1＝ ＝ ，（﹣2）⊕5＝ ＝ ，5⊕（﹣2）＝﹣ ＝ ，…， ∴a⊕b＝ ． 故答案为： ． 三．解答题（共 6 小题） 20．解答下列各题： （1）计算：2cos30°﹣tan45°﹣ ； （2）解方程：x2﹣10x+9＝0． 【分析】（1）利用特殊角的三角函数值得到原式＝2× ﹣1﹣（ ﹣1），然后进行二 次根式的混合运算； （2）利用因式分解法解方程． 【解答】解：（1）解：原式＝2× ﹣1﹣（ ﹣1） ＝ ﹣1﹣ +1 ＝0； （2）解：（x﹣1）（x﹣9）＝0， x﹣1＝0 或 x﹣9＝0， 所以 x1＝1，x2＝9． 21．如图，一艘游轮在 A 处测得北偏东 45°的方向上有一灯塔 B．游轮以 20 海里/时的 速度向正东方向航行 2 小时到达 C 处，此时测得灯塔 B 在 C 处北偏东 15°的方向上，求 A 处与灯塔 B 相距多少海里？（结果精确到 1 海里，参考数据： ≈1.41， ≈1.73） 【分析】直接过点 C 作 CM⊥AB 求出 AM，CM 的长，再利用锐角三角三角函数关系得出 BM 的长即可得出答案． 【解答】解：过点 C 作 CM⊥AB，垂足为 M， 在 Rt△ACM 中，∠MAC＝90°﹣45°＝45°，则∠MCA＝45°， ∴AM＝MC， 由勾股定理得：AM2+MC2＝AC2＝（20 ×2）2， 解得：AM＝CM＝40， ∵∠ECB＝15°， ∴∠BCF＝90°﹣15°＝75°， ∴∠B＝∠BCF﹣∠MAC＝75°﹣45°＝30°， 在 Rt△BCM 中，tanB＝tan30°＝ ，即 ＝ ， ∴BM＝40 ， ∴AB＝AM+BM＝40+40 ≈40+40×1.73≈109（海里）， 答：A 处与灯塔 B 相距 109 海里． 22．如图，一次函数 y＝kx+b 与反比例函数 y＝ 的图象交于 A（2，3），B（﹣3，n）两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）过 B 点作 BC⊥x 轴，垂足为 C，若 P 是反比例函数图象上的一点，连接 PC，PB，求 当△PCB 的面积等于 5 时点 P 的坐标． 【分析】（1）将 A 坐标代入反比例函数解析式中求出 m 的值，即可确定出反比例函数解 析式； （2）由 B 点（﹣3，n）在反比例函数 y＝ 的图象上，于是得到 B（﹣3，﹣2），求得 BC＝2，设△PBC 在 BC 边上的高为 h，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论． 【解答】解：（1）∵反比例函数 y＝ 的图象经过点 A（2，3）， ∴m＝6． ∴反比例函数的解析式是 y＝ ； （2）∵B 点（﹣3，n）在反比例函数 y＝ 的图象上， ∴n＝﹣2， ∴B（﹣3，﹣2）， ∴BC＝2，设△PBC 在 BC 边上的高为 h， 则 BC•h＝5， ∴h＝5， ∵P 是反比例函数图象上的一点， ∴点 P 的横坐标为：﹣8 或 2， ∴点 P 的坐标为（﹣8，﹣ ），（2，3）． 23．一天晚上，李明和张龙利用灯光下的影子长来测量一路灯 D 的高度．如图，当李明走 到点 A 处时，张龙测得李明直立时身高 AM 与影子长 AE 正好相等；接着李明沿 AC 方向继 续向前走，走到点 B 处时，李明直立时身高 BN 的影子恰好是线段 AB，并测得 AB＝1.25m， 已知李明直立时的身高为 1.75m，求路灯的高 CD 的长．（结果精确到 0.1m）． 【分析】根据 AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA＝MA 得到 MA∥CD∥BN，从而得到△ABN∽△ ACD，利用相似三角形对应边的比相等列出比例式求解即可． 【解答】解：设 CD 长为 x 米， ∵AM⊥EC，CD⊥EC，BN⊥EC，EA＝MA， ∴MA∥CD∥BN， ∴EC＝CD＝x 米， ∴△ABN∽△ACD， ∴ ＝ ，即 ＝ ， 解得：x＝6.125≈6.1． 经检验，x＝6.125 是原方程的解， ∴路灯高 CD 约为 6.1 米 24．如图，在△ABC 中，AB＝AC，以 AB 为直径作⊙O 交 BC 于点 D，过点 D 作 AC 的垂线交 AC 于点 E，交 AB 的延长线于点 F． （1）求证：DE 与⊙O 相切； （2）若 CD＝BF，AE＝3，求 DF 的长． 【分析】（1）连接 OD，求出 AC∥OD，求出 OD⊥DE，根据切线的判定得出即可； （2）求出∠1＝∠2＝∠F＝30°，求出 AD＝DF，解直角三角形求出 AD，即可求出答案． 【解答】（1）证明：连接 OD， ∵AB 是⊙O 的直径， ∴∠ADB＝90°， ∴AD⊥BC， 又∵AB＝AC， ∴∠1＝∠2， ∵OA＝OD， ∴∠2＝∠ADO， ∴∠1＝∠ADO， ∴OD∥AC， ∵DE⊥AC， ∴∠ODF＝∠AED＝90°， ∴OD⊥ED， ∵OD 过 0， ∴DE 与⊙O 相切； （2）解：∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠1＝∠2，CD＝BD， ∵CD＝BF， ∴BF＝BD， ∴∠3＝∠F， ∴∠4＝∠3+∠F＝2∠3， ∵OB＝OD， ∴∠ODB＝∠4＝2∠3， ∵∠ODF＝90°， ∴∠3＝∠F＝30°，∠4＝∠ODB＝60°， ∵∠ADB＝90°， ∴∠2＝∠1＝30°， ∴∠2＝∠F， ∴DF＝AD， ∵∠1＝30°，∠AED＝90°， ∴AD＝2ED， ∵AE2+DE2＝AD2，AE＝3， ∴AD＝2 ， ∴DF＝2 ． 25．已知二次函数 y＝x2﹣2mx+m2﹣1． （1）当二次函数的图象经过坐标原点 O（0，0）时，求二次函数的解析式； （2）如图，当 m＝2 时，该抛物线与 y 轴交于点 C，顶点为 D，求 C、D 两点的坐标； （3）在（2）的条件下，x 轴上是否存在一点 P，使得 PC+PD 最短？若 P 点存在，求出 P 点的坐标；若 P 点不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据二次函数的图象经过坐标原点 O（0，0），直接代入求出 m 的值即可； （2）根据 m＝2，代入求出二次函数解析式，进而利用配方法求出顶点坐标以及图象与 y 轴交点即可； （3）根据当 P、C、D 共线时 PC+PD 最短，利用平行线分线段成比例定理得出 PO 的长即 可得出答案． 