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- 2021-11-10 发布
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2020 年浙江省台州市中考数学试卷
一、选择题(本题有 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.请选出各题中一个符合题意的正确
选项,不选、多选、错选,均不给分)
1.(4 分)计算1 3 的结果是 ( )
A.2 B. 2 C.4 D. 4
2.(4 分)用三个相同的正方体搭成如图所示的立体图形,则该立体图形的主视图是 ( )
A. B. C. D.
3.(4 分)计算 2 42 3a a 的结果是 ( )
A. 65a B. 85a C. 66a D. 86a
4.(4 分)无理数 10 在 ( )
A.2 和 3 之间 B.3 和 4 之间 C.4 和 5 之间 D.5 和 6 之间
5.(4 分)在一次数学测试中,小明成绩 72 分,超过班级半数同学的成绩,分折得出这个
结论所用的统计量是 ( )
A.中位数 B.众数 C.平均数 D.方差
6.(4 分)如图,把 ABC 先向右平移 3 个单位,再向上平移 2 个单位得到 DEF ,则顶点
(0, 1)C 对应点的坐标为 ( )
A. (0,0) B. (1,2) C. (1,3) D. (3,1)
7.(4 分)如图,已知线段 AB ,分别以 A , B 为圆心,大于 1
2 AB 同样长为半径画弧,两
弧交于点 C , D ,连接 AC , AD , BC , BD , CD ,则下列说法错误的是 ( )
A. AB 平分 CAD B.CD 平分 ACB C. AB CD D. AB CD
8.(4 分)下列是关于某个四边形的三个结论:①它的对角线相等;②它是一个正方形;③
它是一个矩形.下列推理过程正确的是 ( )
A.由②推出③,由③推出① B.由①推出②,由②推出③
C.由③推出①,由①推出② D.由①推出③,由③推出②
9.(4 分)如图 1,小球从左侧的斜坡滚下,到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚,在这个过
程中,小球的运动速度 v (单位: / )m s 与运动时间 t (单位: )s 的函数图象如图 2,则该小
球的运动路程 y (单位: )m 与运动时间 t (单位: )s 之间的函数图象大致是 ( )
A. B.
C. D.
10.(4 分)把一张宽为1cm的长方形纸片 ABCD 折叠成如图所示的阴影图案,顶点 A ,D 互
相重合,中间空白部分是以 E 为直角顶点,腰长为 2cm的等腰直角三角形,则纸片的长 AD
(单位: )cm 为 ( )
A. 7 3 2 B. 7 4 2 C.8 3 2 D.8 4 2
二、填空题(本题有 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)
11.(5 分)因式分解: 2 9x .
12.(5 分)计算 1 1
3x x
的结果是 .
13.(5 分)如图,等边三角形纸片 ABC 的边长为 6, E , F 是边 BC 上的三等分点.分别
过点 E , F 沿着平行于 BA , CA 方向各剪一刀,则剪下的 DEF 的周长是 .
14.(5 分)甲、乙两位同学在 10 次定点投篮训练中(每次训练投 8 个),各次训练成绩(投
中个数)的折线统计图如图所示,他们成绩的方差分别为 2s甲 与 2S乙 ,则 2s甲
2S乙 .(填“ ”、
“ ”、“ ”中的一个)
15.(5 分)如图,在 ABC 中, D 是边 BC 上的一点,以 AD 为直径的 O 交 AC 于点 E ,
连接 DE .若 O 与 BC 相切, 55ADE ,则 C 的度数为 .
16.(5 分)用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案,每块大正
方形地砖面积为 a,小正方形地砖面积为b ,依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形
ABCD .则正方形 ABCD 的面积为 .(用含 a ,b 的代数式表示)
三、解答题(本题有 8 小题,第 17~20 题每题 8 分,第 21 题 10 分,第 22,23 题每题 12
分,第 24 题 14 分,共 80 分)
17.(8 分)计算:| 3| 8 2 .
