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- 2021-11-10 发布
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娄底市 2020 年初中毕业学业考试试题卷
数学
温馨提示:
1、本学科试卷分试题卷和答题卡两部分,考试时量 120 分钟,满分 120 分.
2、请你将姓名、准考证号等相关信息按要求填涂在答题卡上.
3、请你在答题卡规定区域内作答,答在本试题卷上无效.
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 3 分,满分 36 分,每小题给出的四个选项中,只有
一个选项是符合题目要求的,请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的
方框里)
1. 2020 的倒数是( )
A. 2020 B. 2020 C. 1
2020 D. 1
2020
【答案】D
【解析】
【分析】
由乘积为1的两个数互为倒数,可得答案.
【详解】解: 11 2020 ,2020
2020 的倒数是: 1
2020
,
故选 D.
【点睛】本题考查的是求一个数的倒数,掌握倒数的定义是解题的关键.
2.下列运算正确的是( )
A. 2 3 6a a a B. 2 2 2( )a b a b C. 3 3( 2 ) 8a a D. 2 2 4a a a
【答案】C
【解析】
【分析】
根据同底数幂的乘法、完全平方公式、积的乘方、整式的加法:合并同类项逐项判断即可.
【详解】A、 2 3 2 3 5a a a a ,此项错误
B、 2 2 2( ) 2a b a ab b ,此项错误
C、 3 3( 2 ) 8a a ,此项正确
D、 2 2 22a a a ,此项错误
故选:C.
【点睛】本题考查了同底数幂的乘法、完全平方公式、积的乘方、整式的加法,熟记各运算法则是解题关
键.
3.如图,将直尺与三角尺叠放在一起,如果 1 28 ,那么 2 的度数为( )
A. 62° B. 56° C. 28° D. 72°
【答案】A
【解析】
【分析】
利用两锐角互余求解 ,ABD 再利用平行线的性质可得答案.
【详解】解:如图,标注字母,
由题意得: 90 , 1 28 , / /EBD AB CD ,
90 28 62 ,ABD
2 62 ,ABD
故选 A.
【点睛】本题考查平行线的性质,两锐角互余的性质,掌握以上知识是解题的关键.
4.一组数据 7,8,10,12,13 的平均数和中位数分别是( )
A. 7、10 B. 9、9 C. 10、10 D. 12、11
【答案】C
【解析】
【分析】
先根据平均数的算法进行计算,求得这组数据的平均数,再将这组数据按从小到大排列的顺序排列,找出
最中间的数即可得出答案.
【详解】解:这组数据的平均数是: 1 7 8 10 12 13 10,5
把这些数从小到大排列为:7,8,10,12,13,最中间的数是 10,则中位数是 10;
故选:C.
【点睛】本题主要考查了平均数与中位数,平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数;将
一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列,如果这组数据的个数是偶数,则中间两个数据的平均
数就是这组数据的中位数.
5.我国汽车工业迅速发展,国产汽车技术成熟,下列汽车图标是中心对称图形的是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
根据中心对称图形的概念求解.
【详解】解:A、不是中心对称图形.故错误;
B、是中心对称图形.故正确;
C、不是中心对称图形.故错误;
D、不是中心对称图形.故错误.
故选:B.
【点睛】本题考查了中心对称图形的概念:中心对称图形是要寻找对称中心,旋转 180 度后与原图重合.
6.2020 年中央财政下达义务教育补助经费 1695.9 亿元,比上年增长 8.3%.其中 1695.9 亿元用科学记数法表
示为( )
A. 1016.959 10 元 B. 81695.9 10 元 C. 101.6959 10 元 D. 111.6959 10 元
【答案】D
【解析】
【分析】
根据科学记数法的定义即可得.
【详解】科学记数法:将一个数表示成 10 na 的形式,其中1 10a ,n 为整数,这种记数的方法叫做
科学记数法
则1695.9亿 3 8 111.6959 10 10 1.6959 10
故选:D.
【点睛】本题考查了科学记数法的定义,熟记定义是解题关键.
7.正多边形的一个外角为 60°,则这个多边形的边数为( )
A. 5 B. 6 C. 7 D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】
根据正多边形的外角和以及一个外角的度数,求得边数.
【详解】解:正多边形的一个外角等于 60°,且外角和为 360°,
则这个正多边形的边数是:360°÷60°=6,
故选:B.
