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  • 2021-11-10 发布

2021年中考数学专题复习 专题52 中考数学最值问题(教师版含解析)

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专题 52 中考数学最值问题 在中学数学题中,最值题是常见题型,围绕最大(小)值所出的数学题是各种各样,就其解法,主要分 为几何最值和代数最值两大部分。 一、解决几何最值问题的要领 (1)两点之间线段最短; (2)直线外一点与直线上所有点的连线段中,垂线段最短; (3)三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边(重合时取到最值)。 二、解决代数最值问题的方法要领 1.二次函数的最值公式 二次函数 y ax bx c  2 (a、b、c为常数且a  0 )其性质中有 ①若a  0当 x b a   2 时,y有最小值。 y ac b amin  4 4 2 ; ②若a  0当 x b a   2 时,y有最大值。 y ac b amax  4 4 2 。 2.一次函数的增减性.一次函数 y kx b k  ( )0 的自变量 x 的取值范围是全体实数,图象是一条直线,因 而没有最大(小)值;但当m x n  时,则一次函数的图象是一条线段,根据一次函数的增减性,就有最大 (小)值。 3. 判别式法.根据题意构造一个关于未知数 x 的一元二次方程;再根据 x 是实数,推得  0,进而求出 y 的取值范围,并由此得出 y 的最值。 4.构造函数法.“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程,因此它们的解往往离不开函数。 5. 利用非负数的性质.在实数范围内,显然有a b k k2 2   ,当且仅当a b  0时,等号成立,即 a b k2 2  的最小值为 k。 6. 零点区间讨论法.用“零点区间讨论法”消去函数 y 中绝对值符号,然后求出 y 在各个区间上的最大值, 再加以比较,从中确定出整个定义域上的最大值。 7. 利用不等式与判别式求解.在不等式 x a 中, x a 是最大值,在不等式 x b 中, x b 是最小值。 8. “夹逼法”求最值.在解某些数学问题时,通过转化、变形和估计,将有关的量限制在某一数值范围内, 再通过解不等式获取问题的答案,这一方法称为“夹逼法”。 【例题 1】(2020•黑龙江)如图,在边长为 1 的菱形 ABCD中,∠ABC=60°,将△ABD沿射线 BD方向平 移,得到△EFG,连接 EC、GC.求 EC+GC的最小值为 . 【答案】 . 【解析】根据菱形的性质得到 AB=1,∠ABD=30°,根据平移的性质得到 EG=AB=1,EG∥AB,推出四 边形 EGCD是平行四边形,得到 ED=GC,于是得到 EC+GC的最小值=EC+GD的最小值,根据平移的性 质得到点 E在过点 A且平行于 BD的定直线上,作点 D关于定直线的对称点 M,连接 CM交定直线于 AE, 解直角三角形即可得到结论. ∵在边长为 1的菱形 ABCD中,∠ABC=60°, ∴AB=CD=1,∠ABD=30°, ∵将△ABD沿射线 BD的方向平移得到△EGF, ∴EG=AB=1,EG∥AB, ∵四边形 ABCD是菱形, ∴AB=CD,AB∥CD, ∴∠BAD=120°, ∴EG=CD,EG∥CD, ∴四边形 EGCD是平行四边形, ∴ED=GC, ∴EC+GC的最小值=EC+ED的最小值, ∵点 E在过点 A且平行于 BD的定直线上, ∴作点 D关于定直线的对称点 M,连接 CM交定直线于 E, 则 CM的长度即为 EC+DE的最小值, ∵∠EAD=∠ADB=30°,AD=1, ∴∠ADM=60°,DH=MH AD , ∴DM=1, ∴DM=CD, ∵∠CDM=∠MDG+∠CDB=90°+30°=120°, ∴∠M=∠DCM=30°, ∴CM=2× CD . 