【初中数学干货】初中数学定理、公式汇编 12页

1 1 初中数学定理、公式汇编 第一篇 数与代数 第一节 数与式 一、实数 1. 实数的分类：整数(包括:正整数、0、负整数)和分数(包括:有限小数和无限环循小数)都是有理数.如: －3, ,0.231,0.737373…, , 等；无限不环循小数叫做无理数. 如:π, ,0.1010010001…(两个 1 之间依次多 1 个 0)等.有理数和无理数统称为实数. 2. 数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫数轴。实数和数轴上的点一一对应。 3. 绝对值：在数轴上表示数a的点到原点的距离叫数a的绝对值，记作∣a∣。正数的绝对值是它本身；负 数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。如:丨－ _丨= ；丨3.14－π丨=π－3.14. 4. 相反数：符号不同、绝对值相等的两个数，叫做互为相反数。a的相反数是-a，0的相反数是0。 5. 有效数字：一个近似数,从左边笫一个不是0的数字起,到最末一个数字止,所有的数字,都叫做这个近似 数的有效数字.如:0.05972精确到0.001得0.060,结果有两个有效数字6,0. 6. 科学记数法：把一个数写成a×10n的形式(其中1≤a<10,n是整数),这种记数法叫做科学记数法. 如:407000=4.07×105,0.000043=4.3×10－5. 7. 大小比较：正数大于 0，负数小于 0，两个负数，绝对值大的反而小。 8. 数的乘方：求相同因数的积的运算叫乘方，乘方运算的结果叫幂。 9.平方根：一般地，如果一个数 x 的平方等于 a,即 x2=a 那么这个数 a 就叫做 x 的平方根（也叫做二次方根 式）。一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0 只有一个平方根，它是 0 本身；负数没有平方根． 10．开平方：求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方． 11．算术平方根：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a,即 x2=a，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根， 0 的算术平方根是 0． 12．立方根：一般地，如果一个数 x 的立方等于 a,即 x3=a，那么这个数 x 就叫做 a 的立方根（也叫做三次 方根）,正数的立方根是正数;负数的立方根是负数；0 的立方根是 0． 13．开立方：求一个数 a 的立方根的运算叫做开立方． 14．平方根易错点：（1）平方根与算术平方根不分，如 64 的平方根为士 8，易丢掉－8，而求为 64 的算 术平方根； （2） 4 的平方根是士 2 ，误认为 4 平方根为士 2，应知道 4 =2． 15.二次根式： (1)定义:式子叫做二次根式. 16．二次根式的化简： 17．最简二次根式应满足的条件：（1）被开方数的因式是整式或整数；（2）被开方数中不含有能开得尽的 因数或因式． 18．同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同 类二次根式． 19 ． 二 次 根 式 的 乘 法 、 除 法 公 式 2 2 20．.二次根式运算注意事项：（1）二次根式相加减，先把各根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式， 防止：①该化简的没化简；②不该合并的合并；③化简不正确；④合并出错．（2）二次根式的乘法除法 常用乘法公式或除法公式来简化计算，运算结果一定写成最简二次根式或整式． 21．有理数加法法则：同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；异号两数相加，绝对值相等时和 为 0；绝对值不等时，取绝对值较大的数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；一个数同 0 相 加，仍得这个数． 22．有理数减法法则：减去一个数，等于加上这个数的相反数． 23．有理数乘法法则：两个有理数相乘，同号得正，异号得负，再把绝对值相乘；任何数与 0 相乘，积仍 为 0． 24．有理数除法法则：两个有理数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除；0 除以任何非 0 的数都 得 0；除以一个数等于乘以这个数的倒数． 25．有理数的混合运算法则：先算乘方，再算乘除，最后算加减；如果有括号，先算括号里面的． 二.代数式： （1）用运算符号把数和表示数的字母连接而成的式子叫做代数式。单独一个数或一个字母也是代数式。 （2）同类项：是指所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项。合并同类项的法则：系数相加作系 数，字母和字母的指数不变。 三.整式 1.幂的运算性质：①同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即 nmnm aaa  （m、 n 为正整数）；②同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即 nmnm aaa  （a≠0， m、n 为正整数，m>n）；③幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，即 nnn baab )( （n 为正 整数）；④零指数： 10 a （a≠0）；⑤负整数指数： n n a a 1 （a≠0，n 为正整数）； 2.