【点睛】本题主要考查了多边形的外角和定理,解决问题的关键是掌握多边形的外角和等于 360 度.
8.如图,撬钉子的工具是一个杠杆,动力臂 1 cosL L ,阻力臂 2 cosL l ,如果动力 F 的用力方向
始终保持竖直向下,当阻力不变时,则杠杆向下运动时的动力变化情况是( )
A. 越来越小 B. 不变 C. 越来越大 D. 无法确定
【答案】A
【解析】
【分析】
根据杠杆原理及 cos 的值随着 的减小而增大结合反比例函数的增减性即可求得答案.
【详解】解:∵动力×动力臂=阻力×阻力臂,
∴当阻力及阻力臂不变时,动力×动力臂为定值,且定值>0,
∴动力随着动力臂的增大而减小,
∵杠杆向下运动时 的度数越来越小,此时 cos 的值越来越大,
又∵动力臂 1 cosL L ,
∴此时动力臂也越来越大,
∴此时的动力越来越小,
故选:A.
【点睛】本题主要考查了杠杆原理以及锐角三角函数和反比例函数的增减性,熟练掌握相关知识是解决本
题的关键.
9.如图,平行于 y 轴的直线分别交 1ky x
与 2ky x
的图象(部分)于点 A、B,点 C 是 y 轴上的动点,则 ABC
的面积为( )
A. 1 2k k B. 1 2
1
2 k k C. 2 1k k D. 2 1
1
2 k k
【答案】B
【解析】
【分析】
设 A 的坐标为(x, 1k
x
),B 的坐标为(x, 2k
x
),然后根据三角形的面积公式计算即可.
【详解】解:设 A 的坐标为(x, 1k
x
),B 的坐标为(x, 2k
x
),
∴S△ABC= 1 21
2
k kx x x
= 1 2
1
2 k k ,
故选:B.
【点睛】本题考查了反比例函数和几何综合,设出 A,B 的坐标是解题关键.
10.下列各正方形中的四个数之间都有相同的规律,根据此规律,x 的值为()
1 4 2 6 3 8 …… a 18
2 9 3 20 4 35 b x
A. 135 B. 153 C. 170 D. 189
【答案】C
【解析】
【分析】
由观察发现每个正方形内有: 2 2 4,2 3 6,2 4 8, 可求解b ,从而得到 a ,再利用 , ,a b x 之间的关
系求解 x 即可.
【详解】解:由观察分析:每个正方形内有:
2 2 4,2 3 6,2 4 8,
2 18,b
9,b
由观察发现: 8,a
又每个正方形内有:
2 4 1 9,3 6 2 20,4 8 3 35,
18 ,b a x
18 9 8 170.x
故选 C.
【点睛】本题考查的是数字类的规律题,掌握由观察,发现,总结,再利用规律是解题的关键.
11.函数的零点是指使函数值等于零的自变量的值,则下列函数中存在零点的是( )
A. 2 2y x x B. 1y x C. 1y x x
D. | | 1y x
【答案】D
【解析】
【分析】
把 0y 代入四个函数解析式,解方程即可得到答案.
【详解】解:当 2 2 0,y x x
1, 1, 2,a b c
2 4 1 4 1 2 7b ac < 0 ,
原方程没有实数解,
2 2y x x 没有零点,故 A 不符合题意,
当 1 0,y x
1,x
显然,方程没有解,
所以 1y x 没有零点,故 B 不符合题意,
当 1y x 0,x
2 1 0,x
显然方程无解,
所以 1y x x
没有零点,故C 不符合题意,
当 | | 1 0,y x
1,x
1,x
所以 | | 1y x 有两个零点,故 D 符合题意,
故选 .D
【点睛】本题考查的是函数的零点,即函数与 x 轴的交点的情况,掌握令 0y ,再解方程是解题的关键.
12.二次函数 y=(x﹣a)(x﹣b)﹣2,(a<b)的图象与 x 轴交点的横坐标为 m,n,且 m<n,则 a,b,m,
n 的大小关系是( )
A. a<m<n<b B. a<m<b<n C. m<a<b<n D. m<a<n<b
【答案】C
【解析】
【分析】
依照题意画出二次函数 y=(x-a)(x-b)及 y=(x-a)(x-b)-2 的图象,观察图象即可得出结论.
【详解】解:二次函数 y=(x-a)(x-b)与 x 轴交点的横坐标为 a、b,将其图象往下平移 2 个单位长度可得
出二次函数 y=(x-a)(x-b)-2 的图象,如图所示.