【对点练习】(2020•内江)如图,在矩形 ABCD中,BC=10,∠ABD=30°,若点 M、N分别是线段 DB、 AB上的两个动点,则 AM+MN的最小值为 . 【答案】15. 【解析】作点 A关于 BD的对称点 A′,连接 MA′,BA′,过点 A′H⊥AB于 H.首先证明△ABA′是等 边三角形,求出 A′H,根据垂线段最短解决问题即可. 解:作点 A关于 BD的对称点 A′,连接 MA′,BA′,过点 A′H⊥AB于 H. ∵BA=BA′,∠ABD=∠DBA′=30°, ∴∠ABA′=60°, ∴△ABA′是等边三角形, ∵四边形 ABCD是矩形, ∴AD=BC=10, 在 Rt△ABD中,AB ܽ 10 , ∵A′H⊥AB, ∴AH=HB=5 , ∴A′H AH=15, ∵AM+MN=A′M+MN≤A′H, ∴AM+MN≤15, ∴AM+MN的最小值为 15. 【例题 2】(2020•襄阳)受新冠肺炎疫情影响,一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售.“一方有难,八 方支援”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲,乙两种水果进行销售.专业户为了感谢经销商的援助, 对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠,对乙种水果按 25元/千克的价格出售.设经销商购进甲种水果 x千克,付款 y元,y与 x之间的函数关系如图所示. (1)直接写出当 0≤x≤50和 x>50时,y与 x之间的函数关系式; (2)若经销商计划一次性购进甲,乙两种水果共 100千克,且甲种水果不少于 40千克,但又不超过 60千克.如 何分配甲,乙两种水果的购进量,才能使经销商付款总金额 w(元)最少? (3)若甲,乙两种水果的销售价格分别为 40元/千克和 36元/千克.经销商按(2)中甲,乙两种水果购进量的分 配比例购进两种水果共 a千克,且销售完 a千克水果获得的利润不少于 1650元,求 a的最小值. 【分析】(1)由图可知 y与 x的函数关系式是分段函数,待定系数法求解析式即可. (2)设购进甲种水果为 a千克,则购进乙种水果(100﹣a)千克,根据实际意义可以确定 a的范围,结合付款总 金额(元)与种水果的购进量之间的函数关系可以分类讨论最少费用为多少. (3)根据(2)的结论列不等式解答即可. 【解析】(1)当 0≤x≤50是,设 y=kx,根据题意得 50k=1500, 解得 k=30; ∴y=30x; 当 x>50时,设 y=k1x+b, 根据题意得, ݇ ݇ ܾ,解得 , ∴y=24x+3000. ∴y ݔ 䁪 ݇ 䁪<ݔ , (2)设购进甲种水果为 a千克,则购进乙种水果(100﹣a)千克, ∴40≤a≤60, 当 40≤a≤50时,w1=30a+25(100﹣a)=5a+2500. 当 a=40 时.wmin=2700 元, 当 50<a≤60时,w2=24a+25(100﹣a)=﹣a+2500. 当 a=60时,wmin=2440 元, ∵2440<2700, ∴当 a=60时,总费用最少,最少总费用为 2440 元. 此时乙种水果 100﹣60=40(千克). 答:购进甲种水果为 60千克,购进乙种水果 40千克,才能使经销商付款总金额 w(元)最少. (3)由题意得:(40﹣24)× a+(36﹣25)× ܽ 1650, 解得 ܽ , ∵a为正整数, ∴a≥118, ∴a的最小值为 118. 【对点练习】(2020 海南模拟)某水果店在两周内,将标价为 10 元/斤的某种水果,经过两次降价后的价格 为 8.1 元/斤,并且两次降价的百分率相同. (1)求该种水果每次降价的百分率; (2)从第一次降价的第 1 天算起,第 x 天(x 为正数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示. 