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  • 2021-11-10 发布

2020年浙江省台州市中考数学试卷

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2020 年浙江省台州市中考数学试卷 一、选择题(本题有 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.请选出各题中一个符合题意的正确 选项,不选、多选、错选,均不给分) 1.(4 分)计算1 3 的结果是 ( ) A.2 B. 2 C.4 D. 4 2.(4 分)用三个相同的正方体搭成如图所示的立体图形,则该立体图形的主视图是 ( ) A. B. C. D. 3.(4 分)计算 2 42 3a a 的结果是 ( ) A. 65a B. 85a C. 66a D. 86a 4.(4 分)无理数 10 在 ( ) A.2 和 3 之间 B.3 和 4 之间 C.4 和 5 之间 D.5 和 6 之间 5.(4 分)在一次数学测试中,小明成绩 72 分,超过班级半数同学的成绩,分折得出这个 结论所用的统计量是 ( ) A.中位数 B.众数 C.平均数 D.方差 6.(4 分)如图,把 ABC 先向右平移 3 个单位,再向上平移 2 个单位得到 DEF ,则顶点 (0, 1)C  对应点的坐标为 ( ) A. (0,0) B. (1,2) C. (1,3) D. (3,1) 7.(4 分)如图,已知线段 AB ,分别以 A , B 为圆心,大于 1 2 AB 同样长为半径画弧,两 弧交于点 C , D ,连接 AC , AD , BC , BD , CD ,则下列说法错误的是 ( ) A. AB 平分 CAD B.CD 平分 ACB C. AB CD D. AB CD 8.(4 分)下列是关于某个四边形的三个结论:①它的对角线相等;②它是一个正方形;③ 它是一个矩形.下列推理过程正确的是 ( ) A.由②推出③,由③推出① B.由①推出②,由②推出③ C.由③推出①,由①推出② D.由①推出③,由③推出② 9.(4 分)如图 1,小球从左侧的斜坡滚下,到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚,在这个过 程中,小球的运动速度 v (单位: / )m s 与运动时间 t (单位: )s 的函数图象如图 2,则该小 球的运动路程 y (单位: )m 与运动时间 t (单位: )s 之间的函数图象大致是 ( ) A. B. C. D. 10.(4 分)把一张宽为1cm的长方形纸片 ABCD 折叠成如图所示的阴影图案,顶点 A ,D 互 相重合,中间空白部分是以 E 为直角顶点,腰长为 2cm的等腰直角三角形,则纸片的长 AD (单位: )cm 为 ( ) A. 7 3 2 B. 7 4 2 C.8 3 2 D.8 4 2 二、填空题(本题有 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 11.(5 分)因式分解: 2 9x   . 12.(5 分)计算 1 1 3x x  的结果是 . 13.(5 分)如图,等边三角形纸片 ABC 的边长为 6, E , F 是边 BC 上的三等分点.分别 过点 E , F 沿着平行于 BA , CA 方向各剪一刀,则剪下的 DEF 的周长是 . 14.(5 分)甲、乙两位同学在 10 次定点投篮训练中(每次训练投 8 个),各次训练成绩(投 中个数)的折线统计图如图所示,他们成绩的方差分别为 2s甲 与 2S乙 ,则 2s甲 2S乙 .(填“  ”、 “  ”、“  ”中的一个) 15.(5 分)如图,在 ABC 中, D 是边 BC 上的一点,以 AD 为直径的 O 交 AC 于点 E , 连接 DE .若 O 与 BC 相切, 55ADE   ,则 C 的度数为 . 16.(5 分)用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案,每块大正 方形地砖面积为 a,小正方形地砖面积为b ,依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形 ABCD .则正方形 ABCD 的面积为 .(用含 a ,b 的代数式表示) 三、解答题(本题有 8 小题,第 17~20 题每题 8 分,第 21 题 10 分,第 22,23 题每题 12 分,第 24 题 14 分,共 80 分) 17.