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- 2021-11-10 发布
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第21章 二次根式
21．1 二次根式
1．理解二次根式的概念，并利用(a≥0)的意义解答具体题目．
2．理解(a≥0)是非负数和()2＝a.
3．理解＝a(a≥0)并利用它进行计算和化简．
重点
1．形如(a≥0)的式子叫做二次根式．
2.(a≥0)是一个非负数；()2＝a(a≥0)及其运用．
3.＝
难点
利用“(a≥0)”解决具体问题．
关键：用分类思想的方法导出(a≥0)是一个非负数；用探究的方法导出＝
一、复习引入
回顾：
当a是正数时，表示a的算术平方根，即正数a的正的平方根．
当a是零时，等于0，它表示零的算术平方根．
当a是负数时，没有意义．
二、探究新知
概括：(a≥0)表示非负数a的算术平方根，也就是说，(a≥0)是一个非负数，它的平方等于a.即有：
(1)≥0(a≥0)；(2)()2＝a(a≥0)．
形如(a≥0)的式子叫做二次根式．
注意：在中，a的取值必须满足a≥0，即二次根式的被开方数必须是非负数．
思考：等于什么？
我们不妨取a的一些值，如2，－2，3，－3等，分别计算对应的的值，看看有什么规律．
概括：当a≥0时，＝a；当a<0时，＝－a.
三、练习巩固
1．x取什么实数时，下列各式有意义？
(1)； (2)；
(3)； (4)＋.
2．计算下列各式的值：
(1)()2; (2)()2；
(3)()2; (4)(3)2.
3．若＋＝0，求a2020＋b2020的值．
4．化简：
(1)； (2)；
(3)； (4).
5．若－3≤x≤2时，试化简|x－2|＋.
四、小结与作业
小结
1．师生共同回顾二次根式的概念及有关性质：
(1)()2＝a(a≥0)；
(2)当a≥0时，＝a；当a<0时，＝－a.
2．通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流．
布置作业
从教材相应练习和“习题21.1”中选取．
本节课从复习算术平方根入手引入二次根式的概念，再通过特殊数据的计算，理解二次根式的有关性质，经历观察、归纳、分类讨论等思维过程，从中获得数学知识与技能，体验教学活动的方法.21.2 二次根式的乘除
21．2.1 二次根式的乘法
理解·＝(a≥0，b≥0)，并利用它们进行计算和化简．
由具体数据发现规律，导出·＝(a≥0，b≥0)并运用它进行计算．
通过探究·＝(a≥0，b≥0)，培养特殊到一般的探究精神，培养学生对事物规律的观察发现能力，激发学生的学习兴趣．
重点
·＝(a≥0，b≥0)及它的应用．
难点
发现规律，导出·＝(a≥0，b≥0)．
一、情境引入
1．填空：
(1)×＝________，
＝________；
(2)×＝________，
＝________；
(3)×＝________，
＝________．
参照上面的结果，用“>”、“<”或“＝”填空．
×________；
×________；
×________.
2．利用计算器计算填空．
×________；
×________；
×________；
×________.
二、探究新知
(学生活动)让3，4个同学上台总结规律．
教师点评：(1)被开方数都是正数；(2)两个二次根式的积等于这样一个二次根式，它的被开方数等于前两个二次根式的被开方数的积．
一般地，对二次根式的乘法规定为
·＝(a≥0，b≥0)．
例1 计算：
(1)×； (2)×；
(3)×.
解：(1)×＝；
(2)×＝＝；
(3)×＝＝.
三、练习巩固
1．直角三角形两条直角边的长分别为 cm和 cm，那么此直角三角形斜边长是( )
A．3 cm B．3 cm
C．9 cm D．27 cm
2．化简a的结果是( )
A. B.
C．－ D．－
3．等式·＝成立的条件是( )
A．x≥1 B．x≥－1
C．－1≤x≤1 D．x≥1或x≤－1
4．下列各等式成立的是( )
A．4×2＝8
B．5×4＝20
C．4×3＝7
D．5×4＝20
四、小结与作业
小结
1．由学生小组讨论汇报通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流．
2．教师总结归纳二次根式的乘法规定
·＝(a≥0，b≥0)．
布置作业
从教材“习题21.2”中选取．
这节课教师引导学生通过具体数据，发现规律，导出·＝(a≥0，b≥0)，并学会它的应用，培养学生由特殊到一般的探究精神，培养学生对于事物规律的观察、发现能力，激发学生的学习兴趣．
21．2.2 积的算术平方根
1．理解＝·(a≥0，b≥0)．
2．运用＝·(a≥0，b≥0)．
重点
＝·(a≥0，b≥0)及其应用．
难点
＝·(a≥0，b≥0)的理解与应用．
一、情境引入
一般地，对二次根式的乘法规定为
·＝(a≥0，b≥0)．
反过来，＝·(a≥0，b≥0)．
二、举例分析
教师用多媒体出示例1，引导学生利用＝·(a≥0，b≥0)直接化简．
例1 化简：
(1)； (2)；
(3)； (4).
解：(1)＝×＝3×4＝12；
(2)＝×＝4×9＝36；
(3)＝×＝9×10＝90；
(4)＝＝×＝3.
教师用多媒体出示例2，学生板演，集体讲评，注意引导学生理解并掌握积的算术平方根应用的条件：a≥0，b≥0.
例2 判断下列各式是否正确，不正确的请改正：
(1)＝×；
(2)×＝4××
＝4×＝4＝8.
三、练习巩固
1．化简：
(1)；(2)；(3)；(4).
2．自由落体的公式为s＝gt2(g为重力加速度，它的值约为10 m/s2)，若物体下落的高度为120 m，则下落的时间是________s.
