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- 2021-11-10 发布
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江苏省淮安市 2020 年中考数学试题
一、选择题:本大题共 8 个小题,每小题 3 分,共 24 分.在每小题给出的四个选项中,只有
一项是符合题目要求的.
1.2 的相反数是( )
A. 2 B. -2 C. 1
2 D. 1
2
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用相反数的定义解答即可.
【详解】解:2 的相反数是-2.
故选 B.
【点睛】本题考查了相反数的概念,掌握互为相反数的两个数的和为 0 是解答本题的关键.
2.计算 3 2t t 的结果是( )
A. 2t B. t C. 3t D. 5t
【答案】B
【解析】
【分析】
根据同底数幂的除法法则计算即可.
【详解】原式 3 2t
t
故选:B.
【点睛】本题考查了同底数幂的除法运算,熟记运算法则是解题关键.
3.下面的几何体中,主视图为圆的是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题解析:A、的主视图是矩形,故 A 不符合题意;
B、的主视图是正方形,故 B 不符合题意;
C、的主视图是圆,故 C 符合题意;
D、的主视图是三角形,故 D 不符合题意;
故选 C.
考点:简单几何体的三视图.
4.六边形的内角和为( )
A. 360° B. 540° C. 720° D. 1080°
【答案】C
【解析】
【分析】
n 边形的内角和等于(n-2)×180°,所以六边形内角和为(6-2)×180°=720°.
【详解】根据多边形内角和定理得:(6-2)×180°=720°.
故选 C.
5.在平面直角坐标系中,点 (3,2) 关于原点对称的点的坐标是( )
A. (2,3) B. ( 3,2) C. ( 3, 2) D. ( 2, 3)
【答案】C
【解析】
【分析】
根据坐标系中对称点与原点的关系判断即可.
【详解】关于原点对称的一组坐标横纵坐标互为相反数,
所以(3,2)关于原点对称的点是(-3,-2),
故选 C.
【点睛】本题考查原点对称的性质,关键在于牢记基础知识.
6.一组数据 9、10、10、11、8 的众数是( )
A. 10 B. 9 C. 11 D. 8
【答案】A
【解析】
【分析】
根据众数的定义进行判断即可.
【详解】在这组数据中出现最多的数是 10,
∴众数为 10,
故选:A.
【点睛】本题考查了众数的定义,掌握知识点是解题关键.
7.如图,点 A 、 B 、C 在圆 O 上, 54ACB ,则 ABO 的度数是( )
A. 54o B. 27o C. 36o D. 108
【答案】C
【解析】
【分析】
先由圆周角定理得到∠AOB,再利用等腰三角形的性质求解即可.
【详解】∵在圆 O 中,∠ACB=54º,
∴∠AOB=2∠ACB=108º,
∵OA=OB,
∴∠OAB=∠OBA=180 108
2
=36º,
故选:C.
【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质,熟练掌握圆周角定理,会用等边对等角求角的度数
是解答的关键.
8.如果一个数等于两个连续奇数的平方差,那么我们称这个数为“幸福数”.下列数中为“幸福数”的是( )
A. 205 B. 250 C. 502 D. 520
【答案】D
【解析】
【分析】
设两个连续奇数中的一个奇数为 x ,则另一个奇数为 2x ,先得出由这两个奇数得到的“幸福数”为
4( 1)x ,再看四个选项中,能够整除 4 的即为答案.
【详解】设两个连续奇数中的一个奇数为 x ,则另一个奇数为 2x
由这两个奇数得到的“幸福数”为 2 2( 2) 2(2 2) 4( 1)x x x x
观察四个选项可知,只有选项 D 中的 520 能够整除 4
即520 4 130
故选:D.
【点睛】本题考查了平方差公式的应用,理解“幸福数”的定义,正确列出“幸福数”的代数式是解题关键.
二、填空题(本大题共 8 个小题,每小题 3 分,共 24 分)
9.分解因式: 2 4m __________.
【答案】 ( 2)( 2)m m
【解析】
【分析】
直接利用平方差公式 2 2 ( )( )a b a b a b 进行因式分解即可.
