中考卷-2020中考数学试卷（解析版）（109） 22页

1 2020 年岳阳市初中学业水平考试试卷数学 温馨提示： 1．本试卷共三大题，24 小题，考试时量 90 分钟； 2．本试卷分为试题卷和答题卡两部分，所有答案都必须填涂或填写在答题卡上规定的答题区 域内； 3．考试结束后，考生不得将试题卷、答题卡、草稿纸带出考场． 一、选择题（本大题共 8 小题，在每道小题给出的四个选项中，选出符合要求的一项） 1.-2020的相反数是（ ） A. 2020 B. -2020 C. 1 2020 D. － 1 2020 【答案】A 【解析】 【分析】 根据相反数直接得出即可. 【详解】-2020的相反数是 2020， 故选 A. 【点睛】本题是对相反数的考查，熟练掌握相反数知识是解决本题的关键. 2.2019年以来，我国扶贫攻坚取得关键进展，农村贫困人口减少 11090000人，数据 11090000用科学记数 法表示为（ ） A. 80.1109 10 B. 611.09 10 C. 81.109 10 D. 71.109 10 【答案】D 【解析】 【分析】 根据科学记数法的定义即可得． 【详解】科学记数法：将一个数表示成 10 na  的形式，其中1 10a  ，n为整数，这种记数的方法叫做 科学记数法 则 711090000 1.109 10 故选：D． 【点睛】本题考查了科学记数法的定义，熟记定义是解题关键． 3.如图，由 4个相同正方体组成的几何体，它的左视图是（ ） 2 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 根据左视图是从左面看得到的图形，结合所给图形以及选项进行求解即可． 【详解】观察图形，从左边看得到两个叠在一起的正方形，如下图所示： 故选 A． 【点睛】本题考查了简单几何体的三视图，解题的关键是掌握左视图的观察位置． 4.下列运算结果正确的是（ ） A. 3 3( )a a  B. 9 3 3a a a  C. 2 3a a a  D. 2 2a a a  【答案】C 【解析】 【分析】 根据幂的乘方、同底数幂的乘法和除法及合并同类项的计算法则分别计算即可得解． 【详解】解：A、 3 3( )a a   ，故错误； B、 9 3 6a a a  ，故错误； C、 2 3a a a  ，故正确； D、 2 3a a a  故错误； 故选：C 【点睛】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法和除法及合并同类项，是基础题，关键是掌握整式的运算 法则． 5.如图，DA AB ，CD DA ， 56B  ，则 C 的度数是（ ） 3 A. 154 B. 144 C. 134 D. 124 【答案】D 【解析】 【分析】 由平行线的判定和性质，即可求出答案． 【详解】解：∵DA AB ，CD DA ， ∴ / /AB CD， ∴ 180C B   ， ∵ 56B  ， ∴ 124C  ； 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的判定和性质，解题的关键是掌握两直线平行，同旁内角互补． 6.今年端午小长假复课第一天，学校根据疫情防控要求，对所有进入校园的师生进行体温检测，其中 7名学 生的体温（单位：℃）如下：36.5，36.3，36.8，36.3，36.5，36.7，36.5，这组数据的众数和中位数分别是 （ ） A. 36.3，36.5 B. 36.5，36.5 C. 36.5，36.3 D. 36.3，36.7 【答案】B 【解析】 【分析】 根据众数、中位数的概念求出众数和中位数即可判断． 【详解】解：将这 7名学生的体温按从小到大的顺序排列如下： 36.3，36.3，36.5，36.5， 36.5，36.7，36.8 则中位数就是第 4个数：36.5； 出现次数最多的数是 36.5，则众数为：36.5； 故选：B 【点睛】本题考查的是众数、中位数，掌握它们的概念和计算方法是解题的关键． 7.下列命题是真命题的是（ ） A. 一个角的补角一定大于这个角 B. 平行于同一条直线的两条直线平行 C. 等边三角形是中心对称图形 D. 旋转改变图形的形状和大小 【答案】B 【解析】 【分析】 由补角的定义、平行线公理，中心对称图形的定义、旋转的性质分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：A、一个角的补角不一定大于这个角，故 A错误； B、平行于同一条直线的两条直线平行，故 B正确； 4 C、等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形，故 C错误； D、旋转不改变图形的形状和大小，故 D错误； 故选：B． 