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- 2021-11-10 发布
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专题 52 中考数学最值问题
在中学数学题中,最值题是常见题型,围绕最大(小)值所出的数学题是各种各样,就其解法,主要分
为几何最值和代数最值两大部分。
一、解决几何最值问题的要领
(1)两点之间线段最短;
(2)直线外一点与直线上所有点的连线段中,垂线段最短;
(3)三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边(重合时取到最值)。
二、解决代数最值问题的方法要领
1.二次函数的最值公式
二次函数 y ax bx c 2
(a、b、c为常数且a 0 )其性质中有
①若a 0当 x b
a
2
时,y有最小值。 y ac b
amin
4
4
2
;
②若a 0当 x b
a
2
时,y有最大值。 y ac b
amax
4
4
2
。
2.一次函数的增减性.一次函数 y kx b k ( )0 的自变量 x 的取值范围是全体实数,图象是一条直线,因
而没有最大(小)值;但当m x n 时,则一次函数的图象是一条线段,根据一次函数的增减性,就有最大
(小)值。
3. 判别式法.根据题意构造一个关于未知数 x 的一元二次方程;再根据 x 是实数,推得 0,进而求出 y
的取值范围,并由此得出 y 的最值。
4.构造函数法.“最值”问题中一般都存在某些变量变化的过程,因此它们的解往往离不开函数。
5. 利用非负数的性质.在实数范围内,显然有a b k k2 2 ,当且仅当a b 0时,等号成立,即
a b k2 2 的最小值为 k。
6. 零点区间讨论法.用“零点区间讨论法”消去函数 y 中绝对值符号,然后求出 y 在各个区间上的最大值,
再加以比较,从中确定出整个定义域上的最大值。
7. 利用不等式与判别式求解.在不等式 x a 中, x a 是最大值,在不等式 x b 中, x b 是最小值。
8. “夹逼法”求最值.在解某些数学问题时,通过转化、变形和估计,将有关的量限制在某一数值范围内,
再通过解不等式获取问题的答案,这一方法称为“夹逼法”。
【例题 1】(2020•黑龙江)如图,在边长为 1 的菱形 ABCD中,∠ABC=60°,将△ABD沿射线 BD方向平
移,得到△EFG,连接 EC、GC.求 EC+GC的最小值为 .
【答案】 .
【解析】根据菱形的性质得到 AB=1,∠ABD=30°,根据平移的性质得到 EG=AB=1,EG∥AB,推出四
边形 EGCD是平行四边形,得到 ED=GC,于是得到 EC+GC的最小值=EC+GD的最小值,根据平移的性
质得到点 E在过点 A且平行于 BD的定直线上,作点 D关于定直线的对称点 M,连接 CM交定直线于 AE,
解直角三角形即可得到结论.
∵在边长为 1的菱形 ABCD中,∠ABC=60°,
∴AB=CD=1,∠ABD=30°,
∵将△ABD沿射线 BD的方向平移得到△EGF,
∴EG=AB=1,EG∥AB,
∵四边形 ABCD是菱形,
∴AB=CD,AB∥CD,
∴∠BAD=120°,
∴EG=CD,EG∥CD,
∴四边形 EGCD是平行四边形,
∴ED=GC,
∴EC+GC的最小值=EC+ED的最小值,
∵点 E在过点 A且平行于 BD的定直线上,
∴作点 D关于定直线的对称点 M,连接 CM交定直线于 E,
则 CM的长度即为 EC+DE的最小值,
∵∠EAD=∠ADB=30°,AD=1,
∴∠ADM=60°,DH=MH
AD
,
∴DM=1,
∴DM=CD,
∵∠CDM=∠MDG+∠CDB=90°+30°=120°,
∴∠M=∠DCM=30°,
∴CM=2×
CD .
【对点练习】(2020•内江)如图,在矩形 ABCD中,BC=10,∠ABD=30°,若点 M、N分别是线段 DB、
AB上的两个动点,则 AM+MN的最小值为 .
【答案】15.
【解析】作点 A关于 BD的对称点 A′,连接 MA′,BA′,过点 A′H⊥AB于 H.首先证明△ABA′是等
边三角形,求出 A′H,根据垂线段最短解决问题即可.
