【精品试卷】中考数学一轮复习 专题测试21 平行四边形（培优提高）（教师版） 19页

专题 21 平行四边形（专题测试-提高） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、选择题（共 12 小题，每小题 4 分，共 48 分） 1．（2019·江西中考模拟）如图，在正方形 ABCD 中，E ，F 分别为 AD ，BC 的中点，P 为对角线 BD 上 的一个动点，则下列线段的长等于 AP EP 最小值的是（ ） A． AB B． DE C． BD D． AF 【答案】D 【解析】 过点 E 作关于 BD 的对称点 E′，连接 AE′，交 BD 于点 P． ∴PA+PE 的最小值 AE′； ∵E 为 AD 的中点， ∴E′为 CD 的中点， ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AB=BC=CD=DA，∠ABF=∠AD E′=90°, ∴DE′=BF， ∴ΔABF≌ΔAD E′， ∴AE′=AF. 故选 D. 2．（2018·广西中考真题）如图，在菱形 ABCD 中，AC=6 2 ，BD=6，E 是 BC 边的中点，P，M 分别是 AC，AB 上的动点，连接 PE，PM，则 PE+PM 的最小值是（ ） A．6 B．3 3 C．2 6 D．4.5 【答案】C 【详解】如图，作点 E 关于 AC 的对称点 E′，过点 E′作 E′M⊥AB 于点 M，交 AC 于点 P， 则点 P、M 即为使 PE+PM 取得最小值的点， 则有 PE+PM=PE′+PM=E′M， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴点 E′在 CD 上， ∵AC=6 2 ，BD=6， ∴AB=  2 23 2 3 3 3  ， 由 S 菱形 ABCD= 1 2 AC•BD=AB•E′M 得 1 2 ×6 2 ×6=3 3 •E′M， 解得：E′M=2 6 ， 即 PE+PM 的最小值是 2 6 ， 故选 C． 3．（2019·常州市第三中学中考模拟）如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 、BD 相交成的锐角 30  ， 若 8AC  ， 6BD  ，则平行四边形 ABCD 的面积是 ( ) A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】D 【详解】 过点 D 作 DE⊥AC 于点 E， ∵在▱ABCD 中，AC＝8，BD＝6， ∴OD＝ 1 32 BD  , ∵∠α＝30°， ∴DE＝OD•sin∠α＝3× 1 2 ＝1.5， ∴S△ACD＝ 1 2 AC•DE＝ 1 2 ×8×1.5＝6， ∴S▱ABCD＝2S△ACD＝12． 故答案选：D． 4．（2018·四川中考真题）如图，在 ABCD 中，CD=2AD，BE⊥AD 于点 E，F 为 DC 的中点，连结 EF、 BF，下列结论：①∠ABC=2∠ABF；②EF=BF；③S 四边形 DEBC=2S△EFB；④∠CFE=3∠DEF,其中正确结论的个 数共有（ ）. A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 【答案】D 【解析】 如图延长 EF 交 BC 的延长线于 G，取 AB 的中点 H 连接 FH． ∵CD=2AD，DF=FC， ∴CF=CB， ∴∠CFB=∠CBF， ∵CD∥AB， ∴∠CFB=∠FBH， ∴∠CBF=∠FBH， ∴∠ABC=2∠ABF．故①正确， ∵DE∥CG， ∴∠D=∠FCG， ∵DF=FC，∠DFE=∠CFG， ∴△DFE≌△FCG， ∴FE=FG， ∵BE⊥AD， ∴∠AEB=90°， ∵AD∥BC， ∴∠AEB=∠EBG=90°， ∴BF=EF=FG，故②正确， ∵S△DFE=S△CFG， ∴S 四边形 DEBC=S△EBG=2S△BEF，故③正确， ∵AH=HB，DF=CF，AB=CD， ∴CF=BH，∵CF∥BH， ∴四边形 BCFH 是平行四边形， ∵CF=BC， ∴四边形 BCFH 是菱形， ∴∠BFC=∠BFH， ∵FE=FB，FH∥AD，BE⊥AD， ∴FH⊥BE， ∴∠BFH=∠EFH=∠DEF， ∴∠EFC=3∠DEF，故④正确， 故选 D． 