(8 分)计算:| 3| 8 2   . 18.(8 分)解方程组: 1, 3 7. x y x y      19.(8 分)人字折叠梯完全打开后如图 1 所示, B ,C 是折叠梯的两个着地点, D 是折叠 梯最高级踏板的固定点.图 2 是它的示意图, AB AC , 140BD cm , 40BAC  ,求点 D 离地面的高度 DE .(结果精确到 0.1cm ;参考数据 sin70 0.94  , cos70 0.34  , sin 20 0.34  , cos20 0.94)  20.(8 分)小明同学训练某种运算技能,每次训练完成相同数量的题目,各次训练题目难 度相当.当训练次数不超过 15 次时,完成一次训练所需要的时间 y (单位:秒)与训练次 数 x(单位:次)之间满足如图所示的反比例函数关系.完成第 3 次训练所需时间为 400 秒. (1)求 y 与 x 之间的函数关系式; (2)当 x 的值为 6,8,10 时,对应的函数值分别为 1y , 2y , 3y ,比较 1 2( )y y 与 2 3( )y y 的大小: 1 2y y 2 3y y . 21.(10 分)如图,已知 AB AC , AD AE , BD 和CE 相交于点 O . (1)求证: ABD ACE   ; (2)判断 BOC 的形状,并说明理由. 22.(12 分)新冠疫情期间,某校开展线上教学,有“录播”和“直播”两种教学方式供学 生选择其中一种.为分析该校学生线上学习情况,在接受这两种教学方式的学生中各随机抽 取 40 人调查学习参与度,数据整理结果如表(数据分组包含左端值不包含右端值). 参与度 人数 方式 0.2 ~ 0.4 0.4 ~ 0.6 0.6 ~ 0.8 0.8 ~1 录播 4 16 12 8 直播 2 10 16 12 (1)你认为哪种教学方式学生的参与度更高?简要说明理由. (2)从教学方式为“直播”的学生中任意抽取一位学生,估计该学生的参与度在 0.8 及以 上的概率是多少? (3)该校共有 800 名学生,选择“录播”和“直播”的人数之比为1:3 ,估计参与度在 0.4 以下的共有多少人? 23.(12 分)如图,在 ABC 中, 90ACB   ,将 ABC 沿直线 AB 翻折得到 ABD ,连接 CD 交 AB 于点 M . E 是线段 CM 上的点,连接 BE . F 是 BDE 的外接圆与 AD 的另一个 交点,连接 EF , BF . (1)求证: BEF 是直角三角形; (2)求证: BEF BCA ∽ ; (3)当 6AB  ,BC m 时,在线段 CM 上存在点 E ,使得 EF 和 AB 互相平分,求 m 的值. 24.(14 分)用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观(如图1) . 科学原理:如图 2,始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为 H (单位: )cm ,如果在离 水面竖直距离为 h(单位: )cm 的地方开大小合适的小孔,那么从小孔射出水的射程(水流 落地点离小孔的水平距离) s (单位: )cm 与 h 的关系为 2 4 ( )s h H h  . 应用思考:现用高度为 20cm 的圆柱体望料水瓶做相关研究,水瓶直立地面,通过连注水保 证它始终盛满水,在离水面竖直距高 hcm处开一个小孔. (1)写出 2s 与 h 的关系式;并求出当 h 为何值时,射程 s 有最大值,最大射程是多少? (2)在侧面开两个小孔,这两个小孔离水面的竖直距离分别为 a , b ,要使两孔射出水的 射程相同,求 a , b 之间的关系式; (3)如果想通过垫高塑料水瓶,使射出水的最大射程增加16cm,求整高的高度及小孔离水 面的竖直距离. 2020 年浙江省台州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本题有 10 小题,每小题 4 分,共 40 分.请选出各题中一个符合题意的正确 选项,不选、多选、错选,均不给分) 1.(4 分)计算1 3 的结果是 ( ) A.2 B. 2 C.4 D. 4 【分析】根据有理数的加减法法则计算即可判断. 【解答】解:1 3 1 ( 3) 2      . 故选: B . 【点评】本题主要考查了有理数的减法法则,减去一个数,等于加上这个数的相反数. 