中考数学压轴题旋转问题[经典]+数学中考专题解析及测试专题等精品资料大全，精品资料 122页

中考数学压轴题旋转问题 [经典]+数学中考专题解析及测试专题等资料大全 压轴:旋转 一、选择题 1. （广东）如图，把一个斜边长为 2 且含有 300 角的直角三角板 ABC 绕直角 顶点 C 顺时针旋转 900 到△A1B1C，则在旋转过程中这个三角板扫过的图形的面 积是【 】 A．π B． 3 C． 3 3+4 2  D．11 3+12 4  2. （湖北）如图，O 是正△ABC 内一点，OA=3，OB=4，OC=5，将线段 BO 以点 B 为旋转中心逆时针旋转 60°得到线段 BO′，下列结论：①△BO′A 可以由 △BOC 绕点 B 逆时针旋转 60°得到；②点 O 与 O′的距离为 4；③∠AOB=150°； ④ AOBOS =6+3 3四 形边 ；⑤ AOC AOB 9 3S S 6+ 4    ．其中正确的结论是【 】 A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②③④⑤ D．①②③ 3.（四川）如图，P 是等腰直角△ABC 外一点，把 BP 绕点 B 顺时针旋转 90°到 BP′， 已知∠AP′B=135°，P′A：P′C=1：3，则 P′A：PB=【 】。 A．1： 2 B ．1：2 C． 3 ：2 D．1： 3 4. （贵州）点 P 是正方形 ABCD 边 AB 上一点（不与 A、B 重合），连接 PD 并将线段 PD 绕点 P 顺时针旋转 90°，得线段 PE，连接 BE，则∠CBE 等于【 】 A．75° B．60° C．45° D．30° 5. （广西）如图，等边△ABC 的周长为 6π，半径是 1 的⊙O 从与 AB 相切于 点 D 的位置出发，在△ABC 外部按顺时针方向沿三角形滚动，又回到与 AB 相 切于点 D 的位置，则⊙O 自转了：【 】 A．2 周 B．3 周 C．4 周 D．5 周 二、填空题 6. （四川）如图，四边形 ABCD 中，∠BAD=∠BCD=900,AB=AD,若四边形 ABCD 的面积是 24cm2. 则 AC 长是 ▲ cm. 7. （江西南昌）如图，正方形 ABCD 与正三角形 AEF 的顶点 A 重合，将△AEF 绕顶点 A 旋转， 在旋转过程中，当 BE=DF 时，∠BAE 的大小可以是 ▲ ． 8. （吉林省）如图，在等边△ABC 中，D 是边 AC 上一点，连接 BD．将△BCD 绕 点 B 逆时针旋转 60°得到△BAE，连接 ED．若 BC=10，BD=9，则△AED 的周长 是_ ▲____. 三、解答题 9. （北京市）在 ABC△ 中，BA=BC BAC  ， ，M 是 AC 的中点，P 是线段 BM 上的动点， 将线段 PA 绕点 P 顺时针旋转 2 得到线段 PQ。 （1） 若    且点 P 与点 M 重合（如图 1），线段 CQ 的延长线交射线 BM 于点 D，请 补全图形， 并写出∠CDB 的度数； （2） 在图 2 中，点 P 不与点 B，M 重合，线段 CQ 的延长线与射线 BM 交于点 D，猜想 ∠CDB 的 大小（用含  的代数式表示），并加以证明； （3） 对于适当大小的  ，当点 P 在线段 BM 上运动到某一位置（不与点 B，M 重合）时， 能使得 线段 CQ 的延长线与射线 BM 交于点 D，且 PQ=QD，请直接写出  的范围。 10. （福建）在平面直角坐标系中，矩形 OABC 如图所示放置，点 A 在 x 轴上，点 B 的坐标 为（m，1）（m＞0），将此矩形绕 O 点逆时针旋转 90°，得到矩形 OA′B′C′． （1）写出点 A、A′、C′的坐标； （2）设过点 A、A′、C′的抛物线解析式为 y=ax2+bx+c，求此抛物线的解析式；（a、b、c 可用含 m 的式子表示） （3）试探究：当 m 的值改变时，点 B 关于点 O 的对称点 D 是否可能落在（2）中的抛物线上？ 若能，求出此时 m 的值． 11.（江苏）(1)如图 1，在△ABC 中，BA=BC，D，E 是 AC 边上的两点，且满足∠DBE= 1 2 ∠ABC(0° ＜∠CBE＜ 1 2 ∠ABC)。以点 B 为旋转中心，将△BEC 按逆时针方向旋转∠ABC，得到△BE’A （点 C 与点 A 重合，点 E 到点 E’处），连接 DE’。求证：DE’=DE. （2）如图 2，在△ABC 中，BA=BC，∠ABC=90°，D，E 是 AC 边上的两点， 且满足∠DBE= 1 2 ∠ABC(0°＜∠CBE＜45°).求证：DE2=AD2+EC2. 12. （四川德阳）在平面直角坐标 xOy 中，（如图）正方形 OABC 的边长为 4，边 OA 在 x 轴 的正半轴上，边 OC 在 y 轴的正半轴上，点 D 是 OC 的中点，BE⊥DB 交 x 轴于点 E. ⑴求经过点 D、B、E 的抛物线的解析式； ⑵将∠DBE 绕点 B 旋转一定的角度后，边 BE 交线段 OA 于点 F，边 BD 交 y 轴于点 G，交 ⑴中的抛 物线于 M（不与点 B 重合），如果点 M 的横坐标为 5 12 ，那么结论 OF= 2 1 DG 能成立吗？请说明 理由. ⑶过⑵中的点 F 的直线交射线 CB 于点 P，交⑴中的抛物线在第一象限的部分于点 Q，且 使△PFE 为等腰三角形，求 Q 点的坐标. 13. （辽宁）（1）如图，在△ABC 和△ADE 中，AB=AC，AD=AE，∠BAC=∠DAE=90°． ①当点 D 在 AC 上时，如图 1，线段 BD、CE 有怎样的数量关系和位置关系？