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- 2021-11-10 发布
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2021 年甘肃省初中毕业与升学考试数学
模拟卷(一)
(考试时间:120 分钟 满分:120 分)
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 3 分,共 30 分)
1.(2020·十堰)1
4 的倒数是 ( A )
A.4 B.-4 C.1
4 D.-1
4
2.(2020·通辽)如图,将一副三角尺按下列位置摆放,使∠α和∠
β互余的摆放方式是 ( A )
A B C D
3.若一个圆的面积是 16π,则它的直径是 ( C )
A.2 B.4 C.8 D.16
4.(2020·桂林)下面四个几何体中,左视图为圆的是 ( D )
A B C D
5.(2020·临夏州模拟)下列计算正确的是 ( C )
A.a2·a3=a6 B.(x+y)2=x2+y2
C.(a5÷a2)2=a6 D.(-3xy)2=9xy2
6.(2020·泸州)古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时,
提出了分线段的“中末比”问题:点 G 将一线段 MN 分为两线段 MG,
GN,使得其中较长的一段 MG 是全长 MN 与较短的一段 GN 的比例中项,
即满足MG
MN =GN
MG = 5-1
2 ,后人把 5-1
2 这个数称为“黄金分割”
数,把点 G 称为线段 MN 的“黄金分割”点.如图,在△ABC 中,已
知 AB=AC=3,BC=4,若 D,E 是边 BC 的两个“黄金分割”点,则
△ADE 的面积为 ( A )
A.10-4 5 B.3 5 -5 C.5-2 5
2 D.20-8 5
第 6 题图 第 8 题图
7.(2020·遵义)已知 x1,x2 是方程 x2-3x-2=0 的两根,则 x
2
1
+
x
2
2
的值为 ( D )
A.5 B.10 C.11 D.13
8.如图,在平面直角坐标系中,O 是菱形 ABCD 对角线 BD 的中点,
AD∥x 轴且 AD=4,∠A=60°,将菱形 ABCD 绕点 O 旋转,使点 D 落
在 x 轴上,则旋转后点 C 的对应点的坐标是 ( D )
A.(0,2 3 ) B.(2,-4)
C.(2 3 ,0) D.(0,2 3 )或(0,-2 3 )
9.如图,⊙A 经过平面直角坐标系的原点 O,交 x 轴于点 B(-4,0),
交 y 轴于点 C(0,3),点 D 为第二象限内圆上一点.则∠CDO 的正弦
值是 ( A )
A.3
5 B.-3
4 C.3
4 D.4
5
10.★(2020·南通)如图①,E 为矩形 ABCD 的边 AD 上一点,点 P 从
点 B 出发沿折线 B-E-D 运动到点 D 停止,点 Q 从点 B 出发沿 BC 运
动到点 C 停止,它们的运动速度都是 1 cm/s.现 P,Q 两点同时出发,
设运动时间为 x(s),△BPQ 的面积为 y(cm2),若 y 与 x 的对应关系如
图②所示,则矩形 ABCD 的面积是 ( C )
图① 图②
A.96 cm2 B.84 cm2 C.72 cm2 D.56 cm2
二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 3 分,共 24 分)
11.(2020·鞍山)据《光明日报》报道:截至 2020 年 5 月 31 日,全
国参与新冠肺炎疫情防控的志愿者约为 8 810 000,将数据 8 810 000
用科学记数法表示为__8.81×106__.
12.(2020·酒泉模拟)把 ax2-4a 分解因式的结果是
__a(x+2)(x-2)__.
13.(2020·吉林)我国古代数学著作《算学启蒙》中有这样一个数学
问题,其大意是:跑得快的马每天走 240 里,跑得慢的马每天走 150
里,慢马先走 12 天,快马几天可以追上慢马?设快马 x 天可以追上
慢马,根据题意,可列方程为__(240-150)x=150×12__.
14.(2020·南京)若式子 1- 1
x-1 在实数范围内有意义,则 x 的取
值范围是__x≠1__.