5．（2018·湖北中考模拟）如图，菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，过点 C 作 AB 垂线交 AB 延长 线于点 E，连结 OE，若 AB=2 5 ，BD=4，则 OE 的长为（ ） A．6 B．5 C．2 5 D．4 【答案】D 【详解】 四边形 ABCD 是菱形，  OA OC ， BD AC ，  CE AB ，  OE OA OC  ，  4BD  ，  1 22OB BD  ， 在 Rt AOB 中， 2 5AB  ， 2OB  ，  2 2 4OA AB OB   ，  4OE OA  . 故选： D . 6．（2019·福建中考模拟）□ABCD 中，E、F 是对角线 BD 上不同的两点，下列条件中，不能得出四边形 AECF 一定为平行四边形的是（ ） A．BE=DF B．AE=CF C．AF//CE D．∠BAE=∠DCF 【答案】B 【详解】A、如图，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴OA=OC，OB=OD， ∵BE=DF，∴OE=OF，∴四边形 AECF 是平行四边形，故不符合题意； B、如图所示，AE=CF，不能得到四边形 AECF 是平行四边形，故符合题意； C、如图，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴OA=OC， ∵AF//CE，∴∠FAO=∠ECO， 又∵∠AOF=∠COE，∴△AOF≌△COE，∴AF=CE， ∴AF / / CE，∴四边形 AECF 是平行四边形，故不符合题意； D、如图，∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AB=CD，AB//CD， ∴∠ABE=∠CDF， 又∵∠BAE=∠DCF，∴△ABE≌△CDF，∴AE=CF，∠AEB=∠CFD，∴∠AEO=∠CFO， ∴AE//CF， ∴AE / / CF，∴四边形 AECF 是平行四边形，故不符合题意， 故选 B. 7．（2019·山东中考模拟）矩形 ABCD 与 CEFG，如图放置，点 B，C，E 共线，点 C，D，G 共线，连接 AF，取 AF 的中点 H，连接 GH．若 BC=EF=2，CD=CE=1，则 GH=（ ） A．1 B． 2 3 C． 2 2 D． 5 2 【答案】C 【解析】 如图，延长 GH 交 AD 于点 P， ∵四边形 ABCD 和四边形 CEFG 都是矩形， ∴∠ADC=∠ADG=∠CGF=90°，AD=BC=2、GF=CE=1， ∴AD∥GF， ∴∠GFH=∠PAH， 又∵H 是 AF 的中点， ∴AH=FH， 在△APH 和△FGH 中， ∵ PAH GFH AH FH AHP FHG         ， ∴△APH≌△FGH（ASA）， ∴AP=GF=1，GH=PH= 1 2 PG， ∴PD=AD﹣AP=1， ∵CG=2、CD=1， ∴DG=1， 则 GH= 1 2 PG= 1 2 × 2 2PD DG = 2 2 ， 故选：C． 8．（2014·广东中考模拟）如图，边长为 6 的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为 S1， S2，则 S1+S2 的值为（ ） A．16 B．17 C．18 D．19 【答案】B 【解析】 如图 设正方形 S2 的边长为 x， 根据等腰直角三角形的性质知，AC= BC，BC=CE= CD， ∴AC=2CD，CD= =2， ∴EC2=22+22，即 EC= ； ∴S2 的面积为 =8； ∵S1 的边长为 3，S1 的面积为 3×3=9， ∴S1+S2=8+9=17．故选 B． 9．（2018·浙江中考真题）用尺规在一个平行四边形内作菱形 ABCD ,下列作法中错误的是（ ） A．（A） B．