直接写出你猜想 的结论； ②将图 1 中的△ADE 绕点 A 顺时针旋转α角（0°＜α＜90°），如图 2，线段 BD、CE 有怎样 的数量关系和位置关系？请说明理由． （2）当△ABC 和△ADE 满足下面甲、乙、丙中的哪个条件时，使线段 BD、CE 在（1）中的 位置关系仍然成立？不必说明理由． 甲：AB：AC=AD：AE=1，∠BAC=∠DAE≠90°； 乙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE=90°； 丙：AB：AC=AD：AE≠1，∠BAC=∠DAE≠90°． 14. （辽宁本溪）已知，在△ABC 中，AB=AC。过 A 点的直线 a 从与边 AC 重合的位置开始绕 点 A 按顺时针方向旋转角 ，直线 a 交 BC 边于点 P（点 P 不与点 B、点 C 重合），△BMN 的 边 MN 始终在直线 a 上（点 M 在点 N 的上方），且 BM=BN，连接 CN。 （1）当∠BAC=∠MBN=90°时， ①如图 a，当 =45°时，∠ANC 的度数为_______； ②如图 b，当 ≠45°时，①中的结论是否发生变化？说明理由； （2）如图 c，当∠BAC=∠MBN≠90°时，请直接写出∠ANC 与∠BAC 之间的数量关系，不必 证明。 16、（襄阳）如图 1，点 A 是线段 BC 上一点，△ABD 和△ACE 都是等边三角形． （1）连结 BE，CD，求证：BE=CD； （2）如图 2，将△ABD 绕点 A 顺时针旋转得到△AB′D′． ①当旋转角为 60 度时，边 AD′落在 AE 上； ②在①的条件下，延长 DD’交 CE 于点 P，连接 BD′，CD′．当线段 AB、AC 满足什么数量 关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明． 15.（山东德州） 已知正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EF⊥BD 交 BC 于 F，连接 DF，G 为 DF 中点，连接 EG，CG． （1）求证：EG=CG； （2）将图①中△BEF 绕 B 点逆时针旋转 45º，如图②所示，取 DF 中点 G，连接 EG，CG．问 （1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． （3）将图①中△BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图③所示，再连接相应的线段，问（1） 中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明） 17. （鸡西）如图 1，在正方形 ABCD 中，点 M、N 分别在 AD、CD 上，若∠MBN=45°，易证 MN=AM+CN （1）如图 2，在梯形 ABCD 中，BC∥AD，AB=BC=CD，点 M、N 分别在 AD、CD 上，若∠MBN= 1 2 ∠ABC， 试探究线段 MN、AM、CN 有怎样的数量关系？请写出猜想，并给予证明． （2）如图 3，在四边形 ABCD 中，AB=BC，∠ABC+∠ADC=180°，点 M、N 分别在 DA、CD 的延 长线上，若∠MBN= 1 2 ∠ABC，试探究线段 MN、AM、CN 又有怎样的数量关系？请直接写出猜 想，不需证明． 1、【分析】因为旋转过程中这个三角板扫过的图形的面积分为三部分扇形 ACA1、BCD 和△ACD FB A D C E G 第 15 题图① D F B A D C E G 第 15 题图② F B A C E 第 15 题图③ 计算即可： 在△ABC 中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，AB=2，∴BC= 1 2 AB=1，∠B=90°－∠BAC=60°。 ∴ 2 2AC AB BC 3   。 ∴ ABC 1 3S BC AC2 2     。设点 B 扫过的路线与 AB 的交点为 D，连接 CD，∵BC=DC，∴△BCD 是等边三角形。∴BD=CD=1。 ∴点 D 是 AB 的中点。∴ ACD ABC 1 1 3 3S S2 2 2 4     S。 ∴ 1 ACDACA BCDABC S S S    扇形 扇形的面扫过 积 2 290 3 60 1 3 3 3 11 3 360 360 4 4 6 4 12 4               （ ） 故选 D。 2【分析】∵正△ABC，∴AB=CB，∠ABC=600。 ∵线段 BO 以点 B 为旋转中心逆时针旋转 60°得到线段 BO′，∴BO=BO′， ∠O′AO=600。 ∴∠O′BA=600－∠ABO=∠OBA。∴△BO′A≌△BOC。∴△ BO′A 可以由△BOC 绕点 B 逆时针 旋转 60°得到。故结论①正确。 连接 OO′，∵BO=BO′，∠O′AO=600，∴△OBO′是等边三角形。∴OO′=OB=4。 故结论②正确。 ∵在△AOO′中，三边长为 O′A=OC=5，OO′=OB=4，OA=3，是一组勾股数， ∴△AOO′是直角三角形。∴∠AOB=∠AOO′＋∠O′OB =900＋600=150°。故结论 ③正确。 AOO OBOAOBO 1 1S S S 3 4+ 4 2 3 6+4 32 2           四 形边 。故结论④错 误。 如图所示，将△AOB 绕点 A 逆时针旋转 60°，使得 AB 与 AC 重合， 点 O 旋转至 O″点．易知△AOO″是边长为 3 的等边三角形，△COO″是边长为 3、 4、5 直角三角形。 