18.(8 分)解方程组: 1,
3 7.
x y
x y
19.(8 分)人字折叠梯完全打开后如图 1 所示, B ,C 是折叠梯的两个着地点, D 是折叠
梯最高级踏板的固定点.图 2 是它的示意图, AB AC , 140BD cm , 40BAC ,求点
D 离地面的高度 DE .(结果精确到 0.1cm ;参考数据 sin70 0.94 , cos70 0.34 ,
sin 20 0.34 , cos20 0.94)
20.(8 分)小明同学训练某种运算技能,每次训练完成相同数量的题目,各次训练题目难
度相当.当训练次数不超过 15 次时,完成一次训练所需要的时间 y (单位:秒)与训练次
数 x(单位:次)之间满足如图所示的反比例函数关系.完成第 3 次训练所需时间为 400 秒.
(1)求 y 与 x 之间的函数关系式;
(2)当 x 的值为 6,8,10 时,对应的函数值分别为 1y , 2y , 3y ,比较 1 2( )y y 与 2 3( )y y
的大小: 1 2y y 2 3y y .
21.(10 分)如图,已知 AB AC , AD AE , BD 和CE 相交于点 O .
(1)求证: ABD ACE ;
(2)判断 BOC 的形状,并说明理由.
22.(12 分)新冠疫情期间,某校开展线上教学,有“录播”和“直播”两种教学方式供学
生选择其中一种.为分析该校学生线上学习情况,在接受这两种教学方式的学生中各随机抽
取 40 人调查学习参与度,数据整理结果如表(数据分组包含左端值不包含右端值).
参与度
人数
方式
0.2 ~ 0.4 0.4 ~ 0.6 0.6 ~ 0.8 0.8 ~1
录播 4 16 12 8
直播 2 10 16 12
(1)你认为哪种教学方式学生的参与度更高?简要说明理由.
(2)从教学方式为“直播”的学生中任意抽取一位学生,估计该学生的参与度在 0.8 及以
上的概率是多少?
(3)该校共有 800 名学生,选择“录播”和“直播”的人数之比为1:3 ,估计参与度在 0.4
以下的共有多少人?
23.(12 分)如图,在 ABC 中, 90ACB ,将 ABC 沿直线 AB 翻折得到 ABD ,连接
CD 交 AB 于点 M . E 是线段 CM 上的点,连接 BE . F 是 BDE 的外接圆与 AD 的另一个
交点,连接 EF , BF .
(1)求证: BEF 是直角三角形;
(2)求证: BEF BCA ∽ ;
(3)当 6AB ,BC m 时,在线段 CM 上存在点 E ,使得 EF 和 AB 互相平分,求 m 的值.
24.(14 分)用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观(如图1) .
科学原理:如图 2,始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为 H (单位: )cm ,如果在离
水面竖直距离为 h(单位: )cm 的地方开大小合适的小孔,那么从小孔射出水的射程(水流
落地点离小孔的水平距离) s (单位: )cm 与 h 的关系为 2 4 ( )s h H h .
应用思考:现用高度为 20cm 的圆柱体望料水瓶做相关研究,水瓶直立地面,通过连注水保
证它始终盛满水,在离水面竖直距高 hcm处开一个小孔.
(1)写出 2s 与 h 的关系式;并求出当 h 为何值时,射程 s 有最大值,最大射程是多少?
(2)在侧面开两个小孔,这两个小孔离水面的竖直距离分别为 a , b ,要使两孔射出水的
射程相同,求 a , b 之间的关系式;
(3)如果想通过垫高塑料水瓶,使射出水的最大射程增加16cm,求整高的高度及小孔离水
面的竖直距离.
2020 年浙江省台州市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本题有 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.请选出各题中一个符合题意的正确
选项,不选、多选、错选,均不给分)
1.(4 分)计算1 3 的结果是 ( )
A.2 B. 2 C.4 D. 4
【分析】根据有理数的加减法法则计算即可判断.
【解答】解:1 3 1 ( 3) 2 .
故选: B .
【点评】本题主要考查了有理数的减法法则,减去一个数,等于加上这个数的相反数.
2.(4 分)用三个相同的正方体搭成如图所示的立体图形,则该立体图形的主视图是 ( )
A. B. C. D.
【分析】从正面看所得到的图形即为主视图,因此选项 A 的图形符合题意.
【解答】解:根据主视图的意义可知,选项 A 符合题意,
故选: A .