已知该种水果的进价为 4.1 元/斤,设销售该水果第 x(天)的利润为 y(元),求 y与 x(1≤x<15)之间的函数 关系式,并求出第几天时销售利润最大? 时间(天) 1≤x<9 9≤x<15 x≥15 售价(元/斤) 第 1 次降价后的价格 第 2 次降价后的价格 销量(斤) 80-3x 120-x 储存和损耗费用(元) 40+3x 3x2 -64x+400 (3)在(2)的条件下,若要使第 15 天的利润比(2)中最大利润最多少 127.5 元,则第 15 天在第 14 天的价格基础上最多可降多少元? 【答案】看解析。 【解析】(1)设该种水果每次降价的百分率为 x,则第一次降价后的价格为 10(1-x),第二次降价后的价格为 10(1-x)2,进而可得方程;(2)分两种情况考虑,先利用“利润=(售价-进价)×销量-储存和损耗费用”,再 分别求利润的最大值,比较大小确定结论;(3)设第 15 天在第 14 天的价格基础上降 a 元,利用不等关系“(2) 中最大利润-[(8.1-a-4.1)×销量-储存和损耗费用]≤127.5”求解. 解答:(1)设该种水果每次降价的百分率为 x,依题意得: 10(1-x)2 =8.1. 解方程得:x1=0.1=10%,x2=1.9(不合题意,舍去) 答:该种水果每次降价的百分率为 10%. (2)第一次降价后的销售价格为:10×(1-10%)=9(元/斤), 当 1≤x<9 时,y=(9-4.1)(80-3x)-(40+3x)=-17.7x+352; 当 9≤x<15 时,y=(8.1-4.1)(120-x)-(3x2 -64x+400)=-3x2 +60x+80, 综上,y 与 x 的函数关系式为:y= -17.7x+352(1≤x<9,x为整数), -3x 2 +60x+80(9≤x<15,x为整数). 当 1≤x<9 时,y=-17.7x+352,∴当 x=1 时,y 最大=334.3(元); 当 9≤x<15 时,y=-3x2 +60x+80=-3(x-10) 2 +380,∴当 x=10 时,y 最大=380(元); ∵334.3<380,∴在第 10 天时销售利润最大. (3)设第 15 天在第 14 天的价格上最多可降 a 元,依题意得: 380-[(8.1-a-4.1)(120-15)-(3×15 2 -64×15+400)]≤127.5, 解得:a≤0.5, 则第 15 天在第 14 天的价格上最多可降 0.5 元. 所以当 x  35时,最大利润为 1950 元。 【例题 3】(2020•乐山)如图,在平面直角坐标系中,直线 y=﹣x与双曲线 y 交于 A、B两点,P是以点 C(2,2)为圆心,半径长 1的圆上一动点,连结 AP,Q为 AP的中点.若线段 OQ长度的最大值为 2,则 k 的值为( ) A. B. C.﹣2 D. 【答案】A 【分析】确定 OQ是△ABP的中位线,OQ的最大值为 2,故 BP的最大值为 4,则 BC=BP﹣PC=4﹣1=3, 则(m﹣2)2+(﹣m﹣2)2=32,即可求解. 【解析】点 O是 AB的中点,则 OQ是△ABP的中位线, 当 B、C、P三点共线时,PB最大,则 OQ BP最大, 而 OQ的最大值为 2,故 BP的最大值为 4, 则 BC=BP﹣PC=4﹣1=3, 设点 B(m,﹣m),则(m﹣2)2+(﹣m﹣2)2=32, 解得:m2 , ∴k=m(﹣m) 【对点练习】(2019 云南)如图,MN 是⊙O的直径,MN=4,∠AMN=40°,点 B为弧 AN 的中点,点 P 是直径 MN 上的一个动点,则 PA+PB 的最小值为 . 【答案】2 . 【解析】过 A 作关于直线 MN 的对称点 A′,连接 A′B,由轴对称的性质可知 A′B 即为 PA+PB 的最小值, 由对称的性质可知 = ,再由圆周角定理可求出∠A′ON 的度数,再由勾股定理即可求解.