数学华东师大版九年级上册教案22-2 一元二次方程的解法 第6课时 2页

1 22.2 一元二次方程的解法 第 6 课时 教学目标 1．探索一元二次方程的根与系数的关系． 2．会不解方程利用一元二次方程的根与系数解决问题． 教学重难点 【教学重点】 一元二次方程的根与系数的关系. 【教学难点】 利用一元二次方程的根与系数解决问题. 课前准备 无 教学过程 一、情境导入 一般地，对于关于 x 的方程 x2＋px＋q＝0(p，q 为已知常数，p2－4q≥0)，试用求根公式求 出它的两个解 x1、x2，算一算 x1＋x2、x1·x2 的值，你能得出什么结果？ 二、合作探究 探究点：一元二次方程根与系数的关系 【类型一】利用一元二次方程根与系数的关系求关于方程根的代数式的值 已知 m、n 是方程 2x2－x－2＝0 的两实数根，则1 m ＋1 n 的值为( ) A．－1 B.1 2 C．－1 2 D．1 解析：根据根与系数的关系，可以求出 m＋n 和 mn 的值，再将原代数式变形后，整体代入计 算即可．因为 m、n 是方程 2x2－x－2＝0 的两实数根，所以 m＋n＝1 2 ，mn＝－1，1 m ＋1 n ＝n＋m mn ＝ 1 2 －1 ＝－1 2 .故选 C. 方法总结：解题时先把代数式变形成与两根和、积有关的形式，注意前提：方程有两个实数 根时，判别式大于或等于 0. 【类型二】根据方程的根确定一元二次方程 已知一元二次方程的两根分别是 4 和－5，则这个一元二次方程是( ) A．x2－6x＋8＝0 B．x2＋9x－1＝0 C．x2－x－6＝0 D．x2＋x－20＝0 解析：∵方程的两根分别是 4 和－5，设两根为 x1，x2，则 x1＋x2＝－1，x1·x2＝－20.如果 令方程 ax2＋bx＋c＝0 中，a＝1，则－b＝－1，c＝－20.∴方程为 x2＋x－20＝0.故选 D. 方法总结：先把所构造的方程的二次项系数定为 1，利用一元二次方程根与系数的关系确定 2 一元二次方程一次项系数和常数项． 【类型三】根据根与系数的关系确定方程的解 已知 x＝4 是一元二次方程 x2－3x＋c＝0 的一个根，则另一个根为________． 解析：设另一根为 x1，则由根与系数的关系得 x1＋4＝3，∴x1＝－1.故答案为 x＝－1. 方法总结：解决这类问题时，利用一元二次方程的根与系数的关系列出方程即可解决． 【类型四】利用一元二次方程根与系数的关系确定字母系数 关于 x 的方程 x2－ax＋2a＝0 的两根的平方和是 5，则 a 的值是( ) A．－1 或 5 B．1 C．5 D．－1 解析：将两根平方和转化为用两根和、积表示的形式，从而利用一元二次方程根与系数的关 系解决．设方程两根为 x1，x2，由题意，得 x2 1＋x2 2＝5.∴(x1＋x2)2－2x1x2＝5.∵x1＋x2＝a， x1x2＝2a，∴a2－2×2a＝5.解得 a1＝5，a2＝－1.又∵Δ＝a2－8a，当 a＝5 时，Δ<0，此时 方程无实数根，所以舍去 a＝5.当 a＝－1 时，Δ>0，此时方程有两实数根．所以取 a＝－1. 故选 D. 方法总结：解答此类题的关键是将与方程两根有关的式子转化为用两根和、积表示的形式， 从而利用一元二次方程根与系数的关系解决问题．注意不要忽略题目中的隐含条件Δ≥0， 导致解答不全面． 【类型五】一元二次方程根与系数的关系和根的情况的综合应用 已知 x1、x2 是一元二次方程(a－6)x2＋2ax＋a＝0 的两个实数根． (1)是否存在实数 a，使－x1＋x1x2＝4＋x2 成立？若存在，求出 a 的值；若不存在，请你说明 理由； (2)求使(x1＋1)(x2＋1)为负整数的实数 a 的整数值． 解：(1)根据题意，得Δ＝(2a)2－4×a(a－6)＝24a≥0.解得 a≥0.又∵a－6≠0，∴a≠6. 由根与系数关系得：x1＋x2＝－ 2a a－6 ，x1x2＝ a a－6 .由－x1＋x1x2＝4＋x2 得 x1＋x2＋4＝x1x2，∴ － 2a a－6 ＋4＝ a a－6 ，解得 a＝24.经检验 a＝24 是方程－ 2a a－6 ＋4＝ a a－6 的解．即存在 a＝24， 使－x1＋x1x2＝4＋x2 成立． (2)原式＝x1＋x2＋x1x2＋1＝－ 2a a－6 ＋ a a－6 ＋1＝ 6 6－a 为负整数，则 6－a 为－1 或－2，－3， －6.解得 a＝7 或 8，9，12. 三、板书设计 四、教学反思 教学过程中，强调一元二次方程的根与系数的关系是通过求根公式得到的，在利用此关系确 定字母的取值时，一定要记住Δ≥0 这个前提条件.