【点评】考查简单几何体的三视图的画法,从不同方向对问题进行正投影所得到的图形分别
为主视图、左视图、俯视图.
3.(4 分)计算 2 42 3a a 的结果是 ( )
A. 65a B. 85a C. 66a D. 86a
【分析】直接利用单项式乘单项式运算法则计算得出答案.
【解答】解: 2 4 62 3 6a a a .
故选: C .
【点评】此题主要考查了单项式乘单项式,正确掌握相关运算法则是解题关键.
4.(4 分)无理数 10 在 ( )
A.2 和 3 之间 B.3 和 4 之间 C.4 和 5 之间 D.5 和 6 之间
【分析】由 9 10 16 可以得到答案.
【解答】解: 3 10 4 ,
故选: B .
【点评】此题考查了估算无理数的大小,熟练掌握估算无理数的方法是解本题的关键.
5.(4 分)在一次数学测试中,小明成绩 72 分,超过班级半数同学的成绩,分折得出这个
结论所用的统计量是 ( )
A.中位数 B.众数 C.平均数 D.方差
【分析】根据中位数的意义求解可得.
【解答】解:班级数学成绩排列后,最中间一个数或最中间两个分数的平均数是这组成绩的
中位数,
半数同学的成绩位于中位数或中位数以下,
小明成绩超过班级半数同学的成绩所用的统计量是中位数,
故选: A .
【点评】本题主要考查统计量的选择,解题的关键是掌握中位数、众数、平均数及方差的定
义和意义.
6.(4 分)如图,把 ABC 先向右平移 3 个单位,再向上平移 2 个单位得到 DEF ,则顶点
(0, 1)C 对应点的坐标为 ( )
A. (0,0) B. (1,2) C. (1,3) D. (3,1)
【分析】利用平移规律进而得出答案.
【解答】解:把 ABC 先向右平移 3 个单位,再向上平移 2 个单位得到 DEF ,顶点 (0, 1)C ,
(0 3, 1 2)C ,
即 (3,1)C ,
故选: D .
【点评】此题主要考查了坐标与图形变化 平移,正确得出对应点位置是解题关键.
7.(4 分)如图,已知线段 AB ,分别以 A , B 为圆心,大于 1
2 AB 同样长为半径画弧,两
弧交于点 C , D ,连接 AC , AD , BC , BD , CD ,则下列说法错误的是 ( )
A. AB 平分 CAD B.CD 平分 ACB C. AB CD D. AB CD
【分析】根据作图判断出四边形 ACBD 是菱形,再根据菱形的性质:菱形的对角线平分一
组对角、菱形的对角线互相垂直平分可得出答案.
【解答】解:由作图知 AC AD BC BD ,
四边形 ACBD 是菱形,
AB 平分 CAD 、 CD平分 ACB 、 AB CD ,
不能判断 AB CD ,
故选: D .
【点评】本题主要考查作图 基本作图,解题的关键是掌握菱形的判定与性质.
8.(4 分)下列是关于某个四边形的三个结论:①它的对角线相等;②它是一个正方形;③
它是一个矩形.下列推理过程正确的是 ( )
A.由②推出③,由③推出① B.由①推出②,由②推出③
C.由③推出①,由①推出② D.由①推出③,由③推出②
【分析】根据对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形即可判断.
【解答】解:对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形,
故① ②,① ③错误,
故选项 B , C , D 错误,
故选: A .
【点评】本题考查正方形的判定和性质,矩形的判定等知识,解题的关键是灵活运用所学知
识解决问题,属于中考常考题型.
9.(4 分)如图 1,小球从左侧的斜坡滚下,到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚,在这个过
程中,小球的运动速度 v (单位: / )m s 与运动时间 t (单位: )s 的函数图象如图 2,则该小
球的运动路程 y (单位: )m 与运动时间 t (单位: )s 之间的函数图象大致是 ( )
A. B.
C. D.
【分析】小球从左侧的斜坡滚下是匀变速运动,运动的路程 y 是 t 的二次函数,图象是先缓
后陡,由此即可判断.
【解答】解:小球从左侧的斜坡滚下是匀变速运动,运动的路程 y 是 t 的二次函数,图象是
先缓后陡,
在右侧上升时,情形与左侧相反,
故选: C .
