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- 2021-11-10 发布
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荆门市 2020 年中考数学试题及答案
1. 2 的平方是( )
A. 2 B. 2 C. 2 D.2
2.据央视网消息,全国广大共产党员积极响应党中央号召,踊跃捐款,表达对新冠肺
炎疫情防控工作的支持,据统计,截至 2020 年 3 月 26 日,全国已有 7901 万多名党员
自愿捐款,共捐款 82.6 亿元,82.6 亿用科学记数法可表示为( )
A. 100.826 10 B. 98.26 10 C. 88.26 10 D. 882.6 10
3.如图,菱形 ABCD 中,E,F 分别是 AD ,BD 的中点,若 5EF ,则菱形 ABCD
的周长为( )
A.20 B.30 C.40 D.50
4.下列等式中成立的是( )
A. 32 6 33 9x y x y B.
2 2
2 1 1
2 2
x xx
C. 1 12 2 6
2 3
D. 1 1 1
( 1)( 2) 1 2x x x x
5.如图是一个几何体的三视图,则该几何体的体积为( )
A.1 B.2 C. 2 D.4
6. ABC 中, , 120 , 2 3AB AC BAC BC ,D 为 BC 的中点, 1
4AE AB ,
则 EBD△ 的面积为( )
A. 3 3
4
B. 3 3
8
C. 3
4
D. 3
8
7.如图, O 中, , 28OC AB APC ,则 BOC 的度数为( )
A.14 B. 28 C. 42 D.56
8.为了了解学生线上学习情况,老师抽查某组 10 名学生的单元测试成绩如下:78,86,
60,108,112,116,90,120,54,116 这组数据的平均数和中位数分别为( )
A.95,99 B.94,99 C.94,90 D.95,108
9.在平面直角坐标系 xOy 中,Rt AOB 的直角顶点 B 在 y 轴上,点 A 的坐标为 1, 3 ,
将 Rt AOB 沿直线 y x 翻折,得到 Rt A OB △ ,过 A 作 A C 垂直于 OA 交 y 轴于
点 C,则点 C 的坐标为( )
A. 0, 2 3 B. 0, 3 C. 0, 4 D. 0, 4 3
10.若抛物线 2 ( 0)y ax bx c a 经过第四象限的点 1, 1 ),则关于 x 的方程
2 0ax bx c 的根的情况是( )
A.有两个大于 1 的不相等实数根 B.有两个小于 1 的不相等实数根
C.有一个大于 1 另一个小于 1 的实数根 D.没有实数根
11.已知关于 x 的分式方程 2 3 22 ( 2)( 3)
x k
x x x
的解满足 4 1x ,且 k 为
整数,则符合条件的所有 k 值的乘积为( )
A.正数 B.负数 C.零 D.无法确定
12.在平面直角坐标系中,长为 2 的线段CD(点 D 在点 C 右侧)在 x 轴上移动 0,2A ,
0,4B ,连接 AC 、 BD ,则 AC BD 的最小值为( )
A. 2 5 B. 2 10 C. 6 2 D.3 5
13.计算: 0 1112 3tan30 (π 2020) ( )2
______.
14.已知关于 x 的一元二次方程 2 24 3 0( 0)x mx m m 的一个根比另一个根大 2,
则 m 的值为_____.
15.如图所示的扇形 AOB 中, 92 0,OA BOB AO ,C 为 AB 上一点,
30AOC ,连接 BC ,过 C 作OA的垂线交 AO 于点 D,则图中阴影部分的面积
为_______.
16.如图,矩形OABC 的顶点 A、C 分别在 x 轴、y 轴上, 2,1B ,将 OAB 绕点 O
顺时针旋转,点 B 落在 y 轴上的点 D 处,得到 OED ,OE 交 BC 于点 G,若反比例
函数 ( 0)ky xx
的图象经过点 G,则 k 的值为______.