【详解】 2 4 ( 2)( 2)m m m
故答案为: ( 2)( 2)m m .
【点睛】本题考查了利用平方差公式进行因式分解,熟记公式是解题关键.
10.2020 年 6 月 23 日,中国北斗全球卫星导航系统提前半年全面完成,其星载原子钟授时精度高达每隔
3000000 年才误差 1 秒.数据 3000000 用科学记数法表示为__________.
【答案】3×106
【解析】
【分析】
先将 3000000 写成 a×10n 的形式,其中 1≤|a|<10,n 为 3000000 写成 a 时小时点向左移动的位数.
【详解】解:3000000=3×106.
故答案为 3×106.
【点睛】本题考查了科学记数法,将 3000000 写成 a×10n 的形式,确定 a 和 n 的值是解答本题的关键.
11.已知一组数据 1、3, a 、10 的平均数为 5,则 a __________.
【答案】6
【解析】
【分析】
根据平均数的计算方法,列出方程然后计算即可.
【详解】解:依题意有 1 3 10 4 5a ,
解得 6a .
故答案为:6.
【点睛】本题考查了算术平均数,正确理解算术平均数的意义是解题的关键.
12.方程 3 1 01x
的解为__________.
【答案】x=-2
【解析】
【分析】
先用异分母分式加法法则运算,然后利用分式为零的条件解答即可.
【详解】解: 3 1 01x
3 1 01 1
x
x x
2 01
x
x
则: 2 0
1 0
x
x
,解得 x=-2.
故答案为 x=-2.
【点睛】本题考查了异分母分式加法法则和分式为零的条件,掌握分式为零的条件是解答本题的关键.
13.已知直角三角形斜边长为 16,则这个直角三角形斜边上的中线长为__________.
【答案】8.
【解析】
【分析】
直接根据直角三角形斜边中线定理可以得出本题答案.
【详解】∵直角三角形斜边的长为 16,
∴直角三角形斜边上的中线长是: 1 16=82
,
故答案为:8.
【点睛】本题主要考查了直角三角形斜边中线定理,熟记定理即可得出答案.
14.菱形的两条对角线长分别是 6 和 8,则菱形的边长为_____.
【答案】5
【解析】
【分析】
根据菱形对角线垂直平分,再利用勾股定理即可求解.
【详解】解:因为菱形的对角线互相垂直平分,
根据勾股定理可得菱形的边长为 2 23 4 =5.
故答案为 5.
【点睛】此题主要考查菱形的边长求解,解题的关键是熟知菱形的性质及勾股定理的运用.
15.二次函数 2 2 3y x x 的图像的顶点坐标是_________.
【答案】(-1,4)
【解析】
【分析】
把二次函数解析式配方转化为顶点式解析式,即可得到顶点坐标.
【详解】解:∵ 2 2 3y x x =-(x+1)2+4,
∴顶点坐标为(-1,4).
故答案为(-1,4).
【点睛】本题考查了二次函数的性质,把解析式配方写成顶点式解析式是解题的关键.
16.如图,等腰 ABC 的两个顶点 ( 1, 4)A 、 ( 4, 1)B 在反比例函数 1ky x
( 0x )的图象上,
AC BC .过点C 作边 AB 的垂线交反比例函数 1ky x
( 0x )的图象于点 D ,动点 P 从点 D 出发,
沿射线 CD 方向运动 3 2 个单位长度,到达反比例函数 2ky x
( 0x )图象上一点,则 2k __________.
【答案】1
【解析】
【分析】
由 AC BC ,CD AB ,得到 ABC 是等腰三角形,CD 是 AB 的垂直平分线,即 CD 是反比例函数 1ky x
的对称轴,直线 CD 的关系式是 y x ,根据 A 点的坐标是 ( 1, 4)A ,代入反比例函数 1ky x
,得反比例
函数关系式为 4y x
,在根据直线 CD 与反比例函数 4y x
( 0x )的图象于点 D ,求得 D 点的坐标是
(-2,-2),则 2 2OD ,根据点 P 从点 D 出发,沿射线 CD 方向运动3 2 个单位长度,到达反比例函
数 2ky x
图象上,得到 2OP ,则 P 点的坐标是(1,1),将 P(1,1)代入反比例函数 2ky x
,得 2 1k .