【点评】本题考查动点问题函数图象,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.
10.(4 分)把一张宽为1cm的长方形纸片 ABCD 折叠成如图所示的阴影图案,顶点 A ,D 互
相重合,中间空白部分是以 E 为直角顶点,腰长为 2cm的等腰直角三角形,则纸片的长 AD
(单位: )cm 为 ( )
A. 7 3 2 B. 7 4 2 C.8 3 2 D.8 4 2
【分析】如图,过点 M 作 MH A R 于 H ,过点 N 作 NJ AW 于 J .想办法求出 AR ,RM ,
MN , NW ,WD 即可解决问题.
【解答】解:如图,过点 M 作 MH A R 于 H ,过点 N 作 NJ AW 于 J .
由题意 EMN 是等腰直角三角形, 2EM EN , 2 2MN ,
四边形 EMHK 是矩形,
1EK A K MH , 2KH EM ,
RMH 是等腰直角三角形,
1RH MH , 2RM ,同法可证 2NW ,
由题意 4AR RA AW WD ,
4 2 2 2 2 4 8 4 2AD AR RM MN NW DW ,
故选: D .
【点评】本题考查翻折变换,等腰直角三角形的判定和性质,矩形的性质等知识,解题的关
键是学会添加常用辅助线,构造特殊三角形或特殊四边形解决问题.
二、填空题(本题有 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)
11.(5 分)因式分解: 2 9x ( 3)( 3)x x .
【分析】原式利用平方差公式分解即可.
【解答】解:原式 ( 3)( 3)x x ,
故答案为: ( 3)( 3)x x .
【点评】此题考查了因式分解 运用公式法,熟练掌握平方差公式是解本题的关键.
12.(5 分)计算 1 1
3x x
的结果是 2
3x
.
【分析】先通分,再相减即可求解.
【解答】解: 1 1 3 1 2
3 3 3 3x x x x x
.
故答案为: 2
3x
.
【点评】考查了分式加减法,把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式,叫做通分,经
过通分,异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减.
13.(5 分)如图,等边三角形纸片 ABC 的边长为 6, E , F 是边 BC 上的三等分点.分别
过点 E , F 沿着平行于 BA , CA 方向各剪一刀,则剪下的 DEF 的周长是 6 .
【分析】根据三等分点的定义可求 EF 的长,再根据等边三角形的判定与性质即可求解.
【解答】解:等边三角形纸片 ABC 的边长为 6, E , F 是边 BC 上的三等分点,
2EF ,
/ /DE AB , / /DF AC ,
DEF 是等边三角形,
剪下的 DEF 的周长是 2 3 6 .
故答案为:6.
【点评】考查了等边三角形的性质,平行线的性质,关键是证明 DEF 是等边三角形.
14.(5 分)甲、乙两位同学在 10 次定点投篮训练中(每次训练投 8 个),各次训练成绩(投
中个数)的折线统计图如图所示,他们成绩的方差分别为 2s甲 与 2S乙 ,则 2s甲 2S乙 .(填“ ”、
“ ”、“ ”中的一个)
【分析】利用折线统计图可判断乙同学的成绩波动较大,然后根据方差的意义可得到甲、乙
的方差的大小.
【解答】解:由折线统计图得乙同学的成绩波动较大,
所以 2 2s S 乙甲 .
故答案为: .
【点评】本题考查了条形统计图:条形统计图是用线段长度表示数据,根据数量的多少画成
长短不同的矩形直条,然后按顺序把这些直条排列起来.也考查了方差的意义.
15.(5 分)如图,在 ABC 中, D 是边 BC 上的一点,以 AD 为直径的 O 交 AC 于点 E ,
连接 DE .若 O 与 BC 相切, 55ADE ,则 C 的度数为 55 .
【分析】由直径所对的圆周角为直角得 90AED ,由切线的性质可得 90ADC ,然后
由同角的余角相等可得 55C ADE .
【解答】解: AD 为 O 的直径,
90AED ,
90ADE DAE ;
O 与 BC 相切,
90ADC ,
90C DAE ,
C ADE ,
55ADE ,
55C .