【点睛】本题考查了补角的定义、平行线公理，中心对称图形的定义、旋转的性质，以及判断命题的真假， 解题的关键是熟练掌握所学的知识，分别进行判断． 8.对于一个函数，自变量 x取c时，函数值 y等于 0，则称 c为这个函数的零点．若关于 x的二次函数 2 10y x x m    ( 0)m  有两个不相等的零点 1 2 1 2, ( )x x x x ，关于 x的方程 2 10 2 0x x m    有两个 不相等的非零实数根 3 4 3 4, ( )x x x x ，则下列关系式一定正确的是（ ） A. 1 3 0 1x x   B. 1 3 1x x  C. 2 4 0 1x x   D. 2 4 1x x  【答案】B 【解析】 【分析】 根据根与系数的关系可以求出 1 2,x x ， 3 4,x x 的值，用作差法比较 1 3,x x 的大小关系， 2 4,x x 的大小关系，根 据可求出 m的取值范围，结合 1 3,x x 的大小关系， 2 4,x x 的大小关系从而得出选项． 【详解】解：∵ 1 2,x x 是 2 10y x x m    ( 0)m  的两个不相等的零点 即 1 2,x x 是 2 10 0x x m    的两个不相等的实数根 ∴ 1 2 1 2 5x x x x m       ∵ 1 2x x 解得 1 2 5 25 4 5 25 4, 2 2 m mx x        ∵方程 2 10 2 0x x m    有两个不相等的非零实数根 3 4,x x ∴ 3 4 3 4 5 2 x x x x m        ∵ 3 4x x 解得 3 4 5 13 4 5 13 4, 2 2 m mx x        ∴   1 3 5 25 4 5 13 4 25 4 13 4 2 2 m m m mx x               <0 ∴ 1 3x x ∵ 1 5 25 4 0 2 mx      ， 3 5 13 4 0 2 mx      5 ∴ 1 3 1x x  ∴   2 4 5 25 4 5 13 4 25 4 13 4 0 2 2 m m m mx x               ∴ 2 4x x 而由题意知   100 4 0 100 4 2 0 m m       解得 25m   当 25 0m   时， 2 40, 0x x  ， 2 4 1x x  ； 当0 3m  时， 2 40, 0x x  ， 2 4 0x x  ； 当 m=3时， 2 4 x x 无意义； 当 3m  时， 2 4 1x x  ， ∴ 2 4 x x 取值范围不确定， 故选 B． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，判别式与根的关系及一元二次方程与二次函数的关 系．解题的关键是熟记根与系数的关系，对于 2y ax bx c   （a≠0）的两根为 1 2,x x ，则 1 2 1 2,b cx x x x a a     ． 二、填空题（本大题共 8 个小题） 9.因式分解： 2 9a   _________ 【答案】 ( 3)( 3)a a  【解析】 【分析】 a2-9可以写成 a2-32，符合平方差公式的特点，利用平方差公式分解即可． 【详解】解：a2-9=（a+3）（a-3）． 点评：本题考查了公式法分解因式，熟记平方差公式的结构特点是解题的关键． 10.函数 2y x  中，自变量 x的取值范围是_____． 【答案】 2x  【解析】 6 【分析】 根据被开方式是非负数列式求解即可. 【详解】依题意，得 2 0x   ， 解得： 2x  ， 故答案为 2x  ． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑：①当函 数解析式是整式时，字母可取全体实数；②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为 0；③当函数解 析式是二次根式时，被开方数为非负数．④对于实际问题中的函数关系式，自变量的取值除必须使表达式 有意义外，还要保证实际问题有意义． 11.不等式组 3 0 1 0 x x      的解集是_______________． 