观察图象,可知:m<a<b<n.
故选 C.
【点睛】本题考查了抛物线与 x 轴的交点以及二次函数的图象,依照题意画出图象,利用数形结合解决问
题是解题的关键.
二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 3 分,满分 18 分)
13.一元二次方程 2 2 0x x c 有两个相等的实数根,则 c ________.
【答案】1
【解析】
【分析】
由一元二次方程有两个相等的实数根,则 0, 从而列方程可得答案.
【详解】解: 方程 2 2 0x x c 有两个相等的实数根,
2 4 0,b ac
22 4 1 0,c
4 4,c
1,c
故答案为:1.
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式,掌握根的判别式是解题的关键.
14.口袋内装有大小、质量和材料都相同的两种颜色的球,其中红色球 3 个,白色球 2 个,从中任意摸出一
球,摸出白色球的概率是_________.
【答案】 2
5
【解析】
【分析】
根据概率的计算公式,用白球的个数除以总个数即可得到结果.
【详解】由题可知,摸出白球的概率 2
5P .
故答案为 2
5
.
【点睛】本题主要考查了概率的求解,准确计算是关键.
15.若 1 ( )2
b d a ca c
,则 b d
a c
________.
【答案】 1
2
【解析】
【分析】
根据比例的基本性质进行化简,代入求职即可.
【详解】由 1 ( )2
b d a ca c
可得 2a b , 2c d ,
代入
1= 2 2 2 2
b d b d b d
a c b d b d .
故答案为 1
2
.
【点睛】本题主要考查了比例的基本性质化简,准确观察分析是解题的关键.
16.如图,公路弯道标志 R m 表示圆弧道路所在圆的半径为 m(米),某车在标有 300R 处的弯道上从
点 A 行驶了100 米到达点 B,则线段 AB _______米.
【答案】300
【解析】
【分析】
根据弧长公式求出∠AOB 的度数,根据等边三角形的性质即可求解.
【详解】∵100 = 300
180 180
n R n
∴n=60°
又 AO=BO
∴△AOB 是等边三角形,
∴ AB AO=BO=300(米)
故答案为:300.
【点睛】此题主要考查弧长公式,解题的关键是熟知弧长公式的运用.
17.如图,四边形 ABDC 中, 3, 2AB AC BD CD ,则将它以 AD 为轴旋转 180°后所得分别以 AB 、
BD 为母线的上下两个圆锥的侧面积之比为_________.
【答案】3∶2
【解析】
【分析】
根据两个圆锥的底面圆相同,设底面圆的周长为 l,根据圆锥的侧面积公式可得上面圆锥的侧面积为:π·AB·l,
下面圆锥的侧面积为:π·BD·l,即可得出答案.
【详解】解:∵两个圆锥的底面圆相同,
∴可设底面圆的周长为 l,
∴上面圆锥的侧面积为:π·AB·l,
下面圆锥的侧面积为:π·BD·l,
∴S 上:S 下=3:2,
故答案为:3:2.
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积公式,掌握圆锥侧面积公式是解题关键.
18.由 4 个直角边长分别为 a,b 的直角三角形围成的“赵爽弦图”如图所示,根据大正方形的面积 2c 等于小正
方形的面积 2( )a b 与 4 个直角三角形的面积 2ab 的和证明了勾股定理 2 2 2 a b c ,还可以用来证明结论:
若 0a 、 0b 且 2 2a b 为定值,则当 a _______b 时, ab 取得最大值.
【答案】=
【解析】
【分析】
设 2 2a b 为定值 k ,则 2 2 2 kc a b ,先根据“张爽弦图”得出 22 ( )ab k a b ,再利用平方数的非负
性即可得.
【详解】设 2 2a b 为定值 k ,则 2 2 2 kc a b
由“张爽弦图”可知, 2 2 22 ( ) ( )ab c a b k a b
即
2( )
2
k a bab
要使 ab 的值最大,则 2( )a b 需最小
又 2( ) 0a b
当 a b 时, 2( )a b 取得最小值,最小值为 0
则当 a b 时, ab 取得最大值,最大值为
2
k
故答案为: .
【点睛】本题考查了勾股定理的应用、平方数的非负性,掌握勾股定理是解题关键.