【详解】解:如图示,AB 与 CD 相交于 E 点,P 在反比例函数 2ky x
( 0x )图象上,
∵ AC BC ,CD AB ,
∴ ABC 是等腰三角形,CD 是 AB 的垂直平分线,
∴CD 是反比例函数 1ky x
的对称轴,则直线 CD 的关系式是 y x ,
∵A 点的坐标是 ( 1, 4)A ,代入反比例函数 1ky x
,得 1 1 4 4xyk
则反比例函数关系式为 4y x
又∵直线 CD 与反比例函数 4y x
( 0x )的图象于点 D ,
则有 4
y x
y x
,解之得: 2
2
x
y
(D 点在第三象限),
∴D 点的坐标是(-2,-2),
∴ 2 2OD ,
∵点 P 从点 D 出发,沿射线 CD 方向运动 3 2 个单位长度,到达反比例函数 2ky x
图象上,
∴ 2OP ,则 P 点的坐标是(1,1)(P 点在第一象限),
将 P(1,1)代入反比例函数 2ky x
,得 2 1 1 1xyk ,
故答案为:1.
【点睛】本题考查了用待定系数法求出反比例函数,反比例函数的对称性和解二元一次方程组的应用,熟
悉相关性质是解此题的关键.
三、解答题:本大题共 11 个小题,共 102 分.
17.计算:
(1) 0| 3| ( 1) 4
(2) 1 112
x
x x
【答案】(1)2;(2) 1
2
.
【解析】
【分析】
(1)根据绝对值、零指数幂、二次根式的计算方法计算即可.
(2)根据分式的混合运算法则计算即可.
【详解】(1) 0| 3| ( 1) 4 3 1 2 2 .
(2) 1 1 1 1 1 112 2 2 1 2
x x x x x
x x x x x x
.
【点睛】本题考查分式的混合运算和绝对值、零指数幂、二次根式的计算,关键在于熟练掌握相关的计算方
法.
18.解不等式 3 12 1 2
xx .
解:去分母,得 2(2 1) 3 1x x .
……
(1)请完成上述解不等式的余下步骤:
(2)解题回顾:本题“去分母”这一步的变形依据是 (填“A”或“B”)
A.不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变;
B.不等式两边都乘(或除以)同一个负数,不等号的方向改变.
【答案】(1)余下步骤见解析;(2)A.
【解析】
【分析】
(1)按照去括号、移项、合并同类项的步骤进行补充即可;
(2)根据不等式的性质即可得.
【详解】(1) 3 12 1 2
xx
去分母,得 2(2 1) 3 1x x
去括号,得 4 2 3 1x x
移项,得 4 3 1 2x x
合并同类项,得 1x ;
(2)不等式的性质:不等式两边都乘(或除以)同一个正数,不等号的方向不变
3 12 1 2
xx 两边同乘以正数 2,不等号的方向不变,即可得到 2(2 1) 3 1x x
故选:A.
【点睛】本题考查了解一元一次不等式、不等式的性质,熟练掌握一元一次不等式的解法是解题关键.
19.某停车场的收费标准如下:中型汽车的停车费为 15 元/辆,小型汽车的停车费为 8 元/辆.现在停车场内
停有 30 辆中、小型汽车,这些车共缴纳停车费 324 元,求中、小型汽车各有多少辆?
【答案】中型 12 辆,小型 18 辆.
【解析】
【分析】
根据题意设中型 x 辆,小型 y 辆,即可列出方程组求出答案.
【详解】设中型 x 辆,小型 y 辆,根据题意可得:
30
15 8 324
x y
x y
,
解得 12
18
x
y
,
故中型汽车 12 辆,小型汽车 18 辆.
【点睛】本题主要考查的是方程组,掌握相关方法即可得出答案.
20.如图,在平行四边形 ABCD 中,点 E 、 F 分别在 BC 、 AD 上, AC 与 EF 相交于点O ,且 AO CO .