故答案为: 55 .
【点评】本题考查了切线的性质、圆的相关概念及性质及互余关系等知识点,熟练掌握圆的
相关性质是解题的关键.
16.(5 分)用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案,每块大正
方形地砖面积为 a,小正方形地砖面积为b ,依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形
ABCD .则正方形 ABCD 的面积为 a b .(用含 a ,b 的代数式表示)
【分析】如图,连接 DK , DN ,证明 1
4DKNDMNTS S a 四边形 即可解决问题.
【解答】解:如图,连接 DK , DN ,
90KDN MDT ,
KDM NDT ,
DK DN , 45DKM DNT ,
( )DKM DNT ASA ,
DKM DNTS S ,
1
4DKNDMNTS S a 四边形 ,
正方形 ABCD 的面积 14 4 a b a b .
故答案为 a b .
【点评】本题考查中心对称,全等三角形的判定和性质,图形的拼剪等知识,解题的关键灵
活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.
三、解答题(本题有 8 小题,第 17~20 题每题 8 分,第 21 题 10 分,第 22,23 题每题 12
分,第 24 题 14 分,共 80 分)
17.(8 分)计算:| 3| 8 2 .
【分析】直接利用绝对值的性质和二次根式的性质化简得出答案.
【解答】解:原式 3 2 2 2
3 2 .
【点评】此题主要考查了实数运算,正确化简二次根式是解题关键.
18.(8 分)解方程组: 1,
3 7.
x y
x y
【分析】方程组利用加减消元法求出解即可.
【解答】解: 1
3 7
x y
x y
①
②
,
① ②得: 4 8x ,
解得: 2x ,
把 2x 代入①得: 1y ,
则该方程组的解为 2
1.
x
y
【点评】此题考查了解二元一次方程组,利用了消元的思想,消元的方法有:代入消元法与
加减消元法.
19.(8 分)人字折叠梯完全打开后如图 1 所示, B ,C 是折叠梯的两个着地点, D 是折叠
梯最高级踏板的固定点.图 2 是它的示意图, AB AC , 140BD cm , 40BAC ,求点
D 离地面的高度 DE .(结果精确到 0.1cm ;参考数据 sin70 0.94 , cos70 0.34 ,
sin 20 0.34 , cos20 0.94)
【分析】过点 A 作 AF BC 于点 F ,根据等腰三角形的三线合一性质得 BAF 的度数,进
而得 BDE 的度数,再解直角三角形得结果.
【解答】解:过点 A 作 AF BC 于点 F ,则 / /AF DE ,
BDE BAF ,
AB AC , 40BAC ,
20BDE BAF ,
cos20 140 0.94 131.6( )DE BD cm .
答:点 D 离地面的高度 DE 约为131.6cm .
【点评】本题主要考查了解直角三角形,等腰三角形的性质,关键是构造直角三角形求得
BDE 的度数.
20.(8 分)小明同学训练某种运算技能,每次训练完成相同数量的题目,各次训练题目难
度相当.当训练次数不超过 15 次时,完成一次训练所需要的时间 y (单位:秒)与训练次
数 x(单位:次)之间满足如图所示的反比例函数关系.完成第 3 次训练所需时间为 400 秒.
(1)求 y 与 x 之间的函数关系式;
(2)当 x 的值为 6,8,10 时,对应的函数值分别为 1y , 2y , 3y ,比较 1 2( )y y 与 2 3( )y y
的大小: 1 2y y 2 3y y .
【分析】(1)设 y 与 x 之间的函数关系式为: ky x
,把 (3,400) 代入 ky x
即可得到结论,
(2)把 6x ,8,10 分别代入 1200y x
得到求得 1y , 2y , 3y 值,即可得到结论.
【解答】解:(1)设 y 与 x 之间的函数关系式为: ky x
,
把 (3,400) 代入 ky x
得, 400 3
k ,
解得: 1200k ,
y 与 x 之间的函数关系式为 1200y x
;
(2)把 6x ,8,10 分别代入 1200y x
得, 1
1200 2006y , 2
1200 1508y , 3
1200 12010y ,
1 2 200 150 50y y , 2 3 150 120 30y y ,
50 30 ,
1 2 2 3y y y y ,
故答案为: .