15.(2020·安顺)在“抛掷正六面体”的试验中,正六面体的六个面
分别标有数字“1”“2”“3”“4”“5”“6”,在试验次数很大时,与数
字“6”朝上的频率的变化趋势接近的值是__1
6 __.
16.(2020·广西)以原点为中心,把点 M(3,4)逆时针旋转 90°得到
点 N,则点 N 的坐标为__(-4,3)__.
17.(2020·凉山州)如图,点 C,D 分别是半圆 AOB 上的三等分点,
若阴影部分的面积是3
2 π,则半圆的半径 OA 的长为__3__.
18.(2020·孝感)有一列数,按一定的规律排列成1
3 ,-1,3,-9,
27,-81,….若其中某三个相邻数的和是-567,则这三个数中第一
个数是-81.
三、解答题(一)(本大题共 5 小题,共 26 分)
19.(4 分)(2020·张掖)计算:(-2)-2-| 3 -2|+ - 3
2
0
-
3
8
-2cos 30°.
解:(-2)-2-| 3 -2|+ - 3
2
0
-
3
8 -2cos 30°
=1
4 -2+ 3 +1-2-2× 3
2
=-23
4 .
20.(4 分)(2020·上海)解不等式组:
10x>7x+6,
x-1<x+7
3 .
解:
10x>7x+6①,
x-1<x+7
3 ②. 解不等式①得 x>2,
解不等式②得 x<5.
故原不等式组的解集是 2<x<5.
21.(6 分)(2020·南通)(1)如图①,点 D 在 AB 上,点 E 在 AC 上,
AD=AE,∠B=∠C.求证:AB=AC;
(2)如图②,A 为⊙O 上一点,按以下步骤作图:
①连接 OA;
②以点 A 为圆心,AO 长为半径作弧,交⊙O 于点 B;
③在射线 OB 上截取 BC=OA;
④连接 AC.
若 AC=3,求⊙O 的半径.
图① 图②
(1)证明:在△ABE 和△ACD 中,
∠B=∠C
∠A=∠A
AE=AD
,∴△ABE≌△ACD(AAS),
∴AB=AC;
(2)解:连接 AB,如图②,
由作法得 OA=OB=AB=BC,
∴△OAB 为等边三角形,
∴∠OAB=∠OBA=60°,
∵AB=BC,∴∠C=∠BAC,
∵∠OBA=∠C+∠BAC,
∴∠C=∠BAC=30°,∴∠OAC=90°,
在 Rt△OAC 中,OA= 3
3 AC= 3
3 ×3= 3 .
即⊙O 的半径为 3 .
22.(6 分)(2020·遵义)某校为检测师生体温,在校门安装了某型号
测温门.如图为该测温门截面示意图,已知测温门 AD 的顶部 A 处距
地面高为 2.2 m,为了解自己的有效测温区间.身高 1.6 m 的小聪做
了如下实验:当他在地面 N 处时测温门开始显示额头温度,此时在额
头 B 处测得 A 的仰角为 18°;在地面 M 处时,测温门停止显示额头
温度,此时在额头 C 处测得 A 的仰角为 60°.求小聪在地面的有效测
温区间 MN 的长度.(额头到地面的距离以身高计,计算精确到 0.1 m,
sin 18°≈0.31,cos 18°≈0.95,tan 18°≈0.32, 3 ≈1.73)
解:延长 BC 交 AD 于点 E,
则 AE=AD-DE=0.6(m).BE= AE
tan 18° ≈1.875(m),
CE= AE
tan 60° ≈0.347(m).
∴BC=BE-CE=1.528(m).
∴MN=BC≈1.5(m).
答:小聪在地面的有效测温区间 MN 的长度约为 1.5 m.
23.(6 分)(2020·呼伦贝尔)一个不透明的口袋中装有三个完全相同
的小球,上面分别标有数字 2 , 3 ,5.
