2021年中考数学专题复习 专题27 涉及圆的证明与计算问题（学生版） 20页

专题 27 涉及圆的证明与计算问题 圆的证明与计算是中考必考点，也是中考的难点之一。纵观全国各地中考数学试卷，能够看出，圆的 证明与计算这个专题内容有三种题型：选择题、填空题和解答题。 一、与圆有关的概念 1．圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为，定长称为。圆的半径或直 径决定圆的大小，圆心决定圆的位置。 2．：顶点在圆心上的角叫做圆心角。圆心角的度数等于它所对弧的度数。 3.：顶点在圆周上，并且两边分别与圆相交的角叫做圆周角。 4. 外接圆和外心：经过三角形的三个顶点可以做一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆。外接圆的圆心，叫 做三角形的外心。外心是三角形三条边垂直平分线的交点。外心到三角形三个顶点的距离相等。 5．若四边形的四个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做这个四边形的外接圆。 6.和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的，其圆心称为内心。内心是三角形三个角的角平分线 的交点。内心到三角形三边的距离相等。 二、与圆有关的规律 1.圆的性质： (1)圆具有旋转不变性； (2)圆具有轴对称性； (3)圆具有中心对称性。 2.垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧。 3．推论：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧． 4．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦心距也相等。 在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弦相等，所对的弦心距也 相等。在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么他们所对的圆心角相等，所对的弧相等，所对的弦 心距也相等。 5.在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 6．半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径． 7．圆内接四边形的特征 ①圆内接四边形的对角互补； ②圆内接四边形任意一个外角等于它的内对角。 三、点和圆、线和圆、圆和圆的位置关系 1. 点和圆的位置关系 ① 点在圆内  点到圆心的距离小于半径 ② 点在圆上  点到圆心的距离等于半径 ③ 点在圆外  点到圆心的距离大于半径 2.直线与圆有 3 种位置关系 如果⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线l 的距离为 d，那么 ① 直线l 和⊙O 相交  rd  ； ② 直线l 和⊙O 相切  rd  ； ③ 直线l 和⊙O 相离  rd  。 3．圆与圆的位置关系 设圆 1O 的半径为 1r ，圆 2O 的半径为 2r ，两个圆的圆心距 1 2| |d O O ，则： 两圆外离 1 2d r r   ；两圆外切 1 2d r r   ； 两圆相交 1 2 1 2| |r r d r r     ；两圆内切 1 2| |d r r   ； 两圆内含 1 2| |d r r   四、切线的规律 1.切线的性质 (1)经过切点垂直于这条半径的直线是圆的切线。 (2)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。 (3)圆的切线垂直于经过切点的半径。 2.切线的判定方法：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 3.切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，并且圆心和这一点的连线平分两条切 线的夹角。 四、求解圆的周长和面积的公式 设圆的周长为 r，则： 1. 求圆的直径公式 d=2r 2.求圆的周长公式 C=2πr 3.求圆的面积公式 S=πr2 五、解题要领 1.判定切线的方法 (1)若切点明确，则“连半径，证垂直”。常见手法有全等转化；平行转化；直径转化；中线转化等；有时 可通过计算结合相似、勾股定理证垂直； (2)若切点不明确，则“作垂直，证半径”。常见手法有角平分线定理；等腰三角形三线合一，隐藏角平分 线；总而言之，要完成两个层次的证明： ①直线所垂直的是圆的半径(过圆上一点)； ②直线与半径的关系是互相垂直。