整式的乘除法: ①几个单项式相乘除,系数与系数相乘除,同底数的幂结合起来相乘除. ②单项式乘以多项式,用单项式乘以多项式的每一个项. ③多项式乘以多项式,用一个多_项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项. ④多项式除以单项式,将多项式的每一项分别除以这个单项式. ⑤平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方，即 22))(( bababa  ； ⑥完全平方公式：两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的 2 倍，即 222 2)( bababa  3．分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式． 4．分解因式的方法： ⑴提公团式法：如果一个多项式的各项含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化 成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． ⑵运用公式法：公式 2 2 ( )( )a b a b a b    ； 2 2 22 ( )a ab b a b    5．分解因式的步骤：分解因式时，首先考虑是否有公因式，如果有公因式，一定先提取公团式，然后再考 虑是否能用公式法分解． 6．分解因式时常见的思维误区： ⑴ 提公因式时，其公团式应找字母指数最低的，而不是以首项为准． ⑵ 提取公因式时，若有一项被全部提出，括号内的项“ 1”易漏掉． ⑶ 分解不彻底，如保留中括号形式，还能继续分解等 3 3 四.分式 1．分式：整式 A 除以整式 B，可以表示成A B 的形式，如果除式 B 中含有字母，那么称A B 为分式． 注：（1）若 B≠0，则A B 有意义；（2）若 B=0，则A B 无意义；（2）若 A=0 且 B≠0，则A B =0 2．分式的基本性质：分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． 3．约分：把一个分式的分子和分母的公团式约去，这种变形称为分式的约分． 4．通分：根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分． 5．分式的加减法法则：（1）同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减；（2）异分母的分式相加减， 先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算． 6．分式的乘除法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母；两 个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘． 7．通分注意事项：（1）通分的关键是确定最简公分母，最简公分母应为各分母系救的最小公倍数与所有相 同因式的最高次幂的积；（2）易把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉． 8．分式的混合运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的． 9．对于化简求值的题型要注意解题格式，要先化简， 第二节 方程与不等式 一、一元一次方程 1．方程：含有未知数的等式叫方程． 2．一元一次方程：只含有一个未知数，并且未知数的指数是 1（次）系数不为 0，这样的方程叫一元一次 方程．一般形式：ax＋b=0（a≠0） 3．解一元一次方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，未知数系数化为一。 二、二元一次方程（组） 1．二元一次方程：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1 的方程叫做二元一次方程． 2．二元一次方程组：含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫做二元一次方程组． 3．二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解． 4．二元一次方程组的解法． （1）代人消元法：解方程组的基本思路是“消元”一把“二元”变为“一元”，主要步骤是，将其中一 个方程中 的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代人另一个方程中，从而消去一个未知数，化二 元一次方程组为一元一次方程，这种解方程组的方法称为代人消元法，简称代人法． （2）加减消元法：通过方程两边分别相加（减）消去其中一个未知数，这种解二元一次方程组的方法叫 做加减消元法，简称加减法． 三、分式方程 1．分式方程：分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2.解分式方程的步骤:①去分母,化为整式方程;②解整式方程;③验根;④下结论. 3．