(1)求证: AOF ≌ COE ;
(2)连接 AE 、 CF ,则四边形 AECF (填“是”或“不是”)平行四边形.
【答案】(1)证明过程见解析;(2)是,理由见解析;
【解析】
【分析】
(1)根据平行四边形的对边平行可得到内错角相等,再根据已知条件可利用 ASA 得到全等;
(2)由(1)可得到 AF=EC,根据一组对边平行且相等的四边形式平行四边形即可得到答案;
【详解】(1)∵四边形 ABCD 平行四边形,
∴AD∥BC,
∴ FAO ECO ,
根据题可知 AO CO , AOF COE ,
在△AOF 和△COE 中,
0
FAO ECO
A CO
AOF COE
,
∴ AOF ≌ COE ASA .
(2)如图所示,
由(1)得 AOF ≌ COE ,可得:
AF CE ,
又∵ AF CE ,
∴四边形 AECF 是平行四边形.
【点睛】本题中主要考查了平行四边形的判定和性质,准确运用全等三角形的条件进行判断是解题的关键.
21.为了响应市政府创建文明城市的号召,某校调查学生对市“文明公约十二条”的内容了解情况,随机抽取
部分学生进行问卷调查,问卷共设置“非常了解”、“比较了解”、“一般了解”、“不了解”四个选项,分别记为
A 、 B 、C 、 D ,根据调查结果绘制了如下尚不完整的统计图.
请解答下列问题:
(1)本次问卷共随机调查了 名学生,扇形统计图中C 选项对应的圆心角为 度;
(2)请补全条形统计图;
(3)若该校有 1200 名学生,试估计该校选择“不了解”的学生有多少人?
【答案】(1)60,108;(2)图见解析;(3)该校选择“不了解”的学生有 60 人.
【解析】
【分析】
(1)先根据 B 选项的条形统计图和扇形统计图的信息可得调查的总人数,再求出 C 选项学生人数的占比,
然后乘以 360 即可得;
(2)先根据(1)的结论,求出 A 选项学生的人数,再补全条形统计图即可;
(3)先求出选择“不了解”的学生的占比,再乘以 1200 即可得.
【详解】(1)本次问卷共随机调查的学生人数为 24 40% 60 (名)
C 选项学生人数的占比为 18 100% 30%60
则30% 360 108
故答案为:60,108;
(2)A 选项学生的人数为 60 25% 15 (名)
因此补全条形统计图如下所示:
(3)选择“不了解”的学生的占比为 3 100% 5%60
则1200 5% 60 (人)
答:该校选择“不了解”的学生有 60 人.
【点睛】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、画条形统计图等知识点,掌握理解统计调查的
相关知识是解题关键.
22.一只不透明的袋子中,装有三个大小、质地都相同的乒乓球,球面上分别标有字母 A 、O 、K ,搅匀后
先从袋中任意摸出一个球,将对应字母记入图中的左边方格内;然后将球放回袋中搅匀,再从袋中任意摸
出一个球,将对应字母记入图中的右边方格内.
(1)第一次摸到字母 A 的概率为 ;
(2)用画树状图或列表等方法求两个方格中的字母从左往右恰好组成“OK ”的概率.
【答案】(1) 1
3
;(2) 1
9
【解析】
【分析】
(1)用标有字母 A 的情况数除以总的情况数解答即可;
(2)先画出树状图求出所有等可能的情况数,然后找出两个方格中的字母从左往右恰好组成“OK ”的情况
数,再根据概率公式解答.
【详解】解:(1)第一次摸到字母 A 的概率= 1
3
.
故答案为: 1
3
;
(2)所有可能的情况如图所示:
由图可知:共有 9 种等可能的情况,其中两个方格中的字母从左往右恰好组成“OK ”的情况数只有 1 种,
所以两个方格中的字母从左往右恰好组成“OK ”的概率= 1
9
.
【点睛】本题主要考查了求两次事件的概率,属于基本题型,正确理解题意、熟练掌握求解的方法是解题
的关键.
23.如图,三条笔直公路两两相交,交点分别为 A 、 B 、C ,测得 30CAB , 45ABC , 8AC
千米,求 A 、 B 两点间的距离.(参考数据: 2 1.4 , 3 1.7 ,结果精确到 1 千米).