【点评】本题考查了反比例函数的应用,待定系数法求函数的解析式,反比例函数的性质,
正确的理解题意是解题的关键.
21.(10 分)如图,已知 AB AC , AD AE , BD 和CE 相交于点 O .
(1)求证: ABD ACE ;
(2)判断 BOC 的形状,并说明理由.
【分析】(1)由“ SAS ”可证 ABD ACE ;
(2)由全等三角形的性质可得 ABD ACE ,由等腰三角形的性质可得 ABC ACB ,
可求 OBC OCB ,可得 BO CO ,即可得结论.
【解答】证明:(1) AB AC , BAD CAE , AD AE ,
( )ABD ACE SAS ;
(2) BOC 是等腰三角形,
理由如下:
ABD ACE ,
ABD ACE ,
AB AC ,
ABC ACB ,
ABC ABD ACB ACE ,
OBC OCB ,
BO CO ,
BOC 是等腰三角形.
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,灵活运用全等三
角形的性质是本题的关键.
22.(12 分)新冠疫情期间,某校开展线上教学,有“录播”和“直播”两种教学方式供学
生选择其中一种.为分析该校学生线上学习情况,在接受这两种教学方式的学生中各随机抽
取 40 人调查学习参与度,数据整理结果如表(数据分组包含左端值不包含右端值).
参与度
人数
方式
0.2 ~ 0.4 0.4 ~ 0.6 0.6 ~ 0.8 0.8 ~1
录播 4 16 12 8
直播 2 10 16 12
(1)你认为哪种教学方式学生的参与度更高?简要说明理由.
(2)从教学方式为“直播”的学生中任意抽取一位学生,估计该学生的参与度在 0.8 及以
上的概率是多少?
(3)该校共有 800 名学生,选择“录播”和“直播”的人数之比为1:3 ,估计参与度在 0.4
以下的共有多少人?
【分析】(1)根据表格数据得出两种教学方式参与度在 0.6 以上的人数,比较即可作出判断;
(2)用表格中“直播”教学方式学生参与度在 0.8 以上的人数除以被调查的总人数即可估
计对应概率;
(3)先根据“录播”和“直播”的人数之比为1:3 及该校学生总人数求出“直播”、“录播”
人数,再分别乘以两种教学方式中参与度在 0.4 以下人数所占比例求出对应人数,再相加即
可得出答案.
【解答】解:(1)“直播”教学方式学生的参与度更高:
理由:“直播”参与度在 0.6 以上的人数为 28 人,“录播”参与度在 0.6 以上的人数为 20 人,
参与度在 0.6 以上的“直播”人数远多于“录播”人数,
所以“直播”教学方式学生的参与度更高;
(2)12 40 0.3 30% ,
答:估计该学生的参与度在 0.8 及以上的概率是 30% ;
(3)“录播”总学生数为 1800 2001 3
(人 ) ,“直播”总学生数为 3800 6001 3
(人 ) ,
所以“录播”参与度在 0.4 以下的学生数为 4200 2040
(人 ) ,
“直播”参与度在 0.4 以下的学生数为 2600 3040
(人 ) ,
所以参与度在 0.4 以下的学生共有 20 30 50 (人 ) .
【点评】本题主要考查利用频率估计概率,大量重复实验时,事件发生的频率在某个固定位
置左右摆动,并且摆动的幅度越来越小,根据这个频率稳定性定理,可以用频率的集中趋势
来估计概率,这个固定的近似值就是这个事件的概率.
23.(12 分)如图,在 ABC 中, 90ACB ,将 ABC 沿直线 AB 翻折得到 ABD ,连接
CD 交 AB 于点 M . E 是线段 CM 上的点,连接 BE . F 是 BDE 的外接圆与 AD 的另一个
交点,连接 EF , BF .
(1)求证: BEF 是直角三角形;
(2)求证: BEF BCA ∽ ;
(3)当 6AB ,BC m 时,在线段 CM 上存在点 E ,使得 EF 和 AB 互相平分,求 m 的值.
【分析】(1)想办法证明 90BEF 即可解决问题(也可以利用圆内接四边形的性质直接
证明).