分式方程的增根问题：⑴ 增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为 0 的条件，当把分式方程转化 为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母 的值为 0，那么就会出现不适合原方程的根 l 增根；⑵ 验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分 式方程必须验根． 四、一元二次方程 1．一元二次方程：只含有一个未知数，未知数的最高次数是 2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次 方 程．一般形式：ax2＋bx+c=0(a≠0） 2．一元二次方程的解法： 4 4 ⑴ 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一 元二次方程：ax2＋bx+c=0(k≠0）的一般步骤是：①化二次项系数为 1，即方程两边同除以二次项系数； ②移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；③配方，即方程两边都加上一次项系数的 绝对值一半的平方；④化原方程为(x+m）2=n 的形式；⑤如果 n≥0 就可以用两边开平方来求出方程的 解；如果 n=＜0，则原方程无解． ⑵ 公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法．它是通过配方推导出来的．一元二次方 程的求根公式是 a acbbx 2 42  (b2－4ac≥0) ⑶ 因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法．它的理论根据是两个因 式中至少要有一个等于 0，因式分解法的步骤是：①将方程右边化为 0；②将方程左边分解为两个一次 因式的乘积；③令 每个因式等于 0，得到两个一元一次方程，解这两个一元一次方程，它们的解就是 原一元二次方程的解． 3．一元二次方程的注意事项： ⑴ 在一元二次方程的一般形式中要注意，强调 a≠0．因当 a=0 时，不含有二次项，即不是一元二次方 程．如关于 x 的方程（k2－1）x2+2kx+1=0 中，当 k=±1 时就是一元一次方程了． ⑵ 应用求根公式解一元二次方程时应注意：①化方程为一元二次方程的一般形式；②确定 a、b、c 的值； ③求出 b2－4ac 的值；④若 b2－4ac≥0，则代人求根公式，求出 x1 ,x2．若 b2－4a＜0，则方程无解． ⑶ 方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x＋4)2=3（x＋4）中，不能随便约去（x＋4） ⑷ 注意解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一 般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法． 五、一元一次不等式(组) 1．不等式：用不等号（“＜”“≤”“＞”“≥”）表示不等关系的式子． 2．不等式的基本性质：（）不等式的两边都加上（或减去）同一个整式，不等号的方向不变．（2）不等 式的两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变．（3）不等式的两边都乘以（或除以）同一 个负数，不等号的方向改变． 3．不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解． 4．不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集． 5．解不等式：求不等式解集的过程叫做解不等式． 6．一元一次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 1，系数不为零的不等式叫做一元一 次不等式． 7．解一元一次不等式易错点：（1）不等式两边部乘以（或除以）同一个负数时，不等号的方向要改变， 这是同学们经常忽略的地方，一定要注意；（2）在不等式两边不能同时乘以 0． 8． 解一元一次不等式的步骤：①去分母，②去话号，③移项，④合并同类项，⑤系数化为 1 9．求不等式的正整数解，可负整数解等特解，可先求出这个不等式的所有解，再从中找出所需特解． 10．一元一次不等式组：关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成一个一元一次不等 式组． 11．一元一次不等式组的解集：一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次 不等式组的解集． 12．解不等式组：求不等式组解集的过程，叫做解不等式组． 13．不等式组的分类及解集(a＜b）． 14．解一元一次不等式组的步骤： （1）分别求出不等式组中各个不等式的解集 （2）利用数轴或口诀求出这些解集的公共部分，即这个不等式的解。 5 5 第三节 函数 一.平面直角坐标系 1．平面直角坐标系： （1）在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系．通常，两条数轴分别置于水 平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向．水平的数轴叫做 x 轴或横轴，铅直 的数轴叫做 y 轴或纵轴，x 轴和 y 轴统称坐标轴，它们的公共原点 O 称为直角坐标系的原点．