【答案】 3 1x   【解析】 【分析】 先分别求出两个不等式的解，再找出它们的公共部分即为不等式组的解集． 【详解】 3 0 1 0 x x      ① ② 解不等式①得： 3x   解不等式②得： 1x  则不等式组的解集为 3 1x   故答案为： 3 1x   ． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题关键． 12.如图：在 Rt ABC 中，CD是斜边 AB上的中线，若 20A  ，则 BDC  _________． 【答案】 40 【解析】 【分析】 先根据直角三角形斜边中线的性质得出 1 2 CD AD AB  ，则有 20DCA A    ，最后利用三角形外 角的性质即可得出答案． 【详解】∵在 Rt ABC 中，CD是斜边 AB上的中线，， ∴ 1 2 CD AD AB  ． 7 ∵ 20A  ， ∴ 20DCA A    ， ∴ 40BDC DCA A     ． 故答案为： 40． 【点睛】本题主要考查直角三角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质和三角形外角的性质，掌握直角三 角形斜边中线的性质，等腰三角形的性质和三角形外角的性质是解题的关键． 13.在 3 ， 2 ，1，2，3五个数中随机选取一个数作为二次函数 2 4 2y ax x   中 a的值，则该二次函数 图象开口向上的概率是_____________． 【答案】 3 5 【解析】 【分析】 当 a大于 0时，该二次函数图象开口向上，根据这个性质利用简单概率计算公式可得解． 【详解】解：当 a大于 0时，二次函数 2 4 2y ax x   图象开口向上， 3 ， 2 ，1，2，3中大于 0的数有 3个， 所以该二次函数图象开口向上的概率是 3 5 ， 故答案为： 3 5 ． 【点睛】本题考查了二次函数的性质和简单的概率计算，难度不大，是一道较好的中考题． 14.已知 2 2 1x x   ，则代数式5 ( 2)x x  的值为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】 先根据整式的乘法去括号化简代数式，再将已知式子的值代入求值即可． 【详解】 25 ( 2) 5 2x x x x     将 2 2 1x x   代入得：原式 5 ( 1) 4    故答案为：4． 【点睛】本题考查了代数式的化简求值，利用整式的乘法对代数式进行化简是解题关键． 15.《九章算术》中有这样一个题：“今有醇酒一斗，直钱五十；行酒一斗，直钱一十．今将钱三十，得酒二 斗．问醇、行酒各得几何？”其译文是：今有醇酒（优质酒）1斗，价值 50钱；行酒（劣质酒）1斗，价值 10钱．现有 30钱，买得 2斗酒．问醇酒、行酒各能买得多少？设醇酒为 x斗，行酒为 y斗，则可列二元一 次方程组为_____． 【答案】 2 50 10 30 x y x y      8 【解析】 【分析】 设买美酒 x斗，买普通酒 y斗，根据“美酒一斗的价格是 50钱、买两种酒 2斗共付 30钱”列出方程组． 【详解】设买美酒 x斗，买普通酒 y斗， 依题意得： 2 50 10 30 x y x y      ， 故答案是： 2 50 10 30 x y x y      ． 【点睛】考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适 的等量关系，列方程组． 16.如图，AB为半⊙O的直径，M ，C是半圆上的三等分点， 8AB  ，BD与半⊙O相切于点 B，点 P为 ¼AM 上一动点（不与点 A，M 重合），直线 PC交 BD于点D，BE OC 于点 E，延长 BE 交 PC于点 F ， 则下列结论正确的是______________．（写出所有正确结论的序号） ① PB PD ；②BC的长为 4 3  ；③ 45DBE  ；④ BCF PFB△ ∽△ ；⑤CF CP 为定值． 【答案】②⑤ 【解析】 【分析】 ①先根据圆的切线的性质可得 90ABD  ，再根据半圆上的三等分点可得 60COB  ，然后根据圆周 角定理可得 30BPC  ，最后假设 PB PD ，根据角的和差、三角形的外角性质可得 30AOP  ，这 与点 P为¼AM 上一动点相矛盾，由此即可得； ②根据弧长公式即可得； ③先根据等边三角形的性质可得 30OBE  ，再根据角的和差即可得； ④先根据三角形的外角性质可得 PFB BCF CBF   ，从而可得对应角 PFB 与 BCF 不可能相 等，由此即可得；⑤先根据相似三角形的判定与性质可得 CF CB CB CP  ，从而可得 2CF CP CB  ，再根据等 边三角形的性质可得 4CB OB  ，由此即可得． 