【解答】解：（1）∵二次函数的图象经过坐标原点 O（0，0）， ∴代入二次函数 y＝x2﹣2mx+m2﹣1，得出：m2﹣1＝0， 解得：m＝±1， ∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x 或 y＝x2+2x； （2）∵m＝2， ∴二次函数 y＝x2﹣2mx+m2﹣1 得：y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1， ∴抛物线的顶点为：D（2，﹣1）， 当 x＝0 时，y＝3， ∴C 点坐标为：（0，3）， ∴C（0，3）、D（2，﹣1）； （3）当 P、C、D 共线时 PC+PD 最短， 过点 D 作 DE⊥y 轴于点 E， ∵PO∥DE， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， 解得：PO＝ ， ∴PC+PD 最短时，P 点的坐标为：P（ ，0）． 人教版九年级（上）期末数学试卷（四） 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 总分 得分 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分.每小题都给出 A、B、C、D 四个选项，其中只有一个是正确的，请把你认为正确的 答案写在题后的答题卡中） 1．下列图形中，绕某个点旋转 72°后能与自身重合的是（ ） A． B． C． D． 2．下列成语所描述的事件是必然事件的是（ ） A．守株待兔 B．瓮中捉鳖 C．拔苗助长 D．水中捞月 3．如果（m+2）x|m|+mx－1＝0 是关于x 的一元二次方程，那么 m 的值为（ ） A．2 或－2 B．2 C．－2 D．0 4．如图，A、B、C 是⊙O 上的三点，已知∠O＝50°， 则∠C 的大小是（ ） A．50° B．45° C．30° D．25° 得 分 评卷人 （第 4 题图） 5．反比例函数 ( 0)ky kx   的图象经过点( 2,6) ，若点(3, )n 在反比例函数的图象上，则n 等于( ) A． 4 B． 9 C．4 D．9 6．圆锥的母线长为 4，底面半径为 2，则它的侧面积为（ ） A．4π B．6π C．8π D．16π 7．抛物线 y＝－x2+3x－5 与坐标轴的交点的个数是（ ） A．0 个 B．1 个 C．2 个 D．3 个 8．学校要种植一块面积为 200m2 的长方形草坪，要求长方形两邻边 x，y 长均不小于 10 m， 则草 坪的一边长 y（单位：m）随另一边长 x（单位：m）的变化而变化的图象可能是 ( ) A． B． C． D． 9．若 x1 是方程 2 2 0ax x c   （a≠0）的一个根，设  2 1 1p ax  ， 1.5q ac  ，则 p 与 q 的大 小关系为（ ） A．p＜q B．p＝q C．p＞q D．不能确定 10．如图是二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题： ①a+b+c＝0；②b＞2a；③方程 ax2+bx+c＝0 的两根分别为－3 和 1； ④a－2b+c≥0，其中正确的命题是（ ） A．①②③ B．①④ C．①③ D．①③④ 选 择 题 答 题 卡 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 11．已知点 P1（a，3）与 P2（－4，b）关于原点对称，则 ab＝ ． 12．用反证法证明命题“若⊙O 的半径为 r，点 P 到圆心的距离为 d， 且 d＞r，则点 P 在⊙O 的外部”，首先应假设 P 在 ． 得 分 评卷人 （第 10 题图） 13．如图， OAB 的顶点 A 在双曲线 8 ( 0)y xx   上，顶点 B 在 双曲线 6 ( 0)y xx    上， AB 中点 P 恰好落在 y 轴上，则 OAB 的面积为 ． 14．如图，⊙M 的半径为 4，圆心 M 的坐标为（6，8），点 P 是 ⊙M 上的任意一点，PA⊥PB，且 PA、PB 与 x 轴分别交于 A、B 两点，若点 A、点 B 关于原点 O 对称，则 AB 的最小值 为 ． 三、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分） 15．解方程：4x2+8x+3＝0． 16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点都在格点上（每个小方格都是边长为 一个单 位长度的正方形）． （1）请画出△ABC 关于原点对称的△A1B1C1； （2）请画出△ABC 绕点 B 逆时针旋转 90°后的△A2B2C2． 四、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分） 17．已知反比例函数 3ky x  ， (k 为常数， 3)k  ． （1）若点 (2,3)A 在这个函数的图象上，求 k 的值； （2）若在这个函数图象的每一分支上， y 随 x 的增大而增大，求 k 的取值范围． 得 分 评卷人 得 分 评卷人 （第 13 题图） （第 14 题图） （第 16 题图） 18．如图，点 C 在以 AB 为直径的半圆⊙O 上，AC＝BC．以 B 为圆心，以 BC 的长为半径 画圆弧 交 AB 于点 D． （1）求∠ABC 的度数； （2）若 AB＝4，求阴影部分的面积． 五、（本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分） 19．有 4 瓶矿泉水，其中 1 瓶过了保质期，现从中随机抽取饮用，抽取任意一瓶都是等可能 的． （1）若丁丁随机抽取 1 瓶，正好抽到过期的一瓶的概率是 ； （2）若丁丁随机抽取 2 瓶，请用画树状图或列表法求抽出的 2 瓶矿泉水中恰好抽到过 期矿 泉水的概率． 得 分 评卷人 （第 18 题图） 20.今年下半年以来，猪肉价格不断上涨，主要是由非洲猪瘟疫情导致．非洲猪瘟疫情发病 急， 蔓延速度快．某养猪场第一天发现 3 头生猪发病，两天后发现共有 192 头生猪发病． （1）求每头发病生猪平均每天传染多少头生猪？ （2）若疫情得不到有效控制，按照这样的传染速度，3 天后生猪发病头数会超过 1500 头吗？ 六、（本题满分12分） 21．如图，AB 是⊙O 的直径，BD 是⊙O 的弦，延长 BD 到点 C，使 DC＝BD，连接 AC，E 为 AC 上一点，直线 ED 与 AB 延长线交于点 F，若∠CDE＝∠DAC，AC＝12． （1）求⊙O 半径； （2）求证：DE 为⊙O 的切线； 七、（本题满分 12 分） 得 分 评卷人 得 分 评卷人 （第 21 题图） 22．