则 AOC AOB AOCO COO AOO 1 1 3 3 9 3S S S S S 3 4+ 3 =6+2 2 2 4               。 故结论⑤正确。综上所述，正确的结论为：①②③⑤。故选 A。 3 、 【 分 析 】 如 图 ， 连 接 AP ， ∵BP 绕 点 B 顺 时 针 旋 转 90° 到 BP′ ， ∴BP=BP′ ， ∠ABP+∠ABP′=90°。 又∵△ABC 是等腰直角三角形，∴AB=BC，∠CBP′+∠ABP′=90°，∴∠ABP=∠CBP′。 在△ABP 和△CBP′中，∵ BP=BP′，∠ABP=∠CBP′，AB=BC ，∴△ABP≌△CBP′（SAS）。 ∴AP=P′C。∵P′A：P′C=1：3，∴AP=3P′A。 连接 PP′，则△PBP′是等腰直角三角形。∴∠BP′P=45°，PP′= 2 PB。 ∵∠AP′B=135°，∴∠AP′P=135°-45°=90°，∴△APP′是直角三角形。设 P′A=x，则 AP=3x， 在 Rt△APP′中，  22 2 2PP AP P A 3x x 2 2 x       。在 Rt△APP′中，PP 2PB  。 ∴ 2PB=2 2 x ，解得 PB=2x。∴P′A：PB=x：2x=1：2。 故选 B。 4【分析】过点 E 作 EF⊥AF，交 AB 的延长线于点 F，则∠F=90°， ∵四边形 ABCD 为正方形，∴AD=AB，∠A=∠ABC=90°。∴∠ADP+∠APD=90°。 由旋转可得：PD=PE，∠DPE=90°，∴∠APD+∠EPF=90°。 ∴∠ADP=∠EPF。在△APD 和△FEP 中，∵∠ADP=∠EPF，∠A=∠F，PD=PE， ∴△APD≌△FEP（AAS）。∴AP=EF，AD=PF。 又∵AD=AB，∴PF=AB，即 AP+PB=PB+BF。∴AP=BF。∴BF=EF 又∵∠F=90°，∴△BEF 为等腰直角三角形。∴∠EBF=45°。 又∵∠CBF=90°，∴∠CBE=45°。故选 C。【答案】C。 5【分析】该圆运动可分为两部分：在三角形的三边运动以及绕过三角形的三个角，分别计 算即可得到圆的自传周数：⊙O 在三边运动时自转周数：6π÷2π =3：⊙O 绕过三角形外角 时，共自转了三角形外角和的度数：360°，即一周。∴⊙O 自转了 3+1=4 周。故选 C。 6【分析】如图，将△ADC 旋转至△ABE 处，则△AEC 的面积和四边形 ABCD 的面积一样多为 24cm2，,这时三角形△AEC 为等腰直角三角形， 作边 EC 上的高 AF，则 AF= 1 2 EC=FC, ∴ S△AEC= 1 2 AF·EC=AF2=24 。 ∴AF2=24。∴AC2=2AF2=48 AC=4 3 。 7【分析】正三角形 AEF 可以在正方形的内部也可以在正方形的外部，所以要分两种情况分 别求解： ①当正三角形 AEF 在正方形 ABCD 的内部时，如图 1， ∵正方形 ABCD 与正三角形 AEF 的顶点 A 重合，∴AB=AD，AE=AF。 ∵当 BE=DF 时，在△ABE 和△ADF 中，AB=AD，BE=DF，AE=AF， ∴△ABE≌△ADF（SSS）。∴∠BAE=∠FAD。 ∵∠EAF=60°，∴∠BAE+∠FAD=30°。∴∠BAE=∠FAD=15°。 ②当正三角形 AEF 在正方形 ABCD 的外部，顺时针旋转小于 1800 时，如图 2， 同上可得△ABE≌△ADF（SSS）。∴∠BAE=∠FAD。∵∠EAF=60°，∴∠BAF=∠DAE。 ∵900＋600＋∠BAF＋∠DAE=3600，∴∠BAF=∠DAE=105°。 ∴∠BAE=∠FAD=165°。 ③当正三角形 AEF 在正方形 ABCD 的外部，顺时针旋转大于 1800 时，如图 3， 同上可得△ABE≌△ADF（SSS）。∴∠BAE=∠FAD。∵∠EAF=60°，∠BAE=90°， ∴90°＋∠DAE=60°＋∠DAE，这是不可能的。 ∴此时不存在 BE=DF 的情况。综上所述，在旋转过程中，当 BE=DF 时，∠BAE 的大小可以是 15°或 165°。 8【分析】∵△BCD 绕点 B 逆时针旋转 60°得到△BAE， ∴根据旋转前、后的图形全等的旋 转性质，得，CD= AE，BD=BE。∵△ABC 是等边三角形，BC=10，∴AC= BC=10。∴AE＋AD=AC=10。 又∵旋转角∠DBE=600，∴△DBE 是等边三角形。∴DE=BD=9。∴△AED 的 周长=DE＋AE＋AD=9＋10=19。 9【答案】解：（1）补全图形如下：∠CDB=30°。 （2）作线段 CQ 的延长线交射线 BM 于点 D，连接 PC，AD， ∵AB=BC，M 是 AC 的中点，∴BM⊥AC。∴AD=CD，AP=PC，PD=PD。 在△APD 与△CPD 中，∵AD=CD， PD=PD， PA=PC∴△APD≌△CPD（SSS）。 ∴AP=PC，∠ADB=∠CDB，∠PAD=∠PCD。 又∵PQ=PA，∴PQ=PC，∠ADC=2∠CDB，∠PQC=∠PCD=∠PAD。 ∴∠PAD+∠PQD=∠PQC+∠PQD=180° 。 ∴∠APQ+∠ADC=360° － （ ∠PAD+∠PQD ） =180°。∴∠ADC=180°－∠APQ=180°－2α，即 2∠CDB=180°－2α。 ∴∠CDB=90°－α。（3）45°＜α＜60°。 【分析】（1）利用图形旋转的性质以及等边三角形的判定得出△CMQ 是等边三角形， 即可得出答案：∵BA=BC，∠BAC=60°，M 是 AC 的中点，∴BM⊥AC，AM=AC。 ∵将线段 PA 绕点 P 顺时针旋转 2α得到线段 PQ，∴AM=MQ，∠AMQ=120°。 ∴CM=MQ， ∠CMQ=60°。∴△CMQ 是等边三角形。∴∠ACQ=60°。∴∠CDB=30°。 （2）首先由已知得出△APD≌△CPD，从而得出∠PAD+∠PQD=∠PQC+∠PQD=180°，即可求出。 （3）由（2）得出∠CDB=90°－α，且 PQ=QD，∴∠PAD=∠PCQ=∠PQC=2∠CDB=180°－2α。 ∵点 P 不与点 B，M 重合，∴∠BAD＞∠PAD＞∠MAD。∴2α＞180°－2α＞α，∴45°＜α ＜60°。 10【答案】解：（1）∵四边形 ABCD 是矩形，点 B 的坐标为（m，1）（m＞0），∴A（m，0），C （0，1）。 ∵矩形 OA′B′C′由矩形 OABC 旋转 90°而成，∴A′（0，m），C′（－ 1，0）。（2）设过点 A、A′、C′的抛物线解析式为 y=ax2＋bx＋c，∵A（m，0）， A′（0，m），C′（－1，0）， ∴ 2 am bm c 0 c m a b c 0           ，解得 a 1 b m 1 c m        。∴此抛物线的解析式为：y=－x2＋（m－1）x＋m。 （3）∵点 B 与点 D 关于原点对称，B（m，1），∴点 D 的坐标为：（－m，－1）， 假设点 D（－m，－1）在（2）中的抛物线上，∴0=－（－m）2＋（m－1）×（－m）＋m=1， 即 2m2－2m＋1=0， ∵△=（－2）2－4×2×2=－4＜0，∴此方程无解。∴点 D 不在（2）中的抛物线上。 【分析】（1）先根据四边形 ABCD 是矩形，点 B 的坐标为（m，1）（m＞0），求出点 A、C 的坐 标，再根据图形旋转的性质求出 A′、C′的坐标即可。 （2）设过点 A、A′、C′的抛物线解析式为 y=ax2+bx+c，把 A、A′、C′三点的 坐标代入即可得出 abc 的值，进而得出其抛物线的解析式。 （3）根据关于原点对称的点的坐标特点用 m 表示出 D 点坐标，把 D 点坐标代入抛物 线的解析式看是否符合即可。 11【答案】证明：（1）∵△BE’A 是△BEC 按逆时针方向旋转∠ABC 得到， ∴BE’=BE，∠E’BA=∠EBC。∵∠DBE= 1 2 ∠ABC，∴∠ABD＋∠EBC = 1 2 ∠ABC。 ∴∠ABD ＋ ∠E’BA = 1 2 ∠ABC ， 即 ∠E’BD= 1 2 ∠ABC 。 ∴∠E’BD=∠DBE 。 在 △E’BD 和 △EBD 中 ， ∵BE’=BE ， ∠E’BD=∠DBE，BD=BD，∴△E’BD≌△EBD（SAS）。∴DE’=DE。 （2）以点 B 为旋转中心，将△BEC 按逆时针方向旋转∠ABC=90°， 得到△BE’A（点 C 与点 A 重合，点 E 到点 E’处），连接 DE’ 由（1） 知 DE’=DE。由旋转的性质，知 E’A=EC，∠E’ AB=∠ECB。又∵BA=BC， ∠ABC=90°，∴∠BAC=∠ACB=45°。 ∴∠E’ AD=∠E’ AB＋∠BAC=90°。 在 Rt△DE’A 中，DE’2=AD2+E’A2，∴DE2=AD2+EC2。 【分析】（1）由旋转的性质易得 BE’=BE，∠E’BA=∠EBC，由已知∠DBE= 1 2 ∠ABC 经等量 代换可得 ∠E’BD=∠DBE，从而可由 SAS 得△E’BD≌△EBD，得到 DE’=DE。 （2）由（1）的启示，作如（1）的辅助图形，即可得到直角三角形 DE’A，根据勾股定理 即可证得结论。 12【答案】解：（1）∵BE⊥DB 交 x 轴于点 E，OABC 是正方形，∴∠DBC=EBA。 在△BCD 与△BAE 中，∵∠BCD=∠BAE=90°， BC=BA ，∠DBC=∠EBA ， ∴△BCD≌△BAE（ASA）。∴AE=CD。∵OABC 是正方形，OA=4，D 是 OC 的中点， ∴A（4，0），B（4，4），C（0，4），D（0，2），∴E（6，0）． 设过点 D（0，2），B（4，4），E（6，0）的抛物线解析式为 y=ax2+bx+c，则有： c 2 16a 4b c 4 36a 6b c 0          ，解得 5a 12 13b 6 c 2         。 ∴经过点 D、B、E 的抛物线的解析式为： 25 13y= x + x+212 6  。 （2）结论 OF= 1 2 DG 能成立．理由如下：由题意，当∠DBE 绕点 B 旋转一定的角度后，同理 可证得△BCG≌△BAF，∴AF=CG。∵xM=12 5 ，∴ 2 M M M 5 13 24y = x + x +2=12 6 5  。∴M（12 24 5 5 ， ）。 设直线 MB 的解析式为 yMB=kx+b，∵M（12 24 5 5 ， ），B（4，4）， ∴ 12 24k+b=5 5 4k+b=4   ，解得 1k= 2 b=6    。∴yMB= 1 2  x+6。∴G（0，6）。 ∴CG=2，DG=4。∴AF=CG=2，OF=OA﹣AF=2，F（2，0）。∵OF=2，DG=4，∴结论 OF= 1 2 DG 成立。 （3）如图，△PFE 为等腰三角形，可能有三种情况，分类讨论如下： ①若 PF=FE。∵FE=4，BC 与 OA 平行线之间距离为 4， ∴此时 P 点位于射线 CB 上。∵F（2，0），∴P（2，4）。 此时直线 FP⊥x 轴。来]∴xQ=2。∴ QQ 2 Q 5 13 14y = x + x +2=12 6 3  ， ∴Q1（2， 14 3 ）。②若 PF=PE。 如图所示，∵AF=AE=2，BA⊥FE，∴△BEF 为等腰三角形。 ∴此时点 P、Q 与点 B 重合。∴Q2（4，4）。 ③若 PE=EF。