【详解】如图，连接 OP BDQ 与半⊙O相切于点 B 90ABD   9  C是半圆上的三等分点 1 180 60 3 COB      OB OC BOC 是等边三角形 由圆周角定理得： 1 30 2 BPC COB     假设 PB PD ，则 1 (180 ) 75 2 PBD D BPC       15ABP ABD PBD     2 30AOP ABP     又点 P为¼AM 上一动点 AOP 不是一个定值，与 30AOP  相矛盾 即 PB与 PD不一定相等，结论①错误 8AB  1 4 2 OB OC AB    则BC的长为 4 180 60 4 3    ，结论②正确 BOC 是等边三角形，BE OC 1 1 60 30 2 2 OBE CBE OBC          90 30 60OBDBE ABD E        ，则结论③错误 PFB BCF CBF BCF    ，即对应角 PFB 与 BCF 不可能相等 BCF 与 PFB△ 不相似，则结论④错误 在 BCF 和 PCB 中， 30CBF CPB BCF PCB         BCF PCB   CF CB CB CP   ，即 2CF CP CB  又 BOC 是等边三角形， 4OB  4CB OB   24 16CF CP    即CF CP 为定值，结论⑤正确 综上，结论正确的是②⑤ 故答案为：②⑤． 10 【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的切线的性质、弧长公式、相似三角形的判定与性质、等边三角形的 判定与性质等知识点，较难的题①，先假设结论成立，再推出矛盾点是解题关键． 三、解答题（解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17.计算： 1 01( ) 2cos60 (4 ) 3 2      ° 【答案】 2 3 ． 【解析】 【分析】 先计算负整数指数幂、特殊角的余弦值、零指数幂、化简绝对值，再计算实数的混合运算即可． 【详解】原式 12 2 1 3 2      2 1 1 3    2 3  ． 【点睛】本题考查了负整数指数幂、特殊角的余弦值、零指数幂、实数的混合运算等知识点，熟记各运算 法则是解题关键． 18.如图，点 E， F 在 ABCD 的边 BC， AD上， 1 3 BE BC ， 1 3 FD AD ，连接BF ，DE．求证： 四边形 BEDF是平行四边形． 【答案】见解析． 【解析】 【分析】 根据平行四边形的性质得到 AD∥BC，AD=BC，进而得到 BE=FD 即可证明． 【详解】证明：∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD=BC， 11 ∵ 1 3 BE BC ， 1 3 FD AD ， ∴BE=FD， ∴四边形 BEDF是平行四边形． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，解题的关键是灵活运用平行四边形的性质，并熟悉平行四 边形的判定定理． 19.如图，一次函数 5y x  的图象与反比例函数 ky x  （ k为常数且 0k  ）的图象相交于 ( 1, )A m ，B两 点． （1）求反比例函数的表达式； （2）将一次函数 5y x  的图象沿 y轴向下平移b个单位 ( 0)b  ，使平移后的图象与反比例函数 ky x  的 图象有且只有一个交点，求b的值． 【答案】（1） 4y x   ；（2）b的值为 1或 9． 【解析】 【分析】 （1）先将点 A的坐标代入一次函数的表达式可求出 m的值，从而可得点 A的坐标，再将点 A的坐标代入 反比例函数的表达式即可得； （2）先根据一次函数的图象平移规律得出平移后的一次函数的解析式，再与反比例函数的解析式联立，化 简可得一个关于 x的一元二次方程，然后利用方程的根的判别式求解即可得． 