17.如图,抛物线 2 ( 0)y ax bx c a 与 x 轴交于点 A、B,顶点为 C,对称轴为直
线 1x ,给出下列结论:① 0abc ;②若点 C 的坐标为( )1,2 ,则 ABC 的面积可
以等于 2;③ 1 1 2 2, , ,M x y N x y 是抛物线上两点 1 2x x ,若 1 2 2x x ,则
1 2y y ;④若抛物线经过点 (3, 1) ,则方程 2 1 0ax bx c 的两根为 1 ,3 其中正
确结论的序号为_______.
18.先化简,再求值:
2 2(2 ) ( 2 ) ( ) 2( 2 )(2 )x y x y x x y x y x y ,其中 2 1, 2 1x y .
19.如图, ABC 中, AB AC , BÐ 的平分线交 AC 于 D, / /AE BC 交 BD 的延
长线于点 E, AF AB 交 BE 于点 F.
(1)若 40BAC ,求 AFE 的度数;
(2)若 2AD DC ,求 AF 的长.
20.如图是某商场第二季度某品牌运动服装的 S 号,M 号,L 号,XL 号,XXL 号销售
情况的扇形统计图和条形统计图.
根据图中信息解答下列问题:
(1)求 XL 号,XXL 号运动服装销量的百分比;
(2)补全条形统计图;
(3)按照 M 号,XL 号运动服装的销量比,从 M 号、XL 号运动服装中分别取出 x 件、
y 件,若再取 2 件 XL 号运动服装,将它们放在一起,现从这 2x y 件运动服装中,
随机取出 1 件,取得 M 号运动服装的概率为 3
5
,求 x,y 的值.
21.如图,海岛 B 在海岛 A 的北偏东 30°方向,且与海岛 A 相距 20 海里,一艘渔船从
海岛 B 出发,以 5 海里/时的速度沿北偏东 75方向航行,同时一艘快艇从海岛 A 出发,
向正东方向航行.2 小时后,快艇到达 C 处,此时渔船恰好到达快艇正北方向的 E 处.
(1)求 ABE 的度数;
(2)求快艇的速度及 C,E 之间的距离.
(参考数据:sin15 0.26,cos15 0.97,tan15 0.27, 3 1.73 )
22.如图, AC 为 O 的直径, AP 为 O 的切线,M 是 AP 上一点,过点 M 的直线
与 O 交于点 B,D 两点,与 AC 交于点 E,连接 , ,AB AD AB BE .
(1)求证: AB BM ;
(2)若 3AB , 24
5AD ,求 O 的半径.
23.2020 年是决战决胜扶贫攻坚和全面建成小康社会的收官之年,荆门市政府加大各
部门和单位对口扶贫力度.某单位的帮扶对象种植的农产品在某月(按 30 天计)的第
x 天(x 为正整数)的销售价格 p(元/千克)关于 x 的函数关系式为
2 4 (0 20)5
1 12 (20 30)5
x x
p
x x
,销售量 y(千克)与 x 之间的关系如图所示.
(1)求 y 与 x 之间的函数关系式,并写出 x 的取值范围;
(2)当月第几天,该农产品的销售额最大,最大销售额是多少?
(销售额=销售量×销售价格)
24.如图,抛物线 21 5: 32 4L y x x 与 x 轴正半轴交于点 A,与 y 轴交于点 B.
(1)求直线 AB 的解析式及抛物线顶点坐标;
(2)如图 1,点 P 为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点,过点 P 作 PC x 轴,
垂足为 C, PC 交 AB 于点 D,求 PD BD 的最大值,并求出此时点 P 的坐标;
(3)如图 2,将抛物线 21 5: 32 4L y x x 向右平移得到抛物线 L ,直线 AB 与抛
物线 L 交于 M,N 两点,若点 A 是线段 MN 的中点,求抛物线 L 的解析式.
参考答案
1.D
【解析】
【分析】
先计算 2 ,然后再计算平方.
【详解】
∵ 2 2
∴ 2( 2) 2
故选:D.
【点睛】
本题考查了绝对值和平方的计算,按照顺序进行计算即可.
2.B
【解析】
【分析】
科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为整数.确定 n 的值时,要看
把原数变成 a 时,小数点移动了多少位,n 的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对
值≥10 时,n 是正数;当原数的绝对值<1 时,n 是负数.