在证明中的关键是要处理好弧、弦、角之间的相互转化,要善于进行由此 及彼的联想、要总结常添加的辅助线. 2.与圆有关的计算 计算圆中的线段长或线段比，通常与勾股定理、垂径定理与三角形的全等、相似等知识的结合，形式 复杂，无规律性。分析时要重点注意观察已知线段间的关系，选择定理进行线段或者角度的转化。特别是 要借助圆的相关定理进行弧、弦、角之间的相互转化，找出所求线段与已知线段的关系，从而化未知为已 知，解决问题。其中重要而常见的数学思想方法有： (1)构造思想：①构建矩形转化线段；②构建“射影定理”基本图研究线段(已知任意两条线段可求其它所 有线段长)；③构造垂径定理模型：弦长一半、弦心距、半径；④构造勾股定理模型；⑤构造三角函数. (2)方程思想：设出未知数表示关键线段，通过线段之间的关系，特别是发现其中的相等关系建立方程，解 决问题。 (3)建模思想：借助基本图形的结论发现问题中的线段关系，把问题分解为若干基本图形的问题，通过基本 图形的解题模型快速发现图形中的基本结论，进而找出隐藏的线段之间的数量关系。 3.攻克典型基本模型图是解决圆的所有难题的宝剑 类型 1 图形： (1)如图 1,AB 是⊙O 的直径，点 E、C 是⊙O 上的两点. 基本结论有：在“AC 平分∠BAE”；“AD⊥CD”；“DC 是⊙O 的切线”三个论断中，知二推一。 （2）如图 2、3，DE 等于弓形 BCE 的高；DC=AE 的弦心距 OF(或弓形 BCE 的半弦 EF)。 (3)如图(4)：若 CK⊥AB 于 K，则： ①CK=CD；BK=DE；CK= 2 1 BE=DC；AE+AB=2BK=2AD; ②⊿ADC∽⊿ACB AC2=AD•AB (4)在(1)中的条件①、②、③中任选两个条件，当 BG⊥CD 于 E 时(如图 5)，则： ①DE=GB；②DC=CG；③AD+BG=AB；④AD•BG= 2 4 1 DG =DC2 类型 2 图形：如图：Rt⊿ABC 中，∠ACB=90°。点 O 是 AC 上一点，以 OC 为半径作⊙O 交 AC 于点 E，基本结 论有： (1)在“BO 平分∠CBA”;“BO∥DE”;“AB 是⊙O 的切线”;“BD=BC”。四个论断中，知一推三。 (2)①G 是⊿BCD 的内心；② ；③⊿BCO∽⊿CDE BO•DE=CO•CE= 2 1 CE2； (3)在图(1)中的线段 BC、CE、AE、AD 中，知二求四。 (4)如图(3)，若①BC=CE，则：② AD AE = 2 1 =tan∠ADE；③BC：AC：AB=3：4：5 ；(在①、②、③中知一推二) ④设 BE、CD 交于点 H，,则 BH=2EH 类型 3 图形：如图：Rt⊿ABC 中，∠ABC=90°,以 AB 为直径作⊙O 交 AC 于 D，基本结论有： 如图： CG = GD (1)DE 切⊙O  E 是 BC 的中点； (2)若 DE 切⊙O，则： ①DE=BE=CE； ②D、O、B、E 四点共圆 ∠CED=2∠A ③CD·CA=4BE2, BA BC BD CD R DE  图形特殊化：在(1)的条件下 如图：DE∥AB  ⊿ABC、⊿CDE 是等腰直角三角形； 如图：若 DE 的延长线交 AB 的延长线于点 F，若 AB=BF，则： ① 3 1 EF DE ;② 2 1 R BE 类型 4 图形：如图，⊿ABC 中，AB=AC，以 AB 为直径作⊙O，交 BC 于点 D，交 AC 于点 F， 基本结论有： (1)DE⊥AC  DE 切⊙O； (2)在 DE⊥AC 或 DE 切⊙O 下，有： ①⊿DFC 是等腰三角形； ②EF=EC；③D 是 的中点。④与基本图形 1 的结论重合。 ⑤连 AD，产生母子三角形。 类型 5 图形：以直角梯形 ABCD 的直腰为直径的圆切斜腰于Ｅ， 基本结论有： (1)如图 1：①AD+BC＝CD； ②∠COD=∠AEB=90°； ③OD 平分∠ADC(或 OC 平分∠BCD)；(注：在①、②、 BF ③及④“CD 是⊙O 的切线”四个论断中，知一推三) ④AD·BC＝ AB4 1 2=R2； (2)如图 2，连 AE、CO，则有：CO∥AE，CO•AE=2R2(与基本图形 2 重合) (3)如图 3，若 EF⊥AB 于 F，交 AC 于 G，则：EG=FG. 类型 6 图形：如图：直线 PR⊥⊙O 的半径 OB 于 E，PQ 切⊙O 于 Q，BQ 交直线 PQ 于 R。 基本结论有： (1)PQ=PR (⊿PQR 是等腰三角形)； (2)在“PR⊥OB”、“PQ 切⊙O”、“PQ=PR”中，知二推一 (3)2PR·RE=BR·RQ=BE·2R=AB2 类型 7 图形：如图，⊿ABC 内接于⊙O，I 为△ABC 的内心。基本结论有： (1)如图 1，①BD=CD=ID；②DI2＝DE·DA；③∠AIB=90°+ 2 1 ∠ACB; (2)如图 2，若∠BAC=60°，则：BD+CE=BC. 