解:作点 A关于 BD的对称点 A′,连接 MA′,BA′,过点 A′H⊥AB于 H.
∵BA=BA′,∠ABD=∠DBA′=30°,
∴∠ABA′=60°,
∴△ABA′是等边三角形,
∵四边形 ABCD是矩形,
∴AD=BC=10,
在 Rt△ABD中,AB
ܽ 10 ,
∵A′H⊥AB,
∴AH=HB=5 ,
∴A′H AH=15,
∵AM+MN=A′M+MN≤A′H,
∴AM+MN≤15,
∴AM+MN的最小值为 15.
【例题 2】(2020•襄阳)受新冠肺炎疫情影响,一水果种植专业户有大量成熟水果无法出售.“一方有难,八
方支援”某水果经销商主动从该种植专业户购进甲,乙两种水果进行销售.专业户为了感谢经销商的援助,
对甲种水果的出售价格根据购买量给予优惠,对乙种水果按 25元/千克的价格出售.设经销商购进甲种水果
x千克,付款 y元,y与 x之间的函数关系如图所示.
(1)直接写出当 0≤x≤50和 x>50时,y与 x之间的函数关系式;
(2)若经销商计划一次性购进甲,乙两种水果共 100千克,且甲种水果不少于 40千克,但又不超过 60千克.如
何分配甲,乙两种水果的购进量,才能使经销商付款总金额 w(元)最少?
(3)若甲,乙两种水果的销售价格分别为 40元/千克和 36元/千克.经销商按(2)中甲,乙两种水果购进量的分
配比例购进两种水果共 a千克,且销售完 a千克水果获得的利润不少于 1650元,求 a的最小值.
【分析】(1)由图可知 y与 x的函数关系式是分段函数,待定系数法求解析式即可.
(2)设购进甲种水果为 a千克,则购进乙种水果(100﹣a)千克,根据实际意义可以确定 a的范围,结合付款总
金额(元)与种水果的购进量之间的函数关系可以分类讨论最少费用为多少.
(3)根据(2)的结论列不等式解答即可.
【解析】(1)当 0≤x≤50是,设 y=kx,根据题意得 50k=1500,
解得 k=30;
∴y=30x;
当 x>50时,设 y=k1x+b,
根据题意得,
݇
݇ ܾ ,解得
,
∴y=24x+3000.
∴y
ݔ 䁪
݇ 䁪< ݔ
,
(2)设购进甲种水果为 a千克,则购进乙种水果(100﹣a)千克,
∴40≤a≤60,
当 40≤a≤50时,w1=30a+25(100﹣a)=5a+2500.
当 a=40 时.wmin=2700 元,
当 50<a≤60时,w2=24a+25(100﹣a)=﹣a+2500.
当 a=60时,wmin=2440 元,
∵2440<2700,
∴当 a=60时,总费用最少,最少总费用为 2440 元.
此时乙种水果 100﹣60=40(千克).
答:购进甲种水果为 60千克,购进乙种水果 40千克,才能使经销商付款总金额 w(元)最少.
(3)由题意得:(40﹣24)×
a+(36﹣25)×
ܽ 1650,
解得 ܽ ,
∵a为正整数,
∴a≥118,
∴a的最小值为 118.
【对点练习】(2020 海南模拟)某水果店在两周内,将标价为 10 元/斤的某种水果,经过两次降价后的价格
为 8.1 元/斤,并且两次降价的百分率相同.
(1)求该种水果每次降价的百分率;
(2)从第一次降价的第 1 天算起,第 x 天(x 为正数)的售价、销量及储存和损耗费用的相关信息如表所示.
已知该种水果的进价为 4.1 元/斤,设销售该水果第 x(天)的利润为 y(元),求 y与 x(1≤x<15)之间的函数
关系式,并求出第几天时销售利润最大?
时间(天) 1≤x<9 9≤x<15 x≥15
售价(元/斤) 第 1 次降价后的价格 第 2 次降价后的价格
销量(斤) 80-3x 120-x
储存和损耗费用(元) 40+3x 3x2
-64x+400
(3)在(2)的条件下,若要使第 15 天的利润比(2)中最大利润最多少 127.5 元,则第
15 天在第 14 天的价格基础上最多可降多少元?