【详解】（1）由题意，将点 ( 1, )A m 代入一次函数 5y x  得： 1 5 4m     ( 1, 4)A  将点 ( 1, 4)A  代入 ky x  得： 4 1 k   ，解得 4k   则反比例函数的表达式为 4y x   ； （2）将一次函数 5y x  的图象沿 y轴向下平移b个单位得到的一次函数的解析式为 5y x b   12 联立 5 4 y x b y x        整理得： 2 (5 ) 4 0x b x    一次函数 5y x b   的图象与反比例函数 4y x   的图象有且只有一个交点 关于 x的一元二次方程 2 (5 ) 4 0x b x    只有一个实数根 此方程的根的判别式 2(5 ) 4 4 0b      解得 1 21, 9b b  则 b的值为 1或 9． 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数的综合、一次函数图象的平移、一元二次方程的根的判别式等 知识点，较难的是题（2），将直线与双曲线的交点问题转化为一元二次方程的根的问题是解题关键． 20.我市某学校落实立德树人根本任务，构建“五育并举”教育体系，开设了“厨艺、园艺、电工、木工、编织” 五大类劳动课程．为了解七年级学生对每类课程的选择情况，随机抽取了七年级若干名学生进行调查（每 人只选一类最喜欢的课程），将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： （1）本次随机调查的学生人数为 人； （2）补全条形统计图； （3）若该校七年级共有 800名学生，请估计该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数； （4）七（1）班计划在“园艺、电工、木工、编织”四大类劳动课程中任选两类参加学校期末展示活动，请用 列表或画树状图的方法，求恰好选中“园艺、编织”这两类劳动课程的概率． 13 【答案】（1）50；（2）见详解；（3）288人；（4） 1 6 ． 【解析】 【分析】 （1）利用园艺的人数除以百分比，即可得到答案； （2）先求出编织的人数，再补全条形图即可； （3）利用总人数乘以厨艺所占的百分比，即可得到答案； （4）列表或树状图将所有等可能的结果列举出来后利用概率公式求解即可． 【详解】解：（1）根据题意，本次随机调查的学生人数为： 15 30% 50  （人）； 故答案为：50； （2）选择编织的人数为：50 15 18 9 6 2     （人）， 补全条形图如下： （3）该校七年级学生选择“厨艺”劳动课程的人数为： 18800 288 50   （人）； （4）根据题意，“园艺、电工、木工、编织”可分别用字母 A，B，C，D表示，则 列表如下： ∵共有 12种等可能的结果，其中恰好抽到“园艺、编织”类的有 2种结果， 14 ∴恰好抽到“园艺、编织”类的概率为： 2 1 12 6  ； 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率的知识．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列 出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率= 所求情况数与总情况数之比． 21.为做好复工复产，某工厂用 A、B两种型号机器人搬运原料，已知 A型机器人比 B型机器人每小时多搬 运 20kg，且 A型机器人搬运1200kg所用时间与 B型机器人搬运1000kg所用时间相等，求这两种机器人 每小时分别搬运多少原料． 【答案】A型号机器人每小时搬运120kg原料，B型号机器人每小时搬运100kg 原料． 【解析】 【分析】 设 A型号机器人每小时搬运 xkg 原料，先求出 B型号机器人每小时搬运 ( 20)x kg 原料，再根据“ A型机 器人搬运1200kg所用时间与 B型机器人搬运1000kg所用时间相等”建立方程，然后求解即可． 【详解】设 A型号机器人每小时搬运 xkg 原料，则 B型号机器人每小时搬运 ( 20)x kg 原料 由题意得： 1200 1000 20x x   解得 120( )x kg 经检验， 120x  是所列分式方程的解 则 20 120 20 100( )x kg    答：A型号机器人每小时搬运120kg原料，B型号机器人每小时搬运100kg 原料． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，依据题意，正确建立分式方程是解题关键．需注意的是，求出 分式方程的解后，一定要进行检验． 22.共抓长江大保护，建设水墨丹青新岳阳，推进市中心城区污水系统综合治理项目，需要从如图 A， B两 地向C地新建 AC，BC两条笔直的污水收集管道，现测得C地在 A地北偏东 45方向上，在 B地北偏西 68方向上， AB的距离为7km，求新建管道的总长度．