(2)根据两角对应相等两三角形相似证明.
(3)证明四边形 AFBE 是平行四边形,推出 1
2 2
mFJ BD ,EF m ,由 ABC CBM ∽ ,
可得
2
6
mBM ,由 BEJ BME ∽ ,可得
2
mBE ,由 BEF BCA ∽ ,推出 AC BC
EF BE
,由
此构建方程求解即可.
【解答】(1)证明: EFB EDB , EBF EDF ,
90EFB EBF EDB EDF ADB ,
90BEF ,
BEF 是直角三角形.
(2)证明: BC BD ,
BDC BCD ,
EFB EDB ,
EFB BCD ,
AC AD , BC BD ,
AB CD ,
90AMC ,
90BCD ACD ACD CAB ,
BCD CAB ,
BFE CAB ,
90ACB FEB ,
BEF BCA ∽ .
(3)解:设 EF 交 AB 于 J .连接 AE .
EF 与 AB 互相平分,
四边形 AFBE 是平行四边形,
90EFA FEB ,即 EF AD ,
BD AD ,
/ /EF BD ,
AJ JB ,
AF DF ,
1
2 2
mFJ BD ,
EF m ,
ABC CBM ∽ ,
: :BC MB AB BC ,
2
6
mBM ,
BEJ BME ∽ ,
: :BE BM BJ BE ,
2
mBE ,
BEF BCA ∽ ,
AC BC
EF BE
,
即
236
2
m m
mm
,
解得 2 3m (负根已经舍弃).
【点评】本题属于圆综合题,考查了圆周角定理,相似三角形的判定和性质平行四边形的判
定和性质等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题,属于中考压轴题.
24.(14 分)用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观(如图1) .
科学原理:如图 2,始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为 H (单位: )cm ,如果在离
水面竖直距离为 h(单位: )cm 的地方开大小合适的小孔,那么从小孔射出水的射程(水流
落地点离小孔的水平距离) s (单位: )cm 与 h 的关系为 2 4 ( )s h H h .
应用思考:现用高度为 20cm 的圆柱体望料水瓶做相关研究,水瓶直立地面,通过连注水保
证它始终盛满水,在离水面竖直距高 hcm处开一个小孔.
(1)写出 2s 与 h 的关系式;并求出当 h 为何值时,射程 s 有最大值,最大射程是多少?
(2)在侧面开两个小孔,这两个小孔离水面的竖直距离分别为 a , b ,要使两孔射出水的
射程相同,求 a , b 之间的关系式;
(3)如果想通过垫高塑料水瓶,使射出水的最大射程增加16cm,求整高的高度及小孔离水
面的竖直距离.
【分析】(1)将 2 4 (20 )s h h 写成顶点式,按照二次函数的性质得出 2s 的最大值,再求 2s
的算术平方根即可;
(2)设存在 a ,b ,使两孔射出水的射程相同,则 4 (20 ) 4 (20 )a a b b ,利用因式分解变
形即可得出答案;
(3)设垫高的高度为 m ,写出此时 2s 关于 h 的函数关系式,根据二次函数的性质可得答案.
【解答】解:(1) 2 4 ( )s h H h ,
当 20H 时, 2 24 (20 ) 4( 10) 400s h h h ,
当 10h 时, 2s 有最大值 400,
当 10h 时, s 有最大值 20cm .
当 h 为何值时,射程 s 有最大值,最大射程是 20cm ;
(2) 2 4 (20 )s h h ,
设存在 a, b ,使两孔射出水的射程相同,则有:
4 (20 ) 4 (20 )a a b b ,
2 220 20a a b b ,
2 2 20 20a b a b ,
( )( ) 20( )a b a b a b ,
( )( 20) 0a b a b ,
0a b ,或 20 0a b ,
a b 或 20a b ;
(3)设垫高的高度为 m ,则 2 2 2204 (20 ) 4( ) (20 )2
ms h m h h m ,
当 20
2
mh 时, 20 20 16maxs m ,
16m ,此时 20 182
mh .
垫高的高度为16cm,小孔离水面的竖直距离为18cm.
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用,理清题中的数量关系并明确二次函数的
性质是解题的关键.
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