【答案】 A 、 B 两点间的距离约为 11 千米.
【解析】
【分析】
如图(见解析),先根据直角三角形的性质、勾股定理可求出 CD、AD 的长,再根据等腰直角三角形的判定
与性质可得 BD 的长,然后根据线段的和差即可得.
【详解】如图,过点 C 作CD AB 于点 D
在 Rt ACD△ 中, 30CAD , 8AC 千米
1 1 8 42 2CD AC (千米), 2 2 2 28 4 4 3AD AC CD (千米)
在 Rt BCD 中, 45DBC
Rt BCD 是等腰直角三角形
4BD CD 千米
4 3 4 4 1.7 4 10.8 11AB AD BD (千米)
答: A 、 B 两点间的距离约为 11 千米.
【点睛】本题考查了直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识点,通过作辅助线,构造直
角三角形是解题关键.
24.甲、乙两地的路程为 290 千米,一辆汽车早上 8:00 从甲地出发,匀速向乙地行驶,途中休息一段时间
后,按原速继续前进,当离甲地路程为 240 千米时接到通知,要求中午 12:00 准时到达乙地.设汽车出发
x 小时后离甲地的路程为 y 千米,图中折线OCDE 表示接到通知前 y 与 x 之间的函数关系.
(1)根据图象可知,休息前汽车行驶的速度为 千米/小时;
(2)求线段 DE 所表示的 y 与 x 之间的函数表达式;
(3)接到通知后,汽车仍按原速行驶能否准时到达?请说明理由.
【答案】(1)80;(2) 80 40y x ;(3)不能,理由见解析.
【解析】
【分析】
(1)观察图象即可得出休息前汽车行驶的速度;
(2)根据题意求出点 E 的横坐标,再利用待定系数法解答即可;
(3)求出到达乙地所行驶的时间即可解答.
【详解】解:(1)由图象可知,休息前汽车行驶的速度为 80 1 80 千米/小时;
故答案为:80;
(2)休息后按原速继续前进行驶的时间为: 240 80 80 2 (小时),
∴点 E 的坐标为(3.5,240),
设线段 DE 所表示的 y 与 x 之间的函数表达式为 y kx b ,
则: 1.5 80
3.5 240
k b
k b
,解得 80
40
k
b
,
∴线段 DE 所表示的 y 与 x 之间的函数表达式为 80 40y x ;
(3)接到通知后,汽车仍按原速行驶,
则全程所需时间为: 290 80 0.5 4.125 (小时),
从早上 8 点到中午 12 点需要 12-8=4(小时),
∵4.125>4,
所以接到通知后,汽车仍按原速行驶不能准时到达.
【点睛】本题考查一次函数的应用,解答本题的关键是明确题意,利用一次函数的性质和数形结合的思想
解答.
25.如图,AB 是圆O 的弦,C 是圆O 外一点,OC OA ,CO 交 AB 于点 P ,交圆O 于点 D ,且CP CB .
(1)判断直线 BC 与圆O 的位置关系,并说明理由;
(2)若 30A , 1OP ,求图中阴影部分的面积.
【答案】(1)直线 BC 与圆 O 相切,理由见解析;(2) 3 1
2 4
【解析】
【分析】
(1)连接 OB,由等腰三角形的性质分别证出∠A=∠OBA,∠CPB=∠CBP,再利用直角三角形性质和对顶
角可证得∠OBC=90º,即 OB⊥BC,可判断直线 BC 与圆 O 相切;
(2)易证得△CPD 为等边三角形,则有∠OCB=60º,∠BOC=30º,用含 30º角的直角三角形求得 OA、BC 的长,
然后用公式求得△OBC 的面积和扇形 OBD 的面积,相加即可解得阴影面积.