【详解】
82.6 亿= 98.26 10 .
故选:B.
【点睛】
此题主要考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式,其中 1≤|a|
<10,n 为整数,表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值.
3.C
【解析】
【分析】
由题意可知 EF 为△ABD 的中位线,可求出 AB 的长,由于菱形四条边相等即可得到周长.
【详解】
解:∵E,F 分别是 AD , BD 的中点,
∴EF 为△ABD 的中位线,
∴ 2 2 5 10AB EF ,
∵四边形 ABCD 是菱形,
∴ 10AD CD BC AB ,
∴菱形 ABCD 的周长为10 4 40
故选:C.
【点睛】
本题考查了三角形的中位线,菱形的性质,发现 EF 为△ABD 的中位线是解题的关键.
4.D
【解析】
【分析】
根据幂的乘方法则、完全平方公式、二次根式的运算法则以及分式的运算法则计算即可.
【详解】
解:A、 32 6 33 27x y x y ,
故选项 A 错误;
B、
22 22 2 1 2
2 4
1 1
4
1
2
x x x x x x
2 22 1 2 1
4
x x x x
x ,
故选项 B 错误;
C、 1 1 3 22 2
2 3 2 3 2 3
3 22
6
62
3 2
2 3 ( 3 2)
( 3 2)( 3 2)
6 2 6 ,
故选项 C 错误;
D、 1 1 2 1
1 2 ( 1)( 2) ( 1)( 2)
x x
x x x x x x
2 1
( 1)( 2)
x x
x x
1
( 1)( 2)x x
,
故选项 D 正确,
故选:D.
【点睛】
本题考查了的乘方法则、完全平方公式、二次根式的运算法则以及分式的运算法则,熟练掌
握相关运算法则是解决本题的关键.
5.A
【解析】
【分析】
由三视图易得此几何体为底面是一个等腰直角三角形的直三棱柱,根据体积=底面积×高,
把相关数值代入即可求解.
【详解】
解:由三视图可确定此几何体为底面是一个等腰直角三角形的直三棱柱,等腰直角三角形的
直角边长为 1,高为 2,
则,等腰直角三角形的底面积 1 11 12 2
,
体积=底面积×高 1 2 12= ´ = ,
故选:A
【点睛】
此题主要考查了由三视图判断几何体,以及求三棱柱的体积,读懂题意,得出该几何体的形
状是解决本题的关键.
6.B
【解析】
【分析】
连接 AD,用等腰三角形的“三线合一”,得到 BAD 的度数,及 Rt ABD△ ,由 1
4AE AB
得 3
4BE AB ,得 3
4BDE ABDS S△ △ ,计算 ABD△ 的面积即可.
【详解】
连接 AD,如图所示:
∵ , 120 , 2 3AB AC BAC BC ,且 D 为 BC 中点
∴ AD BC ,且 1 602BAD CAD BAC , 3BD DC
∴ Rt ABD△ 中, 2, 1AB AD
∵ 1
4AE AB
∴ 3
4BE AB
∴ 3 3 1 3 31 34 4 2 8BDE ABDS S △
故选:B.
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质,及解直角三角形和三角形面积的计算,熟知以上知识是解题
的关键.
7.D
【解析】
【分析】
由垂径定理都出 AC BC ,然后根据圆周角定理即可得出答案.
【详解】
∵OC⊥AB,
∴ AC BC ,
∴∠APC= 1
2
∠BOC,
∵∠APC=28°,
∴∠BOC=56°,
故选:D.
【点睛】
本题考查了垂径定理和圆周角定理,得出 AC BC 是解题关键.
8.B
【解析】
【分析】
按照平均数和中位数的计算方法进行计算即可.
【详解】
平均数为: 78 86 60 108 112 116+90+120+54+116 =9410
将数据按照从小到大进行排列为:54,60,78,86,90,108,112,116,116,120
中位数为: 90+108 =992
故选:B.
【点睛】
本题考查了平均数,中位数的计算,熟知以上计算方法是解题的关键.