2.(4 分)用三个相同的正方体搭成如图所示的立体图形,则该立体图形的主视图是 ( ) A. B. C. D. 【分析】从正面看所得到的图形即为主视图,因此选项 A 的图形符合题意. 【解答】解:根据主视图的意义可知,选项 A 符合题意, 故选: A . 【点评】考查简单几何体的三视图的画法,从不同方向对问题进行正投影所得到的图形分别 为主视图、左视图、俯视图. 3.(4 分)计算 2 42 3a a 的结果是 ( ) A. 65a B. 85a C. 66a D. 86a 【分析】直接利用单项式乘单项式运算法则计算得出答案. 【解答】解: 2 4 62 3 6a a a . 故选: C . 【点评】此题主要考查了单项式乘单项式,正确掌握相关运算法则是解题关键. 4.(4 分)无理数 10 在 ( ) A.2 和 3 之间 B.3 和 4 之间 C.4 和 5 之间 D.5 和 6 之间 【分析】由 9 10 16  可以得到答案. 【解答】解: 3 10 4  , 故选: B . 【点评】此题考查了估算无理数的大小,熟练掌握估算无理数的方法是解本题的关键. 5.(4 分)在一次数学测试中,小明成绩 72 分,超过班级半数同学的成绩,分折得出这个 结论所用的统计量是 ( ) A.中位数 B.众数 C.平均数 D.方差 【分析】根据中位数的意义求解可得. 【解答】解:班级数学成绩排列后,最中间一个数或最中间两个分数的平均数是这组成绩的 中位数, 半数同学的成绩位于中位数或中位数以下, 小明成绩超过班级半数同学的成绩所用的统计量是中位数, 故选: A . 【点评】本题主要考查统计量的选择,解题的关键是掌握中位数、众数、平均数及方差的定 义和意义. 6.(4 分)如图,把 ABC 先向右平移 3 个单位,再向上平移 2 个单位得到 DEF ,则顶点 (0, 1)C  对应点的坐标为 ( ) A. (0,0) B. (1,2) C. (1,3) D. (3,1) 【分析】利用平移规律进而得出答案. 【解答】解:把 ABC 先向右平移 3 个单位,再向上平移 2 个单位得到 DEF ,顶点 (0, 1)C  , (0 3, 1 2)C    , 即 (3,1)C , 故选: D . 【点评】此题主要考查了坐标与图形变化  平移,正确得出对应点位置是解题关键. 7.(4 分)如图,已知线段 AB ,分别以 A , B 为圆心,大于 1 2 AB 同样长为半径画弧,两 弧交于点 C , D ,连接 AC , AD , BC , BD , CD ,则下列说法错误的是 ( ) A. AB 平分 CAD B.CD 平分 ACB C. AB CD D. AB CD 【分析】根据作图判断出四边形 ACBD 是菱形,再根据菱形的性质:菱形的对角线平分一 组对角、菱形的对角线互相垂直平分可得出答案. 【解答】解:由作图知 AC AD BC BD   , 四边形 ACBD 是菱形, AB 平分 CAD 、 CD平分 ACB 、 AB CD , 不能判断 AB CD , 故选: D . 【点评】本题主要考查作图  基本作图,解题的关键是掌握菱形的判定与性质. 8.(4 分)下列是关于某个四边形的三个结论:①它的对角线相等;②它是一个正方形;③ 它是一个矩形.下列推理过程正确的是 ( ) A.由②推出③,由③推出① B.由①推出②,由②推出③ C.由③推出①,由①推出② D.由①推出③,由③推出② 【分析】根据对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形即可判断. 【解答】解:对角线相等的四边形推不出是正方形或矩形, 故①  ②,①  ③错误, 故选项 B , C , D 错误, 故选: A . 【点评】本题考查正方形的判定和性质,矩形的判定等知识,解题的关键是灵活运用所学知 识解决问题,属于中考常考题型. 9.(4 分)如图 1,小球从左侧的斜坡滚下,到达底端后又沿着右侧斜坡向上滚,在这个过 程中,小球的运动速度 v (单位: / )m s 与运动时间 t (单位: )s 的函数图象如图 2,则该小 球的运动路程 y (单位: )m 与运动时间 t (单位: )s 之间的函数图象大致是 ( ) A. B. C. D. 【分析】小球从左侧的斜坡滚下是匀变速运动,运动的路程 y 是 t 的二次函数,图象是先缓 后陡,由此即可判断. 【解答】解:小球从左侧的斜坡滚下是匀变速运动,运动的路程 y 是 t 的二次函数,图象是 先缓后陡, 在右侧上升时,情形与左侧相反, 故选: C . 