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- 2021-11-10 发布
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1
1.3.2 正方形的判定
【教学目标】
知识与技能
1.能进一步理解掌握正方形的判定定理.
2.进一步体会证明的必要性以及计算与证明在解决问题中的作用.
过程与方法
1.经历探索、猜想、证明的过程,进一步发展推理论证能力.
2.进一步体会证明的必 要性以及计算与证明在解决问题中的作用.
3.体会证明过程中所运用的归纳概括以及转化等数学思想方法.
情感、态度与价值观
1.通过知识的迁移、类比、转化,激发学生探索新知识的积极性和主动性.
2.体会数学与生活的联系 .
【教学重难点】
教学重点 特殊四边形—— 正方形的判定定理的灵活应用.
教学难点
特殊四边形—— 正方形的判定定理的灵活应用.
【导学过程】
【创设情景,引入新课】
回顾正方形有哪些性质
【自主探究】
: 自学,明确正方形的性质定理和判定定理的灵活应用 .
Ⅱ. 解决问题:
下面大家来猜一猜,想一想
依次连接任意四边形各边的中点可以得到一个平行四边形.那么,依次连接正方形各边的中
点.(如图)能得到—个怎样的图形呢?先猜一猜,再证明.
依次连结正方形各边的中点得到的四边形是正方形.
证明:∵四边形 ABCD 是正方形.
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,
AB=BC=CD=DA.
又∵A1、B1、C1、D1 分别是边 AB、BC、CD、DA 的中点。
∴AA1=BA=BB1=B1C=CC1=C1D=DD1=D1A.
∴△AD1A1≌△BA1B1≌△CB1C1≌△DC1D1.
∴A1B1=B1C1=C1D1=D1A1.
2
∵∠A=∠B=90°,
AA1=AD1,A1B=BB1,
∴∠AA1D1=∠BA1B1=45°.
∴∠D1A1B1=90°.
∴四边形 A1B1C1D1 是正方形.
这个题是先证明了四边形 A1B1C1D1 的四条边相等,即是菱形,然后又证明了这个四边形的一
个角是直角,即有一个角为直角的菱形是正方形,从而得证四边形 A1B1C1D1 是正方形.
【课堂探究】
已知:如图,点 E,F,G,H 分别是正方形 ABCD 四条边上的点,并且 AF= BG= CH= DE。
求证:四边形 EFGH 是正方形.
证明:∵四边形 ABCD 是正方形.
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,
AB=BC=CD=DA.
又∵AF= BG= CH= DE ,
∴AE=DH=CG=BF .
∴△AEF≌△BFG≌△CGH≌△DHE.
∴EF=FG=GH=HE ,∠AEF=∠BFG.
∵∠AFE+ ∠AEF =90°,
∴∠AFE+∠BFG = 90°.
∴∠EFG=90°.
∴四边形 EFGH 是正方形.
接下来我们来做一做:在下图中,ABCDXA 表示一条环形高速公路,X 表示一座 水库,B、C
表示两个大市镇.已知 ABCD 是一个正方形,XAD 是一个等边三角形,假设政府要铺没两条
输水管 XB 和 XC,从水库向 B、C 两个市镇供水,那么这两条水管的夹角(即∠BXC)是多少度?
可以利用等边三角形的性质及正方形的性质去解决.
解:∵△XAD 是等边三角形,
∴∠AXD=∠XAD=∠XDA=60°,
XA=AD=XD.
∵四边形 ABCD 是正方形,
∴∠BAD=∠ADC=90°,
AB=AD=DC.
∴∠XAB=∠XDC=150°,
XA=AB,XD=CD.
∴∠AXB=15°,∠CXD=15°.
∴∠BXC=60°-∠AXB-∠CXD=3 0°.
A D
B C
E
F
G
H
3
随堂练习 1 2.
【当堂训练】
随堂练习 1 2.
如图 1、图 2、图 3,已知直线 EF⊥MN,且与正方形 ABCD 的对边或其延长线分别交于 E、
F、M、N.
求证:EF=MN,
图 3
证明:只给出图 2 情况下的证明,图 1、图 3 情况下的证明同理.
过 A 作 MN 的平行线,交 BC 于点 P,过 B 作 EF 的平行线,交 CD 于点 Q .由平行四边形
的性质,得 AP=MN,BQ=EF.[
∵MN//AP,EF//BQ,MN⊥EF,
∴AP⊥BQ.
∴∠QBC+∠APB=90°.∠BAP+∠APB=90°.
∴∠QDC=∠BAP.
又∵AB=BC,
∴Rt△APB≌Rt△BFC.
∴AP=BQ,即 MN=EF.
这是正方形的一个重要的性质定理.