这个平面 叫做坐标平面． (2)象限: 二.一次函数 1．一次函数：若两个变量 x、y 间的关系式可以表示成 y=kx＋b(k、b 为常数，k ≠0）的形式，则称 y 是 x 的一次函数(x 是自变量,y 是因变量〕特别地，当 b=0 时，称 y 是 x 的正比例函数． 2．一次函数的图象：一次函数 y=kx+b 的图象是经过点(0，b),(－b k ，0 ）的一条直线，正比例函数 y=kx 的图象原点(0，0）的一条直线，如下表所示． 3.一次函数的图象和性质: y=kx+b(k、b为常数k≠0)的图象是一条直线(b是直线与y轴的交点的纵坐标). 当k>0时, y 随x的增大而增大(直线从左向右上升);当k<0时,y随x的增大而减小(直线从左向右下降).特别: 当b=0时,y=kx_又叫做正比例函数(y与x成正比例),图象必过原点；一次函数y=kx+b 的图象是由正比例函数 y=kx的图象沿y轴向上（b>0）或向下(b<0)平移的到一条直线, 三.反比例函数 1.定义:________________________________________________________的函数成为反比例函数 2.图象和性质: 利用画函数图象的方法，可以画出反比例函数的图象，它的图象是双曲线，反比例函 数 y=k x 具有如下的性质（见下表）①当 k＞0 时，函数的图象在第一、三象限，在每个象限内，曲线从左 到右下降，也就是在每个象限内，y 随 x 的增加而减小；②当 k＜0 时，函数的图象在第二、四象限，在每 个象限内，曲线从左到右上升，也就是在每个象限内，y 随 x 的增加而增大． 6 6 四.二次函数 1.定义:一般形如 y=ax2+bx+c(abc 常数且 a≠0)的函数称为二次函数。 2.图象和性质:函数 y=ax2+bx+c 的图象是对称轴平行于 y 轴的抛物线； ①开口方向：当 a>0 时，抛物线开口向上，当 a<0 时，抛物线开口向下； ②对称轴：过点（ )4 4,2 2 a bac a b  且平行于 y 轴的直线；③顶点坐标（ )4 4,2 2 a bac a b  ； ④增减性：当 a>0 时，如果 a bx 2  ，则 y 随 x 的增大而减小，如果 a bx 2  ，则 y 随 x 的增大而增 大；当 a<0 时，如果 a bx 2  ，则 y 随 x 的增大而增大，如果 a bx 2  ，则 y 随 x 的增大而减小； 3．图象的平移：将二次函数 y=ax2 (a≠0）的图象进行平移，可得到 y=ax2＋c，y=a(x+m)2，y=a(x+m)2＋k 的图象． ⑴ 将 y=ax2 的图象向上(c＞0）或向下(c< 0）平移|c|个单位，即可得到 y=ax2＋c 的图象．其顶点是（0,c） 形状、对称轴、开口方向与抛物线 y=ax2 相同． ⑵ 将 y=ax2 的图象向左（m>0）或向右(m<0）平移|m|个单位，即可得到 y=a(x+m)2 的图象．其顶点是（-m， 0），对称轴是过点（-m，0）且平行于 y 轴的直线（直线 x=-m），形状、开口方向与抛物线 y=ax2 相同． ⑶ 将 y=ax2 的图象向左（m>0）或向右(m<0）平移|m|个单位，再向上(k>0)或向下(k<0)平移|k|个单位， 即可得到 y=a(x+m)2 +k 的图象，其顶点是（-m，k），对称轴是过点（-m，k）且平行于 y 轴的直线(直线 x=-m)， 形状、开口方向与抛物线 y=ax2 相同． 4. 二次函数的图象与一元二次方程的根的关系: （1）一元二次方程 2 0ax bx c   就是二次函数 cbxaxy  2 当函数 y 的值为 0 时的情况． （2）当二次函数 cbxaxy  2 的图象与 x 轴有两个交点时，则一元二次方程 cbxaxy  2 有两个不 相等的实数根；当二次函数 cbxaxy  2 的图象与 x 轴有一个交点时，则一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有两个相 等的实数根；当 二次函数 y＝ax2+ bx+c 的图象与 x 轴没有交 点时，则一元二 次方程 cbxaxy  2 没有实数根． 第二篇 空间与图形 第一节 图形的认识 一、点线面 二、角 1.角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边距离相等，角的内部到两边距离相等的点在角平分线上。 三、相交线与平行线 1.余角、补角、对顶角（相交）的性质：同角或等角的余角相等；同角或等角的补角相等； 对顶角相等。 2.垂直 (1)垂线的性质：①过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②直线外一点有与直线上各点连结的所 有线段中，垂线段最短； 7 7 (2)线段垂直平分线定义：过线段的中点并且垂直于线段的直线叫做线段的垂直平分线； （3）线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，到线段两端点的距离相 等的点在线段的垂直平分线； 3.平行 （1）平行线的定义：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线； （2）平行线的性质 ：①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③两直线平行，同旁 内角互补 （3）平行线的判定： ①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两 直线平行； （4）平行的性质：经过直线外一点有且只有一条直线平行于已知直线。 