【答案】看解析。
【解析】(1)设该种水果每次降价的百分率为 x,则第一次降价后的价格为 10(1-x),第二次降价后的价格为
10(1-x)2,进而可得方程;(2)分两种情况考虑,先利用“利润=(售价-进价)×销量-储存和损耗费用”,再
分别求利润的最大值,比较大小确定结论;(3)设第 15 天在第 14 天的价格基础上降 a 元,利用不等关系“(2)
中最大利润-[(8.1-a-4.1)×销量-储存和损耗费用]≤127.5”求解.
解答:(1)设该种水果每次降价的百分率为 x,依题意得:
10(1-x)2
=8.1.
解方程得:x1=0.1=10%,x2=1.9(不合题意,舍去)
答:该种水果每次降价的百分率为 10%.
(2)第一次降价后的销售价格为:10×(1-10%)=9(元/斤),
当 1≤x<9 时,y=(9-4.1)(80-3x)-(40+3x)=-17.7x+352;
当 9≤x<15 时,y=(8.1-4.1)(120-x)-(3x2
-64x+400)=-3x2
+60x+80,
综上,y 与 x 的函数关系式为:y=
-17.7x+352(1≤x<9,x为整数),
-3x
2
+60x+80(9≤x<15,x为整数).
当 1≤x<9 时,y=-17.7x+352,∴当 x=1 时,y 最大=334.3(元);
当 9≤x<15 时,y=-3x2
+60x+80=-3(x-10)
2
+380,∴当 x=10 时,y 最大=380(元);
∵334.3<380,∴在第 10 天时销售利润最大.
(3)设第 15 天在第 14 天的价格上最多可降 a 元,依题意得:
380-[(8.1-a-4.1)(120-15)-(3×15
2
-64×15+400)]≤127.5,
解得:a≤0.5,
则第 15 天在第 14 天的价格上最多可降 0.5 元.
所以当 x 35时,最大利润为 1950 元。
【例题 3】(2020•乐山)如图,在平面直角坐标系中,直线 y=﹣x与双曲线 y
交于 A、B两点,P是以点
C(2,2)为圆心,半径长 1的圆上一动点,连结 AP,Q为 AP的中点.若线段 OQ长度的最大值为 2,则 k
的值为( )
A.
B.
C.﹣2 D.
【答案】A
【分析】确定 OQ是△ABP的中位线,OQ的最大值为 2,故 BP的最大值为 4,则 BC=BP﹣PC=4﹣1=3,
则(m﹣2)2+(﹣m﹣2)2=32,即可求解.
【解析】点 O是 AB的中点,则 OQ是△ABP的中位线,
当 B、C、P三点共线时,PB最大,则 OQ
BP最大,
而 OQ的最大值为 2,故 BP的最大值为 4,
则 BC=BP﹣PC=4﹣1=3,
设点 B(m,﹣m),则(m﹣2)2+(﹣m﹣2)2=32,
解得:m2
,
∴k=m(﹣m)
【对点练习】(2019 云南)如图,MN 是⊙O的直径,MN=4,∠AMN=40°,点 B为弧 AN 的中点,点 P 是直径
MN 上的一个动点,则 PA+PB 的最小值为 .
【答案】2 .
【解析】过 A 作关于直线 MN 的对称点 A′,连接 A′B,由轴对称的性质可知 A′B 即为 PA+PB 的最小值,
由对称的性质可知 = ,再由圆周角定理可求出∠A′ON 的度数,再由勾股定理即可求解.过 A作关
于直线 MN 的对称点 A′,连接 A′B,由轴对称的性质可知 A′B 即为 PA+PB 的最小值,
连接 OB,OA′,AA′,
∵AA′关于直线 MN 对称,∴ = ,
∵∠AMN=40°,
∴∠A′ON=80°,∠BON=40°,∴∠A′OB=120°,
过 O 作 OQ⊥A′B 于 Q,
在 Rt△A′OQ 中,OA′=2,
∴A′B=2A′Q=2 ,
即 PA+PB 的最小值 2 .
【例题 4】(2020•衡阳)在平面直角坐标系 xOy中,关于 x的二次函数 y=x2+px+q的图象过点(﹣1,0),(2,
0).