类型 8 图形：已知，AB 是⊙O 的直径，C 是 中点，CD⊥AB 于 D。BG 交 CD、AC 于 E、F。基本结论有： (1)CD= 2 1 BG；BE=EF=CE；GF=2DE (反之，由 CD= 2 1 BG 或 BE=EF 可得：C 是 中点) (2)OE= 2 1 AF，OE∥AC；⊿ODE∽⊿AGF (3)BE·BG=BD·BA (4)若 D 是 OB 的中点，则：①⊿CEF 是等边三角形；② 【例题 1】(2020•武汉)如图，在半径为 3 的⊙O 中，AB 是直径，AC 是弦，D 是 㔹 的中点，AC 与 BD 交于点 E．若 E 是 BD 的中点，则 AC 的长是( ) BC = CG = AG BG BG A． B．3 C．3 D．4 【对点练习】(2019•山东省聊城市)如图，BC 是半圆 O 的直径，D，E 是 上两点，连接 BD，CE 并延长交于 点 A，连接 OD，OE．如果∠A＝70°，那么∠DOE 的度数为( ) A．35° B．38° C．40° D．42° 【例题 2】(2020•牡丹江)AB 是⊙O 的弦，OM⊥AB，垂足为 M，连接 OA．若△AOM 中有一个角是 30°，OM＝ 2 ，则弦 AB 的长为 ． 【对点练习】(2019 安徽)如图，△ABC 内接于⊙O，∠CAB＝30°，∠CBA＝45°，CD⊥AB 于点 D，若⊙O 的 半径为 2，则 CD 的长为 ． 【例题 3】(2020 贵州黔西南)古希腊数学家毕达哥拉斯认为：“一切平面图形中最美的是圆”．请研究如 下美丽的圆．如图，线段 AB 是⊙O 的直径，延长 AB 至点 C，使 BC＝OB，点 E 是线段 OB 的中点，DE⊥AB 交 ⊙O 于点 D，点 P 是⊙O 上一动点(不与点 A，B 重合)，连接 CD，PE，PC． (1)求证：CD 是⊙O 的切线； (2)小明在研究的过程中发现 PE PC 是一个确定的值．回答这个确定的值是多少？并对小明发现的结论加以证 明． 【对点练习】(2019•湖北十堰)如图，△ABC 中，AB＝AC，以 AC 为直径的⊙O 交 BC 于点 D，点 E 为 C 延长线 上一点，且∠CDE＝ ∠BAC． (1)求证：DE 是⊙O 的切线； (2)若 AB＝3BD，CE＝2，求⊙O 的半径． 一、选择题 1．(2020•宜昌)如图，E，F，G 为圆上的三点，∠FEG＝50°，P 点可能是圆心的是( ) A． B． C． D． 2．(2020•营口)如图，AB 为⊙O 的直径，点 C，点 D 是⊙O 上的两点，连接 CA，CD，AD．若∠CAB＝40°， 则∠ADC 的度数是( ) A．110° B．130° C．140° D．160° 3．(2020•荆门)如图，⊙O 中，OC⊥AB，∠APC＝28°，则∠BOC 的度数为( ) A．14° B．28° C．42° D．56° 4．(2020•临沂)如图，在⊙O 中，AB 为直径，∠AOC＝80°．点 D 为弦 AC 的中点，点 E 为 㔹 上任意一点．则 ∠CED 的大小可能是( ) A．10° B．20° C．30° D．40° 5．(2020•内江)如图所示，点 A、B、C、D 在⊙O 上，∠AOC＝120°，点 B 是 㔹 的中点，则∠D 的度数是 ( ) A．30° B．40° C．50° D．60° 6．(2020•湖州)如图，已知四边形 ABCD 内接于⊙O，∠ABC＝70°，则∠ADC 的度数是( ) A．70° B．110° C．130° D．140° 7．(2020•泰安)如图，△ABC 是⊙O 的内接三角形，AB＝BC，∠BAC＝30°，AD 是直径，AD＝8，则 AC 的长 为( ) A．4 B．4 C． D．2 8．(2020•嘉兴)如图，正三角形 ABC 的边长为 3，将△ABC 绕它的外心 O 逆时针旋转 60°得到△A'B'C'，则 它们重叠部分的面积是( ) A．2 B． C． D． 9．(2020•随州)设边长为 a 的等边三角形的高、内切圆的半径、外接圆的半径分别为 h、r、R，则下列结论 不正确的是( ) A．h＝R+r B．R＝2r C．r a D．R a 10．(2020•凉山州)如图，等边三角形 ABC 和正方形 ADEF 都内接于⊙O，则 AD：AB＝( ) A．2 ： B． ： C． ： D． ：2 二、填空题 11．(2020•黑龙江)如图，AD 是△ABC 的外接圆⊙O 的直径，若∠BCA＝50°，则∠ADB＝ °． 12．(2020•无锡)已知圆锥的底面半径为 1cm，高为 cm，则它的侧面展开图的面积为＝ cm2． 13．(2020•湖州)如图，已知 AB 是半圆 O 的直径，弦 CD∥AB，CD＝8，AB＝10，则 CD 与 AB 之间的距离是 ． 14．(2020•枣庄)如图，AB 是⊙O 的直径，PA 切⊙O 于点 A，线段 PO 交⊙O 于点 C．