四、三角形 1.三角形的有关概念。 2.三角形的有关性质： ①三角形的三边关系：三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边； ②三角形的内角和定理：三角形的三个内角的和等于 180 ； ③三角形的外角和定理：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个的和； ④三角形的三条角平分线交于一点（内心）； ⑤三角形的三边的垂直平分线交于一点（外心）； ⑥三角形中位线定理：三角形两边中点的连线平行于第三边，并且等于第三边的一半； 3.全等三角形 （1）定义：两个能够重合的三角形是全等三角形。 （2）性质：全等三角形的对应边相等，对应角相等。 （3）三角形全等的条件： 边角边（SAS）；角边角（ASA）；角角边（AAS）；边边边（SSS）；斜边、直角边（HL） 4.等腰三角形 (1)等腰三角形的性质：①等腰三角形的两个底角相等（等边对等角）； ②等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一） (2)等腰三角形的判定：有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边）； 5.直角三角形 （1）直角三角形的性质：①直角三角形的两个锐角互为余角；②直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半； ③直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方（勾股定理）；④直角三角形中 30 角所对的直角边等于 斜边的一半； （2）直角三角形的判定： ①有两个角互余的三角形是直角三角形； ②如果三角形的三边长 a、b 、c 有下面关系 222 cba  ，那么这个三角形是直角三角形（勾股定理的 逆定理）。 6.三角函数：在 Rt△ABC 中，∠C= 90 ，SinA= 斜边 的对边A ，cosA= 斜边 的邻边A , tanA= 的邻边 的对边 A A   ； sinA=cosB; 00.∠A 越大,∠A 的正弦和正切值越大,余弦值反而越小. 特殊角的三角函数值： 8 8 30 45 60 Sinα 2 1 2 2 2 3 Cosα 2 3 2 2 2 1 tanα 3 3 1 3 五、四边形 1.多边形 （1）多边形的内角和定理：n 边形的内角和等于  180)2(n （n≥3，n 是正整数）； （2）多边形的外角和定理：任意多边形的外角和等于 360 。 2．平行四边形 平行四边形是四边形中应用广泛的一种图形，它是研究特殊四边形的基础，是研究线段相等角相等和直 线平行的根据之一． （1）平行四边形的定义。两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 （2）两条平行线间的距离：两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做两条平行线 间的距离．两条平行线间的距离是一个定值，不随垂线段位置改变而改变，两条平行线间的距离处处相 等． （3） 平行四边形的性质：平行四边形的两组对边分别平行；平行四边形的两组对边分别相等；平行四边 形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分． （4）平行四边形的判定： 1 两组对边分别平行的四边形是平行四边形． 2 两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 3 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 4 对角线互相平分的四边形是平行四边形． 3.矩形 (1) 定义:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形. (2) 矩形的性质：（除具有平行四边形所有性质外）①矩形的四个角都是直角；②矩形的对角线相等； (3)矩形的判定：①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形； 4.菱形 (1)定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形. (2)菱形的性质：（除具有平行四边形所有性质外）①菱形的四边相等； ②菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角； (3)菱形的判定：①四边相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形. 5.正方形 (1)定义:有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 .(2)正方形的性质：①正方形的四边相等；②正方形的四个角都是直角； ③正方形的两条对角线相等，且互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角； (3)正方形的判定：①有一个角是直角的菱形是正方形；②有一组邻边相等的矩形是正方形。 6.等腰梯形 度 数三 角 函 数 9 9 (1) 等腰梯形的性质:①等腰梯形同一底边上的两个内角相等②等腰梯形的两条对角线相等。 (2)等腰梯形的判定：①同一底边上的两个角相等的梯形是等腰梯形；*②两条对角线相等的梯形是等腰 梯形。 六、圆 1.圆有关的概念: （1）圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，其中，定点为圆心，定长为半径． （2）圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角． （3）圆周角：顶点在圆上，两边分别与圆还有另一个交点的角叫做圆周角． （4）弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧． （5）弦：连接圆上任意两点的线段叫做弦，经过圆心的弦叫做直径． 2.圆的有关的性质： （1）圆心角、弦和弧三者之间的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦心距 中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量分别相等； （2）垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧； （3）圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数； （4）圆心角与圆周角的关系: 同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于它所对的国心角的一半． （5）圆内接四边形:顶点都在国上的四边形，叫圆内接四边形．圆内接四边形对角互补. （6）圆周角定理：直径所对的圆周角是直角，反过来， 90 的圆周角所对的弦是直径； （7）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线； （8）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径； （9）切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，这一点到两切点的线段相等，它与圆心的连线平分两切线 的夹角； 3．三角形的内心和外心 （1）确定圆的条件：不在同一直线上的三个点确定一个圆． （2）三角形的外心：三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心就是 三角形三边的垂直平分线的交点，叫做三角形的外心． （3）三角形的内心：和三角形的三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条角 平分线的交点，叫做三角形的内心 4.点与圆的位置关系：点在圆外，点在圆上，点在圆内，设圆的半径为 r，点到圆心的距离为 d， 则点在圆外  d＞r．点在圆上  d=r．点在圆内  d＜r． 5．直线和圆的位置关系有三种：相交、相切、相高． 设圆的半径为 r，圆心到直线的距离为 d， 则直线与圆相交  d＜r，直线与圆相切  d=r，直线与圆相离  d＞r 6.圆与圆的位置关系 3．设两圆的圆心距为 d，两圆的半径分别为 R 和 r，则 ⑴ 两圆外离  d＞R+r； ⑵ 两圆外切  d=R＋r；⑶ 两圆相交  R－r＜d＜R+r（R＞r） ⑷ 两圆内切  d=R－r（R＞r）⑸ 两圆内含  d＜R—r（R＞r） 7.圆有关的计算: (1)弧长计算公式： 180 Rnl  （R 为圆的半径，n 是弧所对的圆心角的度数， l 为弧长） (2)扇形面积： 2 360 RnS 扇形 或 lRS 2 1扇形 （R 为半径，n 是扇形所对的圆心角的度数， l 为扇形 的弧长） 10 10 (3)圆锥: 圆锥的侧面积为 S 侧＝ 1 2 ·2πr·l＝πrl；全面积为 S 全＝πr2＋πrl． 七、尺规作图（基本作图、利用基本图形作三角形和圆）作一条线段等于已知线段，作一个角等于已知角； 作已知角的平分线；作线段的垂直平分线；过一点作已知直线的垂线； 八、视图与投影 1．视图：主视图、左视图、俯视图． 2．基本几何体的三视图画法：（1）观察方向：正面、侧面、上面．（2）视图特点：长对正，高平齐，宽 相等．（3）要注意实线与虚线的用法． 3.平行投影：太阳光线可以看成是平行光线，像这样的光线形成的投影称为平行投影． 4.中心投影：光线可以看成是从一点发出的，像这样的光线形成的投影称为中心投影． 第二节 图形与变换 一.图形的轴对称 1.轴对称的基本性质：对应点所连的线段被对称轴平分； 2.等腰三角形、矩形、菱形、等腰梯形、正多边形、圆是轴对称图形； 二.图形的平移 1、平移的概念：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移，平移不 改变图形的形状和大小． 注:（1）平移是运动的一种形式，是图形变换的一种，本讲的平移是指平面图形在同一平面内的变换． （2）图形的平移有两个要素：一是图形平移的方向，二是图形平移的距离，这两个要素是图形平移 的 依据． （3）图形的平移是指图形整体的平移，经过平移后的图形，与原图形相比，只改变了位置，而不改变 图形的大小，这个特征是得出图形平移的基本性质的依据． 2．平移的基本性质：由平移的基本概念知，经过平移，图形上的每一个点都沿同一个方向移动相同的距 离，平移不改变图形的形状和大小，因此平移具有下列性质：经过平移，对应点所连的线段平行且相等， 对应线段平行且相等，对应角相等． 注：（1）要注意正确找出“对应线段，对应角”，从而正确表达基本性质的特征．