【点评】本题考查动点问题函数图象,解题的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题. 10.(4 分)把一张宽为1cm的长方形纸片 ABCD 折叠成如图所示的阴影图案,顶点 A ,D 互 相重合,中间空白部分是以 E 为直角顶点,腰长为 2cm的等腰直角三角形,则纸片的长 AD (单位: )cm 为 ( ) A. 7 3 2 B. 7 4 2 C.8 3 2 D.8 4 2 【分析】如图,过点 M 作 MH A R  于 H ,过点 N 作 NJ AW  于 J .想办法求出 AR ,RM , MN , NW ,WD 即可解决问题. 【解答】解:如图,过点 M 作 MH A R  于 H ,过点 N 作 NJ AW  于 J . 由题意 EMN 是等腰直角三角形, 2EM EN  , 2 2MN  , 四边形 EMHK 是矩形, 1EK A K MH     , 2KH EM  , RMH 是等腰直角三角形, 1RH MH   , 2RM  ,同法可证 2NW  , 由题意 4AR RA AW WD      , 4 2 2 2 2 4 8 4 2AD AR RM MN NW DW             , 故选: D . 【点评】本题考查翻折变换,等腰直角三角形的判定和性质,矩形的性质等知识,解题的关 键是学会添加常用辅助线,构造特殊三角形或特殊四边形解决问题. 二、填空题(本题有 6 小题,每小题 5 分,共 30 分) 11.(5 分)因式分解: 2 9x   ( 3)( 3)x x  . 【分析】原式利用平方差公式分解即可. 【解答】解:原式 ( 3)( 3)x x   , 故答案为: ( 3)( 3)x x  . 【点评】此题考查了因式分解  运用公式法,熟练掌握平方差公式是解本题的关键. 12.(5 分)计算 1 1 3x x  的结果是 2 3x . 【分析】先通分,再相减即可求解. 【解答】解: 1 1 3 1 2 3 3 3 3x x x x x     . 故答案为: 2 3x . 【点评】考查了分式加减法,把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式,叫做通分,经 过通分,异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减. 13.(5 分)如图,等边三角形纸片 ABC 的边长为 6, E , F 是边 BC 上的三等分点.分别 过点 E , F 沿着平行于 BA , CA 方向各剪一刀,则剪下的 DEF 的周长是 6 . 【分析】根据三等分点的定义可求 EF 的长,再根据等边三角形的判定与性质即可求解. 【解答】解:等边三角形纸片 ABC 的边长为 6, E , F 是边 BC 上的三等分点, 2EF  , / /DE AB , / /DF AC , DEF 是等边三角形, 剪下的 DEF 的周长是 2 3 6  . 故答案为:6. 【点评】考查了等边三角形的性质,平行线的性质,关键是证明 DEF 是等边三角形. 14.(5 分)甲、乙两位同学在 10 次定点投篮训练中(每次训练投 8 个),各次训练成绩(投 中个数)的折线统计图如图所示,他们成绩的方差分别为 2s甲 与 2S乙 ,则 2s甲  2S乙 .(填“  ”、 “  ”、“  ”中的一个) 【分析】利用折线统计图可判断乙同学的成绩波动较大,然后根据方差的意义可得到甲、乙 的方差的大小. 【解答】解:由折线统计图得乙同学的成绩波动较大, 所以 2 2s S 乙甲 . 故答案为:  . 【点评】本题考查了条形统计图:条形统计图是用线段长度表示数据,根据数量的多少画成 长短不同的矩形直条,然后按顺序把这些直条排列起来.也考查了方差的意义. 15.(5 分)如图,在 ABC 中, D 是边 BC 上的一点,以 AD 为直径的 O 交 AC 于点 E , 连接 DE .若 O 与 BC 相切, 55ADE   ,则 C 的度数为 55 . 【分析】由直径所对的圆周角为直角得 90AED   ,由切线的性质可得 90ADC  ,然后 由同角的余角相等可得 55C ADE     . 【解答】解: AD 为 O 的直径, 90AED   , 90ADE DAE     ; O 与 BC 相切, 90ADC   , 90C DAE     , C ADE   , 55ADE   , 55C   . 故答案为: 55 . 