9.C
【解析】
【分析】
先求出 OA,然后证明△ ' 'A OB ∽△ 'OCA 即可得出答案.
【详解】
由题意可得 AB=1,OB= 3 ,
∵△ABC 为直角三角形,
∴OA=2,
由翻折性质可得 ' 'A B =1, 'OB = 3 , 'OA =2,∠ ' 'A B O =90°,
∵∠ 'A CO +∠ 'A OC =90°,∠ ' 'A OB +∠ 'A OC =90°,
∴∠ 'A CO =∠ ' 'A OB ,
∵ A C ⊥ 'OA ,∠ ' 'A B O =90°,
∴△ ' 'A OB ∽△ 'OCA ,
∴ ' ' '
'
OA A B
OC OA
,即 2 1
2OC
∴OC=4,
∴点 C 的坐标为(0,-4),
故选:C.
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质,翻折的性质,勾股定理,证明△ ' 'A OB ∽△ 'OCA 是
解题关键.
10.C
【解析】
【分析】
根据抛物线的图像进行判断即可.
【详解】
∵a>0,
∴抛物线开口向上,
∵抛物线经过第四象限的点(1,-1)
∴方程 ax2+bx+c=0 有两个不相等的实数根,一个大于 1 另一个小于 1,
故选:C.
【点睛】
本题考查了抛物线的图像和性质,判断出抛物线的图像是解题关键.
11.A
【解析】
【分析】
先解出关于 x 的分式方程得到 x= 6
3
k ,代入 4 1x 求出 k 的取值,即可得到 k 的值,
故可求解.
【详解】
关于 x 的分式方程 2 3 22 ( 2)( 3)
x k
x x x
得 x= 21
7
k ,
∵ 4 1x
∴ 214 7 1k
解得-7<k<14
∴整数 k 为-6,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,
又∵分式方程中 x≠2 且 x≠-3
∴k≠35 且 k≠0
∴所有符合条件的 k 中,含负整数 6 个,正整数 13 个,∴k 值的乘积为正数,
故选 A.
【点睛】
此题主要考查分式方程与不等式综合,解题的关键是熟知分式方程的求解方法.
12.B
【解析】
【分析】
作 A(0,2)关于 x 轴的对称点 A’(0,-2),再过 A’作 A’E∥x 轴且 A’E=CD=2,连接 BE
交 x 轴与 D 点,过 A’作 A’C∥DE 交 x 轴于点 C,得到四边形 CDEA’为平行四边形,故可知
AC+BD 最短等于 BE 的长,再利用勾股定理即可求解.
【详解】
作 A(0,2)关于 x 轴的对称点 A’(0,-2)
过 A’作 A’E∥x 轴且 A’E=CD=2,故 E(2,-2)
连接 BE 交 x 轴与 D 点
过 A’作 A’C∥DE 交 x 轴于点 C,
∴四边形 CDEA’为平行四边形,
此时 AC+BD 最短等于 BE 的长,
即 AC+BD=A’C+BD=DE+BD=BE= 2 2(2 0) ( 2 4) = 2 10
故选 B.
【点睛】
此题主要考查最短路径的求解,解题的关键是熟知直角坐标系、平行四边形的性质.
13. 3 1
【解析】
【分析】
原式第一项运用算术平方根的性质进行化简,第二项代入特殊角三角函数值,第三项运用零
指数幂运算法则计算,第四项运用负整数指数幂的运算法则进行计算,最后根据实数的运算
法则得出结果即可.
【详解】
0 1112 3tan30 (π 2020) ( )2
= 32 3 3 1 23
= 3 1
故答案为: 3 1
【点睛】
此题考查了实数的混合运算,掌握运算法则是解答此题的关键.
14.1
【解析】
【分析】
利用因式分解法求出 x1,x2,再根据根的关系即可求解.
【详解】
解 2 24 3 0( 0)x mx m m
(x-3m)(x-m)=0
∴x-3m=0 或 x-m=0
解得 x1=3m,x2=m,
∴3m-m=2
解得 m=1
故答案为:1.
【点睛】
此题主要考查解一元二次方程,解题的关键是熟知因式分解法的运用.