(1)求这个二次函数的表达式;
(2)求当﹣2≤x≤1时,y的最大值与最小值的差;
(3)一次函数 y=(2﹣m)x+2﹣m的图象与二次函数 y=x2+px+q的图象交点的横坐标分别是 a和 b,且 a<3<
b,求 m的取值范围.
【答案】见解析。
【分析】(1)由二次函数的图象经过(﹣1,0)和(2,0)两点,组成方程组再解即可求得二次函数的表达式;
(2)求得抛物线的对称轴,根据图象即可得出当 x=﹣2,函数有最大值 4;当 x
是函数有最小值 ܾ
,进而
求得它们的差;
(3)由题意得 x2﹣x﹣2=(2﹣m)x+2﹣m,整理得 x2+(m﹣3)x+m﹣4=0,因为 a<2<b,a≠b,△=(m﹣3)2﹣
4×(m﹣4)=(m﹣5)2>0,把 x=3代入(2﹣m)x+2﹣m>x2﹣x﹣2,解得 m<
.
【解析】(1)由二次函数 y=x2+px+q的图象经过(﹣1,0)和(2,0)两点,
∴
݇
݇ ݇ ,解得
,
∴此二次函数的表达式 y=x2﹣x﹣2;
(2)∵抛物线开口向上,对称轴为直线 x ݇
,
∴在﹣2≤x≤1范围内,当 x=﹣2,函数有最大值为:y=4+2﹣2=4;
当 x
是函数有最小值:y
2
ܾ
,
∴的最大值与最小值的差为:4﹣( ܾ
䁪
;
(3)∵y=(2﹣m)x+2﹣m与二次函数 y=x2﹣x﹣2图象交点的横坐标为 a和 b,
∴x2﹣x﹣2=(2﹣m)x+2﹣m,整理得
x2+(m﹣3)x+m﹣4=0
∵a<3<b
∴a≠b
∴△=(m﹣3)2﹣4×(m﹣4)=(m﹣5)2>0
∴m≠5
∵a<3<b
当 x=3时,(2﹣m)x+2﹣m>x2﹣x﹣2,
把 x=3代入(2﹣m)x+2﹣m>x2﹣x﹣2,解得 m<
∴m的取值范围为 m<
.
【对点练习】(2019 海南)如图,已知抛物线 y=ax2
+bx+5 经过 A(﹣5,0),B(﹣4,﹣3)两点,与 x 轴的另
一个交点为 C,顶点为 D,连结 CD.
(1)求该抛物线的表达式;
(2)点 P 为该抛物线上一动点(与点 B、C 不重合),设点 P 的横坐标为 t.
①当点 P 在直线 BC 的下方运动时,求△PBC 的面积的最大值;
②该抛物线上是否存在点 P,使得∠PBC=∠BCD?若存在,求出所有点 P 的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】见解析。
【解析】(1)将点 A、B 坐标代入二次函数表达式,即可求解;
(2)①S△PBC= PG(xC﹣xB),即可求解;②分点 P在直线 BC 下方、上方两种情况,分别求解即可.
解:(1)将点 A、B 坐标代入二次函数表达式得: ,解得: ,
故抛物线的表达式为:y=x2
+6x+5…①,
令 y=0,则 x=﹣1或﹣5,
即点 C(﹣1,0);
(2)①如图 1,过点 P 作 y 轴的平行线交 BC 于点 G,
将点 B、C的坐标代入一次函数表达式并解得:
直线 BC 的表达式为:y=x+1…②,
设点 G(t,t+1),则点 P(t,t2
+6t+5),
S△PBC= PG(xC﹣xB)= (t+1﹣t2
﹣6t﹣5)=﹣ t2
﹣ t﹣6,
∵ <0,∴S△PBC有最大值,当 t=﹣ 时,其最大值为 ;
②设直线 BP 与 CD 交于点 H,
当点 P 在直线 BC 下方时,
∵∠PBC=∠BCD,∴点 H 在 BC 的中垂线上,
线段 BC 的中点坐标为(﹣ ,﹣ ),
过该点与 BC 垂直的直线的 k值为﹣1,
设 BC 中垂线的表达式为:y=﹣x+m,将点(﹣ ,﹣ )代入上式并解得:
直线 BC 中垂线的表达式为:y=﹣x﹣4…③,
同理直线 CD 的表达式为:y=2x+2…④,
联立③④并解得:x=﹣2,即点 H(﹣2,﹣2),
同理可得直线 BH 的表达式为:y= x﹣1…⑤,
联立①⑤并解得:x=﹣ 或﹣4(舍去﹣4),
故点 P(﹣ ,﹣ );
当点 P(P′)在直线 BC 上方时,
∵∠PBC=∠BCD,∴BP′∥CD,
则直线 BP′的表达式为:y=2x+s,将点 B坐标代入上式并解得:s=5,
即直线 BP′的表达式为:y=2x+5…⑥,
联立①⑥并解得:x=0或﹣4(舍去﹣4),
故点 P(0,5);
故点 P 的坐标为 P(﹣ ,﹣ )或(0,5).
