九年级数学上册第一章特殊平行四边形2矩形的性质与判定第1课时矩形的性质教学课件新版北师大版 24页

1.2 矩形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 第 1 课时 矩形的性质 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 1.了解矩形 的概念及其与平行四边形的关系； 2.探索并证明矩形 的性质定理 .（重点） 3.应用矩形 的性质定理解决相关问题 .（难点） 学习目标 问题 1: 观察下面的图形 , 它们都是一种特殊的平行四边形 , 请你说 一说他们的特殊之处 . 问题 2 ： 你能举出生活中的一些此种图形的实例吗？ 导入新课 矩形的定义 一 活动： 利用一个活动的平行四边形教具演示 , 使平行四边形的一个内角变化,请同学们注意观察 . 矩形：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 . 矩形 讲授新课 矩形 是特殊的平行四边形 , 它具有平行四边形的所有性质 , 但平行四边形不一定是 矩形. 归纳 平行四边形 菱形集合 平行四边形集合 矩形集合 做一做： 请同学们拿出准备好的矩形纸片 , 折一折 , 观察并思考 .   （ 1 ）矩形是不是中心对称图形 ? 如果是,那么对称中心是什么？ （ 2 ）矩形是不是轴对称图形 ? 如果是,那么对称轴有几条 ? 矩形的性质： 对称性： . 对称轴： . 轴对称图形 2 条 矩形的性质 二 活动探究： 准备素材：直尺、量角器、橡皮擦、课本、铅笔盒等 . （ 1 ）请同学们以小组为单位 , 测量身边的矩形（如书本 , 课桌 , 铅笔盒等）的四条边长度、四个角度数和对角线的长度及夹角度数 , 并记录测量结果 . （ 2 ）根据测量的结果,猜想结论 . 当矩形的大小不断变化时, 发现的结论是否仍然成立？ （ 3 ）通过测量、观察和讨论,你能得到矩形的特殊性质吗？ A B C D O AB AD AC BD ∠ BAD ∠ ADC ∠ AOD ∠ AOB 橡皮擦 课本 桌子 物体 测量 （实物） （形象图） 填一填 根据上面探究，猜想矩形的特殊性质，并把结果填在下面横线上 . 角： . 对角线： . A B C D 四个角为 90° 相等 O 证明：（ 1 ）∵四边形 ABCD 是矩形 . ∴ ∠ ABC = ∠ CDA , ∠ BCD =∠ DAB ( 矩形的对角线 ) AB ∥ DC ( 矩形的对边平行 ). ∴ ∠ ABC + ∠ BCD =180° . 又∵ ∠ ABC = 90° , ∴ ∠ BCD = 90° . 求证 : 矩形的四个角都是直角，且对角线相等 . 已知：如图 , 四边形 ABCD 是矩形 , ∠ ABC = 90°, 对角线 AC 与 DB 相较于点 O . 求证 ：（ 1 ） ∠ ABC = ∠ BCD = ∠ CDA = ∠ DAB = 90° ; （ 2 ） AC = DB . A B C D O ∴ ∠ ABC =∠ BCD =∠ CDA =∠ DAB =90°. 证明猜想 (2)∵ 四边形 ABCD 是矩形 , ∴ AB = DC ( 矩形的对边相等 ). 在△ ABC 和△ DCB 中 , ∵ AB = DC , ∠ ABC= ∠ DCB , BC = CB , ∴△ ABC ≌△ DCB . ∴ AC = DB . 1. 矩形的四个角都是直角 . 2. 矩形的对角线相等 . 定理 A B C D O 归纳结论 矩 形是特殊的平行四边形 , 它除具有平行四边形的所有性质外 , 还有平行四边形所没有的特殊性质 . 对称性：是轴对称图形. 角：四条角都是 90 ° . 对角线：相等 . 角：对角相等. 边：对边平行且相等 . 对角线：相交并相互平分 . 矩形的特殊性质 平行四边形的性质 例 1 ： 如图 , 在矩形 ABCD 中 , 两条对角线相交于点 O , ∠ AOD = 120° , AB = 2.5 , 求矩形对角线的长 . 解：∵四边形 ABCD 是矩形 . ∴ AC = BD ( 矩形的对角线相等 ). OA = OC = AC , OB = OD = BD , ( 矩形对角线相互平分 ) ∴ OA = OD . A B C D O 典例精析 A B C D O ∵ ∠ AOD =120° , ∴ ∠ ODA = ∠ OAD = (180° - 120°)=30°. 