三、解答题(本大题共 2 小题,每小题 6 分,共 12 分)
19.计算:
1
0 13 1 3tan30 (3.14 ) 2
【答案】2.
【解析】
【分析】
先计算绝对值运算、特殊角的正切函数值、零指数幂、负整数指数幂,再计算实数的混合运算即可得.
【详解】原式 33 1 3 1 23
3 1 3 1 2
2 .
【点睛】本题考查了绝对值运算、特殊角的正切函数值、零指数幂、负整数指数幂,熟记各运算法则是解
题关键.
20.先化简 2
2
3 3 9
m m m
m m m
,然后从 3 ,0,1,3 中选一个合适的数代入求值.
【答案】 9m , 10 .
【解析】
【分析】
先计算括号内的分式减法,再计算分式的除法,然后选一个使得分式有意义的 x 的值代入求值即可.
【详解】原式 ( 3) 2 ( 3)
( 3)( 3) ( 3)( 3) ( 3)( 3)
m m m m m
m m m m m m
2 22 6 ( 3)( 3)
( 3)(
3
3)
m m m m
m
m m
m m
2 9m
m
m
( 9)m m
m
9m
分式的分母不能为 0
0, 3 0, 3 0m m m
解得:m 不能为 3 ,0,3
则选 1m 代入得:原式 9 1 9 10m .
【点睛】本题考查了分式的减法与除法、分式有意义的条件等知识点,掌握分式的运算法则是解题关键.
四、解答题(本大题共 2 小题,每小题 8 分,共 16 分)
21.我市开展“温馨家园,创文同行”活动,某初中学校倡议学生利用双休日进社区参加义务劳动,为了
了解同学们的劳动情况,学校随机调查了部分同学的劳动时间 t h :A.0 0.5t ,B.0.5 1t ,
C.1 1.5t ,D. 1.5t ,
将所得数据绘制成了如下不完整的统计图:
(1)本次调查参加义务劳动的学生共_______人, a _______.
(2)补全条形统计图.
(3)扇形图中“ 0 0.5t ”部分的圆心角是_______度.
【答案】(1)100,40;(2)详见解析;(3)18°
【解析】
【分析】
(1)利用 C 组的人数除以百分比,即可得到总人数,然后求出 a 的值即可;
(2)求出 D 组的人数,然后补全条形图即可;
(3)求出 A 组的百分比,乘以 360°,即可得到答案.
【详解】解:(1)35 35% 100 , 40 100 100% 40% ,
∴本次调查参加义务劳动的学生共 100 人, 40a ;
故答案为:100;40;
(2)补全条形统计图如图所示.
(3) 5 100 360 18 ,
∴扇形图中“ 0 0.5t ”部分的圆心角为 18°.
【点睛】本题考查了扇形统计图,条形统计图,以及求扇形图中的圆心角,弄清题中的数据是解本题的关
键.
22.如实景图,由华菱涟钢集团捐建的早元街人行天桥于 2019 年 12 月 18 日动工,2020 年 2 月 28 日竣工,
彰显了国企的担当精神,展现了高效的“娄底速度”.该桥的引桥两端各由 2 个斜面和一个水平面构成,如示
意图所示:引桥一侧的桥墩顶端 E 点距地面 5m ,从 E 点处测得 D 点俯角为 30°,斜面 ED 长为 4m ,水平
面 DC 长为 2m ,斜面 BC 的坡度为 1∶4,求处于同一水平面上引桥底部 AB 的长.(结果精确到 0.1m ,
2 1.41, 3 1.73 ).
【答案】引桥桥墩底端 A 点到起点 B 之间的距离为17.5m .
【解析】
【分析】
延长 CD ,与 AE 相交于 F,过点 D、C 两点分别作 AB 的垂线交 AB 于点 G、H,计算 AG,GH,BH 的
长度,再求和即可.
【详解】解:如图,延长CD ,与 AE 相交于 F,过点 D、C 两点分别作 AB 的垂线交 AB 于点 G、H,则
在 Rt DEF△ 中, 4, 30 , 2DE EDF EF ,
3cos30 4 2 32DF DE AG
2, 5 2 3GH DC CH AF ,
在 Rt BCH 中, : 1: 4, 12CH BH BH
2 3 2 12 17.46 17.5(m)AB AG GH BH
答:引桥桥墩底端 A 点到起点 B 之间的距离为17.5m .
【点睛】本题考查了解直角三角形的实际应用问题,熟练的构造直角三角形,并计算各边的计算是解题的
关键.