（B） C．（C） D．（D） 【答案】C 【解析】 由作图，可以证明 A、B、D 中四边形 ABCD 是菱形，C 中 ABCD 是平行四边形，即可得到结论． 详解：A．∵AC 是线段 BD 的垂直平分线，∴BO=OD，∴∠AOD=∠COB=90°． ∵AD∥BC，∴∠ADB=∠DBC，∴△AOD≌△COB，∴AO=OC，∴四边形 ABCD 是菱形．故 A 正确； B．由作图可知：AD=AB=BC． ∵AD∥BC，∴四边形 ABCD 是平行四边形． ∵AD=AB，∴四边形 ABCD 是菱形．故 B 正确； C．由作图可知 AB、CD 是角平分线，可以得到 ABCD 是平行四边形，不能得到 ABCD 是菱形．故 C 错误； D．如图，∵AE=AF，AG=AG，EG=FG，∴△AEG≌△AFG，∴∠EAG=∠FAG． ∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∴∠FAG=∠ACB，∴AB=BC，同理∠DCA=∠BCA，∴∠BAC=∠DCA， ∴AB∥DC． ∵AD∥BC，∴四边形 ABCD 是平行四边形． ∵AB=BC，∴四边形 ABCD 是菱形．故 D 正确． 故选 C． 10．（2018·陕西中考模拟）如图，在四边形 ABCD 中，AD∥BC，∠ABC+∠DCB=90°，且 BC=2AD，分别 以 AB、BC、DC 为边向外作正方形，它们的面积分别为 S1、S2、S3．若 S2=48，S3=9，则 S1 的值为（ ） A．18 B．12 C．9 D．3 【答案】D 【详解】 ∵S2=48，∴BC=4 3 ，过 A 作 AH∥CD 交 BC 于 H，则∠AHB=∠DCB． ∵AD∥BC，∴四边形 AHCD 是平行四边形，∴CH=BH=AD=2 3 ，AH=CD=3． ∵∠ABC+∠DCB=90°，∴∠AHB+∠ABC=90°，∴∠BAH=90°，∴AB2=BH2﹣AH2=3，∴S1=3． 故选 D． 11．（2015·河北中考模拟）如图，四边形 ABCD，AEFG 都是正方形，点 E，G 分别在 AB，AD 上，连接 FC，过点 E 作 EH∥FC 交 BC 于点 H．若 AB=4，AE=1，则 BH 的长为（ ） A．1 B．2 C．3 D．3 【答案】C 【解析】 试题分析：∵AB=4，AE=1， ∴BE=AB﹣AE=4﹣1=3， ∵四边形 ABCD，AEFG 都是正方形， ∴AD∥EF∥BC， 又∵EH∥FC， ∴四边形 EFCH 平行四边形， ∴EF=CH， ∵四边形 ABCD，AEFG 都是正方形， ∴AB=BC，AE=EF， ∴AB﹣AE=BC﹣CH， ∴BE=BH=3． 故选 C． 12．（2018·陕西中考真题）如图，在菱形 ABCD 中，点 E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD 和 DA 的中点， 连接 EF、FG、GH 和 HE．若 EH＝2EF，则下列结论正确的是（ ） A．AB＝ 2 EF B．AB＝2EF C．AB＝ 3 EF D．AB＝ 5 EF 【答案】D 【详解】连接 AC、BD 交于点 O， ∵四边形 ABCD 是菱形，∴OA= 1 2 AC，OB= 1 2 BD，AC⊥BD， ∵E、F、G、H 分别是边 AB、BC、CD 和 DA 的中点， ∴EH= 1 2 BD，EF= 1 2 AC， ∵EH=2EF， ∴OA=EF，OB=2OA=2EF， 在 Rt△AOB 中，AB= 2 2OA OB = 5 EF， 故选 D. 二、填空题（共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分） 13．（2019·山东中考模拟）如图，四边形 ABCD 为矩形纸片，把纸片 ABCD 折叠，使点 B 恰好落在 CD 边 的中点 E 处, 折痕为 AF，若 CD=6，则 AF 等于__________. 