【点评】本题考查了切线的性质、圆的相关概念及性质及互余关系等知识点,熟练掌握圆的 相关性质是解题的关键. 16.(5 分)用四块大正方形地砖和一块小正方形地砖拼成如图所示的实线图案,每块大正 方形地砖面积为 a,小正方形地砖面积为b ,依次连接四块大正方形地砖的中心得到正方形 ABCD .则正方形 ABCD 的面积为 a b .(用含 a ,b 的代数式表示) 【分析】如图,连接 DK , DN ,证明 1 4DKNDMNTS S a 四边形 即可解决问题. 【解答】解:如图,连接 DK , DN , 90KDN MDT     , KDM NDT   , DK DN , 45DKM DNT     , ( )DKM DNT ASA   , DKM DNTS S   , 1 4DKNDMNTS S a  四边形 , 正方形 ABCD 的面积 14 4 a b a b     . 故答案为 a b . 【点评】本题考查中心对称,全等三角形的判定和性质,图形的拼剪等知识,解题的关键灵 活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型. 三、解答题(本题有 8 小题,第 17~20 题每题 8 分,第 21 题 10 分,第 22,23 题每题 12 分,第 24 题 14 分,共 80 分) 17.(8 分)计算:| 3| 8 2   . 【分析】直接利用绝对值的性质和二次根式的性质化简得出答案. 【解答】解:原式 3 2 2 2   3 2  . 【点评】此题主要考查了实数运算,正确化简二次根式是解题关键. 18.(8 分)解方程组: 1, 3 7. x y x y      【分析】方程组利用加减消元法求出解即可. 【解答】解: 1 3 7 x y x y      ① ② , ①  ②得: 4 8x  , 解得: 2x  , 把 2x  代入①得: 1y  , 则该方程组的解为 2 1. x y    【点评】此题考查了解二元一次方程组,利用了消元的思想,消元的方法有:代入消元法与 加减消元法. 19.(8 分)人字折叠梯完全打开后如图 1 所示, B ,C 是折叠梯的两个着地点, D 是折叠 梯最高级踏板的固定点.图 2 是它的示意图, AB AC , 140BD cm , 40BAC  ,求点 D 离地面的高度 DE .(结果精确到 0.1cm ;参考数据 sin70 0.94  , cos70 0.34  , sin 20 0.34  , cos20 0.94)  【分析】过点 A 作 AF BC 于点 F ,根据等腰三角形的三线合一性质得 BAF 的度数,进 而得 BDE 的度数,再解直角三角形得结果. 【解答】解:过点 A 作 AF BC 于点 F ,则 / /AF DE , BDE BAF   , AB AC , 40BAC  , 20BDE BAF     , cos20 140 0.94 131.6( )DE BD cm      . 答:点 D 离地面的高度 DE 约为131.6cm . 【点评】本题主要考查了解直角三角形,等腰三角形的性质,关键是构造直角三角形求得 BDE 的度数. 20.(8 分)小明同学训练某种运算技能,每次训练完成相同数量的题目,各次训练题目难 度相当.当训练次数不超过 15 次时,完成一次训练所需要的时间 y (单位:秒)与训练次 数 x(单位:次)之间满足如图所示的反比例函数关系.完成第 3 次训练所需时间为 400 秒. (1)求 y 与 x 之间的函数关系式; (2)当 x 的值为 6,8,10 时,对应的函数值分别为 1y , 2y , 3y ,比较 1 2( )y y 与 2 3( )y y 的大小: 1 2y y  2 3y y . 【分析】(1)设 y 与 x 之间的函数关系式为: ky x  ,把 (3,400) 代入 ky x  即可得到结论, (2)把 6x  ,8,10 分别代入 1200y x  得到求得 1y , 2y , 3y 值,即可得到结论. 【解答】解:(1)设 y 与 x 之间的函数关系式为: ky x  , 把 (3,400) 代入 ky x  得, 400 3 k , 解得: 1200k  , y 与 x 之间的函数关系式为 1200y x  ; (2)把 6x  ,8,10 分别代入 1200y x  得, 1 1200 2006y   , 2 1200 1508y   , 3 1200 12010y   , 1 2 200 150 50y y    , 2 3 150 120 30y y    , 50 30 , 1 2 2 3y y y y    , 故答案为:  . 