装潢公司要给边长为 6 米的正方形墙面 ABCD 进行装潢，设计图案如图所示（四周是 四个全等的矩形，用材料甲进行装潢；中心区是正方形 MNPQ，用材料乙进行装潢）．两种 装潢材料的成本如下表： 材料 甲 乙 价格（元/米 2） 50 40 设矩形的较短边 AH 的长为 x 米，装潢材料的总费用为 y 元． （1）MQ 的长为 米（用含 x 的代数式表示）； （2）求 y 关于 x 的函数解析式； （3）当中心区的边长不小于 2 米时，预备资金 1760 元购买材料一定够用吗？请说明理 由． 八、（本题满分14分） 23．某数学兴趣小组根据学习函数的经验，对分段函数 2 2 3( 1) 1( 1) y ax bx x x x        的图象与性质 进行 了探究，请补充完整以下的探究过程． x … －2 －1 0 1 2 3 4 … y … 3 0 －1 0 1 0 －3 … （1）填空：a＝ ．b＝ ． （2）①根据上述表格数据补全函数图象； ②该函数图象是轴对称图形还是中心对称图形？ 得 分 评卷人 （第 22 题图） （3）若直线 1 2y x t  与该函数图象有三个交点，求 t 的取值范围． 九年级数学参考答案及评分标准 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B B D A C B D A C 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分） 11．﹣12 12．⊙O 上或⊙O 内（注：答对一种情况给 3 分，答错不给分.） 13．7 14．12 三、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分） 15．解：∵4x2+8x+3＝0， ∴   2 3 2 1 0x x   ， ∴ 1 2 3 1,2 2x x    ．………………8 分 16．解：（1）如图，△A1B1C1 为所作；………………4 分 （2）如图，△A2B2C2 为所作．………………8 分 四、（本大题共 2 小题，每小题 8 分，满分 16 分） 17．解：（1）∵点 (2,3)A 在这个函数的图象上， 3 2 3k    ，解得 9k  ；……4 分 （2）∵在函数 3ky x  图象的每一支上， y 随 x 的增大而增大， 3 0k   ，得 3k  ．………………8 分 18．解：（1）∵AB 为半圆⊙O 的直径，∴∠ACB＝90°，∵AC＝BC，∴∠ABC＝45°；……4 分 （第 23 题图） （2）∵AB＝4，∴阴影部分的面积=  2 45 2 21 4 2 42 360          ．…………8 分 五、（本大题共 2 小题，每小题 10 分，满分 20 分） 19．解：（1）丁丁任意抽取 1 瓶，抽到过期的一瓶的概率是 1 4 ；………………4 分 （2）设这四瓶矿泉水分别记为 A、B、C、D，其中过期的一瓶记为 A，画树状图如图 所示： 由图可知，共有 12 种等可能结果，抽出的 2 瓶矿泉水中恰好抽到过期矿泉水的有 6 种 结果，∴抽出的 2 瓶矿泉水中恰好抽到过期矿泉水的概率为 6 1 12 2  ．………………10 分 20.解：（1）设每头发病生猪平均每天传染 x 头生猪，依题意，得 23(1 ) 192x  ， 解得： 1 7x  ， 2 9x   （不合题意，舍去）． 答：每头发病生猪平均每天传染 7 头生猪．………………6 分 （2）192 (1 7) 1536   （头 ) ，1536 1500 ． 答：若疫情得不到有效控制，3 天后生猪发病头数会超过 1500 头．………………10 分 六、（本题满分12分） 21．解：（1）∵AB 为⊙O 的直径，∴∠ADB＝90°，∴AD⊥BC，又∵BD＝CD，∴AB ＝AC＝12，∴⊙O 半径为 6；………………5 分 （2）证明：连接 OD， ∵∠CDE＝∠DAC，∴∠CDE+∠C＝∠DAC+∠C，∴∠AED＝∠ADB， 由（1）知∠ADB＝90°，∴∠AED＝90°，∵DC＝BD，OA＝OB，∴OD∥AC． ∴∠ODF＝∠AED＝90°，∴半径 OD⊥EF．∴DE 为⊙O 的切线．………………12 分 七、（本题满分 12 分） 22．解：（1）（6﹣2x）．………………2 分 （2）根据题意，得 AH＝x，AE＝6﹣x， S 甲＝4S 长方形 AENH＝4x（6﹣x）＝24x﹣4x2， S 乙＝S 正方形 MNQP＝（6﹣2x）2＝36﹣24x+4x2． ∴ y＝50（24x﹣4x2）+40（36﹣24x+4x2）＝﹣40x2+240x+1440． 答：y 关于 x 的函数解析式为 y＝﹣40x2+240x+1440．………………6 分 （3）预备资金 1760 元购买材料一定够用．理由如下： ∵y＝﹣40x2+240x+1440＝﹣40（x－3）2+1800， 由﹣40＜0，可知抛物线开口向下，在对称轴的左侧，y 随 x 的增大而增大． 由 x－3=0 可知，抛物线的对称轴为直线 x=3． ∴ 当 x＜3 时，y 随 x 的增大而增大． ∵ 中心区的边长不小于 2 米，即 6﹣2x≥2，解得 x≤2，又 x＞0，∴0＜x≤2． 当 x=2 时，y＝﹣40（x－3）2+1800=﹣40（2－3）2+1800=1760， ∴ 当 0＜x≤2 时，y≤1760． ∴ 预备资金 1760 元购买材料一定够用． 答：预备资金 1760 元购买材料一定够用．………………12 分 八、（本题满分14分） 23．解：（1）把（1，0），（2，1）代入 y＝ax2+bx﹣3 得到 3 0 4 2 3 1 a b a b        ， 解得 1 4 a b     ，故答案为﹣1，4．………………4 分 （2）①函数图象如图所示；………………8 分 ②该函数图象是中心对称图形．………………10 分 （3）由 2 1 2 1 y x t y x       ，消去 y 得到 2x2﹣x﹣2﹣2t＝0，当△＝0 时，1+16+16t＝0， 17 16t   ， 由 2 1 2 4 3 y x t y x x         消去 y 得到 2x2﹣7x+2t+6＝0，当△＝0 时，49﹣16t﹣48＝0， 1 16t  ， 观察图象可知：当 17 1 16 16t   时，直线 1 2y x t  与该函数图象有三个交点．………14 分 人教版九年级（上）期末数学试卷（五） 一．选择题（共 8 小题） 1．如果温度上升 2℃记作+2℃，那么温度下降 3℃记作（ ） A．