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- 2021-11-10 发布
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专题 29 几何问题辅助线添加技巧
全国各地每年的中考试卷里都会出现考查几何的证明和计算问题,在解答试题过程中,我们发现当题
设条件不够,必须添加辅助线,把分散条件集中,建立已知和未知的桥梁,结合学过的知识,采用一定的
数学方法,把问题转化为自己能解决的问题。学会添加辅助线技巧,是培养学生科学思维、科学探究的重
要途径。所以希望大家学深学透添加辅助线的技巧和方法。
一、以基本图形为切入点研究添加辅助线的技巧策略
1.三角形问题
方法 1:有关三角形中线的题目,常将中线加倍。含有中点的题目,常常利用三角形的中位线,通过这种方
法,把要证的结论恰当的转移,很容易地解决了问题。
方法 2:含有平分线的题目,常以角平分线为对称轴,利用角平分线的性质和题中的条件,构造出全等三角
形,从而利用全等三角形的知识解决问题。
方法 3:结论是两线段相等的题目常画辅助线构成全等三角形,或利用关于平分线段的一些定理。
方法 4:结论是一条线段与另一条线段之和等于第三条线段这类题目,常采用截长法或补短法,所谓截长法
就是把第三条线段分成两部分,证其中的一部分等于第一条线段,而另一部分等于第二条线段。
2.平行四边形问题
平行四边形(包括矩形、正方形、菱形)的两组对边、对角和对角线都具有某些相同性质,所以在添辅
助线方法上也有共同之处,目的都是造就线段的平行、垂直,构成三角形的全等、相似,把平行四边形问
题转化成常见的三角形、正方形等问题处理,其常用方法有下列几种,举例简解如下:
(1)连对角线或平移对角线:
(2)过顶点作对边的垂线构造直角三角形;
(3)连接对角线交点与一边中点,或过对角线交点作一边的平行线,构造线段平行或中位线;
(4)连接顶点与对边上一点的线段或延长这条线段,构造三角形相似或等积三角形;
(5)过顶点作对角线的垂线,构成线段平行或三角形全等。
3.梯形问题
梯形是一种特殊的四边形。它是平行四边形、三角形知识的综合,通过添加适当的辅助线将梯形问题
化归为平行四边形问题或三角形问题来解决。辅助线的添加成为问题解决的桥梁,梯形中常用到的辅助线
有:
(1)在梯形内部平移一腰;
(2)梯形外平移一腰;
(3)梯形内平移两腰;
(4)延长两腰;
(5)过梯形上底的两端点向下底作高;
(6)平移对角线;
(7)连接梯形一顶点及一腰的中点;
(8)过一腰的中点作另一腰的平行线;
(9)作中位线。
当然在梯形的有关证明和计算中,添加的辅助线并不一定是固定不变的、单一的。通过辅助线这座桥
梁,将梯形问题化归为平行四边形问题或三角形问题来解决,这是解决问题的关键。
4.圆中常用辅助线的添法
在平面几何中,解决与圆有关的问题时,常常需要添加适当的辅助线,架起题设和结论间的桥梁,从
而使问题化难为易,顺其自然地得到解决,因此,灵活掌握作辅助线的一般规律和常见方法,对提高学生
分析问题和解决问题的能力是大有帮助的。
(1)见弦作弦心距。有关弦的问题,常作其弦心距(有时还须作出相应的半径),通过垂径平分定理,来沟通
题设与结论间的联系。
(2)见直径作圆周角。在题目中若已知圆的直径,一般是作直径所对的圆周角,利用"直径所对的圆周角是
直角"这一特征来证明问题。
(3)见切线作半径。命题的条件中含有圆的切线,往往是连结过切点的半径,利用"切线与半径垂直"这一性
质来证明问题。
(4)两圆相切作公切线。对两圆相切的问题,一般是经过切点作两圆的公切线或作它们的连心线,通过公切
线可以找到与圆有关的角的关系。
(5)两圆相交作公共弦。对两圆相交的问题,通常是作出公共弦,通过公共弦既可把两圆的弦联系起来,又
可以把两圆中的圆周角或圆心角联系起来。
二、添加辅助线的重要方法总结
1.中点、中位线,延线,平行线。如遇条件中有中点,中线、中位线等,那么过中点,延长中线或中位线
作辅助线,使延长的某一段等于中线或中位线;另一种辅助线是过中点作已知边或线段的平行线,以达到