过 A作关 于直线 MN 的对称点 A′,连接 A′B,由轴对称的性质可知 A′B 即为 PA+PB 的最小值, 连接 OB,OA′,AA′, ∵AA′关于直线 MN 对称,∴ = , ∵∠AMN=40°, ∴∠A′ON=80°,∠BON=40°,∴∠A′OB=120°, 过 O 作 OQ⊥A′B 于 Q, 在 Rt△A′OQ 中,OA′=2, ∴A′B=2A′Q=2 , 即 PA+PB 的最小值 2 . 【例题 4】(2020•衡阳)在平面直角坐标系 xOy中,关于 x的二次函数 y=x2+px+q的图象过点(﹣1,0),(2, 0). (1)求这个二次函数的表达式; (2)求当﹣2≤x≤1时,y的最大值与最小值的差; (3)一次函数 y=(2﹣m)x+2﹣m的图象与二次函数 y=x2+px+q的图象交点的横坐标分别是 a和 b,且 a<3< b,求 m的取值范围. 【答案】见解析。 【分析】(1)由二次函数的图象经过(﹣1,0)和(2,0)两点,组成方程组再解即可求得二次函数的表达式; (2)求得抛物线的对称轴,根据图象即可得出当 x=﹣2,函数有最大值 4;当 x 是函数有最小值 ܾ ,进而 求得它们的差; (3)由题意得 x2﹣x﹣2=(2﹣m)x+2﹣m,整理得 x2+(m﹣3)x+m﹣4=0,因为 a<2<b,a≠b,△=(m﹣3)2﹣ 4×(m﹣4)=(m﹣5)2>0,把 x=3代入(2﹣m)x+2﹣m>x2﹣x﹣2,解得 m< . 【解析】(1)由二次函数 y=x2+px+q的图象经过(﹣1,0)和(2,0)两点, ∴ ݇ ݇ ݇ ,解得 , ∴此二次函数的表达式 y=x2﹣x﹣2; (2)∵抛物线开口向上,对称轴为直线 x ݇ , ∴在﹣2≤x≤1范围内,当 x=﹣2,函数有最大值为:y=4+2﹣2=4; 当 x 是函数有最小值:y 2 ܾ , ∴的最大值与最小值的差为:4﹣( ܾ 䁪 ; (3)∵y=(2﹣m)x+2﹣m与二次函数 y=x2﹣x﹣2图象交点的横坐标为 a和 b, ∴x2﹣x﹣2=(2﹣m)x+2﹣m,整理得 x2+(m﹣3)x+m﹣4=0 ∵a<3<b ∴a≠b ∴△=(m﹣3)2﹣4×(m﹣4)=(m﹣5)2>0 ∴m≠5 ∵a<3<b 当 x=3时,(2﹣m)x+2﹣m>x2﹣x﹣2, 把 x=3代入(2﹣m)x+2﹣m>x2﹣x﹣2,解得 m< ∴m的取值范围为 m< . 【对点练习】(2019 海南)如图,已知抛物线 y=ax2 +bx+5 经过 A(﹣5,0),B(﹣4,﹣3)两点,与 x 轴的另 一个交点为 C,顶点为 D,连结 CD. (1)求该抛物线的表达式; (2)点 P 为该抛物线上一动点(与点 B、C 不重合),设点 P 的横坐标为 t. ①当点 P 在直线 BC 的下方运动时,求△PBC 的面积的最大值; ②该抛物线上是否存在点 P,使得∠PBC=∠BCD?若存在,求出所有点 P 的坐标;若不存在,请说明理由. 【答案】见解析。 【解析】(1)将点 A、B 坐标代入二次函数表达式,即可求解; (2)①S△PBC= PG(xC﹣xB),即可求解;②分点 P在直线 BC 下方、上方两种情况,分别求解即可. 解:(1)将点 A、B 坐标代入二次函数表达式得: ,解得: , 故抛物线的表达式为:y=x2 +6x+5…①, 令 y=0,则 x=﹣1或﹣5, 即点 C(﹣1,0); (2)①如图 1,过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 G, 将点 B、C的坐标代入一次函数表达式并解得: 直线 BC 的表达式为:y=x+1…②, 设点 G(t,t+1),则点 P(t,t2 +6t+5), S△PBC= PG(xC﹣xB)= (t+1﹣t2 ﹣6t﹣5)=﹣ t2 ﹣ t﹣6, ∵ <0,∴S△PBC有最大值,当 