+2℃ B．﹣2℃ C．+3℃ D．﹣3℃ 2．举世瞩目的港珠澳大桥于 2018 年 10 月 24 日正式开通营运，它是迄今为止世界上最长 的跨海大桥，全长约 55000 米．55000 这个数用科学记数法可表示为（ ） A．5.5×103 B．55×103 C．0.55×105 D．5.5×104 3．如图是由 6 个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体（ ） A．主视图改变，左视图改变 B．俯视图不变，左视图不变 C．俯视图改变，左视图改变 D．主视图改变，左视图不变 4．为了调查某小区居民的用水情况，随机抽查了 10 户家庭的月用水量，结果如表，则关 于这 10 户家庭的月用水量，下列说法错误的是（ ） 月用电量 4 5 6 9 总数 3 4 2 1 A．中位数是 5 吨 B．众数是 5 吨 C．极差是 3 吨 D．平均数是 5.3 吨 5．如图，AB 为⊙O 的直径，C、D 是⊙O 上的两点，∠CDB＝25°，过点 C 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 E，则∠E 的度数为（ ） A．40° B．50° C．55° D．60° 6．若 A（﹣3，y1）， ，C（2，y3）在二次函数 y＝x2+2x+c 的图象上，则 y1，y2， y3 的大小关系是（ ） A．y2＜y1＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1 7．如投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容． 则回答正确的是（ ） A．◎代表∠FEC B．@代表同位角 C．▲代表∠EFC D．※代表 AB 8．如图，在平而直角坐标系中，一次函数 y＝﹣4x+4 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两 点．正方形 ABCD 的项点 C、D 在第一象限，顶点 D 在反比例函数 y＝ （k≠0）的图象 上．若正方形 ABCD 向左平移 n 个单位后，顶点 C 恰好落在反比例函数的图象上，则 n 的值是（ ） A．2 B．3 C．4． D．5 二．填空题（共 6 小题） 9．因式分解：4a3b3﹣ab＝ ． 10． ﹣ ＝ ． 11．已知扇形的面积为 4π，半径为 6，则此扇形的圆心角为 度． 12．如图，某海防哨所 O 发现在它的西北方向，距离哨所 400 米的 A 处有一艘船向正东方 向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东 60°方向的 B 处，则此时这艘船与哨所的距离 OB 约为 米．（精确到 1 米，参考数据： ≈1.414， ≈1.732） 13．如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，且 BA＝6，AC＝8，点 D 是斜边 BC 上的一个动点， 过点 D 分别作 DM⊥AB 于点 M，DN⊥AC 于点 N，连接 MN，则线段 MN 的最小值为 ． 14．已知 y＝x2+（1﹣a）x+2 是关于 x 的二次函数，当 x 的取值范围是 0≤x≤4 时，y 仅在 x＝4 时取得最大值，则实数 a 的取值范围是 ． 三．解答题（共 10 小题） 15．先化简，再求值：（ ﹣1）÷ ，然后从 0，1，2 三个数中选择一个恰当 的数代入求值． 16．现有两个不透明的袋子，一个装有 2 个红球、1 个白球，另一个装有 1 个黄球、2 个红 球，这些球除颜色外完全相同．从两个袋子中各随机摸出 1 个球，利用树状图或者列表 的方法，求摸出的两个球颜色相同的概率． 17．时下正是海南百香果丰收的季节，张阿姨到“海南爱心扶贫网”上选购百香果，若购 买 2 千克“红土”百香果和 1 千克“黄金”百香果需付 80 元，若购买 1 千克“红土”百 香果和 3 千克“黄金”百香果需付 115 元．请问这两种百香果每千克各是多少元？ 18．为了解某县建档立卡贫困户对精准扶贫政策落实的满意度，现从全县建档立卡贫困户 中随机抽取了部分贫困户进行了调查（把调查结果分为四个等级：A 级：非常满意：B 级满意；C 级：基本满意：D 级：不满意），并将调查结果绘制成如两幅不完整的统计图， 请根据统计图中的信息解决下列问题： （1）本次抽样调查测试的建档立卡贫困户的总户数是 ； （2）图①中，∠α的度数是 ，并把图②条形统计图补充完整； （3）某县建档立卡贫困户有 10000 户，如果全部参加这次满意度调查，请估计非常满意 的户数约为多少户？ 19．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是斜边 AB 上的中线，以 CD 为直径的⊙O 分别 交 AC、BC 于点 M、N，过点 N 作 NE⊥AB，垂足为 E． （1）求证：NE 与⊙O 相切； （2）若⊙O 的半径为 ，AC＝6，则 BN 的长为 ． 20．如图，在下列 10×10 的网格中，横、纵坐标均为整点的数叫做格点，例如 A（2，1）、 B（5，4）、C（1，8）都是格点． （1）直接写出△ABC 的面积； （2）将△ABC 绕点 B 逆时针旋转 90°得到△A1BC1，在网格中画出△A1BC1； （3）在图中画出线段 EF，使它同时满足以下条件：①点 E 在△ABC 内；②点 E，F 都是 格点；③EF 三等分 BC；④EF＝ ．请写出点 E，F 的坐标． 21．甲、乙两台机器共同加工一批零件，一共用了 6 小时．在加工过程中乙机器因故障停 止工作，排除故障后，乙机器提高了工作效率且保持不变，继续加工．甲机器在加工过 程中工作效率保持不变．甲、乙两台机器加工零件的总数 y（个）与甲加工时间 x（h） 之间的函数图象为折线 OA﹣AB﹣BC，如图所示． （1）这批零件一共有 个，甲机器每小时加工 个零件，乙机器排除故障后 每小时加工 个零件； （2）当 3≤x≤6 时，求 y 与 x 之间的函数解析式； （3）在整个加工过程中，甲加工多长时间时，甲与乙加工的零件个数相等？ 22．在正方形 ABCD 中，AB＝6，M 为对角线 BD 上任意一点（不与 B、D 重合），连接 CM，过 点 M 作 MN⊥CM，交 AB（或 AB 的延长线）于点 N，连接 CN． 感知：如图①，当 M 为 BD 的中点时，易证 CM＝MN．（不用证明） 探究：如图②，点 M 为对角线 BD 上任一点（不与 B、D 重合）．