【详解】(1)直线 BC 与圆 O 相切,理由为:
连接 OB,
∵OA=OB,
∴∠A=∠OBA,
∵CP=CB,
∴∠CPB=∠CBP,又∠APO=∠CPB
∴∠CBP=∠APO,
∵OA⊥OC,
∴∠A+∠APO=90º,
∴∠OBA+∠CBP=90º即∠OBC=90º,
∴OB⊥BC,
∴直线 BC 与圆 O 相切;
(2)∵OA⊥OC,∠A=30º,OP=1
∴OA= 3tan 30
OP ,∠APO=60º即∠CPB=60º,
∵CP=CB,
∴△PCB 为等边三角形,
∴∠PCB=60º,
∵∠OBC=90º,
∴∠BOD=30º,
∴BC=OB·tan30º=1,
∴ = OBCS S S阴影 扇形OBD =
21 30 ( 3)3 12 360
= 3 1
2 4
,
答:图中阴影部分的面积为 3 1
2 4
.
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、直角三角形的性质、切线的判定定理、等边三角形的判定与
性质、扇形的面积等知识,解答的关键是认真审题,结合图形,找到各知识点之间的联系,进而推理、探
究、发现和计算.
26.【初步尝试】
(1)如图①,在三角形纸片 ABC 中, 90ACB ,将 ABC 折叠,使点 B 与点C 重合,折痕为 MN ,
则 AM 与 BM 的数量关系为 ;
【思考说理】
(2)如图②,在三角形纸片 ABC 中, 6AC BC , 10AB ,将 ABC 折叠,使点 B 与点C 重合,
折痕为 MN ,求 AM
BM
的值.
【拓展延伸】
(3)如图③,在三角形纸片 ABC 中, 9AB , 6BC , 2ACB A ,将 ABC 沿过顶点C 的直线
折叠,使点 B 落在边 AC 上的点 B处,折痕为CM .
①求线段 AC 的长;
②若点 O 是边 AC 的中点,点 P 为线段OB 上的一个动点,将 APM△ 沿 PM 折叠得到 A PM ,点 A 的对
应点为点 A , A M 与 CP 交于点 F ,求 PF
MF
的取值范围.
【答案】(1) AM BM ;(2)16
9
;(3)①15
2
;② 3 3
10 4
PF
MF
.
【解析】
【分析】
(1)先根据折叠的性质可得 , 90CN BN CNM BNM ,再根据平行线的判定可得 //AC MN ,
然后根据三角形中位线的判定与性质即可得;
(2)先根据等腰三角形的性质可得 B A ,再根据折叠的性质可得 B MCN ,从而可得
MCN A ,然后根据相似三角形的判定与性质可得 BM BC
BC AB
,从而可求出 BM 的长,最后根据线
段的和差可得 AM 的长,由此即可得出答案;
(3)①先根据折叠的性质可得 1
2BCM ACM ACB ,从而可得 BCM A M AC ,再根
据等腰三角形的定义可得 AM CM ,然后根据相似三角形的判定与性质可得 BM BC CM
BC AB AC
,从而可
得 BM、AM、CM 的长,最后代入求解即可得;
②先根据折叠的性质、线段的和差求出 AB,OB 的长,设 B P x ,从而可得 3
2A P x ,再根据相似
三角形的判定与性质可得 3 1
10 5
PF A P xMF CM
,然后根据 x 的取值范围即可得.
【详解】(1) AM BM ,理由如下:
由折叠的性质得: , 90CN BN CNM BNM
90ACB
90ACB BNM
//AC MN
MN 是 ABC 的中位线
点 M 是 AB 的中点
则 AM BM
故答案为: AM BM ;
(2) 6AC BC
B A
由折叠的性质得: B MCN
MCN A ,即 MCB A
在 BCM 和 BAC 中, MCB A
B B
BCM BAC
BM BC
BC AB
,即 6
6 10
BM
解得 18
5BM
18 3210 5 5AM AB BM
32
165
18 9
5
AM
BM
;
(3)①由折叠的性质得: 1
2BCM ACM ACB
2ACB A ,即 1
2A ACB
BCM ACM A
AM CM
在 BCM 和 BAC 中, BCM A
B B
BCM BAC
BM BC CM
BC AB AC
,即 6
6 9
BM CM
AC
解得 4BM
9 4 5AM AB BM
5CM AM
6 5
9 AC
解得 15
2AC ;
②如图,由折叠的性质可知, 6B C BC , A P AP , A A
15 362 2AB AC B C
点 O 是边 AC 的中点
1 15
2 4OA AC
15 3 9
4 2 4OB OA AB
设 B P x ,则 3
2A P AP AB B P x
点 P 为线段OB 上的一个动点
0 B P OB ,其中当点 P 与点 B重合时, 0B P ;当点 P 与点 O 重合时, B P OB
90 4x
,A A ACM A
A ACM ,即 A FCM
在 A FP 和 CFM△ 中, A FCM
A FP CFM
A FP CFM
3
3 12
5 10 5
xPF A P xMF CM
90 4x
3 3 1 3
10 10 5 4x
则 3 3
10 4
PF
MF
.