五、解答题(本大题共 2 小题,每小题 9 分,共 18 分)
23.为了预防新冠肺炎疫情的发生,学校免费为师生提供防疫物品.某校花 7200 元购进洗手液与 84 消毒液
共 400 瓶,已知洗手液的价格是 25 元瓶,84 消毒液的价格是 15 元瓶.
求:(1)该校购进洗手液和 84 消毒液各多少瓶?
(2)若购买洗手液和 84 消毒液共 150 瓶,总费用不超过 2500 元,请问最多能购买洗手液多少瓶?
【答案】(1)该校购进洗手液 120 瓶,购进 84 消毒液 280 瓶;(2)最多能买洗手液 25 瓶.
【解析】
【分析】
(1)设购进洗手液 x 瓶,则购进 84 消毒液为 400 x 瓶,根据题意得到一元一次方程,故可求解;
(2)设最多能购买洗手液 a 瓶,根据题意得到不等式,故可求解.
【详解】解:(1)设购进洗手液 x 瓶,则购进 84 消毒液为 400 x 瓶
依题意得: 25 15(400 ) 7200x x
解得 120x
400 280x
答:该校购进洗手液 120 瓶,购进 84 消毒液 280 瓶.
(2)设最多能购买洗手液 a 瓶
25 15(150 ) 2500a a
解得 25a
答:最多能买洗手液 25 瓶.
【点睛】此题主要考查一元一次方程与不等式的应用,解题的关键是根据题意找到等量关系或不等关系列
式求解.
24.如图, ABCD 中, 2BC AB , AB AC ,分别在边 BC 、 AD 上的点 E 与点 F 关于 AC 对称,连
接 EF 、 AE 、CF 、 DE .
(1)试判定四边形 AECF 的形状,并说明理由;
(2)求证: AE DE
【答案】(1)四边形 AECF 为菱形,理由详见解析;(2)详见解析
【解析】
【分析】
(1)根据题意可证明 AOF COE ≌ ,再由 ,OE OF EF AC 可得到四边形 AECF 是菱形;
(2)根据直角三角形斜边上的中线的性质即可求解.
【详解】解:(1)四边形 AECF 为菱形,理由如下
由 ABCD 可得 //AD BC ,从而 CAF ACE
设 AC 与 EF 相交于点 O
∵点 E 与点 F 关于 AC 对称
∴ OE OF 且 EF AC
在 AOF 和 COE 中
CAF ACE
OE OF
AOF COE
∴ AOF COE ≌
∴OA OC ,又 ,OE OF EF AC
∴四边形 AECF 为菱形,
(2)∵ AB AC ,据(1) EF A C
∴ //EF AB
又∵OA OC ∴ BE CE AF DF
1 1
2 2EF AB BC AD AF DF
∴ AE DE .
【点睛】此题主要考查菱形的判定与性质,解题的关键是熟知全等三角形的判定与性质、菱形的判定定理
及直角三角形的性质.
六、综合题(本大题共 2 小题,每小题 10 分,共 20 分)
25.如图,点 C 在以 AB 为直径的 O 上, BD 平分 ABC 交 O 于点 D,过 D 作 BC 的垂线,垂足为 E.
(1)求证: DE 与 O 相切;
(2)若 5, 4 AB BE ,求 BD 的长;
(3)请用线段 AB 、 BE 表示CE 的长,并说明理由.
【答案】(1)详见解析;(2) 2 5 ;(3)CE AB BE ,理由详见解析
【解析】
【分析】
(1)连 OD ,据题意得 OB OD ,根据平分线的性质,得 CBD OBD ,证明 //OD BC ,再根据
DE BC 可得结果;
(2)根据 AB 为 O 的直径可得 90ADB ,证出 DBE ABD ∽ ,得到 2BD AB BE ,代入数值
求解即可;
(3)由 EBD ABD 得CD AD ,根据 90 , 90ADB CED ,得到 2 2 2 2CD AD AB BD ,
2 2 2DE BD BE ,联立即可得到结果;
【详解】解:(1)连 OD ,据题意得OB OD ,
ODB OBD ,
∵ BD 平分 ABC ,
∴ CBD OBD ,
∴ CBD ODB ,
∴ //OD BC ,
又∵ DE BC ,
∴ DE OD ,
∴ DE 与 O 相切.