∵FE=4，BC 与 OA 平行线之间距离为 4，∴此时 P 点位于射线 CB 上。∵E（6， 0），∴P（6，4）。 设直线 yPF 的解析式为 yPF=kx+b，∵F（2，0），P（6，4），∴ 2k+b=0 6k+b=4    ，解得 k=1 b= 2    。∴yPF=x ﹣2。 ∵Q 点既在直线 PF 上，也在抛物线上，∴ 25 13x + x+2=x 212 6   ，化简得 5x2﹣14x﹣48=0， 解得 x1= 24 5 ，x2=﹣2（不合题意，舍去）。∴xQ=2。∴yQ=xQ﹣2= 24 142=5 5  。∴Q3（ 24 14 5 5 ， ）。 综上所述，Q 点的坐标为 Q1（2， 14 3 ）或 Q2（4，4）或 Q3（ 24 14 5 5 ， ）。 【分析】（1）由正方形的性质和△BCD≌△BAE 求得 E 点坐标，然后利用待定系数法求抛物 线解析式。 （2）求出 M 点坐标，然后利用待定系数法求直线 MB 的解析式，令 x=0，求得 G 点 坐标，从而得到线段 CG、DG 的长度；由△BCG≌△BAF，可得 AF=CG，从而求得 OF 的长度．比 较 OF 与 DG 的长度，它们满足 OF= 1 2 DG 的关系，所以结论成立；（3）分 PF=FE、PF=PE 和 PE=EF 三种情况，逐一讨论并求解。 13【答案】解：（1）①结论：BD=CE，BD⊥CE。②结论：BD=CE，BD⊥CE。理由如下： ∵∠BAC=∠DAE=90°，∴∠BAD－∠DAC=∠DAE－∠DAC，即∠BAD=∠CAE。 在 Rt△ABD 与 Rt△ACE 中，∵AB=AC，∠BAD=∠CAE ，AD=AE， ∴△ABD≌△ACE（SAS）。∴BD=CE。延长 BD 交 AC 于 F，交 CE 于 H。 在△ABF 与△HCF 中，∵∠ABF=∠HCF，∠AFB=∠HFC， ∴∠CHF=∠BAF=90°。∴BD⊥CE。 （2）结论：乙．AB：AC=AD：AE，∠BAC=∠DAE=90°。 【考点】全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，旋转的性质。 【分析】（1）①BD=CE，BD⊥CE。根据全等三角形的判定定理 SAS 推知 △ABD≌△ACE，然后由全等三角形的对应边相等证得 BD=CE、对应角相等 ∠ABF=∠ECA；然后在△ABD 和△CDF 中，由三角形内角和定理可以求得 ∠CFD=90°，即 BD⊥CF。 ②BD=CE，BD⊥CE。根据全等三角形的判定定理 SAS 推知△ABD≌△ACE，然后由全等三角形 的对应边相等证得 BD=CE、对应角相等∠ABF=∠ECA；作辅助线（延长 BD 交 AC 于 F，交 CE 于 H）BH 构建对顶角∠ABF=∠HCF，再根据三角形内角和定理证得∠BHC=90°。 （2）根据结论①、②的证明过程知，∠BAC=∠DFC（或∠FHC=90°）时，该结论成立了，所 以本条件中的∠BAC=∠DAE≠90°不合适。 14【答案】解：（1）①450。②不变。理由如下过 B、C 分别作 BD⊥AP 于点 D，CE⊥AP 于点 E。∵∠BAC =90°，∴∠BAD＋∠EAC=90°。∵BD⊥AP，∴∠ADB =90°。∴∠ABD ＋∠BAD=90°。∴∠ABD=∠EAC。又∵AB=AC，∠ADB =∠CEA=90°，∴△ADB≌△CEA （AAS）。∴AD=EC，BD=AE。∵BD 是等腰直角三角形 NBM 斜边上的高，∴BD=DN， ∠BND=45°。∴BN=BD=AE。∴DN－DE=AE－DE，即 NE=AD=EC。 ∵∠NEC =90°，∴∠ANC =45°。（3）∠ANC =90°－ 1 2 ∠BAC。 【分析】（1）①∵BM=BN，∠MBN=90°，∴∠BMN=∠BNM=45°。 又 ∵∠CAN=45° ， ∴∠BMN=∠CAN 。 又 ∵AB=AC ， AN=AN ， ∴△BMN≌△CAN （ SAS ）。 ∴∠ANC=∠BNM=45°。 ②过 B、C 分别作 BD⊥AP 于点 D，CE⊥AP 于点 E。通过证明△ADB≌△CEA 从而证明△CEN 是 等腰直角三角形即可。 （2）如图，由已知得： ∠θ=1800－2∠ABC－∠1（∵AB=AC） =1800－∠2－∠6－∠1（∵∠BAC=∠MBN，BM=BN） =（1800－∠2－∠1）－∠6 =∠3＋∠4＋∠5－∠6（三角形内角和定理） =∠6＋∠5－∠6=∠5（∠3＋∠4=∠ABC=∠6）。 ∴点 A、B、N、C 四点共圆。 ∴∠ANC =∠ABC ==90°－ 1 2 ∠BAC。 15 解：（1）证明：在 Rt△FCD 中， ∵G 为 DF 的 中 点 ， ∴ CG= 1 2 FD ． ………… 1 分 同 理 ， 在 Rt △ DEF 中 ， EG= 1 2 FD． ………………2 分 ∴ CG=EG ． …………………3 分 （ 2 ）（ 1 ） 中 结 论 仍 然 成 立 ， 即 EG=CG．…………………………4 分 证法一：连接 AG，过 G 点作 MN⊥AD 于 M，与 EF 的延长线交于 N 点．[来源:学#科#网 Z#X#X#K] 在△DAG 与△DCG 中， ∵ AD=CD，∠ADG=∠CDG，DG=DG， F B A D C E G M N N 图 ②（一） ∴ △DAG≌△DCG． ∴ AG=CG．………………………5 分 在△DMG 与△FNG 中， ∵ ∠DGM=∠FGN，FG=DG，∠MDG=∠NFG， ∴ △DMG≌△FNG． ∴ MG=NG 在矩形 AENM 中，AM=EN． ……………6 分 在 Rt△AMG 与 Rt△ENG 中，∵ AM=EN， MG=NG，∴ △AMG≌△ENG．