【点拨】本题考查的是二次函数综合运用,涉及到一次函数、等腰三角形性质、图形的面积计算等,其中(2),
要主要分类求解,避免遗漏.
【例题 5】(2020 无锡模拟)如图,线段 AB 的长为 4,C为 AB 上一动点,分别以 AC、BC 为斜边在 AB 的同侧
作等腰直角△ACD 和等腰直角△BCE,那么 DE 长的最小值是 .
【答案】4
【解析】设 AC=x,BC=4﹣x,根据等腰直角三角形性质,得出 CD=
2
2
x,CD′=
2
2
(4﹣x),
根据勾股定理然后用配方法即可求解.
解:设 AC=x,BC=4﹣x,
∵△ABC,△BCD′均为等腰直角三角形,
∴CD=
2
2
x,CD′=
2
2
(4﹣x),
∵∠ACD=45°,∠BCD′=45°,
∴∠DCE=90°,
∴DE2
=CD2
+CE2
=
1
2
x2
+
1
2
(4﹣x)2
=x2
﹣4x+8=(x﹣2)
2
+4,
∵根据二次函数的最值,
∴当 x 取 2 时,DE 取最小值,最小值为:4.
【点拨】本题考查了二次函数最值及等腰直角三角形,难度不大,关键是掌握用配方法求二次函数最值.
【对点练习】(2019 年黑龙江大庆)如图,在 Rt△ABC 中,∠A=90°.AB=8cm,AC=6cm,若动点 D 从 B
出发,沿线段 BA 运动到点 A 为止(不考虑 D与 B,A 重合的情况),运动速度为 2cm/s,过点 D 作 DE∥BC 交
AC 于点 E,连接 BE,设动点 D 运动的时间为 x(s),AE 的长为 y(cm).
(1)求 y 关于 x的函数表达式,并写出自变量 x的取值范围;
(2)当 x 为何值时,△BDE 的面积 S 有最大值?最大值为多少?
【答案】见解析。
【解析】本题主要考查相似三角形的判定、三角形的面积及涉及到二次函数的最值问题,找到等量比是解
题的关键.
(1)由平行线得△ABC∽△ADE,根据相似形的性质得关系式.
动点 D 运动 x 秒后,BD=2x.
又∵AB=8,∴AD=8﹣2x.
∵DE∥BC,
∴ ,
∴ ,
∴y 关于 x的函数关系式为 y= (0<x<4).
(2)由 S= •BD•AE;得到函数解析式,然后运用函数性质求解.
S△BDE= = = (0<x<4).
当 时,S△BDE最大,最大值为 6cm2
.
【点拨】本题主要考查相似三角形的判定、三角形的面积及涉及到二次函数的最值问题,找到等量比是解
题的关键.
一、填空题
1.(2020•扬州)如图,在▱ ABCD中,∠B=60°,AB=10,BC=8,点 E为边 AB上的一个动点,连接 ED
并延长至点 F,使得 DF
DE,以 EC、EF为邻边构造▱ EFGC,连接 EG,则 EG的最小值为 .
【答案】9 .
【解析】根据题意和平行四边形的性质,可以得到 BD和 EF的比值,再根据三角形相似和最短距离,即
可得到 EG的最小值,本题得以解决.