【点评】本题考查了反比例函数的应用,待定系数法求函数的解析式,反比例函数的性质, 正确的理解题意是解题的关键. 21.(10 分)如图,已知 AB AC , AD AE , BD 和CE 相交于点 O . (1)求证: ABD ACE   ; (2)判断 BOC 的形状,并说明理由. 【分析】(1)由“ SAS ”可证 ABD ACE   ; (2)由全等三角形的性质可得 ABD ACE   ,由等腰三角形的性质可得 ABC ACB   , 可求 OBC OCB   ,可得 BO CO ,即可得结论. 【解答】证明:(1) AB AC , BAD CAE   , AD AE , ( )ABD ACE SAS   ; (2) BOC 是等腰三角形, 理由如下: ABD ACE   , ABD ACE   , AB AC , ABC ACB   , ABC ABD ACB ACE       , OBC OCB   , BO CO  , BOC 是等腰三角形. 【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质,等腰三角形的判定和性质,灵活运用全等三 角形的性质是本题的关键. 22.(12 分)新冠疫情期间,某校开展线上教学,有“录播”和“直播”两种教学方式供学 生选择其中一种.为分析该校学生线上学习情况,在接受这两种教学方式的学生中各随机抽 取 40 人调查学习参与度,数据整理结果如表(数据分组包含左端值不包含右端值). 参与度 人数 方式 0.2 ~ 0.4 0.4 ~ 0.6 0.6 ~ 0.8 0.8 ~1 录播 4 16 12 8 直播 2 10 16 12 (1)你认为哪种教学方式学生的参与度更高?简要说明理由. (2)从教学方式为“直播”的学生中任意抽取一位学生,估计该学生的参与度在 0.8 及以 上的概率是多少? (3)该校共有 800 名学生,选择“录播”和“直播”的人数之比为1:3 ,估计参与度在 0.4 以下的共有多少人? 【分析】(1)根据表格数据得出两种教学方式参与度在 0.6 以上的人数,比较即可作出判断; (2)用表格中“直播”教学方式学生参与度在 0.8 以上的人数除以被调查的总人数即可估 计对应概率; (3)先根据“录播”和“直播”的人数之比为1:3 及该校学生总人数求出“直播”、“录播” 人数,再分别乘以两种教学方式中参与度在 0.4 以下人数所占比例求出对应人数,再相加即 可得出答案. 【解答】解:(1)“直播”教学方式学生的参与度更高: 理由:“直播”参与度在 0.6 以上的人数为 28 人,“录播”参与度在 0.6 以上的人数为 20 人, 参与度在 0.6 以上的“直播”人数远多于“录播”人数, 所以“直播”教学方式学生的参与度更高; (2)12 40 0.3 30%   , 答:估计该学生的参与度在 0.8 及以上的概率是 30% ; (3)“录播”总学生数为 1800 2001 3   (人 ) ,“直播”总学生数为 3800 6001 3   (人 ) , 所以“录播”参与度在 0.4 以下的学生数为 4200 2040   (人 ) , “直播”参与度在 0.4 以下的学生数为 2600 3040   (人 ) , 所以参与度在 0.4 以下的学生共有 20 30 50  (人 ) . 【点评】本题主要考查利用频率估计概率,大量重复实验时,事件发生的频率在某个固定位 置左右摆动,并且摆动的幅度越来越小,根据这个频率稳定性定理,可以用频率的集中趋势 来估计概率,这个固定的近似值就是这个事件的概率. 23.(12 分)如图,在 ABC 中, 90ACB   ,将 ABC 沿直线 AB 翻折得到 ABD ,连接 CD 交 AB 于点 M . E 是线段 CM 上的点,连接 BE . F 是 BDE 的外接圆与 AD 的另一个 交点,连接 EF , BF . (1)求证: BEF 是直角三角形; (2)求证: BEF BCA ∽ ; (3)当 6AB  ,BC m 时,在线段 CM 上存在点 E ,使得 EF 和 AB 互相平分,求 m 的值. 【分析】(1)想办法证明 90BEF   即可解决问题(也可以利用圆内接四边形的性质直接 证明). (2)根据两角对应相等两三角形相似证明. (3)证明四边形 AFBE 是平行四边形,推出 1 2 2 mFJ BD  ,EF m ,由 ABC CBM ∽ , 可得 2 6 mBM  ,由 BEJ BME ∽ ,可得 2 mBE  ,由 BEF BCA ∽ ,推出 AC BC EF BE  ,由 此构建方程求解即可. 