15. 2 3
3 2
【解析】
【分析】
先根据题目条件计算出 OD,CD 的长度,判断 BOC 为等边三角形,之后表示出阴影面积
的计算公式进行计算即可.
【详解】
在 Rt COD 中, 30 , 2AOC OC OA
∴ 1, 3CD OD
∵ 90AOB
∴ 60BOC
∵OB OC
∴ BOC 为等边三角形
∴ BOC= COD BOCS S S S △ △阴影 扇形
2
21 60 2 33 1 22 360 4
2 3
3 2
故答案为: 2 3
3 2
【点睛】
本题考查了阴影面积的计算,熟知不规则阴影面积的计算方法是解题的关键.
16. 1
2
【解析】
【分析】
根据题意证明△AOB≌△EOD,△COG∽△EOD,根据相似三角形的性质求出 CG 的长度,
即可求解.
【详解】
解: 由 B(-2,1)可得,AB=OC=1,OA=2,OB= 2 21 2 5
由旋转可得:△AOB≌△EOD,∠E=∠OAB=90°,
∴OE=OA=2,DE=AB=1,
∵∠COG=∠EOD,∠GCO=∠E=90°,
∴△COG∽△EOD,
∴ =OC CG
OE DE
,即 1
2 1
CG ,
解得:CG= 1
2
,
∴点 G( 1
2
,1),
代入 ( 0)ky xx
可得:k= 1
2
,
故答案为: 1
2
.
【点睛】
本题考查旋转的性质,相似三角形的判定和性质和反比例函数,解题的关键是利用相似三角
形的性质求出 OG 的长度.
17.①④
【解析】
【分析】
①根据抛物线的开口方向,对称轴,顶点坐标来判断 a,b,c 的正负情况,即可.
②根据图形可知 AB 的值大于 4,利用三角形的面积求法,即可得面积会大于 2.
③利用图形的对称性,离对称轴越小,函数值越大.
④把点代入抛物线,可求得 x=3 是方程的解,再利用图形的对称可求另一个解.
【详解】
解:① 开口向下, a<0, 对称轴 x=1,a<0, b>0, 抛物线与 y 轴的交点在 y 的
正半轴上, c>0, abc<0,正确.
②从图像可知,AB>4, 1
2ABC yS AB C > 1 4 22
, 2ABCS ,故错误.
③ 1 2 2x x ,从图像可知 1x 到 1 的距离小于 2x 到 1 的距离,从图像可知,越靠
近对称轴,函数值越大; 1 2y y ,故错误.
④把点(3,-1)代入抛物线得 9 3 1a b c ,即 2 1ax bx c ,∴ 2 1 0ax bx c ,
即 x=3,是方程 2 1 0ax bx c 的解,根据抛物线的对称性,所以另一解为-1,故正确.
【点睛】
本题主要考查了二次函数图像的性质,函数的对称性,函数的增减性以及二次函数与一元二
次方程的关系,解题的关键要熟练掌握抛物线的性质,以及看图能力,本题也可以采用一些
特殊值代入法来解.
18. 2 3y xy ; 2 2 .
【解析】
【分析】
利用完全平方公式将原式化简,然后再代入计算即可.
【详解】
解:
原式 2 2[(2 ) ( 2 )]x y x y x xy= + - + - -
2 2( )x y x xy= - - -
2 2 22x xy y x xy= - + - -
2 3y xy
当 2 1, 2 1x y 时,
原式 2( 2 1) 3( 2 1)( 2 1)
3 2 2 3
2 2 。
【点睛】
本题考查的是整式的混合运算,完全平方公式的应用和二次根式的运算,掌握相关的性质和
运算法则是解题的关键.
19.(1) 125AFE ;(2) 4 33AF .
【解析】
【分析】
(1)先根据等腰三角形的性质及角平分线的性质求出 ABC , ABD ,再根据垂直与外
角的性质即可求出 AFE ;
(2)根据题意证明 ADE CDB ≌ ,再得到 ABC 为等边三角形,故可得到 30ABD ,
可根据三角函数的性质即可求出 AF.