t=﹣ 时,其最大值为 ; ②设直线 BP 与 CD 交于点 H, 当点 P 在直线 BC 下方时, ∵∠PBC=∠BCD,∴点 H 在 BC 的中垂线上, 线段 BC 的中点坐标为(﹣ ,﹣ ), 过该点与 BC 垂直的直线的 k值为﹣1, 设 BC 中垂线的表达式为:y=﹣x+m,将点(﹣ ,﹣ )代入上式并解得: 直线 BC 中垂线的表达式为:y=﹣x﹣4…③, 同理直线 CD 的表达式为:y=2x+2…④, 联立③④并解得:x=﹣2,即点 H(﹣2,﹣2), 同理可得直线 BH 的表达式为:y= x﹣1…⑤, 联立①⑤并解得:x=﹣ 或﹣4(舍去﹣4), 故点 P(﹣ ,﹣ ); 当点 P(P′)在直线 BC 上方时, ∵∠PBC=∠BCD,∴BP′∥CD, 则直线 BP′的表达式为:y=2x+s,将点 B坐标代入上式并解得:s=5, 即直线 BP′的表达式为:y=2x+5…⑥, 联立①⑥并解得:x=0或﹣4(舍去﹣4), 故点 P(0,5); 故点 P 的坐标为 P(﹣ ,﹣ )或(0,5). 【点拨】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等,其中(2), 要主要分类求解,避免遗漏. 【例题 5】(2020 无锡模拟)如图,线段 AB 的长为 4,C为 AB 上一动点,分别以 AC、BC 为斜边在 AB 的同侧 作等腰直角△ACD 和等腰直角△BCE,那么 DE 长的最小值是 . 【答案】4 【解析】设 AC=x,BC=4﹣x,根据等腰直角三角形性质,得出 CD= 2 2 x,CD′= 2 2 (4﹣x), 根据勾股定理然后用配方法即可求解. 解:设 AC=x,BC=4﹣x, ∵△ABC,△BCD′均为等腰直角三角形, ∴CD= 2 2 x,CD′= 2 2 (4﹣x), ∵∠ACD=45°,∠BCD′=45°, ∴∠DCE=90°, ∴DE2 =CD2 +CE2 = 1 2 x2 + 1 2 (4﹣x)2 =x2 ﹣4x+8=(x﹣2) 2 +4, ∵根据二次函数的最值, ∴当 x 取 2 时,DE 取最小值,最小值为:4. 【点拨】本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形,难度不大,关键是掌握用配方法求二次函数最值. 【对点练习】(2019 年黑龙江大庆)如图,在 Rt△ABC 中,∠A=90°.AB=8cm,AC=6cm,若动点 D 从 B 出发,沿线段 BA 运动到点 A 为止(不考虑 D与 B,A 重合的情况),运动速度为 2cm/s,过点 D 作 DE∥BC 交 AC 于点 E,连接 BE,设动点 D 运动的时间为 x(s),AE 的长为 y(cm). (1)求 y 关于 x的函数表达式,并写出自变量 x的取值范围; (2)当 x 为何值时,△BDE 的面积 S 有最大值?最大值为多少? 【答案】见解析。 【解析】本题主要考查相似三角形的判定、三角形的面积及涉及到二次函数的最值问题,找到等量比是解 题的关键. (1)由平行线得△ABC∽△ADE,根据相似形的性质得关系式. 动点 D 运动 x 秒后,BD=2x. 又∵AB=8,∴AD=8﹣2x. ∵DE∥BC, ∴ , ∴ , ∴y 关于 x的函数关系式为 y= (0<x<4). (2)由 S= •BD•AE;得到函数解析式,然后运用函数性质求解. S△BDE= = = (0<x<4). 当 时,S△BDE最大,最大值为 6cm2 . 【点拨】本题主要考查相似三角形的判定、三角形的面积及涉及到二次函数的最值问题,找到等量比是解 题的关键. 一、填空题 1.(2020•扬州)如图,在▱ ABCD中,∠B=60°,AB=10,BC=8,点 E为边 AB上的一个动点,连接 ED 并延长至点 F,使得 DF DE,以 EC、EF为邻边构造▱ EFGC,连接 EG,则 EG的最小值为 . 【答案】9 . 