∴ AG=EG． ∴ EG=CG． ……………………………8 分 证法二：延长 CG 至 M,使 MG=CG，连接 MF，ME，EC， ……………………4 分 在△DCG 与△FMG 中，∵FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG， ∴△DCG ≌△FMG．∴MF=CD，∠FMG＝∠DCG． ∴MF∥CD∥AB．………………………5 分∴ EF MF ． 在 Rt△MFE 与 Rt△CBE 中，∵ MF=CB，EF=BE，∴△MFE ≌△CBE． ∴ MEF CEB   ．…………………………………………………6 分 ∴∠MEC＝∠MEF＋∠FEC＝∠CEB＋∠CEF＝90°． …………7 分 ∴ △MEC 为直角三角形．∵ MG = CG，∴ EG= 2 1 MC． ∴ EG CG ．………………………………8 分 （3）（1）中的结论仍然成立， 即 EG=CG．其他的结论还有:EG⊥CG．……10 分 16、解 答： （1）证明：∵△ABD 和△ACE 都是等边三角形． ∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°， ∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE，即∠BAE=∠DAC， 在△BAE 和△DAC 中， ，∴△BAE≌△DAC（SAS），∴BE=CD； （2）解：①∵∠BAD=∠CAE=60°，∴∠DAE=180°﹣60°×2=60°，∵边 AD′落在 AE 上， ∴旋转角=∠DAE=60°； ②当 AC=2AB 时，△BDD′与△CPD′全等． 理由如下：由旋转可知，AB′与 AD 重合，∴AB=BD=DD′=AD′，∴四边形 ABDD′是菱 形， ∴∠ABD′=∠DBD′= ∠ABD= ×60°=30°，DP∥BC， ∵△ACE 是等边三角形，∴AC=AE，∠ACE=60°，∵AC=2AB，∴AE=2AD′， ∴∠PCD′=∠ACD′= ∠ACE= ×60°=30°，又∵DP∥BC， ∴∠ABD′=∠DBD′=∠BD′D=∠ACD′=∠PCD′=∠PD′C=30°， 在△BDD′与△CPD′中， F B A D C E 图③ G F B A D C E G M 图 ②（二） ，∴△BDD′≌△CPD′（ASA）． 故答案为：60． 17 解答：解：（1）MN=AM+CN． 理由如下： 如图，∵BC∥AD，AB=BC=CD， ∴梯形 ABCD 是等腰梯形， ∴∠A+∠BCD=180°， 把△ABM 绕点 B 顺时针旋转 90°到△CBM′，则△ABM≌△CBM′， ∴AM=CM′，BM=BM′，∠A=∠BCM′，∠ABM=∠M′BC， ∴∠BCM′+∠BCD=180°， ∴点 M′、C、M 三点共线， ∵∠MBN= 1 2 ∠ABC， ∴∠M′BN=∠M′BC+∠CBN=∠ABM+∠CBN=∠ABC-∠MBN= 1 2 ∠ABC， ∴∠MBN=∠M′BN， 在△BMN 和△BM′N 中，∵ BM BM MBN M BN BN BN        ， ∴△BMN≌△BM′N（SAS），∴MN=M′N， 又∵M′N=CM′+CN=AM+CN，∴MN=AM+CN； （2）MN=CN-AM． 理由如下：如图，作∠CBM′=∠ABM 交 CN 于点 M′， ∵∠ABC+∠ADC=180°， ∴∠BAD+∠C=360°-180°=180°， 又∵∠BAD+∠BAM=180°， ∴∠C=∠BAM， 在△ABM 和△CBM′中，∵ CBM ABM AB BC C BAM         ， ∴△ABM≌△CBM′（ASA）， ∴AM=CM′，BM=BM′，∵∠MBN= 1 2 ∠ABC， ∴∠M′BN=∠ABC-（∠ABN+∠CBM′）=∠ABC-（∠ABN+∠ABM）=∠ABC-∠MBN= 1 2 ∠ABC， ∴∠MBN=∠M′BN，在△MBN 和△M′BN ∵ BM BM MBN M BN BN BN        ， ∴△MBN≌△M′BN（SAS）， ∴MN=M′N， ∵M′N=CN-CM′=CN-AM， ∴MN=CN-AM． 点评：本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰梯形的两底角互补，利用旋 转变换作辅助线，构造出全等三角形，把 MN、AM、CN 通过等量转化到两个全等三角形的对 应边是解题的关键，本题灵活性较强，对同学们的能力要求较高． 概率（2） 一、考点分析 内容 要求 1、数据的收集、整理、描述与分析等统计的意义 Ⅰ 2、总体、个体、样本，全面调查及抽样抽查，频数、频率等概念 Ⅰ 3、利用扇形图、条形图、直方图及折线图进行数据整理 Ⅱ 4、理解概率的意义，会用列举法及频率求概率 Ⅱ 5、能利用统计与概率知识解决实际生活中的有关问题 Ⅱ 二、命题预测 概率是新课程标准下新增的一部分内容，从中考试题来看，概率在试题中占有一定的比 例，一般在 10—15 分左右，因此概率已成为近两年及今后中考命题的亮点和热点．矚慫润厲 钐瘗睞枥庑赖。 在中考命题时，关于概率的考题，多设置为现实生活中的情境问题，要求学生能分清现 实生活中的随机事件，并能利用画树状图及列表的方法计算一些简单事件发生的概率．因此 学生在复习时要多接触现实生活，多作实验，留心身边的每一件事，把实际问题与理论知识 结合到一块来考虑问题．预测 2011 年将进一步考查在具体情况中求简单事件发生的概率以 及运用概率的知识对一些现象作出合理的解释．