四、小结与作业
小结
1．通过这节课的学习，你掌握了哪些新知识，还有哪些疑问？请与同伴交流．
2．教师总结归纳积的算术平方根等于各因式算术平方根的积，即
＝·(a≥0，b≥0)．
布置作业
从教材“习题21.2”中选取．
本课时教学以“自主探究——合作交流”为主体形式，先给学生独立思考的时间，提供学生创新的空间与可能，再给不同层次的学生提供一个交流合作的机会，培养学生独立探究、合作学习的能力，训练逆向思维，通过严谨解题，增加学生准确解题的能力.21.2.3 二次根式的除法
1．理解＝(a≥0，b>0)和＝(a≥0，b>0)，并运用它们进行计算．
2．利用具体数据，通过学生练习活动，发现规律，归纳出除法规定，并用逆向思维写出逆向等式及利用它们进行计算和化简．
3．理解最简二次根式的概念，并运用它将不是最简二次根式的化成最简二次根式．
重点
1．理解＝(a≥0，b>0)，＝(a≥0，b>0)及利用它们进行计算和化简．
2．最简二次根式的运用．
难点
发现规律，归纳出二次根式的除法规定．最简二次根式的运用．
一、情境引入
(学生活动)请同学们完成下列各题．
1．写出二次根式的乘法规定及逆向公式．
2．填空：
(1)＝________，＝________；
(2)＝________，＝________；
(3)＝________，＝________；
(4)＝________，＝________．
规律：
________；________；
________；________.
3．利用计算器计算填空：
(1)＝________；(2)＝________；
(3)＝________；(4)＝________．
规律：
________；________；
________；________.
教师用多媒体展示，每组推荐一名同学阐述运算结果，教师最后点评．
二、探究新知
刚才同学们都练习得很好，上台的同学也回答得十分准确，根据大家的练习和回答，我们可以得到：
一般地，对二次根式的除法规定
＝(a≥0，b>0)．
反过来，＝(a≥0，b>0)．
下面我们利用这个规定来计算和化简一些题目．
例1 计算：
(1)； (2)÷；
(3)÷； (4).
解：(1)＝＝＝2；
(2)÷＝＝＝＝
×＝2；
(3)÷＝＝＝＝2；
(4)＝＝＝2.
例2 化简：
(1)； (2)；
(3)； (4).
解：(1)＝3；
(2)＝＝；
(3)＝＝；
(4)＝＝.
观察上面各小题的最后结果，发现这些二次根式有这些特点：
(1)被开方数中不含分母；
(2)被开方数中所含的因数(或因式)的幂的指数都小于2.
教师在此过程中强调，要求最后结果化成最简二次根式．
三、练习巩固
1．化简：
(1)3； (2)－；
(3)； (4).
2．已知＝，则a的取值范围是________．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2.5 cm，BC＝6 cm，求AB的长．
第1题可由学生自主完成，第2、3题教师可给予相应的指导．
四、小结与作业
小结
请若干学生口述小结，老师再利用电子课件将小结放映在屏幕上．
布置作业
从教材“习题21.2”中选取．
本课时教学突出学生主体性原则，即通过探究学习，指导学生独立思考，通过具体数据得出规律，再让学生相互交流，或上台展示自己的发现，或表述个人的体验，从中获取成功的体验后，激发学生探究的激情．
21．3 二次根式的加减
1．掌握同类二次根式的概念，会判断同类二次根式，会合并同类二次根式．
2．掌握二次根式加减乘除混合运算的方法．
重点
二次根式加减法的运算．
难点
探讨二次根式加减法的运算方法，快速准确进行二次根式加减法的运算．
一、情境引入
1．合并同类项：
(1)2x＋3x； (2)2x2－3x2＋5x2.
解：(1)5x；(2)4x2.
这几道题是你运用什么知识做的？加减法则．
2．化简：
(1)； (2).
解：(1)；(2)4.
3．如何进行二次根式的加减计算？先化简，再合并．
4．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式后，它们的被开方数相同，这些二次根式就称为同类二次根式，就是本书中所讲的被开方数相同的二次根式．如2与3；2，3与5.
二、探究新知
例1 计算：
(1)2＋3；
(2)2－3＋5；
(3)＋2＋3；
(4)3－2＋.
教师多媒体展示例1.(1)如果我们把当成x，不就转化成上面的问题了吗？
因此，二次根式的被开方数相同的可以合并，如2与表面上看是不同的，但它们可以合并．
归纳：二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并．
例2 计算：
(1)2－6＋3；
(2)(＋)＋(－)．
教师多媒体展示例2.学生自主完成，小组内展示、点评，教师巡视．
三、练习巩固
1．下列计算是否正确？为什么？
(1)－＝；
(2)＋＝；
(3)3－＝2.
2．以下二次根式：①；②；③；④中，与是同类二次根式的是( )
A．①和② B．②和③
C．①和④ D．③和④
3．计算：
(1)－＋；
(2)＋(－)；
(3)(＋)－(＋)；
(4)3－9＋3.
4．已知x＝＋1，y＝－1，求下列各式的值．
(1)x2＋2xy＋y2； (2)x2－y2.
教师多媒体展示，点名回答第1，2题，第3题学生板演，教师点评．
四、小结与作业
小结
请学生分组讨论，小组代表汇报，教师展示本节课学习的知识要点．
布置作业
从教材相应练习和“习题21.3”中选取．
本节课通过复习整式的加减法、合并同类项，引入二次根式的概念及二次根式的合并方法，对法则的教学与整式的加减比较学习，在理解、掌握和运用二次根式的加减法运算法则的学习过程中，渗透了分析、概括、类比等数学思想方法，提高学生的思维品质和兴趣．
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