连接 BC，若∠P＝36°， 则∠B＝ ． 15．(2020•连云港)用一个圆心角为 90°，半径为 20cm 的扇形纸片围成一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面 圆半径为 cm． 16.(2019•南京)如图，PA.PB 是⊙O 的切线，A.B 为切点，点 C.D 在⊙O 上．若∠P＝102°，则 ∠A+∠C＝ ． 17. (2019 山东东营)如图，AC 是⊙O 的弦，AC=5，点 B 是⊙O 上的一个动点，且∠ABC=45°，若点 M、N 分 别是AC、BC 的中点，则MN 的最大值是____________． 18.(2019 黑龙江省龙东地区)如图，在⊙O 中，半径 OA 垂直于弦 BC，点 D 在圆上，且∠ADC＝30°，则∠AOB 的度数为________． 19.(2020 山东济宁模拟 )如图，O 为 Rt△ ABC 直角边 AC 上一点，以 OC 为半径的⊙O 与斜边AB 相切于点D， 交OA 于点E，已知BC＝ ，AC＝3．则图中阴影部分的面积是 ． 20.(2019•湖北省鄂州市)如图，在平面直角坐标系中，已知 C(3，4)，以点 C 为圆心的圆与 y 轴相切．点 A、 B 在 x 轴上，且 OA＝OB．点 P 为⊙C 上的动点，∠APB＝90°，则 AB 长度的最大值为 ． 三、解答题 21.(2020•咸宁)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，点 O 在 AC 上，以 OA 为半径的半圆 O 交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，过点 D 作半圆 O 的切线 DF，交 BC 于点 F． (1)求证：BF＝DF； (2)若 AC＝4，BC＝3，CF＝1，求半圆 O 的半径长． 22．(2020•怀化)如图，在⊙O 中，AB 为直径，点 C 为圆上一点，延长 AB 到点 D，使 CD＝CA，且∠D＝30°． (1)求证：CD 是⊙O 的切线． (2)分别过 A、B 两点作直线 CD 的垂线，垂足分别为 E、F 两点，过 C 点作 AB 的垂线，垂足为点 G．求证： CG2＝AE•BF． 23．(2020•铜仁市)如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，连接 AC，CE⊥AB 于点 E，D 是直径 AB 延长线 上一点，且∠BCE＝∠BCD． (1)求证：CD 是⊙O 的切线； (2)若 AD＝8， 㔹 ，求 CD 的长． 24．(2020•温州)如图，C，D 为⊙O 上两点，且在直径 AB 两侧，连结 CD 交 AB 于点 E，G 是 㔹 上一点，∠ADC ＝∠G． (1)求证：∠1＝∠2． (2)点 C 关于 DG 的对称点为 F，连结 CF．当点 F 落在直径 AB 上时，CF＝10，tan∠1 ，求⊙O 的半径． 25．(2020•衢州)如图，△ABC 内接于⊙O，AB 为⊙O 的直径，AB＝10，AC＝6，连结 OC，弦 AD 分别交 OC， BC 于点 E，F，其中点 E 是 AD 的中点． (1)求证：∠CAD＝∠CBA． (2)求 OE 的长． 26．(2020•嘉兴)已知：如图，在△OAB 中，OA＝OB，⊙O 与 AB 相切于点 C．求证：AC＝BC．小明同学的证 明过程如下框： 证明：连结 OC， ∵OA＝OB， ∴∠A＝∠B， 又∵OC＝OC， ∴△OAC≌△OBC， ∴AC＝BC． 小明的证法是否正确？若正确，请在框内打“√”；若错误，请写出你的证明过程． 27．(2020•湖州)如图，已知△ABC 是⊙O 的内接三角形，AD 是⊙O 的直径，连结 BD，BC 平分∠ABD． (1)求证：∠CAD＝∠ABC； (2)若 AD＝6，求 㔹 的长． 28．(2020•遵义)如图，AB 是⊙O 的直径，点 C 是⊙O 上一点，∠CAB 的平分线 AD 交 㔹 于点 D，过点 D 作 DE ∥BC 交 AC 的延长线于点 E． (1)求证：DE 是⊙O 的切线； (2)过点 D 作 DF⊥AB 于点 F，连接 BD．若 OF＝1，BF＝2，求 BD 的长度． 29．(2020•淮安)如图，AB 是⊙O 的弦，C 是⊙O 外一点，OC⊥OA，CO 交 AB 于点 P，交⊙O 于点 D，且 CP＝ CB． (1)判断直线 BC 与⊙O 的位置关系，并说明理由； (2)若∠A＝30°，OP＝1，求图中阴影部分的面积． 30．(2020•天津)在⊙O 中，弦 CD 与直径 AB 相交于点 P，∠ABC＝63°． (Ⅰ)如图①，若∠APC＝100°，求∠BAD 和∠CDB 的大小； (Ⅱ)如图②，若 CD⊥AB，过点 D 作⊙O 的切线，与 AB 的延长线相交于点 E，求∠E 的大小．