（2）“对应点所连的线段 平行且相等”，这个基本性质既可作为平移图形之间的性质，又可作为平移作图的依据． 三.图形的旋转 1.图形旋转的基本性质：对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心的距离相等、对应点与旋转 中心连线所成的角彼此相等； 2.中心对称图形: 在平面内，一个图形绕某个点旋转 180 度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图 形叫做中心对称图形，这个点叫做它的对称中心。中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称 中心平分。 3.平行四边形、矩形、菱形、正多边形（边数是偶数）、圆是中心对称图形； 四.图形的相似 1.比例的基本性质：如果 d c b a  ，则 bcad  ，如果 bcad  ，则 )0,0(  dbd c b a 2.相似三角形的判定： ①两组角对应相等；②两边对应成比例且夹角对应相等；③三边对应成比例 3.相似三角形的性质：①相似三角形的对应角相等；②相似三角形的对应边成比例；③相似三角形的周 长之比等于相似比；④相似三角形的面积比等于相似比的平方； 4.图形的位似与图形相似的关系：两个图形相似不一定是位似图形，两个位似图形一定是相似图形； 5.位似图形：①如果两个图形不仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这样 的两个图形叫做位似图形，这个点叫做位似中心，这时的相似比又称为位似比。②位似图形上任意一对对 11 11 应点到位似中心的距离之比等于位似比。 第三篇 概率与统计 一．统计 1.数据收集方法、数据的表示方法:统计表和扇形统计图、折线统计图、条形统计图. 2.总体与样本:所要考察对象的全体叫做总体，其中每一个考察对象叫做个体，从总体中所抽取的一部分 个体叫做总体的一个样本，样本中个体数目叫做样本容量。 3.众数与中位数 ①众数：在一组数据中,出现次数最多的数(有时不止一个),叫做这组数据的众数. ②中位数：将一组数据按大小顺序排列,把处在最中间的一个数(或两个数的平均数)叫做这组数据的中 位数. 4.频率分布直方图 把一组数分成若干个小组,组距=(最大值－最小值)÷组数(求组数时,用收尾法取整数),这时,落在某 小组内的数据的个数叫做这组的频数,每一小组的频数与数据总个数的比值叫做这一小组的频率 （ 样本容量 频数频率  ）.因此, 各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于1.在频率分布直方 图中,各小长方形的面积等于相应各组的频率. 5.平均数的两个公式 ① n 个数 1x 、 2x ……, nx 的平均数为： n xxxx n  ......21 ； ② 如果在 n 个数中， 1x 出现 1f 次、 2x 出现 2f 次……, kx 出现 kf 次，并且 1f + 2f ……+ kf =n， 则 n fxfxfxx kk  ......2211 ，这时 x 也叫加权平均数，其中 1f ， 2f ，…， kf 叫做权。 6.极差、方差与标准差计算公式： (1)极差：用一组数据的最大值减去最小值所得的差来反映这组数据的变化范围，用这种方法得到的差 称为极差， 即：极差=最大值-最小值； (2)方差： 2s =                    22 2 2 1 .....1 xxxxxxn n (3)标准差： s =                    22 2 2 1 .....1 xxxxxxn n 二、概率 1.不可能事件、必然事件和随机事件 ①有些事情我们能肯定他一定不会发生，这些事情称为不可能事件 12 12 ②有些事情我们能确定他一定会发生，这些事情称为必然事件. ③有很多事情我们无法肯定他会不会发生，这些事情称为随机事件。 2. 等 可 能 事 件 的 概 率 : 一 般 地 ,___________________________________________________ __________________________________________那么事件 A 发生的概率为 P(A)= n m . 3.在具体情境中了解概率的意义，运用列举法（包括列表、画树状图）计算简单事件发生的概率;大量 的重复实验时频率可视为事件发生概率的估计值. 4．频数、频率、概率：对一个随机事件做大量实验时会发现，随机事件发生的次数（也称为频数）与试 验次数的比（也就是频率人总是在一个固定数值附近摆动，这个固定数值就叫随机事件发生的概率，概 率的大小反映了随机事件发生的可能性的大小． 5．概率的性质：①人们通常用 1（或 100%）来表示必然事件发生的可能性，用 0 来表示不可能事件发 生的可能性。②游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同。③必然事件发生的概率为 1，记作 P（必 然事件）=1；不可能事件发生的概率为 0，记作 P（不可能事件）=0；如果 A 为不确定事件，那么 0 〈P（A）〈1。 6.频率、概率的区别与联系：频率与概率是两个不同的概念，概率是伴随着随机事件客观存在着的，只要 有一个随机事件存在，那么这个随机事件的概率就一定存在；而频率是通过实验得到的，它随着实验次 数的变化而变化，但当试验的重复次数充分大后，频率在概率附近摆动，为了求出一随机事件的概率， 我们可以通过多次实验，用所得的频率来估计事件的概率．