【答案】4 3 【解析】 由折叠的性质得 BF=EF，AE=AB， ∵CD=6，E 为 CD 中点， ∴ED=3， 在 Rt△ADE 中， ∵AE=AB=CD=6， ∴DE= 1 2 AE, ∴∠EAD=30°， ∴∠FAE= 1 2 (90°−30°)=30°， 在 Rt△AFE 中， 设 FE=x，则 AF=2x， ,根据勾股定理得， 2 2 2AF AE EF  ， 即(2x)2=62+x2， 解得，,x1=2 3 ，x2=−2 3 (舍去). ∴AF=2x=4 3 . 故答案为：4 3 . 14．（2017·湖北中考真题）如图,在▱ABCD 中,∠D=100°,∠DAB 的平分线 AE 交 DC 于点 E,连接 BE.若 AE=AB, 则∠EBC 的度数为__________. 【答案】30°. 【解析】 试题解析：∵四边形 ABCD 是平行四边形 ∴AB∥DC，∠ABC=∠D ∴∠DAB+∠D=180°， ∵∠D=100°， ∴∠DAB=80°, ∠ABC=100° 又∵∠DAB 的平分线交 DC 于点 E ∴∠EAD=∠EAB=40° ∵AE=AB ∴∠ABE= (180°-40°)=70° ∴∠EBC=∠ABC-∠ABE=100°-70°=30°. 15．（2018·天津中考模拟）在直线 l 上依次摆放着七个正方形(如图所示)．已知斜放置的三个正方形的面积 分别是 a，b，c，正放置的四个正方形的面积依次是 S1，S2，S3，S4，则 S1＋S2＋S3＋S4＝_____． 【答案】a+c 【详解】 解： ∵∠ACB+∠DCE=90°，∠BAC+∠ACB=90°， ∴∠DCE=∠BAC， ∵AC=CE，∠ABC=∠CDE ∴△ABC≌△CDE， ∴BC=DE， 在直角△ABC 中，AB2+BC2=AC2， 即，AB2+DE2=AC2， ∵S3=AB2，S4=DE2 ∴S3+S4=c 同理 S1+S2=a 故可得 S1+S2+S3+S4=a+c， 故答案是： a+c． 16．（2016·新疆中考真题）如图，在平行四边形 ABCD 中，P 是 CD 边上一点，且 AP 和 BP 分别平分∠DAB 和∠CBA，若 AD=5，AP=8，则△APB 的周长是 ． 【答案】24. 【解析】 试题分析： ∵四边形 ABCD 是平行四边形，∴AD∥CB，AB∥CD，∴∠DAB+∠CBA=180°，又∵AP 和 BP 分别平分∠DAB 和∠CBA，∴∠PAB= ∠DAB，∠PBA= ∠ABC，∴∠PAB+∠PBA= （∠DAB+∠CBA） =90°，∴∠APB=180°﹣（∠PAB+∠PBA）=90°；∵AB∥CD，∴∠PAB=∠DPA，∴∠DAP=∠DPA，∴AD=DP=5， 同理：PC=CB=5， 即 AB=DC=DP+PC=10，在 Rt△APB 中，AB=10，AP=8，∴BP= =6，∴△APB 的周长 =6+8+10=24. 17．（2018·吉林中考真题）如图，在▱ABCD 中，AD=7，AB=2 3 ，∠B=60°．E 是边 BC 上任意一点，沿 AE 剪开，将△ABE 沿 BC 方向平移到△DCF 的位置，得到四边形 AEFD，则四边形 AEFD 周长的最小值为 _____． 【答案】20 【详解】当 AE⊥BC 时，四边形 AEFD 的周长最小， ∵AE⊥BC，AB=2 3 ，∠B=60°， ∴AE=3，BE= 3 ， ∵△ABE 沿 BC 方向平移到△DCF 的位置， ∴EF=BC=AD=7， ∴四边形 AEFD 周长的最小值为：14+6=20， 故答案为：20. 三、解答题（共 4 小题，每小题 8 分，共 32 分） 18．（2019·山东中考模拟）如图，在平行四边形 ABCD 中，AE 是 BC 边上的高，点 F 是 DE 的中点，AB 与 AG 关于 AE 对称，AE 与 AF 关于 AG 对称． （1）求证：△AEF 是等边三角形； （2）若 AB=2，求△AFD 的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）S△ADF= 3 3 4 ． 