【详解】
(1)∵ AB AC , 40BAC ,
∴ 180 40 702ABC
.
∵ BD 平分 ABC ,
∴ 1 70 352ABD DBC ,
∵ AF AB ,
∴ 90BAF ,
∴ 90 35 125AFE BAF ABD .
(2)∵ //AE BC ,
∴ E DBC ,
又 ADE CDB , AD CD
∴ ADE CDB ≌ ,
∴ AE CB ,
∵ ,E DBC ABD DBC
∴ E ABD ,
∴ AB AE ,
∴ AB CB AC ,
∴ ABC 为等边三角形,
∴ 60ABC ,
∴ 30ABD ,
∵ 2AD DC ,
∴ 4AB ,
在 Rt ABF 中, 3 4tan30 4 33 3AF AB .
【点睛】
此题主要考查解直角三角形,解题的关键是熟知等腰三角形、等边三角形的判定与性质、三
角函数的应用.
20.(1)XL 号,XXL 号运动服装销量的百分比分别为 15%,10%;(2)补全条形图如图所
示,见解析;(3) 12
6
x
y
.
【解析】
【分析】
(1)先求出抽取的总数,然后分别求出对应的百分比即可;
(2)分别求出 S、L、XL 的数量,然后补全条形图即可;
(3)由销量比,则 2x y ,结合概率的意义列出方程组,解方程组即可得到答案.
【详解】
解:(1)抽取的总数为: 60 30% 200 (件),
∴XXL 的百分比: 20 100% 10%200
,
XL 的百分比:1 25% 30% 20% 10% 15% ;
∴XL 号,XXL 号运动服装销量的百分比分别为 15%,10%.
(2)根据题意,
S 号的数量: 25% 200 50 (件),
L 号的数量: 20% 200 40 (件),
XL 号数量:15% 200 30 (件),
补全条形图如图所示.
(3)由题意,按照 M 号,XL 号运动服装的销量比,则 2x y ,
根据概率的意义,有 3
2 5
x
x y
,
∴
2
3
2 5
x y
x
x y
,
解得: 12
6
x
y
.
【点睛】
本题考查了概率的意义,频数分布直方图、扇形统计图和利用统计图获取信息的能力;利用
统计图获取信息时,必须认真观察、分析、研究统计图,才能作出正确的判断和解决问题.
21.(1) 135ABE ;(2)快艇的速度为 9.85 海里时,C,E 之间的距离为 19.9 海里.
【解析】
【分析】
(1)过点 B 作 BD AC 于点 D,作 BF CE 于点 E,根据题意求出∠ABD 和∠ADE 的
度数,即可求解;
(2)求出 BE 的长度,根据解直角三角形求出 BF 和 EF 的长度,在 Rt ABD△ 中,求出 AD、
BD 的长度,证出四边形 BDCF 为矩形,可求得快艇的速度和 CE 之间的距离.
【详解】
(1)过点 B 作 BD AC 于点 D,作 BF CE 于点 E.
由题意得: 30NAB , 75GBE ,
∵ //AN BD ,
∴ 30ABD NAB ,
而 180 180 75 105DBE GBE
∴ 30 105 135ABE ABD DBE .
(2) 5 2 10BE (海里)
在 Rt BEF△ 中, 90 75 15EBF ,
sin15 10 0.26 2.6EF BE (海里),
cos15 10 0.97 9.7BF BE (海里),
在 Rt ABD△ 中, 20, 30AB ABD ,
1sin30 20 102AD AB (海里),
3cos30 20 10 3 10 1.73 17.32BD AB (海里),
∵ BD AC , BF EC ,CE AC ,∴ 90BDC DCF BFC ,
∴四边形 BDCF 为矩形,
∴ 9.7, 17.3DC BF FC BD ,
∴ 10 9.7 19.7AC AD DC
2.6 17.3 19.9CE EF CF ,
设快艇的速度为 v 海里/时,则 19.7 9.852v (海里时)
答:快艇的速度为 9.85 海里时,C,E 之间的距离为 19.9 海里.