作 CH⊥AB于点 H,
∵在▱ ABCD中,∠B=60°,BC=8,
∴CH=4 ,
∵四边形 ECGF是平行四边形,
∴EF∥CG,
∴△EOD∽△GOC,
∴
,
∵DF
DE,
∴
,
∴
,
∴
,
∴当 EO取得最小值时,EG即可取得最小值,
当 EO⊥CD时,EO取得最小值,
∴CH=EO,
∴EO=4 ,
∴GO=5 ,
∴EG的最小值是 ܾ ,
2.(2020•凉山州)如图,矩形 ABCD中,AD=12,AB=8,E是 AB上一点,且 EB=3,F是 BC上一动点,
若将△EBF沿 EF对折后,点 B落在点 P处,则点 P到点 D的最短距离为 .
【答案】10.
【解析】先根据勾股定理计算 ED的长,当 E、P、D共线时,DP最小,即最短距离是此时 PD的长.
如图,连接 PD,DE,
∵四边形 ABCD是矩形,
∴∠A=90°,
∵AB=8,BE=3,
∴AE=5,
∵AD=12,
∴DE ݇ 13,
由折叠得:EB=EP=3,
∵EP+DP≥ED,
∴当 E、P、D共线时,DP最小,
∴DP=DE﹣EP=13﹣3=10
3.(2020•聊城)如图,在直角坐标系中,点 A(1,1),B(3,3)是第一象限角平分线上的两点,点 C的纵坐标
为 1,且 CA=CB,在 y轴上取一点 D,连接 AC,BC,AD,BD,使得四边形 ACBD的周长最小,这个最
小周长的值为 .
【答案】4+2 .
【分析】根据平行线的性质得到∠BAC=45°,得到∠C=90°,求得 AC=BC=2,作 B关于 y轴的对称点
E,连接 AE交 y轴于 D,则此时,四边形 ACBD的周长最小,这个最小周长的值=AC+BC+AE,过 E作 EF
⊥AC交 CA的延长线于 F,根据勾股定理即可得到结论.
解:∵点 A(1,1),点 C的纵坐标为 1,
∴AC∥x轴,
∴∠BAC=45°,
∵CA=CB,
∴∠ABC=∠BAC=45°,
∴∠C=90°,
∵B(3,3)
∴C(3,1),
∴AC=BC=2,
作 B关于 y轴的对称点 E,
连接 AE交 y轴于 D,
则此时,四边形 ACBD的周长最小,这个最小周长的值=AC+BC+AE,
过 E作 EF⊥AC交 CA的延长线于 F,
则 EF=BC=2,AF=6﹣2=4,
∴AE ݇ ݇ 2 ,
∴最小周长的值=AC+BC+AE=4+2
4.如图,菱形 ABCD 中,∠A=60°,AB=3,⊙A、⊙B 的半径分别为 2 和 1,P、E、F 分别是边 CD、⊙A 和⊙
B上的动点,则 PE+PF 的最小值是 .
【答案】3
【解析】利用菱形的性质以及相切两圆的性质得出 P 与 D 重合时 PE+PF 的最小值,进而求出即可.
由题意可得出:当 P 与 D 重合时,E 点在 AD 上,F 在 BD 上,此时 PE+PF 最小,
连接 BD,
∵菱形 ABCD 中,∠A=60°,∴AB=AD,则△ABD 是等边三角形,∴BD=AB=AD=3,
∵⊙A、⊙B 的半径分别为 2和 1,
∴PE=1,DF=2,∴PE+PF 的最小值是 3.
【点拨】此题主要考查了菱形的性质以及相切两圆的性质等知识,根据题意得出 P 点位置是解题关键.
5.(2020 四川绵阳模拟)不等边三角形ABC的两边上的高分别为 4和 12 且第三边上的高为整数,那么此
高的最大值可能为________。
【答案】5
【解析】设 a、b、c 三边上高分别为 4、12、h
因为2 4 12S a b chABC ,所以a b 3
又因为 c a b b 4 ,代入12b ch
得12 4b bh ,所以h 3
又因为 c a b b 2 ,代入12b ch
得12 2b bh ,所以h 6
所以 3