【点睛】本题考查了折叠的性质、三角形的中位线定理、等腰三角形的定义、相似三角形的判定与性质等
知识点,较难的是题(3)②,正确设立未知数,并找出两个相似三角形是解题关键.
27.如图①,二次函数 2 4y x bx 的图象与直线l 交于 ( 1,2)A 、 (3, )B n 两点.点 P 是 x 轴上的一个动
点,过点 P 作 x 轴的垂线交直线 l 于点 M ,交该二次函数的图象于点 N ,设点 P 的横坐标为 m .
(1)b , n ;
(2)若点 N 在点 M 的上方,且 3MN ,求 m 的值;
(3)将直线 AB 向上平移 4 个单位长度,分别与 x 轴、 y 轴交于点C 、 D (如图②).
①记 NBC 的面积为 1S , NAC 的面积为 2S ,是否存在 m ,使得点 N 在直线 AC 的上方,且满足
1 2 6S S ?若存在,求出 m 及相应的 1S 、 2S 的值;若不存在,请说明理由.
②当 1m 时,将线段 MA 绕点 M 顺时针旋转90 得到线段 MF ,连接 FB 、 FC 、OA,若
45FBA AOD BFC ,直接写出直线 OF 与该二次函数图象交点的横坐标.
【答案】(1)1,﹣2;(2)m=0 或 2;(3)①存在,且 1 3m , 1 5 2 3S , 2 2 3 1S ;② 1 65
4
或 1 65
4
.
【解析】
【分析】
(1)把点 A 的坐标代入抛物线解析式即可求出 b,于是可得抛物线的解析式,再把点 B 的坐标代入抛物线
的解析式即可求出 n;
(2)先利用待定系数法求出直线 AB 的解析式,由点 P(m,0),则点 M、N 的坐标可得,于是 MN 的长可
用含 m 的代数式表示,由 MN=3 可得关于 m 的方程,解方程即可求出 m 的值;
(3)①易求出平移后直线 CD 的解析式,进而可得点 C 坐标,然后利用待定系数法分别求出直线 AC 和直
线 NC 的解析式,设直线 MN 交 AC 于点 F,过点 B 作 BE⊥x 轴交直线 NC 于点 E,如图 2,然后即可用含
m 的代数式表示出 1S 和 2S ,由 1 2 6S S 可得关于 m 的方程,解方程即可求出 m,进一步即可求出结果;
②当旋转后点 F 在点 C 左侧时,过点 B 作 BQ⊥x 轴于点 Q,过点 M 作 GH∥x 轴,作 AG⊥GH 于点 G,作
FH⊥GH 于点 H,交 x 轴于点 K,如图 3,根据直线 AB 的特点和旋转的性质可得△AMG 和△FMH 是全等
的两个等腰直角三角形,进一步即可根据等腰直角三角形的性质和直线上点的坐标特点求得 FK=2,由条件
45FBA AOD BFC ,根据角的和差和平行线的性质可得∠AOD=∠CFK,然后根据两个角的
正切相等即可求出 CK 的长,于是可得点 F 的坐标,进而可求出直线 OF 的解析式,进一步即可求出直线
OF 与抛物线交点的横坐标;当旋转后点 F 在点 C 右侧时,易得满足 45FBA AOD BFC 的点
F 不存在,从而可得答案.