（结果精确到 0.1km， sin 22 0.37  ， cos 22 0.93  ， tan22 0.40  ， 2 1.41 ） 15 【答案】新建管道的总长度约为8.2km． 【解析】 【分析】 如图（见解析），先根据方位角的定义求出 45 , 22CAD CBD     ，设 AD xkm ，则 (7 )BD x km  ， 再在Rt ACD 中，根据等腰直角三角形的判定与性质可得 AC、CD的长，然后在Rt BCD 中，解直角三 角形可得 x的值，从而可得 AC、BC的长，由此即可得出答案． 【详解】如图，过点 C作CD AB 于点 D 由题意得： 90 45 45 , 90 68 22CAD CBD           ， 7AB km 设 AD xkm ，则 (7 )BD x km  , 45CD AB CAD    Rt ACD △ 是等腰直角三角形 , 2 2CD AD xkm AC AD xkm     在 Rt BCD 中， tan CDCBD BD   ，即 tan 22 7 x x    解得 7 tan 22 7 0.40 2( ) 1 tan 22 1 0.40 x km        经检验， 7 tan 22 1 tan 22 x     是所列分式方程的解 2 2 2.82( )AC km   ， 2CD km 在 Rt BCD 中， sin CDCBD BC   ，即 2 sin 22 BC   解得 2 2 5.41( ) sin 22 0.37 BC km    则 2.82+5.41 8.23 8.2( )AC BC km    答：新建管道的总长度约为8.2km． 16 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、方位角的定义、解直角三角形等知识点，掌握解直角 三角形的方法是解题关键． 23.如图 1，在矩形 ABCD中， 6, 8AB BC  ，动点 P，Q分别从C点， A点同时以每秒 1个单位长度 的速度出发，且分别在边 ,CA AB上沿C A ， A B 的方向运动，当点Q运动到点 B时， ,P Q两点同 时停止运动，设点 P运动的时间为 ( )t s ，连接 PQ，过点 P作 PE PQ ，PE与边 BC相交于点 E，连接 QE． （1）如图 2，当 5t s 时，延长 EP交边 AD于点 F ．求证： AF CE ； （2）在（1）的条件下，试探究线段 , ,AQ QE CE三者之间的等量关系，并加以证明； （3）如图 3，当 9 4 t s 时，延长 EP交边 AD于点 F ，连接 FQ，若 FQ平分 AFP ，求 AF CE 的值． 【答案】（1）证明见解析；（2） 2 2 2AQ CE QE  ，证明见解析；（3） 6 5 ． 【解析】 【分析】 （1）先根据运动速度和时间求出 5CP  ，再根据勾股定理可得 10AC  ，从而可得 5AP CP  ，然后 根据矩形的性质可得 //AD BC，从而可得 FAP ECP  ， AFP CEP  ，最后根据三角形全等的判 定定理与性质即可得证； （2）如图（见解析），连接 FQ，先根据（1）三角形全等的性质可得 FP EP ，再根据垂直平分线的判定 与性质可得QF QE ，然后根据勾股定理、等量代换即可得证； （3）先根据角平分线的性质得出 AQ PQ ，再根据直角三角形全等的判定定理与性质得出 AQF PQF   ，然后根据等腰三角形的三线合一得出 1 10 , 2 2 tOA AP OQ AP    ，又分别在 Rt ABC 和 Rt AOQ 中，利用余弦三角函数可求出 t的值，从而可得 CP、AP的长，最后根据平行线分线 段成比例定理即可得． 17 【详解】（1）由题意得： 1 5 5CP    四边形 ABCD是矩形 // , 90AD BC BAD B      FAP ECP  ， AFP CEP  6, 8AB BC  2 2 10AC AB BC    5AP AC CP    在 AFP 和 CEP△ 中， 5 FAP ECP AFP CEP AP CP          ( )AFP CEP AAS   AF CE  ； （2） 2 2 2AQ CE QE  ，证明如下： 如图，连接 FQ 由（1）已证： AFP CEP  FP EP  PE PQ PQ是线段 EF的垂直平分线 QF QE  在 Rt AFQ 中，由勾股定理得： 2 