【解析】根据题意和平行四边形的性质,可以得到 BD和 EF的比值,再根据三角形相似和最短距离,即 可得到 EG的最小值,本题得以解决. 作 CH⊥AB于点 H, ∵在▱ ABCD中,∠B=60°,BC=8, ∴CH=4 , ∵四边形 ECGF是平行四边形, ∴EF∥CG, ∴△EOD∽△GOC, ∴ , ∵DF DE, ∴ , ∴ , ∴ , ∴当 EO取得最小值时,EG即可取得最小值, 当 EO⊥CD时,EO取得最小值, ∴CH=EO, ∴EO=4 , ∴GO=5 , ∴EG的最小值是 ܾ , 2.(2020•凉山州)如图,矩形 ABCD中,AD=12,AB=8,E是 AB上一点,且 EB=3,F是 BC上一动点, 若将△EBF沿 EF对折后,点 B落在点 P处,则点 P到点 D的最短距离为 . 【答案】10. 【解析】先根据勾股定理计算 ED的长,当 E、P、D共线时,DP最小,即最短距离是此时 PD的长. 如图,连接 PD,DE, ∵四边形 ABCD是矩形, ∴∠A=90°, ∵AB=8,BE=3, ∴AE=5, ∵AD=12, ∴DE ݇ 13, 由折叠得:EB=EP=3, ∵EP+DP≥ED, ∴当 E、P、D共线时,DP最小, ∴DP=DE﹣EP=13﹣3=10 3.(2020•聊城)如图,在直角坐标系中,点 A(1,1),B(3,3)是第一象限角平分线上的两点,点 C的纵坐标 为 1,且 CA=CB,在 y轴上取一点 D,连接 AC,BC,AD,BD,使得四边形 ACBD的周长最小,这个最 小周长的值为 . 【答案】4+2 . 【分析】根据平行线的性质得到∠BAC=45°,得到∠C=90°,求得 AC=BC=2,作 B关于 y轴的对称点 E,连接 AE交 y轴于 D,则此时,四边形 ACBD的周长最小,这个最小周长的值=AC+BC+AE,过 E作 EF ⊥AC交 CA的延长线于 F,根据勾股定理即可得到结论. 解:∵点 A(1,1),点 C的纵坐标为 1, ∴AC∥x轴, ∴∠BAC=45°, ∵CA=CB, ∴∠ABC=∠BAC=45°, ∴∠C=90°, ∵B(3,3) ∴C(3,1), ∴AC=BC=2, 作 B关于 y轴的对称点 E, 连接 AE交 y轴于 D, 则此时,四边形 ACBD的周长最小,这个最小周长的值=AC+BC+AE, 过 E作 EF⊥AC交 CA的延长线于 F, 则 EF=BC=2,AF=6﹣2=4, ∴AE ݇ ݇ 2 , ∴最小周长的值=AC+BC+AE=4+2 4.如图,菱形 ABCD 中,∠A=60°,AB=3,⊙A、⊙B 的半径分别为 2 和 1,P、E、F 分别是边 CD、⊙A 和⊙ B上的动点,则 PE+PF 的最小值是 . 【答案】3 【解析】利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出 P 与 D 重合时 PE+PF 的最小值,进而求出即可. 由题意可得出:当 P 与 D 重合时,E 点在 AD 上,F 在 BD 上,此时 PE+PF 最小, 连接 BD, ∵菱形 ABCD 中,∠A=60°,∴AB=AD,则△ABD 是等边三角形,∴BD=AB=AD=3, ∵⊙A、⊙B 的半径分别为 2和 1, ∴PE=1,DF=2,∴PE+PF 的最小值是 3. 【点拨】此题主要考查了菱形的性质以及相切两圆的性质等知识,根据题意得出 P 点位置是解题关键. 5.(2020 四川绵阳模拟)不等边三角形ABC的两边上的高分别为 4和 12 且第三边上的高为整数,那么此 高的最大值可能为________。 【答案】5 【解析】设 a、b、c 三边上高分别为 4、12、h 因为2 4 12S a b chABC    ,所以a b 3 又因为 c a b b   4 ,代入12b ch 得12 4b bh ,所以h  3 又因为 c a b b   2 ,代入12b ch 得12 2b bh ,所以h  6 所以 3