又∵ ∠ DAB =90° , （矩形的四个角都是直角） ∴ BD = 2 AB = 2 × 2.5 = 5. 提示： ∠ AOD =120° → ∠ AOB =60° → OA = OB = AB → AC =2 OA =2×2.5=5. 你还有其他解法吗？ 例 2 ： 如图 , 在矩形 ABCD 中 , E 是 BC 上一点 , AE = AD , DF ⊥ AE , 垂足为 F . 求证： DF = DC . A B C D E F 证明：连接 DE . ∵ AD = AE , ∴∠ AED =∠ ADE . ∵ 四边形 ABCD 是矩形 , ∴ AD ∥ BC , ∠ C =90°. ∴∠ ADE =∠ DEC , ∴∠ DEC =∠ AED . 又∵ DF ⊥ AE , ∴∠ DFE =∠ C =90°. 又∵ DE = DE , ∴△ DFE ≌△ DCE , ∴ DF = DC . 已知：如右图 , 四边形 ABCD 是矩形 , 对角线 AC 与 BD 交于点 E . 证明：在 Rt △ ABC 中 , BE = AC . A B C D E 证明：∵四边形 ABCD 是矩形 . ∴ AC = BD ( 矩形的对角线相等 ). BE = DE = BD , AE = CE = AC ( 矩形对角线相互平分 ) , ∴ BE = AC . 直角三角形斜边上的中线上的性质 三 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 . 定理 例 3 ： 如图，已知 BD ， CE 是 △ ABC 不同边上的高，点 G ， F 分别是 BC ， DE 的中点，试说明 GF ⊥ DE . 解：连接 EG ， DG . ∵ BD ， CE 是 △ ABC 的高， ∴∠ BDC ＝ ∠ BEC ＝ 90°. ∵ 点 G 是 BC 的中点， ∴ EG ＝ 2(1) BC ， DG ＝ 2(1) BC . ∴ EG ＝ DG . 又 ∵ 点 F 是 DE 的中点， ∴ GF ⊥ DE . 解析：本题的已知条件中已经有直角三角形，有斜边上的中点，由此可联想到应用“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”这一定理． 练一练： 根据右图填空 已知△ ABC 中 , ∠ ABC = 90° , BD 是斜边 AC 上的中线 . (1) 若 BD =3cm , 则 AC =_____ cm ; (2) 若 ∠ C = 30° , AB = 5cm , 则 AC =_____ cm , BD = _____ cm . A B C D 6 10 5 归纳总结 直角三角形斜边上的中线上的性质常见类型 典例精析 1. 如图 , 在矩形 ABCD 中 , 对角线 AC , BD 交于点 O , 已知∠ AOB =60° , AC =16 , 则图中长度为 8 的线段有（ ） A. 2 条 B. 4 条 C. 5 条 D. 6 条 D A B C D O 60° 当堂练习 2. 如图 , 四边形 ABCD 是矩形 , 对角线 AC , BD 相交于点 O , BE ∥ AC 交 DC 的延长线于点 E . （ 1 ）求证： BD = BE , （ 2 ）若 ∠ DBC = 30 ° , BO = 4 , 求四边形 ABED 的面积 . A B C D O E （ 1 ） 证明：∵四边形 ABCD 是矩形 . ∴ AC = BD , AB∥CD . 又∵ BE∥AC , ∴ 四边形 ABEC 是平行四边形 , ∴ AC = BE , ∴ BD = BE . (2) 解： ∵ 在矩形 ABCD 中 , BO =4 , ∴ BD = 2 BO =2×4=8. ∵∠ DBC =30° , ∴ CD = BD = ×8=4 , ∴ AB = CD =4 , DE = CD + CE = CD + AB =8 . 在 Rt△ BCD 中 , BC = ∴四边形 ABED 的面积 = (4+8)× = . A B C D O E 平行四边形 1. 矩形是轴对称图形和中心对称图形 2. 矩形四个角都是直角 3. 矩形的对角线相等且相互平分 矩形 性质 有一个角是直角 转换 直角三角形 等腰三角形 课堂小结