2 2AQ AF QF  则 2 2 2AQ CE QE  ； （3）如图，设 FQ与 AC的交点为点 O 由题意得： AQ t ，CP t ， 10AP AC CP t     FQ平分 AFP ， ,QA AD PE PQ  AQ PQ  （角平分线的性质） APQ△ 是等腰三角形 18 在 AFQ△ 和 PFQ△ 中， AQ PQ FQ FQ    ( )AFQ PFQ HL   AQF PQF   ，即OQ是 AQP 的角平分线 1 10 , 2 2 tOA OP AP OQ AP      （等腰三角形的三线合一） 在 Rt ABC 中， 6 3cos 10 5 ABBAC AC     在 Rt AOQ 中， cos OAOAQ AQ   ，即 10 32 cos 5 t BAC t     解得 50 ( ) 11 t s 50 50 60, 10 11 11 11 CP AP     //AD BC ，即 //AF CE 6 5 AF AP CE CP    故 AF CE 的值为 6 5 ． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、矩形的性质、余弦三角函数、平行线分线段成比例定 理等知识点，较难的是题（3），熟练利用三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的三线合一是解题关 键． 24.如图 1所示，在平面直角坐标系中，抛物线 2 1 2 64: ( ) 5 15 F y a x   与 x轴交于点 6( ,0) 5 A  和点 B，与 y 轴交于点C． （1）求抛物线 1F的表达式； （2）如图 2，将抛物线 1F先向左平移 1个单位，再向下平移 3个单位，得到抛物线 2F ，若抛物线 1F与抛 物线 2F 相交于点D，连接BD，CD， BC． ①求点D的坐标； 19 ②判断 BCD 的形状，并说明理由； （3）在（2）的条件下，抛物线 2F 上是否存在点 P，使得 BDP△ 为等腰直角三角形，若存在，求出点 P的 坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 25 4 4 3 3 y x x    ；（2）①点D的坐标 ( 1,1)D  ；② BCD 是等腰直角三角形，理由见解 析；（3） ( 2, 2)P   或 (1, 3)P  ． 【解析】 【分析】 （1）将点 6( ,0) 5 A  代入即可得； （2）①先根据二次函数的平移规律得出抛物线 2F 的表达式，再联立两条抛物线的表达式求解即可得； ②先根据抛物线 1F的表达式求出点 B、C的坐标，再利用两点之间的距离公式分别求出 BC、BD、CD的长， 然后根据勾股定理的逆定理、等腰三角形的定义即可得； （3）设点 P的坐标为 ( , )P m n ，根据等腰直角三角形的定义分三种情况：①当 90 ,PDB PD BD    时， 先根据等腰直角三角形的性质、线段中点的点坐标求出点 P的坐标，再代入抛物线 2F 的表达式，检验点 P 是否在抛物线 2F 的表达式上即可；②当 90 ,PBD PB BD    时，先根据平行四边形的判定得出四边形 BCDP是平行四边形，再根据点 C至点 B的平移方式与点 D至点 P的平移方式相同可求出点 P的坐标，然 后代入抛物线 2F 的表达式，检验点 P是否在抛物线 2F 的表达式上即可；③当 90 ,BPD PB PD    时， 先根据等腰直角三角形的性质得出点 P在在线段 BD的垂直平分线上，再利用待定系数法求出 BD的垂直平 分线上所在直线的解析式，然后根据两点之间的距离公式和 5PB  可求出点 P的坐标，最后代入抛物线 2F 的表达式，检验点 P是否在抛物线 2F 的表达式上即可． 【详解】（1）将点 6( ,0) 5 A  代入抛物线 1F的表达式得： 26 2 64( ) 0 5 5 15 a     解得 5 3 a   20 则抛物线 1F的表达式为 2 25 2 64 5 4( ) 4 3 5 15 3 3 y x x x        故抛物线 1F的表达式为 25 4 4 3 3 y x x    ； （2）①由二次函数的平移规律得：抛物线 2F 的表达式为 25 2 64( 1) 3 3 5 15 y x      即 2 2 25 3 19 5 2: ( ) 2 3 5 15 3 3 y x x xF         联立 2 2 5 4 4 3 3 5 22 3 3 y x x y