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- 2021-11-10 发布
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解直角三角形及其应用
解直角三角形的原则:
(1)
有角先求角 无角先求边
(2)
有斜用弦
,
无斜用切;
宁乘毋除
,
取原避中。
仰角
:
水平线与在它上方的视线所成的角
.
俯角
:
水平线与在它下方的视线所成的角
.
知识复习
坡角
:
坡面与水平的夹角
.
通常指锐角或直角
.
坡度
(
或坡比
):
坡面的垂直高度
h
与水平宽度
l
的比
.
知识复习
1.
一艘轮船在
A
处观测灯塔
S
在船的北偏东
30
度
,
轮船向正北航行
15
海里后到达
B
处
,
这时灯塔
S
恰好在船的正东
.
求灯塔
S
与
B
处的距离
.(
精确到
0.1
海里
)
2.
在地面上
,
利用测角仪
CD,
测得旗杆顶
A
的仰角为
45
度
,
已知点
D
到旗杆底部的距离
BD=28
米
,
测角仪高
CD=1.3
米
.
求旗杆高
AB(
精确到
0.1
米
)
巩固练习
答案:
8.7
海里
答案:
29.3
米
3.
一铁路路基的横断面是等腰梯形
,
路基顶部的宽为
9.8
米
,
路基高为
5.8
米
,
斜坡与地面所成的角
A
为
60
度
.
求路基
底
部的宽
(
精确到
0.1
米
)
答案:
16.5
米
4.
如图,热气球的探测器显示,从热气球
A
看一栋高楼顶部
B
的仰角为
30°
,看这栋高楼底部
C
的俯角为
60°
,热气球与高楼的水平距离
AD
为
120m
,这栋高楼有多高?(结果精确到
0.1m)
A
B
C
D
答案:
277.1m
5.
公路
MN
和公路
PQ
在点
P
处交汇,且
QPN=30
,点
A
处有一所中学
.AP=160
米,假设拖拉机行驶时,周围
100
米内会受噪音的影响
.
那么拖拉机在公路
MN
上沿
PN
方向行驶时,学校是否会受到影响?请说明理由
.
已知拖拉机的速度是
18
千米
/
小时,如果受到影响,那么学校受影响的时间是多长?
解:
过点
A
作
AB
垂直于
MN
,垂足为
B
点。
∵
PBA
=90°
,
BPA
=30°
,
PA=160
米
∴
AB=80
米
〈100
米
∴
受
影响
.
以
A
为圆心,
100
米为半径作圆弧,与
PN
交于点
C
、
D.
∵AC=100
米,
AB=80
米
∴BC=60
米
∴CD=2BC =120
米
∵v=18
千米
/
小时
=5
米
/
秒
∴t=s/v=120/5=24
(秒)
答:学校受影响,时间为
24
秒
.
P
M
N
A
C
B
D
Q
∟
︵
30°
·
160
连接
AC
,
AD
。
解:
过点
B
作
BF
垂直于
AC
,垂足为
F
点。
∵
BFA=90°
,
A=30°
,
AB=50
米
∵
BFC=90°
,
CBF=45°
答:外国侦察机由
B
到
C
的速度约是
207
米
/
秒。
C
D
A
B
E
F
∟
︶
30°
45°
︶
∴ CF=BF=25
米,
BC=25
2
米
V=200(
6–
2)
207
米
/
秒
25
3+25
400
———
25
2
——
V
=
∴BF=25
米,
AF=25
3
米
·
50
设外国侦察机由
B
到
C
的速度是
V
米
/
秒
6.
一架外国侦察机沿
ED
方向侵入我国领空进行非法侦察,我空军派出战斗机沿
AC
方向与外国侦察机平行飞行,进行跟踪监视,我机在
A
处与外国侦察机在
B
处的距离为
50
米,
CAB
为
30°
。这时外国侦察机突然转向,以偏左
45°
的方向飞行,我机继续沿
AC
方向以
400
米
/
秒的速度飞行。外国侦察机想在
C
点故意撞我战斗机,使我机受损。问外国侦察机由
B
到
C
的速度是多少?(
2
1
.
414
,
3
1
.
732
,
6
2
.
449
,结果保留整数)
解直角三角形在几何中的应用,关键是通过
作垂线
的方法,
合理地构造
出将已知元素和未知元素包含在内的
直角三角形
,分析已知量与未知量在这个三角形中的联系。
方法归纳
一 选择题
1
在下列直角三角形中,不能求出解的是( )
A
已知一直角边和所对的角
B
已知两个锐角
C
已知斜边和一个锐角
D
已知两直角边
2
在
Rt△ABC
中
,∠C=90
0
,cosB=2/3,
则
a:b:c=(
)
A 2:√5:3 B 1:√2:√3 C 2:√5:√3 D 1:2:3
3
在
Rt△ ABC
中
,CD
为斜边
AB
上的高
,
则下列线段的比等
于
sinA
的是
(
)
A AB/BC B CD/AC C BD/DC D BC/AC
达标测试
B
A
B
4
在△
ABC
中
,
∠
C =90
0
,
∠
A=60
0
,
两直角边的和为
14,
则
BC
=(
)
A 21-7√3 B 7√3-7 C 14√3 D 1+√3
5
在△
ABC
中,∠
B
=
45
0
,∠
C=60
0
,
BC
边上的高
AD=3
,则
BC=
( )
A 3+3√3
B 2+√3 C 3+√3 D √2+√6
6
在等腰△
ABC
中,顶角为锐角,一腰上的高线为
1
,
这条高线与另一腰的夹角为
45
0
,则三角形
ABC
的面积
为( )
A√2/2
B √3
C 1/2
D 1/4
A
C
A
二 填空题
1
在
Rt△ABC
中, ∠
C=90
°
,如果已知
b
和∠
A
,则
a=
c=
(用锐角三角函数表示)
2
在△
ABC
中
,C =90
°
,A=60
°
,
a+b=3+√3
,则
c=
.
3
山坡与地面成
30
°
的倾斜角,某人上坡走
60
米,则他
上升
米,坡度是
.
btanA
b/cosA
√6
30
1:√3
4
如图已知堤坝的横断面为梯形,
AD
坡面的水平宽度为
3√3
米,
DC=4
米,
B=60
°
,则
(
1
)斜坡
AD
的铅直高度是多少?
(
2
)斜坡
AD
的长是多少?
(
3
)坡角
A
的度数是多少?
(
4
)堤坝底
AB
的长是多少?
(
5
)斜坡
BC
的长是多少?
i=1
:√
3
3
6
30°
4+4√3
2√3
6
从山顶
A
望地面的
C
、
D
两点,俯角分别时
45
0
、
60
0
,
测得
CD=100
米,设山高
AB=x
则列出关于
x
的方程
解得
x=
.
三 解答题
1
在
Rt△ABC
中, ∠
C=90
°
,
a+b=12
,
t
an
B=2
,求
c
的值
.
50
(
3+√3
)
答案:
c=4√5
2
山顶上有一座电视塔,在塔顶
B
处测得地面上
一点
A
的俯角为
60
0
,在塔底
C
处测得
A
的俯角
为
45
0
,已知塔高为
60
米,求山高
CD.
答案:
CD=30+30√3
3
外国船只,除特许外,不得进入我国海洋
100
海里以内的区
域,如图,设
A
、
B
是我们的观察站,
A
和
B
之间的距离为
157.73
海里,海岸线是过
A
、
B
的一条直线,一外国船只在
P
点,在
A
点测得∠
BAP=45
0
,同时在
B
点测得∠
ABP=60
0
,
问此时是否要向外国船只发出警告,令其退出我国海域
.
答案:要
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