请探究 MN 与 CM 的数量关 系，并证明你的结论． 应用：（1）直接写出△MNC 的面积 S 的取值范围 ； （2）若 DM：DB＝3：5，则 AN 与 BN 的数量关系是 ． 23．如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 M，已知 BC＝5，点 E 在射线 BC 上， tan∠DCE＝ ，点 P 从点 B 出发，以每秒 2 个单位沿 BD 方向向终点 D 匀速运动，过 点 P 作 PQ⊥BD 交射线 BC 于点 O，以 BP、BQ 为邻边构造▱PBQF，设点 P 的运动时间为 t （t＞0）． （1）tan∠DBE＝ ； （2）求点 F 落在 CD 上时 t 的值； （3）求▱PBQF 与△BCD 重叠部分面积 S 与 t 之间的函数关系式； （4）连接▱PBQF 的对角线 BF，设 BF 与 PQ 交于点 N，连接 MN，当 MN 与△ABC 的边平行 （不重合）或垂直时，直接写出 t 的值． 24．定义：二元一次不等式是指含有两个未知数（即二元），并且未知数的次数是 1 次（即 一次）的不等式；满足二元一次不等式（组）的 x 和 y 的取值构成有序数对（x，y），所 有这样的有序数对（x，y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集．如：x+y＞3 是二元一次不等式，（1，4）是该不等式的解．有序实数对可以看成直角坐标平面内点的 坐标．于是二元一次不等式（组）的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合． （1）已知 A（ ，1），B （1，﹣1），C （2，﹣1），D（﹣1，﹣1）四个点，请在直角 坐标系中标出这四个点，这四个点中是 x﹣y﹣2≤0 的解的点是 ． （2）设 的解集在坐标系内所对应的点形成的图形为 G． ①求 G 的面积； ②P（x，y）为 G 内（含边界）的一点，求 3x+2y 的取值范围； （3）设 的解集围成的图形为 M，直接写出抛物线 y＝x2+2mx+3m2﹣m﹣1 与图形 M 有交点时 m 的取值范围． 参考答案与试题解析 一．选择题（共 8 小题） 1．如果温度上升 2℃记作+2℃，那么温度下降 3℃记作（ ） A．+2℃ B．﹣2℃ C．+3℃ D．﹣3℃ 【分析】根据正数与负数的表示方法，可得解； 【解答】解：上升 2℃记作+2℃，下降 3℃记作﹣3℃； 故选：D． 2．举世瞩目的港珠澳大桥于 2018 年 10 月 24 日正式开通营运，它是迄今为止世界上最长 的跨海大桥，全长约 55000 米．55000 这个数用科学记数法可表示为（ ） A．5.5×103 B．55×103 C．0.55×105 D．5.5×104 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数 相同．当原数绝对值大于 10 时，n 是正数；当原数的绝对值小于 1 时，n 是负数． 【解答】解：55000 这个数用科学记数法可表示为 5.5×104， 故选：D． 3．如图是由 6 个同样大小的正方体摆成的几何体．将正方体①移走后，所得几何体（ ） A．主视图改变，左视图改变 B．俯视图不变，左视图不变 C．俯视图改变，左视图改变 D．主视图改变，左视图不变 【分析】分别得到将正方体①移走前后的三视图，依此即可作出判断． 【解答】解：将正方体①移走前的主视图正方形的个数为 1，2，1；正方体①移走后的 主视图正方形的个数为 1，2；发生改变． 将正方体①移走前的左视图正方形的个数为 2，1，1；正方体①移走后的左视图正方形 的个数为 2，1，1；没有发生改变． 将正方体①移走前的俯视图正方形的个数为 1，3，1；正方体①移走后的俯视图正方形 的个数，1，3；发生改变． 故选：D． 4．为了调查某小区居民的用水情况，随机抽查了 10 户家庭的月用水量，结果如表，则关 于这 10 户家庭的月用水量，下列说法错误的是（ ） 月用电量 4 5 6 9 总数 3 4 2 1 A．中位数是 5 吨 B．众数是 5 吨 C．极差是 3 吨 D．平均数是 5.3 吨 【分析】根据中位数的确定方法，将一组数据按大小顺序排列，位于最中间的两个的平 均数或最中间一个数据是中位数，众数的定义是在一组数据中出现次数最多的就是众数， 极差是一组数据中最大值与最小值的差，运用加权平均数求出即可． 【解答】解：∵这 10 个数据是：4，4，4，5，5，5，5，6，6，9； ∴中位数是：（5+5）÷2＝5 吨，故 A 正确； ∴众数是：5 吨，故 B 正确； ∴极差是：9﹣4＝5 吨，故 C 错误； ∴平均数是：（3×4+4×5+2×6+9）÷10＝5.3 吨，故 D 正确． 故选：C． 5．如图，AB 为⊙O 的直径，C、D 是⊙O 上的两点，∠CDB＝25°，过点 C 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于点 E，则∠E 的度数为（ ） A．40° B．50° C．55° D．60° 【分析】首先连接 OC，由切线的性质可得 OC⊥CE，又由圆周角定理，可求得∠COB 的度 数，继而可求得答案． 【解答】解：连接 OC， ∵CE 是⊙O 的切线， ∴OC⊥CE， 即∠OCE＝90°， ∵∠COB＝2∠CDB＝50°， ∴∠E＝90°﹣∠COB＝40°． 故选：A． 6．若 A（﹣3，y1）， ，C（2，y3）在二次函数 y＝x2+2x+c 的图象上，则 y1，y2， y3 的大小关系是（ ） A．y2＜y1＜y3 B．y1＜y3＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y3＜y2＜y1 【分析】求出二次函数的对称轴，再根据二次函数的增减性判断即可． 【解答】解：对称轴为直线 x＝﹣ ＝﹣1， ∵a＝1＞0， ∴x＜﹣1 时，y 随 x 的增大而减小， x＞﹣1 时，y 随 x 的增大而增大， ∴y2＜y1＜y3． 故选：A． 7．如投影屏上出示的抢答题，需要回答横线上符号代表的内容． 则回答正确的是（ ） A．◎代表∠FEC B．@代表同位角 C．▲代表∠EFC D．※代表 AB 【分析】根据图形可知※代表 CD，即可判断 D；根据三角形外角的性质可得◎代表∠EFC， 即可判断 A；利用等量代换得出▲代表∠EFC，即可判断 C；根据图形已经内错角定义可 知@代表内错角，即可判断 B． 