x x             ，解得 1 1 x y     则点D的坐标为 ( 1,1)D  ； ②对于 2 25 2 64 5 4( ) 4 3 5 15 3 3 y x x x        当 0y  时， 25 2 64( ) 0 3 5 15 x    ，解得 2x  或 6 5 x   则点 B的坐标为 (2,0)B 当 0x  时， 25 40 0 4 4 3 3 y        ，则点 C的坐标为 (0, 4)C 由两点之间的距离公式得： 2 2(2 0) (0 4) 2 5BC      2 2(2 1) (0 1) 10BD      2 2(0 1) (4 1) 10CD      则 BD CD ， 2 2 2BD CD BC  故 BCD 是等腰直角三角形； （3）抛物线 2F 的表达式为 2 25 3 19 5 2( ) 2 3 5 15 3 3 y x x x        设点 P的坐标为 ( , )P m n 由题意，分以下三种情况： ①当 90 ,PDB PD BD    时， BDP△ 为等腰直角三角形 BCD 是等腰直角三角形， 90BDC  ， BD CD  PD CD 点 D是 CP的中点 21 则 0 1 2 4 1 2 m n        ，解得 2 2 m n      即点 P的坐标为 ( 2, 2)P   对于抛物线 2F 的表达式 25 22 3 3 y x x    当 2x   时， 25 2( 2) 2 ( 2) 2 3 3 y           即点 ( 2, 2)P   在抛物线 2F 上，符合题意 ②当 90 ,PBD PB BD    时， BDP△ 为等腰直角三角形 90BDC   ， BD CD //CD PB ， PB CD 四边形 BCDP是平行四边形 点 C至点 B的平移方式与点 D至点 P的平移方式相同 (0, 4), (2,0)C B 点 C至点 B的平移方式为先向下平移 4个单位长度，再向右平移 2个单位长度 ( 1,1), ( , )D P m n 1 2 1 1 4 3 m n          即点 P的坐标为 (1, 3)P  对于抛物线 2F 的表达式 25 22 3 3 y x x    当 1x  时， 25 21 2 1 3 3 3 y         即点 (1, 3)P  在抛物线 2F 上，符合题意 ③当 90 ,BPD PB PD    时， BDP△ 为等腰直角三角形 则点 P在线段 BD的垂直平分线上 设直线 BD的解析式 y kx b  将点 (2,0), ( 1,1)B D  代入得： 2 0 1 k b k b      ，解得 1 3 2 3 k b        则直线 BD的解析式 1 2 3 3 y x   设 BD的垂线平分线所在直线的解析式为 3y x c  22 点 (2,0), ( 1,1)B D  的中点的坐标为 2 1 0 1( , ) 2 2   ，即 1 1( , ) 2 2 将点 1 1( , ) 2 2 代入 3y x c  得： 3 1 2 2 c  ，解得 1c   则 BD的垂线平分线所在直线的解析式为 3 1y x  因此有3 1m n  ，即点 P的坐标为 ( ,3 1)P m m  由两点之间的距离公式得： 2 2 2( 2) (3 1 0) 10 10 5PB m m m m        又 10BD  ， BDP△ 为等腰直角三角形 2 5 2 PB BD   则 210 10 5 5m m   解得 0m  或 1m  当 0m  时，3 1 3 0 1 1m      ，即点 P的坐标为 (0, 1)P  当 1m  时，3 1 3 1 1 2m     ，即点 P的坐标为 (1,2)P 对于抛物线 2F 的表达式 25 22 3 3 y x x    当 0x  时， 25 2 20 2 0 3 3 3 y        即点 (0, 1)P  不在抛物线 2F 上，不符合题意，舍去 当 1x  时， 25 21 2 1 3 3 3 y         即点 (1,2)P 不在抛物线 2F 上，不符合题意，舍去 综上，符合条件的点 P的坐标为 ( 2, 2)P   或 (1, 3)P  ． 【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式、二次函数图象的平移，点坐标的平移、等腰直 角三角形的判定与性质等知识点，较难的是题（3），正确分三种情况，结合等腰直角三角形的性质是解题 关键．