【点睛】
本题考查矩形的判定与性质、解直角三角形的实际应用−方位角问题,理清题中各个角的度
数,熟练掌握解直角三角形的方法是解题的关键.
22.(1)见解析;(2) O 的半径为 2.5.
【解析】
【分析】
(1)根据切线的性质得到 AP AC ,可得 1 2 90 ,再根据等腰三角形的性质与角
度等量替换得到 1 4 ,故可证明;
(2)解法 1,先连接 BC,证明 24
5AM AD ,得到 EM=6,根据勾股定理求出 AE,再
根据 MAE CBA ∽ 列出比例式求出直径,故可求出;解法 2,连接 CD,同理得到
24
5AM AD ,根据勾股定理求出 AE,设 EC x ,根据等腰三角形的性质得到
CD=CE=x,再利用 Rt△ACD 列出方程故可求出 x,再得到直径即可求解.
【详解】
(1)证明:∵ AP 为 O 的切线, AC 为 O 的直径,
∴ AP AC ,
∴ 3 4 90 °,
∴ 1 2 90 ,
又∵ AB BE ,
∴ 2 3 ,
∴ 1 4
∴ AB BM .
(2)方法 1:解:如图,连接 BC ,
∵ AC 为直径,∴ 90ABC ,
∴ 3 90C ,而 3 4 90 °,
∴ 4C ,
又: 1 4, C D ,
∴ 1 D C ,
∴ 24
5AM AD ,
∵ 3AB , AB BM BE ,∵ 6EM ,
∴
2
2 2 2 24 186 5 5AE EM AM
.
∵ 1 , 90C EAM ABC ,
∴ MAE CBA ∽ ,
∴ ME AE
CA AB
,
∴
18
6 5
3CA
,
∴
18 518
5
CA
∴ O 的半径为 2.5.
方法 2:解:如图,连接 CD,
∵ AB BE ,∴ 2 3 ,
又∵ 2 , 3DEC EDC ,
∴ DEC EDC ,
∴ DC EC ,
∵ AC 为直径,∴ 90ADC ,
∴ 90ADE EDC ,
而 3 4 90 , 3EDC ,
∴ 4ADE ,
又∵ 1 4 ,
∴ 1 ADE ,
∴ 24
5AM AD ,
∵ 3,AB AB BM BE ,
∴ 6EM ,
∴
2
2 2 2 24 186 5 5AE EM AM
.
设 EC x ,则 18 ,5AC AE EC x DC x ,
在 Rt ADC 中,
2 2 2AD DC AC ,∴
2 2
224 18
5 5x x
,解得 7
5x
∴ 18 7 55 5AC ,
∴ O 的半径为 2.5.
【点睛】
此题主要考查切线的综合运用,解题的关键是熟知切线的性质、勾股定理、相似三角形的判
定与性质及等腰三角形的性质.
23.(1) 2 80 (0 20)
4 40 (20 30)
x xy x x
;(2)当月第 15 天,该产品的销售额最大,最大销
售额是 500 元.
【解析】
【分析】
(1)分为 0 20x 和 20 x 30 ,用待定系数法确定解析式即可;
(2)分别计算出 0 20x 和 20 x 30 时的最大值,进行比较,最大的作为最大值即可.
【详解】
(1)当 0 20x 时,设 1 1y k x b ,由图象得:
1
1 1
80
20 40
b
k b
解得: 1
1
2
80
k
b
∴ 2 80(0 20)y x x
当 20 x 30 时,设 2 2y k x b ,由图象得:
2 2
2 2
20 40
30 80
k b
k b
解得: 2
2
4
40
k
b
∴ 4 40(20 30)y x x
综上, 2 80 (0 20)
4 40 (20 30)
x xy x x
.
(2)设当月该农产品的销售额为 w 元,则 w yp .
当 0 20x 时,
2 22 4 4( 2 80) 4 24 320 ( 15) 5005 5 5w x x x x x
∵ 4 05
,由二次函数的性质可知:
∴当 15x 时, 500w 最大
当 20 x 30 时,
2 21 4 4(4 40) 12 56 480 ( 35) 5005 5 5w x x x x x
∵ 4 0,20 305 x ,由二次函数的性质可知:
当 30x 时, 24 (30 35) 500 4805w 最大
∵500 480
∴当 15x 时,w 取得最大值,该最大值为 500.