【解答】证明：延长 BE 交 CD 于点 F， 则∠BEC＝∠EFC+∠C（三角形的外角等于与它不相邻两个内角之和）． 又∠BEC＝∠B+∠C，得∠B＝∠EFC． 故 AB∥CD（内错角相等，两直线平行）． 故选：C． 8．如图，在平而直角坐标系中，一次函数 y＝﹣4x+4 的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两 点．正方形 ABCD 的项点 C、D 在第一象限，顶点 D 在反比例函数 y＝ （k≠0）的图象 上．若正方形 ABCD 向左平移 n 个单位后，顶点 C 恰好落在反比例函数的图象上，则 n 的值是（ ） A．2 B．3 C．4． D．5 【分析】由一次函数的关系式可求出与 x 轴，y 轴的交点坐标，即求出 OA、OB 的长，由 正方形的性质、三角形全等可以求出 DE、AE、CF、BF 的长，进而求出 G 的坐标，最后求 出 CG 的长就是 n 的值． 【解答】解：过 D、C 分别作 DE⊥x 轴，CF⊥y 轴，垂足分别为 E、F，CF 交反比例函数 的图象于 G， 把 x＝0 和 y＝0 分别代入 y＝﹣4x+4 得：y＝4 和 x＝1， ∴A（1，0），B（0，4）， ∴OA＝1，OB＝4； 由 ABCDA 是正方形，易证△AOB≌△DEA≌△BCF （AAS）， ∴DE＝BF＝OA＝1，AE＝CF＝OB＝4， ∴D（5，1），F（0，5）， 把 D（5，1），代入 y＝ 得，k＝5， 把 y＝5 代入 y＝ 得，x＝1，即 FG＝1， CG＝CF﹣FG＝4﹣1＝3，即 n＝3， 故选：B． 二．填空题（共 6 小题） 9．因式分解：4a3b3﹣ab＝ ab（2ab+1）（2ab﹣1） ． 【分析】原式提取公因式，再利用平方差公式分解即可． 【解答】解：原式＝ab（4a2b2﹣1）＝ab（2ab+1）（2ab﹣1）， 故答案为：ab（2ab+1）（2ab﹣1） 10． ﹣ ＝ ． 【分析】先将二次根式化为最简，然后合并同类二次根式即可得出答案． 【解答】解：原式＝3 ﹣ ＝2 ． 故答案为：2 ． 11．已知扇形的面积为 4π，半径为 6，则此扇形的圆心角为 40 度． 【分析】利用扇形面积计算公式：设圆心角是 n°，圆的半径为 R 的扇形面积为 S，则 S 扇形＝ ，由此构建方程即可解决问题． 【解答】解：设该扇形的圆心角度数为 n°， ∵扇形的面积为 4π，半径为 6， ∴4π＝ ， 解得：n＝40． ∴该扇形的圆心角度数为：100°． 故答案为：40． 12．如图，某海防哨所 O 发现在它的西北方向，距离哨所 400 米的 A 处有一艘船向正东方 向航行，航行一段时间后到达哨所北偏东 60°方向的 B 处，则此时这艘船与哨所的距离 OB 约为 566 米．（精确到 1 米，参考数据： ≈1.414， ≈1.732） 【分析】通过解直角△OAC 求得 OC 的长度，然后通过解直角△OBC 求得 OB 的长度即可． 【解答】解：如图，设线段 AB 交 y 轴于 C， 在直角△OAC 中，∠ACO＝∠CAO＝45°，则 AC＝OC． ∵OA＝400 米， ∴OC＝OA•cos45°＝400× ＝200 （米）． ∵在直角△OBC 中，∠COB＝60°，OC＝200 米， ∴OB＝ ＝ ＝400 ≈566（米） 故答案是：566． 13．如图，在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，且 BA＝6，AC＝8，点 D 是斜边 BC 上的一个动点， 过点 D 分别作 DM⊥AB 于点 M，DN⊥AC 于点 N，连接 MN，则线段 MN 的最小值为 ． 【分析】由勾股定理求出 BC 的长，再证明四边形 DMAN 是矩形，可得 MN＝AD，根据垂线 段最短和三角形面积即可解决问题． 【解答】解：∵∠BAC＝90°，且 BA＝6，AC＝8， ∴BC＝ ＝10， ∵DM⊥AB，DN⊥AC， ∴∠DMA＝∠DNA＝∠BAC＝90°， ∴四边形 DMAN 是矩形， ∴MN＝AD， ∴当 AD⊥BC 时，AD 的值最小， 此时，△ABC 的面积＝ AB×AC＝ BC×AD， ∴AD＝ ＝ ， ∴MN 的最小值为 ； 故答案为： ． 14．已知 y＝x2+（1﹣a）x+2 是关于 x 的二次函数，当 x 的取值范围是 0≤x≤4 时，y 仅在 x＝4 时取得最大值，则实数 a 的取值范围是 a＜5 ． 【分析】根据二次函数的增减性利用对称轴列出不等式求解即可． 【解答】解：∵0≤x≤4 时，y 仅在 x＝4 时取得最大值， ∴﹣ ＜ ， 解得 a＜5． 故答案为：a＜5． 三．解答题（共 10 小题） 15．先化简，再求值：（ ﹣1）÷ ，然后从 0，1，2 三个数中选择一个恰当 的数代入求值． 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的 x 的 值代入计算可得． 【解答】解：原式＝（ ﹣ ）÷ ＝ • ＝ ， 当 x＝0 时，原式＝﹣1． 16．现有两个不透明的袋子，一个装有 2 个红球、1 个白球，另一个装有 1 个黄球、2 个红 球，这些球除颜色外完全相同．从两个袋子中各随机摸出 1 个球，利用树状图或者列表 的方法，求摸出的两个球颜色相同的概率． 【分析】列表得出所有等可能结果，从中找到两个球颜色相同的结果数，利用概率公式 计算可得． 【解答】解：根据题意列表如下： 黄 红 红 红 （黄，红） （红，红） （红，红） 红 （黄，红） （红，红） （红，红） 白 （黄，白） （红，白） （红，白） 由表知，共有 9 种等可能结果，其中摸出的两个球颜色相同的有 4 种结果， 所以摸出的两个球颜色相同的概率为 ． 17．时下正是海南百香果丰收的季节，张阿姨到“海南爱心扶贫网”上选购百香果，若购 买 2 千克“红土”百香果和 1 千克“黄金”百香果需付 80 元，若购买 1 千克“红土”百 香果和 3 千克“黄金”百香果需付 115 元．请问这两种百香果每千克各是多少元？ 【分析】设“红土”百香果每千克 x 元，“黄金”百香果每千克 y 元，由题意列出方程组， 解方程组即可． 【解答】解：设“红土”百香果每千克 x 元，“黄金”百香果每千克 y 元， 由题意得： ， 解得： ； 答：“红土”百香果每千克 25 元，“黄金”百香果每千克 30 元． 18．