(1)从口袋中随机摸出一个小球,求摸出小球上的数字是无理数的概
率(直接写出结果);
(2)先从口袋中随机摸出一个小球,将小球上的数字记为 x,把小球
放回口袋中并搅匀,再从口袋中随机摸出一个小球,将小球上的数字
记为 y.请用列表法或画树状图法求出 x 与 y 的乘积是有理数的概率.
解:(1)摸出小球上的数字是无理数的概率=2
3 ;
(2)画树状图如下:
可知:共有 9 种等可能的结果,其中两个数字的乘积为有理数的有 3
种,
∴两次摸出的小球所标数字乘积是有理数的概率为3
9 =1
3 .
四、解答题(二)(本大题共 5 小题,共 40 分)
24.(7 分)(2020·大连)某校根据《教育部基础教育课程教材发展中
心中小学生阅读指导目录(2020 版)》公布的初中段阅读书目,开展
了读书活动.六月末,学校对八年级学生在此次活动中的读书量进行
了抽样调查,如图是根据调查结果绘制的统计图表的一部分.
读书量 频数(人) 频率
1 本 4
2 本 0.3
3 本
4 本及以上 10
根据以上信息,解答下列问题:
(1)被调查学生中,读书量为 1 本的学生数为______人,读书量达到
4 本及以上的学生数占被调查学生总人数的百分比为______%;
(2)被调查学生的总人数为________人,其中读书量为 2 本的学生数
为________人;
(3)若该校八年级共有 550 名学生,根据调查结果,估计该校八年级
学生读书量为 3 本的学生人数.
解:(1)4;20;
(2)50;15;
(3)(50-4-10-15)÷50×550=231(人),
答:该校八年级学生读书量为 3 本的学生有 231 人.
25.(7 分)(2020·嘉兴)经过实验获得两个变量 x(x>0),y(y>0)
的一组对应值如下表.
x 1 2 3 4 5 6
y 6 2.9 2 1.5 1.2 1
(1)请画出相应函数的图象,并求出函数表达式;
(2)点 A(x1,y1),B(x2,y2)在此函数图象上.若 x1<x2,则 y1,y2 有
怎样的大小关系?请说明理由.
解:(1)函数图象如图所示,设函数表达式为 y=k
x (k≠0),
把 x=1,y=6 代入,得 k=6,
∴函数表达式为 y=6
x (x>0);
(2)∵k=6>0,
∴在第一象限,y 随 x 的增大而减小,
∴0<x1<x2 时,则 y1>y2.
26.(8 分)(2020·赤峰)如图,AB 是⊙O 的直径,AC 是⊙O 的一条弦,
点 P 是⊙O 上一点,且 PA=PC,PD∥AC,与 BA 的延长线交于点 D.
(1)求证:PD 是⊙O 的切线;
(2)若 tan ∠PAC=2
3 ,AC=12,求直径 AB 的长.
解:(1)连接 PO,交 AC 于 H,
∵PA=PC,
∴∠PAC=∠PCA,
∵∠PCA=∠PBA,
∴∠PAC=∠PCA=∠PBA,
∵DP∥AC,∴∠DPA=∠PAC=∠PCA=∠PBA,
∵OA=OP,∴∠PAO=∠OPA,
∵AB 是直径,∴∠APB=90°,
∴∠PAB+∠ABP=90°,
∴∠OPA+∠DPA=90°,∴∠DPO=90°,
又∵OP 是半径,∴DP 是⊙O 的切线;
(2)∵DP∥AC,∠DPO=90°,
∴∠DPO=∠AHO=90°,
又∵PA=PC,∴AH=HC=1
2 AC=6,
∵tan ∠PAC=PH
AH =2
3 ,∴PH=2
3 ×AH=4,
∵AO2=AH2+OH2,∴AO2=36+(OA-4)2,
∴OA=13
2 ,∴AB=2OA=13.