【解答】(1)证明: EFB EDB   , EBF EDF   , 90EFB EBF EDB EDF ADB          , 90BEF  , BEF 是直角三角形. (2)证明: BC BD , BDC BCD   , EFB EDB   , EFB BCD   , AC AD , BC BD , AB CD  , 90AMC   , 90BCD ACD ACD CAB         , BCD CAB   , BFE CAB   , 90ACB FEB     , BEF BCA ∽ . (3)解:设 EF 交 AB 于 J .连接 AE . EF 与 AB 互相平分, 四边形 AFBE 是平行四边形, 90EFA FEB     ,即 EF AD , BD AD , / /EF BD , AJ JB , AF DF  , 1 2 2 mFJ BD   , EF m  , ABC CBM  ∽ , : :BC MB AB BC  , 2 6 mBM  , BEJ BME  ∽ , : :BE BM BJ BE  , 2 mBE  , BEF BCA  ∽ ,  AC BC EF BE  , 即 236 2 m m mm   , 解得 2 3m  (负根已经舍弃). 【点评】本题属于圆综合题,考查了圆周角定理,相似三角形的判定和性质平行四边形的判 定和性质等知识,解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题,属于中考压轴题. 24.(14 分)用各种盛水容器可以制作精致的家用流水景观(如图1) . 科学原理:如图 2,始终盛满水的圆体水桶水面离地面的高度为 H (单位: )cm ,如果在离 水面竖直距离为 h(单位: )cm 的地方开大小合适的小孔,那么从小孔射出水的射程(水流 落地点离小孔的水平距离) s (单位: )cm 与 h 的关系为 2 4 ( )s h H h  . 应用思考:现用高度为 20cm 的圆柱体望料水瓶做相关研究,水瓶直立地面,通过连注水保 证它始终盛满水,在离水面竖直距高 hcm处开一个小孔. (1)写出 2s 与 h 的关系式;并求出当 h 为何值时,射程 s 有最大值,最大射程是多少? (2)在侧面开两个小孔,这两个小孔离水面的竖直距离分别为 a , b ,要使两孔射出水的 射程相同,求 a , b 之间的关系式; (3)如果想通过垫高塑料水瓶,使射出水的最大射程增加16cm,求整高的高度及小孔离水 面的竖直距离. 【分析】(1)将 2 4 (20 )s h h  写成顶点式,按照二次函数的性质得出 2s 的最大值,再求 2s 的算术平方根即可; (2)设存在 a ,b ,使两孔射出水的射程相同,则 4 (20 ) 4 (20 )a a b b   ,利用因式分解变 形即可得出答案; (3)设垫高的高度为 m ,写出此时 2s 关于 h 的函数关系式,根据二次函数的性质可得答案. 【解答】解:(1) 2 4 ( )s h H h  , 当 20H  时, 2 24 (20 ) 4( 10) 400s h h h      , 当 10h  时, 2s 有最大值 400, 当 10h  时, s 有最大值 20cm . 当 h 为何值时,射程 s 有最大值,最大射程是 20cm ; (2) 2 4 (20 )s h h  , 设存在 a, b ,使两孔射出水的射程相同,则有: 4 (20 ) 4 (20 )a a b b   , 2 220 20a a b b    , 2 2 20 20a b a b    , ( )( ) 20( )a b a b a b     , ( )( 20) 0a b a b     , 0a b   ,或 20 0a b   , a b  或 20a b  ; (3)设垫高的高度为 m ,则 2 2 2204 (20 ) 4( ) (20 )2 ms h m h h m        , 当 20 2 mh  时, 20 20 16maxs m    , 16m  ,此时 20 182 mh   . 垫高的高度为16cm,小孔离水面的竖直距离为18cm. 【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用,理清题中的数量关系并明确二次函数的 性质是解题的关键.