(2) AB 为 O 的直径可得: 90ADB ,
据(1) CBD OBD 且 90DEB ,
∴在 DBE 和 ABD△ 中,
EBD ABD DEB ADB , ,
∴ DBE ABD ∽ ,
∴ 2BD AB BE ,
又∵ 5, 4 AB BE ,
∴ 20 2 5BD .
(3)CE AB BE .
由 EBD ABD 得CD AD ,
∵ 90 , 90ADB CED ,
∴ 2 2 2 2CD AD AB BD ,
2 2 2DE BD BE ,
2 2 2 2 2 2 22 ( )CE CD DE AB BE BD AB BE ,
由 ,Rt DBE Rt ABD 得 AB BD BE ,
∴CE AB BE - .
【点睛】本题主要考查了圆的综合应用,结合三角形相似的知识点进行求解是解题的关键.
26.如图,抛物线经过点 ( 3,0)A 、 (1,0)B 、 (0,3)C .
(1)求抛物线的解析式;
(2)点 ,P m n 是抛物线上的动点,当 3 0m 时,试确定 m 的值,使得 PAC 的面积最大;
(3)抛物线上是否存在不同于点 B 的点 D,满足 2 2 6DA DC ,若存在,请求出点 D 的坐标;若不存
在,请说明理由.
【答案】(1) 2 2 3y x x ;(2) 3
2m ;(3) 2,3D
【解析】
【分析】
(1)据题意可设抛物线的解析式为 3 1y a x x ( )( ),将点代入 0,3C 解出 a,即可求出抛物线的解析
式;
(2)先求出直线 AC 的解析式,然后根据当 3 0m 时,点 ,P m n 在直线 AC 上方,过点 P 作 x 轴的
垂线与线段 AC 相交于点 Q,可将 x m 分别代入 2 2 3y x x 和 3y x= + 得 2, 2 3P m m m ,
( , 3)Q m m ,从而得出 PQ 的代数式,从而可求出 m 的值;
(3)由题意可得 4, 1, 3AB OB CO ,根据 2 10BC , 45CAO ,可求出 2 2 6BA BC ,连接
BC ,过B 作 AC 的垂线交抛物线于点 D,交 AC 于点 H,可得 2 2 2 2 2 2 6DA DC HA HC BA BC ,
根据 CAO DBA ,可得 BD 与 AC 关于 AB 的垂直平分线对称,即关于抛物线的对称轴 1x 对称,
即点 D 与点 C 关于抛物线的对称轴 1x 对称,从而可求出点 D 的坐标.
【详解】解:(1)据题意可设抛物线的解析式为 3 1y a x x ( )( ),
将点 0,3C 代入,可得 1a
∴抛物线的解析式为 2 2 3y x x ;
(2)设直线 AC 的解析式为: y kx b ,
将 ( 3,0)A 、 (0,3)C 代入得 0 3
3
k b
b
,
解得 1
3
k
b
,
∴直线 AC 的解析式: 3y x= + ,
当 3 0m 时,点 ,P m n 在直线 AC 上方,
过点 P 作 x 轴的垂线与线段 AC 相交于点 Q,
将 x m 分别代入 2 2 3y x x 和 3y x= + 得 2, 2 3P m m m , ( , 3)Q m m ,
∴ 2 2 3 ( 3)PQ m m m
2 3m m
23 9
2 4m
∵ 3 0m ,
∴当且仅当 3
2m 时, PQ 取得最大值,
此时 1 3
2 2PACS PQ AO PQ 最大,
∴ 3
2m ;
(3)由 ( 3,0)A 、 (1,0)B 、 (0,3)C 得 4, 1, 3AB OB CO ,
∵ 2 10BC , 45CAO ,
∴ 2 2 6BA BC ,
连接 BC ,过 B 作 AC 的垂线交抛物线于点 D,交 AC 于点 H,
则 90 , 45AHB DBA CAO ,
2 2 2 2 2 2 6DA DC HA HC BA BC ,
∵ CAO DBA ,
∴ BD 与 AC 关于 AB 的垂直平分线对称,即关于抛物线的对称轴 1x 对称,
∴点 D 与点 C 关于抛物线的对称轴 1x 对称,
又∵ 0,3C ,
∴点 D 的坐标为(-2,3).
【点睛】本题是二次函数的综合题,考查二次函数的性质,求一次函数解析式,结合题意,正确添加辅助
线,灵活运用知识点是解题关键.
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