27.(8 分)(2020·玉林)如图,四边形 ABCD 中,对角线 AC 与 BD 交
于点 O,且 OA=OB=OC=OD= 2
2 AB.
(1)求证:四边形 ABCD 是正方形;
(2)若 H 是边 AB 上一点(H 与 A,B 不重合),连接 DH,将线段 DH 绕点
H 顺时针旋转 90°,得到线段 HE,过点 E 分别作 BC 及 AB 延长线的
垂线,垂足分别为 F,G.设四边形 BGEF 的面积为 S1,以 HB,BC 为邻
边的矩形的面积为 S2,且 S1=S2.当 AB=2 时,求 AH 的长.
(1)证明:∵OA=OB=OC=OD,
∴四边形 ABCD 是平行四边形,
∴AC=BD,
∴平行四边形 ABCD 是矩形,
∵OA=OB=OC=OD= 2
2 AB,
∴OA2+OB2=AB2,
∴∠AOB=90°,即 AC⊥BD,
∴四边形 ABCD 是正方形;
(2)解:∵EF⊥BC,EG⊥AG,
∴∠G=∠EFB=∠FBG=90°,
∴四边形 BGEF 是矩形,
∵将线段 DH 绕点 H 顺时针旋转 90°,得到线段 HE,
∴∠DHE=90°,DH=HE,
∴∠ADH+∠AHD=∠AHD+∠EHG=90°,
∴∠ADH=∠EHG,
∵∠DAH=∠G=90°,∴△ADH≌△GHE(AAS),
∴AD=HG,AH=EG,
∵AB=AD,∴AB=HG,∴AH=BG,∴BG=EG,
∴矩形 BGEF 是正方形,
设 AH=x,则 BG=EG=x,
∵S1=S2.∴x2=2(2-x),
解得:x= 5 -1(负值已舍去),∴AH= 5 -1.
28.(10 分)(2020·呼伦贝尔)如图,抛物线 y=-1
2 x2+bx+c 与 x
轴交于点 A(-1,0)和点 B(4,0),与 y 轴交于点 C,连接 BC,点 P
是线段 BC 上的动点(与点 B,C 不重合),连接 AP 并延长 AP 交抛物线
于点 Q,连接 CQ,BQ,设点 Q 的横坐标为 m.
(1)求抛物线的解析式和点 C 的坐标;
(2)当△BCQ 的面积等于 2 时,求 m 的值;
(3)在点 P 运动过程中,PQ
AP 是否存在最大值?若存在,求出最大值;
若不存在,请说明理由.
解:(1)∵抛物线经过 A(-1,0),B(4,0),可得:
0=-1
2-b+c,
0=-1
2×16+4b+c,
解得:
b=3
2,
c=2,
∴抛物线的解析式为:y=-1
2 x2+3
2 x+2,
令 x=0,则 y=2,
∴点 C 的坐标为(0,2);
(2)如图,连接 OQ,
∵点 Q 的横坐标为 m,∴Q
m,-1
2m2+3
2m+2
,
∴S=S△OCQ+S△OBQ-S△OBC=1
2 ×2×m+1
2 ×4×
-1
2m2+3
2m+2
-1
2 ×2
×4=-m2+4m,
令 S=2,解得:m=2+ 2 或 2- 2 .
(3)如图,过点 Q 作 QH⊥BC 于 H,
∵AC= 12+22 = 5 ,BC= 42+22 = 20 ,AB=5,
满足 AC2+BC2=AB2,
∴∠ACB=90°,又∠QHP=90°,∠APC=∠QPH,
∴△APC∽△QPH,∴PQ
AP =QH
AC =QH
5
,
∵S△BCQ=1
2 BC·QH= 5 QH,
∴QH=
S△BCQ
5
,
∴PQ
AP =QH
5
=S
5 =1
5 (-m2+4m)=-1
5 (m-2)2+4
5 ,∴当 m=2 时,
PQ
AP 存在最大值4
5 .
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