为了解某县建档立卡贫困户对精准扶贫政策落实的满意度，现从全县建档立卡贫困户 中随机抽取了部分贫困户进行了调查（把调查结果分为四个等级：A 级：非常满意：B 级满意；C 级：基本满意：D 级：不满意），并将调查结果绘制成如两幅不完整的统计图， 请根据统计图中的信息解决下列问题： （1）本次抽样调查测试的建档立卡贫困户的总户数是 60 户 ； （2）图①中，∠α的度数是 54° ，并把图②条形统计图补充完整； （3）某县建档立卡贫困户有 10000 户，如果全部参加这次满意度调查，请估计非常满意 的户数约为多少户？ 【分析】（1）由 B 级别户数及其对应百分比可得答案； （2）求出 A 级对应百分比可得∠α的度数，再求出 C 级户数即可把图 2 条形统计图补充 完整； （3）利用样本估计总体思想求解可得． 【解答】解：（1）由图表信息可知本次抽样调查测试的建档立卡贫困户的总户数＝21÷ 35%＝60（户） 故答案为：60 户； （2）图 1 中，∠α的度数＝ ×360°＝54°； C 级户数为：60﹣9﹣21﹣9＝21（户）， 补全条形统计图如图 2 所示： 故答案为：54°； （3）估计非常满意的人数约为 ×10000＝1500（户）． 19．如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是斜边 AB 上的中线，以 CD 为直径的⊙O 分别 交 AC、BC 于点 M、N，过点 N 作 NE⊥AB，垂足为 E． （1）求证：NE 与⊙O 相切； （2）若⊙O 的半径为 ，AC＝6，则 BN 的长为 4 ． 【分析】（1）连接 ON，证出 ON∥AB，证明 ON⊥NE 即可； （2）由直角三角形的性质可求 AB＝10，由勾股定理可求 BC＝8，由等腰三角形的性质可 得 BN＝4． 【解答】（1）证明：如图 1，连接 ON， ∵∠ACB＝90°，D 为斜边的中点， ∴CD＝DA＝DB＝ AB， ∴∠BCD＝∠B， ∵OC＝ON， ∴∠BCD＝∠ONC， ∴∠ONC＝∠B， ∴ON∥AB， ∵NE⊥AB， ∴ON⊥NE， ∴NE 为⊙O 的切线； （2）解：如图 2，连接 DN，ON ∵⊙O 的半径为 ， ∴CD＝5 ∵∠ACB＝90°，CD 是斜边 AB 上的中线， ∴BD＝CD＝AD＝5， ∴AB＝10， ∴BC＝ ＝8， ∵CD 为直径， ∴∠CND＝90°，且 BD＝CD， ∴BN＝NC＝4， 故答案为：4． 20．如图，在下列 10×10 的网格中，横、纵坐标均为整点的数叫做格点，例如 A（2，1）、 B（5，4）、C（1，8）都是格点． （1）直接写出△ABC 的面积； （2）将△ABC 绕点 B 逆时针旋转 90°得到△A1BC1，在网格中画出△A1BC1； （3）在图中画出线段 EF，使它同时满足以下条件：①点 E 在△ABC 内；②点 E，F 都是 格点；③EF 三等分 BC；④EF＝ ．请写出点 E，F 的坐标． 【分析】（1）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算△ABC 的面积； （2）利用网格特点和旋转的性质画出 A、C 的对应点 A1、C1 即可得到△A1BC1； （3）利用平行线分线段成比例得到 CF：BE＝2，则 EF 三等分 BC，然后写出 E、F 的坐标， 根据勾股定理求出 EF 的长度为 ． 【解答】解：（1）△ABC 的面积＝4×7﹣ ×7×1﹣ ×3×3﹣ ×4×4＝12； （2）如图，△A1BC1 为所作； （3）如图，线段 EF 为所作，其中 E 点坐标为（2，4），F 点坐标为（7，8），EF 的长度 为 ． 21．甲、乙两台机器共同加工一批零件，一共用了 6 小时．在加工过程中乙机器因故障停 止工作，排除故障后，乙机器提高了工作效率且保持不变，继续加工．甲机器在加工过 程中工作效率保持不变．甲、乙两台机器加工零件的总数 y（个）与甲加工时间 x（h） 之间的函数图象为折线 OA﹣AB﹣BC，如图所示． （1）这批零件一共有 270 个，甲机器每小时加工 20 个零件，乙机器排除故障后 每小时加工 40 个零件； （2）当 3≤x≤6 时，求 y 与 x 之间的函数解析式； （3）在整个加工过程中，甲加工多长时间时，甲与乙加工的零件个数相等？ 【分析】（1）根据图象解答即可； （2）设当 3≤x≤6 时，y 与 x 之间的函数关系是为 y＝kx+b，运用待定系数法求解即可； （3）设甲加工 x 小时时，甲乙加工的零件个数相等，分两种情况列方程解答：①当 0≤ x≤1 时，20x＝30；②当 3≤x≤6 时，20x＝30+40（x﹣3）． 【解答】解：（1）这批零件一共有 270 个， 甲机器每小时加工零件：（90﹣50）÷（3﹣1）＝20（个）， 乙机器排除故障后每小时加工零件：（270﹣90﹣20×3）÷3＝40（个）； 故答案为：270；20；40； （2）设当 3≤x≤6 时，y 与 x 之间的函数关系是为 y＝kx+b， 把 B（3，90），C（6，270）代入解析式，得 ，解得 ， ∴y＝60x﹣90（3≤x≤6）； （3）设甲加工 x 小时时，甲乙加工的零件个数相等， ①20x＝30，解得 x＝1.5； ②50﹣20＝30， 20x＝30+40（x﹣3），解得 x＝4.5， 答：甲加工 1.5h 或 4.5h 时，甲与乙加工的零件个数相等． 22．在正方形 ABCD 中，AB＝6，M 为对角线 BD 上任意一点（不与 B、D 重合），连接 CM，过 点 M 作 MN⊥CM，交 AB（或 AB 的延长线）于点 N，连接 CN． 感知：如图①，当 M 为 BD 的中点时，易证 CM＝MN．（不用证明） 探究：如图②，点 M 为对角线 BD 上任一点（不与 B、D 重合）．请探究 MN 与 CM 的数量关 系，并证明你的结论． 应用：（1）直接写出△MNC 的面积 S 的取值范围 9≤S＜18 ； （2）若 DM：DB＝3：5，则 AN 与 BN 的数量关系是 AN＝6BN ． 【分析】探究：如图①中，过 M 分别作 ME∥AB 交 BC 于 E，MF∥BC 交 AB 于 F，证明△MFN ≌△MEC（ASA）即可解决问题． 应用：（1）求出△MNC 面积的最大值以及最小值即可解决问题． （2）利用平行线分线段成比例定理求出 AN，BN 即可解决问题． 