【详解】解:(1)把 1,2A 代入抛物线 2 4y x bx ,得 22 1 4b ,解得:b=1,
∴抛物线的解析式是: 2 4y x x ,
∵点 (3, )B n 在抛物线上,
∴ 23 3 4 2n ,
故答案为:1,﹣2;
(2)设直线l 的解析式是 y kx a ,把点 1,2A 、 3, 2B 两点代入,得:
2
3 2
k a
k a
,解得: 1
1
k
a
,
∴直线 l 的解析式是 1y x ,
如图 1,∵点 P(m,0),∴点 M(m,﹣m+1)、N(m, 2 4m m ),
当点 N 在点 M 的上方时,则 2 24 1 2 3MN m m m m m ,
当 3MN 时, 2 2 3 3m m ,解得:m=0 或 2;
(3)①直线 AB 向上平移 4 个单位长度后的解析式为 5y x ,
∴点 C、D 的坐标分别是(5,0)、(0,5),
则由 1,2A 、C(5,0)可得直线 AC 的解析式为 1 5
3 3y x ,
由 N(m, 2 4m m )、C(5,0)可得直线 NC 的解析式为 22 5 44
5 5
m mm my xm m
,
设直线 MN 交 AC 于点 F,过点 B 作 BE⊥x 轴交直线 NC 于点 E,如图 2,
当 x=3 时, 2 2 23 4 5 4 2 4
5 5 5
m m m m m m
y m m m
,∴点 E(3, 22 4
5
m m
m
),
∴ 2 21 5 4 74 3 3 3 3FN m m m m m
, 2 22 4 2 1825 5
m m mBE m m
,
∴
2
2
1
1 1 2 18 5 92 2 5
mS BE PC m mm
,
2 2
2
1 1 4 7 6 3 4 72 2 3 3C AS FN x x m m m m
,
∵ 1 2 6S S ,
∴ 2 29 3 4 7 6m m m ,解得: 1 3m ,
由于当 1 3m 时, 2
1 3 1 3 4 1 3 0Ny ,
此时点 N 在直线 AC 的下方,故 1 3m 舍去;
当 1 3m 时, 2
1 1 3 9 5 2 3S , 2 2 3 1S ;
∴存在 1 3m ,使 1 2 6S S ,且此时 1 5 2 3S , 2 2 3 1S ;
②当旋转后点 F 在点 C 左侧时,过点 B 作 BQ⊥x 轴于点 Q,过点 M 作 GH∥x 轴,作 AG⊥GH 于点 G,作
FH⊥GH 于点 H,交 x 轴于点 K,如图 3,
∵直线 AB 的解析式为 1y x ,
∴∠AMG=45°,
∵将线段 MA 绕点 M 顺时针旋转 90 得到线段 MF ,
∴∠AMF=90°,MA=MF,
∴△AMG 和△FMH 是全等的两个等腰直角三角形,
∴AG=GM=MH=FH=m+1,
∵M(m,﹣m+1),
∴KH=PM=m-1,
∴FK=(m+1)-(m-1)=2,
∵ 45FBA AOD BFC ,∠FBA=∠QBA+∠QBF=45°+∠QBF,
∴45°+∠QBF+∠AOD-∠BFC=45°,
∴∠QBF+∠AOD=∠BFC=∠BFK+∠CFK,
∵FK∥BQ,∴∠QBF =∠BFK,
∴∠AOD=∠CFK,
∴ 1tan tan 2AOD CFK ,
∴ 1 12CK FK ,OK=4,
∴点 F 的坐标是(4,2),
∴直线 OF 的解析式是 1
2y x ,
解方程: 2 14 2x x x ,得 1 2
1 65 1 65,4 4x x ;
当旋转后点 F 在点 C 右侧时,满足 45FBA AOD BFC 的点 F 不存在;
综上,直线 OF 与该二次函数图象交点的横坐标为 1 65
4
或 1 65
4
.
【点睛】本题是二次函数综合题,主要考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征、一
元二次方程的解法、等腰直角三角形的判定和性质、一次函数与二次函数的交点以及三角函数等知识,综
合性强、难度较大,属于中考压轴题,熟练掌握二次函数的相关知识、灵活应用数形结合的思想是解题的
关键.