【详解】（1）∵AB 与 AG 关于 AE 对称， ∴AE⊥BC， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴AE⊥AD，即∠DAE=90°， ∵点 F 是 DE 的中点，即 AF 是 Rt△ADE 的中线， ∴AF=EF=DF， ∵AE 与 AF 关于 AG 对称， ∴AE=AF， 则 AE=AF=EF， ∴△AEF 是等边三角形； （2）记 AG、EF 交点为 H， ∵△AEF 是等边三角形，且 AE 与 AF 关于 AG 对称， ∴∠EAG=30°，AG⊥EF， ∵AB 与 AG 关于 AE 对称， ∴∠BAE=∠GAE=30°，∠AEB=90°， ∵AB=2， ∴BE=1、DF=AF=AE= 3 ， 则 EH= 1 2 AE= 3 2 、AH= 3 2 ， ∴S△ADF= 1 2 × 3 3 33 2 4   ． 19．（2019·江苏中考模拟）如图，在四边形 ABCD 中，AB＝CD，BF＝DE，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别 为 E、F． （1）求证：△ABE≌△CDF； （2）若 AC 与 BD 交于点 O，求证：AO＝CO． 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 （1）∵BE=DF， ∴BE-EF=DF-EF， 即 BF=DE， ∵AE⊥BD，CF⊥BD， ∴∠AED=∠CFB=90°， 在 Rt△ADE 与 Rt△CBF 中， ∵AD=BC， DE=BF， ∴Rt△ADE≌Rt△CBF（HL）； （2）如图，连接 AC 交 BD 于 O， ∵Rt△ADE≌Rt△CBF， ∴∠ADE=∠CBF， ∴AD∥BC， ∴四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AO=CO． 20．（2018·广东正德中学中考模拟）如图，将矩形 ABCD 沿对角线 AC 翻折，点 B 落在点 F 处，FC 交 AD 于 E． （1）求证：△AFE≌△CDF； （2）若 AB=4，BC=8，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2）10． 【解析】 （1）∵四边形 ABCD 是矩形，∴AB=CD，∠B=∠D=90°， ∵将矩形 ABCD 沿对角线 AC 翻折，点 B 落在点 E 处， ∴∠E=∠B，AB=AE，∴AE=CD，∠E=∠D， 在△AEF 与△CDF 中， ∵∠E=∠D，∠AFE=∠CFD，AE=CD， ∴△AEF≌△CDF； （2）∵AB=4，BC=8， ∴CE=AD=8，AE=CD=AB=4， ∵△AEF≌△CDF， ∴AF=CF，EF=DF， ∴DF2+CD2=CF2，即 DF2+42=（8﹣DF）2， ∴DF=3，∴EF=3， ∴图中阴影部分的面积=S△ACE﹣S△AEF= 1 2 ×4×8﹣ 1 2 ×4×3=10． 21．（2018·广西中考模拟）如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，过点 C 的直线 MN∥AB，D 为 AB 边上 一点，过点 D 作 DE⊥BC，交直线 MN 于 E，垂足为 F，连接 CD、BE． (1)求证：CE＝AD； (2)当 D 在 AB 中点时，四边形 BECD 是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)若 D 为 AB 中点，则当∠A 的大小满足什么条件时，四边形 BECD 是正方形？请说明你的理由． 【答案】（1）证明见解析；（2）四边形 BECD 是菱形.理由见解析；（3）当∠A＝45°时,四边形 BECD 是正方 形,理由:见解析. 【详解】 （1）证明：∵MN∥AB， ∴EC∥AD． 又∵∠ACB=90°， ∴BC⊥AC． 又∵DE⊥BC， ∴DE∥AC． ∵EC∥AD，DE∥AC， ∴四边形 ADEC 是平行四边形． ∴CE=AD． （2）当点 D 是 AB 中点时，四边形 BECD 是菱形． 证明：∵ D 是 AB 中点， ∴DB=DA 又∵MN∥AB，CE=AD ∴DB= CE，DB ∥ CE ∴四边形 BDCE 是平行四边形 又∵DE⊥BC ∴四边形 BECD 是菱形 （3）当∠A 的大小是 45°时，四边形 BECD 是正方形．