【解答】解：探究：如图①中，过 M 分别作 ME∥AB 交 BC 于 E，MF∥BC 交 AB 于 F， 则四边形 BEMF 是平行四边形， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠ABC＝90°，∠ABD＝∠CBD＝∠BME＝45°， ∴ME＝BE， ∴平行四边形 BEMF 是正方形， ∴ME＝MF， ∵CM⊥MN， ∴∠CMN＝90°， ∵∠FME＝90°， ∴∠CME＝∠FMN， ∴△MFN≌△MEC（ASA）， ∴MN＝MC； 应用：（1）当点 M 与 D 重合时，△CNM 的面积最大，最大值为 18， 当 DM＝BM 时，△CNM 的面积最小，最小值为 9， 综上所述，9≤S＜18． （2）如图②中， 由（1）得 FM∥AD，EM∥CD， ∴ ＝ ＝ ＝ ， ∵AN＝BC＝6， ∴AF＝3.6，CE＝3.6， ∵△MFN≌△MEC， ∴FN＝EC＝3.6， ∴AN＝7.2，BN＝7.2﹣6＝1.2， ∴AN＝6BN， 故答案为 AN＝6BN． 23．如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点 M，已知 BC＝5，点 E 在射线 BC 上， tan∠DCE＝ ，点 P 从点 B 出发，以每秒 2 个单位沿 BD 方向向终点 D 匀速运动，过 点 P 作 PQ⊥BD 交射线 BC 于点 O，以 BP、BQ 为邻边构造▱PBQF，设点 P 的运动时间为 t （t＞0）． （1）tan∠DBE＝ ； （2）求点 F 落在 CD 上时 t 的值； （3）求▱PBQF 与△BCD 重叠部分面积 S 与 t 之间的函数关系式； （4）连接▱PBQF 的对角线 BF，设 BF 与 PQ 交于点 N，连接 MN，当 MN 与△ABC 的边平行 （不重合）或垂直时，直接写出 t 的值． 【分析】（1）如图 1 中，作 DH⊥BE 于 H．解直角三角形求出 BH，DH 即可解决问题． （2）如图 2 中，由 PF∥CB，可得 ＝ ，由此构建方程即可解决问题． （3）分三种情形：如图 3﹣1 中，当 0＜t≤ 时，重叠部分是平行四边形 PBQF．如图 3 ﹣2 中，当 ＜t≤1 时，重叠部分是五边形 PBQRT．如图 3﹣3 中，当 1＜t≤2 时，重叠 部分是四边形 PBCT，分别求解即可解决问题． （4）分四种情形：如图 4﹣1 中，当 MN∥AB 时，设 CM 交 BF 于 T．如图 4﹣2 中，当 MN ⊥BC 时．如图 4﹣3 中，当 MN⊥AB 时．当点 P 与点 D 重合时，MN∥BC，分别求解即可． 【解答】解：（1）如图 1 中，作 DH⊥BE 于 H． 在 Rt△BCD 中，∵∠DHC＝90°，CD＝5，tan∠DCH＝ ， ∴DH＝4，CH＝3， ∴BH＝BC+CH＝5+3＝8， ∴tan∠DBE＝ ＝ ＝ ． 故答案为 ． （2）如图 2 中， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AC⊥BD， ∵BC＝5，tan∠CBM＝ ＝ ， ∴CM＝ ，BM＝DM＝2 ， ∵PF∥CB， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， 解得 t＝ ． （3）如图 3﹣1 中，当 0＜t≤ 时，重叠部分是平行四边形 PBQF，S＝PB•PQ＝2 t• t ＝10t2． 如图 3﹣2 中，当 ＜t≤1 时，重叠部分是五边形 PBQRT，S＝S 平行四边形 PBQF﹣S△TRF＝10t2 ﹣ •[2 t﹣（5﹣5t）]• [2 t﹣（5﹣5t）]＝﹣55t2+（20 +50）t﹣25． 如图 3﹣3 中，当 1＜t≤2 时，重叠部分是四边形 PBCT，S＝S△BCD﹣S△PDT＝ ×5×4﹣ • （5﹣ t）•（4﹣2t）＝﹣ t2+10t． （4）如图 4﹣1 中，当 MN∥AB 时，设 CM 交 BF 于 T． ∵PN∥MT， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴MT＝ ， ∵MN∥AB， ∴ ＝ ＝ ＝2， ∴PB＝ BM， ∴2 t＝ ×2 ， ∴t＝ ． 如图 4﹣2 中，当 MN⊥BC 时，易知点 F 落在 DH 时， ∵PF∥BH， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， 解得 t＝ ． 如图 4﹣3 中，当 MN⊥AB 时，易知∠PNM＝∠ABD， 可得 tan∠PNM＝ ＝ ， ∴ ＝ ， 解得 t＝ ， 当点 P 与点 D 重合时，MN∥BC，此时 t＝2， 综上所述，满足条件的 t 的值为 或 或 或 2． 24．定义：二元一次不等式是指含有两个未知数（即二元），并且未知数的次数是 1 次（即 一次）的不等式；满足二元一次不等式（组）的 x 和 y 的取值构成有序数对（x，y），所 有这样的有序数对（x，y）构成的集合称为二元一次不等式（组）的解集．如：x+y＞3 是二元一次不等式，（1，4）是该不等式的解．有序实数对可以看成直角坐标平面内点的 坐标．于是二元一次不等式（组）的解集就可以看成直角坐标系内的点构成的集合． （1）已知 A（ ，1），B （1，﹣1），C （2，﹣1），D（﹣1，﹣1）四个点，请在直角 坐标系中标出这四个点，这四个点中是 x﹣y﹣2≤0 的解的点是 A、B、D ． （2）设 的解集在坐标系内所对应的点形成的图形为 G． ①求 G 的面积； ②P（x，y）为 G 内（含边界）的一点，求 3x+2y 的取值范围； （3）设 的解集围成的图形为 M，直接写出抛物线 y＝x2+2mx+3m2﹣m﹣1 与图形 M 有交点时 m 的取值范围． 【分析】（1）在直角坐标系中标出这四个点即可，这四个点中是 x﹣y﹣2≤0 的解的点是 A、B、D； （2）①根据题目中所给定义画出不等式的解集在坐标系内所对应的点形成的图形为 G， 是三角形，由点的坐标进而可求面积； ②根据①中的图形先确定 x 和 y 的取值范围，进而可求 3x+2y 的取值范围； （3）不等式组的解集在坐标系内所对应的点形成的图形为菱形，根据图形即可得抛物线 y＝x2+2mx+3m2﹣m﹣1 与图形 M 有交点时 m 的取值范围． 【解答】解：（1）如图所示： 这四个点中是 x﹣y﹣2≤0 的解的点是 A、B、D． 故答案为：A、B、D； （2）①如图所示： 不等式组在坐标系内形成的图形为 G， 所以 G 的面积为： ×3×2＝3． ②根据图象得： ﹣2≤x≤1，﹣3≤y≤﹣1， ∴﹣6≤3x≤3，﹣6≤2y≤﹣2， ∴﹣12≤3x+2y≤1． 答：3x+2y 的取值范围为﹣12≤3x+2y≤1． （3） 如图所示为 不等式组 的解集围成的图形，设为 M， 抛物线 y＝x2+2mx+3m2﹣m﹣1 与图形 M 有交点时 m 的取值范围： ∵抛物线的对称轴 x＝﹣m， ﹣m≥﹣ ，或﹣m≤ ， ∴m 或 m≥﹣ ． 又﹣1≤3m2﹣m﹣1≤1， ∴0≤m≤ ， 综上：m 的取值范围是 0≤m≤ ．