应用某个定理或造成全等的目的。
2.垂线、分角线,翻转全等。如遇条件中,有垂线或角的平分线,可以把图形按轴对称的方法,并借助其
他条件,而旋转 180 度,得到全等形,,这时辅助线的做法就会应运而生。其对称轴是垂线或角的平分线。
3. 边边若相等,旋转。如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等,有时边角互相配合,然后把图形旋转
一定的角度,就可以得到全等形,这时辅助线的做法仍会应运而生。其对称中心,因题而异,有时没有中
心。故可分“有心”和“无心”旋转两种。
4. 造角、平移、相似,和、差、积、商。如遇条件中有多边形的两边相等或两角相等,欲证线段或角的和
差积商,往往与相似形有关。在制造两个三角形相似时,一般地,有两种方法:第一,造一个辅助角等于
已知角;第二,是把三角形中的某一线段进行平移。故作歌诀:“造角、平、相似,和差积商见。”
5.两圆若相交,连心公共弦。如果条件中出现两圆相交,那么辅助线往往是连心线或公共弦。
6.两圆相切、离,连心,公切线。如条件中出现两圆相切(外切,内切),或相离(内含、外离),那么,
辅助线往往是连心线或内外公切线。
7. 切线连直径,直角与半圆。如果条件中出现圆的切线,那么辅助线是过切点的直径或半径使出现直角;
相反,条件中是圆的直径,半径,那么辅助线是过直径(或半径)端点的切线。即切线与直径互为辅助线。
如果条件中有直角三角形,那么作辅助线往往是斜边为直径作辅助圆,或半圆;相反,条件中有半圆,那
么在直径上找圆周角——直角为辅助线。即直角与半圆互为辅助线。
8. 弧、弦、弦心距;平行、等距、弦。如遇弧,则弧上的弦是辅助线;如遇弦,则弦心距为辅助线。如遇
平行线,则平行线间的距离相等,距离为辅助线;反之,亦成立。如遇平行弦,则平行线间的距离相等,
所夹的弦亦相等,距离和所夹的弦都可视为辅助线,反之,亦成立。有时,圆周角,弦切角,圆心角,圆
内角和圆外角也存在因果关系互相联想作辅助线。
9.面积找底高,多边变三边。如遇求面积,(在条件和结论中出现线段的平方、乘积,仍可视为求面积),
往往作底或高为辅助线,而两三角形的等底或等高是思考的关键。如遇多边形,想法割补成三角形;反之,
亦成立。
三、初中几何常见辅助线作法歌诀
人说几何很困难,难点就在辅助线。
辅助线,如何添?把握定理和概念。
还要刻苦加钻研,找出规律凭经验。
辅助线,是虚线,画图注意勿改变。
假如图形较分散,对称旋转去实验。
基本作图很关键,平时掌握要熟练。
解题还要多心眼,经常总结方法显。
切勿盲目乱添线,方法灵活应多变。
分析综合方法选,困难再多也会减。
虚心勤学加苦练,成绩上升成直线。
三角形
图中有角平分线,可向两边作垂线。
也可将图对折看,对称以后关系现。
角平分线平行线,等腰三角形来添。
角平分线加垂线,三线合一试试看。
线段垂直平分线,常向两端把线连。
要证线段倍与半,延长缩短可试验。
三角形中两中点,连接则成中位线。
三角形中有中线,延长中线等中线。
四边形
平行四边形出现,对称中心等分点。
梯形里面作高线,平移一腰试试看。
平行移动对角线,补成三角形常见。
证相似,比线段,添线平行成习惯。
等积式子比例换,寻找线段很关键。
直接证明有困难,等量代换少麻烦。
斜边上面作高线,比例中项一大片。
圆
半径与弦长计算,弦心距来中间站。
圆上若有一切线,切点圆心半径连。
切线长度的计算,勾股定理最方便。
要想证明是切线,半径垂线仔细辨。
是直径,成半圆,想成直角径连弦。
弧有中点圆心连,垂径定理要记全。
圆周角边两条弦,直径和弦端点连。
弦切角边切线弦,同弧对角等找完。
要想作个外接圆,各边作出中垂线。
还要作个内接圆,内角平分线梦圆。
如果遇到相交圆,不要忘作公共弦。
内外相切的两圆,经过切点公切线。
若是添上连心线,切点肯定在上面。
要作等角添个圆,证明题目少困难。
【例题 1】(2020 广东梅州模拟)如图,∠AOE=∠BOE=15°,EF∥OB,EC⊥OB,若 EC=1,则 EF= .
【对点练习】如图,在△ABC 中,AB=AC,BD⊥AC 于 D。求证:∠DBC= 1
2
∠BAC.