答:当月第 15 天,该产品的销售额最大,最大销售额是 500 元.
【点睛】
本题考查了一次函数,二次函数在实际问题中的应用,能根据实际问题提供的关系式快速列
式并进行准确的计算是解题的关键.
24.(1)直线 AB 的解析式为 3 34y x ,抛物线顶点坐标为 5 121,4 32
;(2)当 13
4x 时,
PD BD 的最大值为 169
32
; 13 57,4 32P
;(3) 21 13 3
2 4 2y x x .
【解析】
【分析】
(1)先根据函数关系式求出 A、B 两点的坐标,设直线 AB 的解析式为 y kx b ,利用待
定系数法求出 AB 的解析式,将二次函数解析式配方为顶点式即可求得顶点坐标;
(2)过点 D 作 DE y 轴于 E,则 //DE OA .求得 AB=5,设点 P 的坐标为
21 5 5, 3 42 4 4x x x x
,则点D 的坐标为 3, 34x x
,ED=x,证明 BDE BAO ∽ ,
由相似三角形的性质求出 5
4BD x ,用含 x 的式子表示 PD,配方求得最大值,即可求得
点 P 的坐标;
(3)设平移后抛物线 L 的解析式 21 121( )2 32y x m ,将 L′的解析式和直线 AB 联立,
得到关于 x 的方程,设 1 1 2 2, , ,M x y N x y ,则 1 2,x x 是方程
2 23 252 04 16x m x m
的两根,得到 1 2
32 4x x m
,点 A 为 MN 的中点,
1 2 8x x ,可求得 m 的值,即可求得 L′的函数解析式.
【详解】
(1)在 21 5 32 4y x x 中,
令 0y ,则 21 5 3 02 4x x ,解得 1 2
3 , 42x x ,
∴ (4,0)A .
令 0x ,则 3y ,∴ 0, 3B .
设直线 AB 的解析式为 y kx b ,则 4 0
3
k b
b
,解得:
3
4
3
k
b
,
∴直线 AB 的解析式为 3 34y x .
2
21 5 1 5 12132 4 2 4 32y x x x
,
∴抛物线顶点坐标为 5 121,4 32
(2)如图,过点 D 作 DE y 轴于 E,则 //DE OA .
∵ 4, 3OA OB ,
∴ 2 2 2 24 3 5AB OA OB ,
设点 P 的坐标为 21 5 5, 3 42 4 4x x x x
,
则点 D 的坐标为 3, 34x x
,
∴ ED x .
∵ //DE OA ,
∴ BDE BAO ∽ ,
∴ BD ED
BA OA
,
∴
5 4
BD x ,
∴ 5
4BD x .
而 2 23 1 5 13 3 24 2 4 2PD x x x x x
,
∴
2
2 21 5 1 13 1 13 16922 4 2 4 2 4 32PD BD x x x x x x
,
∵ 1 02
, 5 44 x ,由二次函数的性质可知:
当 13
4x 时, PD BD 的最大值为 169
32
.
2
23 5 3 13 5 13 573 34 4 4 4 4 4 32x x
,
∴ 13 57,4 32P
.
(3)设平移后抛物线 L 的解析式 21 121( )2 32y x m ,
联立
2
3 34
1 121( )2 32
y x
y x m
,
∴ 23 1 1213 ( )4 2 32x x m ,
整理,得: 2 23 252 04 16x m x m
,
设 1 1 2 2, , ,M x y N x y ,则 1 2,x x 是方程 2 23 252 04 16x m x m
的两根,
∴ 1 2
32 4x x m
.
而 A 为 MN 的中点,∴ 1 2 8x x ,
∴ 32 84m
,解得: 13
4m .
∴抛物线 L 的解析式
2
21 13 121 1 13 3
2 4 32 2 4 2y x x x
.
【点睛】
本题考查二次函数的图象和性质、相似三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式,
解题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质.
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