C
A
B
D
【例题 2】(2019 江苏常熟)如图,在矩形 ABCD 中,AD=3AB=3 ,点 P 是 AD 的中点,点 E 在 BC 上,CE
=2BE,点 M、N 在线段 BD 上.若△PMN 是等腰三角形且底角与∠DEC 相等,则 MN= .
【对点练习】已知,在□ABCD 中,AB = 2BC,M 为 AB 中点.
求证:CM⊥DM
【例题 3】(2020•金华)如图,⊙O 是等边△ABC 的内切圆,分别切 AB,BC, AC 于 E,F,D,P 是
㤵
上一
点,则∠EPF 的度数是( )
A.65° B.60° C.58° D.50°
【对点练习】(2019 江苏徐州)如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O 上一点,D 为 的中点.过点 D 作直线 AC
的垂线,垂足为 E,连接 OD.
(1)求证:∠A=∠DOB;
(2)DE 与⊙O 有怎样的位置关系?请说明理由.
一、选择题
1.(2020•黔东南州)如图,⊙O 的直径 CD=20,AB 是⊙O 的弦,AB⊥CD,垂足为 M,OM:OC=3:5,则 AB
的长为( )
A.8 B.12 C.16 D.2
2.(2020•滨州)在⊙O 中,直径 AB=15,弦 DE⊥AB 于点 C,若 OC:OB=3:5,则 DE 的长为( )
A.6 B.9 C.12 D.15
3.(2020•天水)如图所示,PA、PB 分别与⊙O 相切于 A、B 两点,点 C 为⊙O 上一点,连接 AC、BC,若∠P
=70°,则∠ACB 的度数为( )
A.50° B.55° C.60° D.65°
4.如图,直线 a∥b,将一个直角三角尺按如图所示的位置摆放,若∠1=52°,则∠2 的度数为( )
A.38° B.52° C.48° D.62°
5.(2020 浙江金华模拟)如图,正方形 ABCD 和正三角形 AEF 都内接于⊙O,EF 与 BC,CD 分别相交于点 G,H,
则 EF
GH
的值是( )
A.
2
6 B. 2 C. 3 D. 2
二、填空题
6.(2019 内蒙古呼和浩特)已知正方形 ABCD 的面积是 2,E 为正方形一边 BC 在从 B 到 C 方向的延长线上的
一点,若 CE= ,连接 AE,与正方形另外一边 CD 交于点 F,连接 BF 并延长,与线段 DE 交于点 G,则 BG
的长为 .
7.(2019 江苏常熟)如图,半径为 的⊙O 与边长为 8 的等边三角形 ABC 的两边 AB、BC 都相切,连接 OC,
则 tan∠OCB= .
8.(2019 湖北咸宁)如图,半圆的直径 AB=6,点 C 在半圆上,∠BAC=30°,则阴影部分的面积为 (结
果保留π).
三、解答题
9.(2020•菏泽)如图,在△ABC 中,AB=AC,以 AB 为直径的⊙O 与 BC 相交于点 D,过点 D 作⊙O 的切线交
AC 于点 E.
(1)求证:DE⊥AC;
(2)若⊙O 的半径为 5,BC=16,求 DE 的长.
10.(2020•福建)如图,AB 与⊙O 相切于点 B,AO 交⊙O 于点 C,AO 的延长线交⊙O 于点 D,E 是
‴
上不与
B,D 重合的点,sinA
.
(1)求∠BED 的大小;
(2)若⊙O 的半径为 3,点 F 在 AB 的延长线上,且 BF=3
,求证:DF 与⊙O 相切.
11.在等腰直角△ABC 中,∠ACB=90°,P 是线段 BC 上一动点(与点 B、C 不重合),连接 AP,延长 BC 至点 Q,
使得 CQ=CP,过点 Q 作 QH⊥AP 于点 H,交 AB 于点 M.
(1)若∠PAC=α,求∠AMQ 的大小(用含α的式子表示).
(2)用等式表示线段 MB 与 PQ 之间的数量关系,并证明.
12.(2020 铜仁模拟)已知,如图,点 D 在等边三角形 ABC 的边 AB 上,点 F 在边 AC 上,连接 DF 并延长交
BC 的延长线于点 E,EF=FD.
求证:AD=CE.
13.(2020 江苏镇江模拟)如图,在四边形 ABCD 中,AD∥BC,E 是 AB 的中点,连接 DE 并延长交 CB 的延长线
于点 F,点 G 在 BC 边上,且∠GDF=∠ADF。
(1)求证:△ADE≌△BFE;
(2)连接 EG,判断 EG 与 DF 的位置关系,并说明理由。
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