聞創沟燴鐺險爱氇谴净。 一选择 1、以下说法合理的是（ ） A、小明在 10 次抛图钉的试验中发现 3 次钉尖朝上，由此他说钉尖朝上的概率是 30% B、抛掷一枚普通的正六面体骰子，出现 6 的概率是 1/6 的意思是每 6 次就有 1 次掷得 6 C、某彩票的中奖机会是 2%，那么如果买 100 张彩票一定会有 2 张中奖． D、在一次课堂进行的试验中，甲、乙两组同学估计硬币落地后，正面朝上的概率分别 为 0.48 和 0.51． 2、如果甲邀请乙玩一个同时抛掷两枚硬币的游戏，游戏的规则如下：同时抛出两个正 面，乙得 1 分；抛出其他结果，甲得 1 分. 谁先累积到 10 分，谁就获胜.你认为（填“甲” 或“乙”）获胜的可能性更大.残骛楼諍锩瀨濟溆塹籟。 例 8 用 6 个球（除颜色外没有区别）设计满足以下条件的游戏：摸到白球的概率为 1 2 ， 摸到红球的概率为 1 3 ，摸到黄球的概率为 1 6 ，则应设个白球，个红球，个黄球．酽锕极額閉镇 桧猪訣锥。 【考点要求】本题考查概率实验中小球数目的确定． 【思路点拔】因为一共有 6 个球，需满足条件：摸到白球的概率为 1 2 ，摸到红球的概 率为 1 3 ，摸到黄球的概率为 1 6 ，则白球有 6× 1 2 =3 个，红球有 6× 1 3 =2 个，黄球有 6× 1 6 =1 个．彈贸摄尔霁毙攬砖卤庑。 【答案】填 3，2，1． 【错解剖析】部分学生容易忽视总共是 6 个球，而只考虑三种颜色球之比为 3：2：1. 例 9 在中考体育达标跳绳项目测试中，1 分钟跳 160 次为达标，小华记录了她预测时 1 分钟跳的次数分别为 145，156，143，163，166，则他在该次预测中达标的概率是謀荞抟箧飆 鐸怼类蒋薔。 【考点要求】本题主要考查计算简单事件发生的概率． 【思路点拔】这个事件的所有可能出现的结果有 5 种，其中达标的结果有 2 种，所以他 达标的概率是 2 5 . 【答案】 2 5 【方法点拔】由预测的达标概率来估计中考达标原概率． 例 10 我市部分学生参加了 2005 年全国初中数学竞赛决赛，并取得优异成绩. 已知竞赛 成绩分数都是整数，试题满分为 140 分，参赛学生的成绩分数分布情况如下：厦礴恳蹒骈時盡 继價骚。 分数段 0－19 20－39 40－59 60－79 80－99 100－ 119 120－140 人 数 0 37 68 95 56 32 12 请根据以上信息解答下列问题： （1） 全市共有多少人参加本次数学竞赛决赛？最低分和最高分在什么分数范围？ （2） 经竞赛组委会评定，竞赛成绩在 60 分以上 (含 60 分)的考生均可获得不同等级的 奖励，求我市参加本次竞赛决赛考生的获奖比例；茕桢广鳓鯡选块网羈泪。 （3） 决赛成绩分数的中位数落在哪个分数段内？ （4） 上表还提供了其他信息，例如：“没获奖的人数为 105 人”等等. 请你再写出两 条此表提供的信息. 【考点要求】本题考查利用统计知识对所给数据进行分析，并解决相关问题． 【思路点拔】（1）全市共有 300 名学生参加本次竞赛决赛，最低分在 20－39 之间，最 高分在 120－140 之间鹅娅尽損鹌惨歷茏鴛賴。 （2） 本次决赛共有 195 人获奖，获奖率为 65％ . （3） 决赛成绩的中位数落在 60—79 分数段内. （4） 如“120 分以上有 12 人；60 至 79 分数段的人数最多；……”等. 【答案】（1）最低分在 20－39 之间，最高分在 120－140 之间； （2）获奖率为 65％； （3）60 至 79 分； （4）120 分以上有 12 人；60 至 79 分数段的人数最多． 【方法点拔】从问题出发，对表格中的数据进行分析，找出对解题有用的信息． 例 11 市体校准备挑选一名跳高运动员参加全市中学生运动会，对跳高运动队的甲、乙 两名运动员进行了 8 次选拔比赛．他们的成绩（单位：m）如下：籟丛妈羥为贍偾蛏练淨。 甲：1.70 1.65 1.68 1.69 1.72 1.73 1.68 1.67 乙：1.60 1.73 1.72 1.61 1.62 1.71 1.70 1.75 (1)甲、乙两名运动员的跳高平均成绩分别是多少？ (2)哪位运动员的成绩更为稳定？ (3)若预测，跳过 1.65m 就很可能获得冠军，该校为了获得冠军，可能选哪位运动员参 赛？若预测跳过 1.70m 才能得冠军呢？預頌圣鉉儐歲龈讶骅籴。 【考点要求】本题考查平均数、方差等知识，并能利用方差判断成绩的稳定性，从而帮 助作出决策的实际应用问题．渗釤呛俨匀谔鱉调硯錦。 【思路点拔】（1） 1.69 1.68x x 乙甲 （2） 2 0.0006s 甲 2 0.0035s 乙 2 2s s 乙甲 故甲稳定 （3）可能选甲参加，因为甲 8 次成绩都跳过 1.65m 而乙有 3 次低于 1.65m； 也可能选乙参加，因为甲仅 3 次超过 1.70m．（答案不唯一，言之有据即可） 【答案】（1） 1.69 1.68x x 乙甲 ； （2）甲稳定； （3）答案不唯一，言之有据即可 【方法点拔】回答第（3）问时，并无固定答案，从不同角度可做出不同回答． 例 12 如图所示，A、B 两个旅游点从 2002 年至 2006 年“五、一”的旅游人数变化情况 分别用实线和虚线表示．根据图中所示解答以下问题：铙誅卧泻噦圣骋贶頂廡。 （1）B 旅游点的旅游人数相对上一年，增长最快的是哪一年？ （2）求 A、B 两个旅游点从 2002 到 2006 年旅游人数的平均数和方差，并从平均数和 方差的角度，用一句话对这两个旅游点的情况进行评价；擁締凤袜备訊顎轮烂蔷。 （3）A 旅游点现在的门票价格为每人 80 元，为保护旅游点环境和游客的安全，A 旅游 点的最佳接待人数为 4 万人，为控制游客数量，A 旅游点决定提高门票价格．已知门票价格 x（元）与游客人数 y（万人）满足函数关系 5 100 xy   ．若要使 A 旅游点的游客人数不超 过 4 万人，则门票价格至少应提高多少？贓熱俣阃歲匱阊邺镓騷。 坛摶乡囂忏蒌鍥铃氈淚。 【考点要求】本题考查从折线图中获取信息，并结合信息加以评价，解决相关问题． (1)B 旅游点的旅游人数相对上一年增长最快的是 2005 年． (2) AX ＝ 5 54321  ＝3（万元）， BX ＝ 5 34233  ＝3（万元） 2 AS ＝ 5 1 [(-2) 2 ＋(-1) 2 ＋0 2 ＋1 2 ＋2 2 ]＝2， 2 BS ＝ 5 1 [0 2 ＋0 2 ＋(-1) 2 ＋1 2 ＋0 2 ]＝ 5 2 从 2002 至 2006 年，A、B 两个旅游点平均每年的旅游人数均为 3 万人，但 A 旅游点较 B 旅游点的旅游人数波动大．蜡變黲癟報伥铉锚鈰赘。 (3)由题意，得 ５－ 100 x ≤４ 解得 x≥100100-80＝20 【答案】（1）2005 年； （2）从 2002 至 2006 年，A、B 两个旅游点平均每年的旅游人数均为 3 万人，但 A 旅游 点较 B 旅游点的旅游人数波动大；買鲷鴯譖昙膚遙闫撷凄。 （3）至少要提高 20 元． 【方法点拔】完成第（3）问时要先确定票价与游客人数的函数关系，然后根据题目要 求列出不等式，求出相应的票价，再计算出票价提高多少．綾镝鯛駕櫬鹕踪韦辚 糴。 例 13 小红和小明在操场做游戏，他们先在地上画了半径分别 2ｍ和 3 ｍ的同心圆（如图 4-5），蒙上眼在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影小 红胜，否则小明胜，未掷入圈内不算，你来当裁判．驅踬髏彦浃绥譎饴憂锦。 （1）你认为游戏公平吗？为什么？ （2）游戏结束后，小明边走边想，“反过来，能否用频率估计概率的方 法，来估算非规则图形的面积呢？”．请你设计方案，解决这一问题．（要求 画出图形，说明设计步骤、原理，写出公式）猫虿驢绘燈鮒诛髅貺庑。 【考点要求】本题考查设计用频率估计概率的方法，来估算非规则图形 的面积的方案，即用概率知识进行方案设计．锹籁饗迳琐筆襖鸥娅薔。 【思路点拔】（1）不公平 图 4-5 2002 2003 2004 2005 2006 年 6 5 4 3 2 1 万人 A B 图 4-4 ∵P(阴)= 9 5 9 49   ，即小红胜率为 9 5 ，小明胜率为 9 4 ∴游戏对双方不公平 （2）能利用频率估计概率的实验方法估算非规则图形的面积． 设计方案：① 设计一个可测量面积的规则图形将非规则图形围起来 （如正方形，其面积为 S）．如图 4-6 所示；構氽頑黉碩饨荠龈话骛。 ② 往图形中掷点(如蒙上眼往图形中随意掷石子，掷在图外不作记录)． ③ 当掷点数充分大（如 1 万次），记录并统计结果，设掷入正方形内 m 次，其中 n 次掷图形内． ④ 设非规则图形的面积为 S＇，用频率估计概率，即频率 P＇（掷入非 规则图形内）=  m n 概率 P(掷入非规则图形内)= S S1 ，輒峄陽檉簖疖網儂號泶。 故  m n m SnSS S  1 1 【答案】（1）不公平； （2）能利用频率估计概率的实验方法估算非规则图形的面积． 【方法点拔】本题第（2）问的解决是在第（1）问的逆向思维基础上进行，只有正确 解决了第（1）问并能正逆理解才能有第（2）问的方案设计思路．尧侧閆繭絳闕绚勵蜆贅。 ● 难点突破方法总结 统计与概率问题中，中考考查以基础题主为，难题一般为实际运用，解题时应注意以下 几点． 1．提高运算技能，平均数、中位数、极差、方差、频率等数值都要定的数学运算得到， 而运算的结果将会影响到统计的预测．识饒鎂錕缢灩筧嚌俨淒。 2．提高阅读理解和识别图表的能力，统计问题的试题中，许多问题都是以社会热点为 背景，形式灵活多样，综合性较强，强调课内知识和课外活动相结合，调查分析和收集整理 相结合；凍鈹鋨劳臘锴痫婦胫籴。 3．注重在具体情境中体会概率的意义，理解概率对生活指导的现实作用； 4．加强统计与概率之间的关系，同时要避免将概率内容的学习变成数字运算的练习； 5．加强训练，能用规范的语言表述自己的观点． ●拓展演练 一、填空题 1．口袋中放有 3 只红球和 11 只黄球，这两种球除颜色外没有任何区别，随机从口袋中 任取一只球，取到黄球的概率是____．恥諤銪灭萦欢煬鞏鹜錦。 2． 一个口袋中有 4 个白球，1 个红球，7 个黄球．搅匀后随机从袋中摸出 1 个是白球 的概率是_________．鯊腎鑰诎褳鉀沩懼統庫。 3．2006 年 5 月份，某市市区一周空气质量报告中某项污染指数的数据是：31、35、31、 34、30、32、31，这组数据的中位数是__________.硕癘鄴颃诌攆檸攜驤蔹。 4．为了缓解旱情，我市发射增雨火箭，实施增雨作业． 在一场降雨中，某县测得 10 个面积相等区域的降雨量如下表：阌擻輳嬪諫迁择楨秘騖。 区域 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 降雨量(mm) 10 12 13 13 20 15 14 15 14 14 图 4-6 则该县这 10 个区域降雨量的众数为_______(mm)；平均降雨量为___________（mm）． 5．一个骰子，六个面上的数字分别为 1、2、3、3、4、5，投掷一次，向上的面出现数 字 3 的概率是_____．氬嚕躑竄贸恳彈瀘颔澩。 6．某校学生会在“暑假社会实践”活动中组织学生进行社会调查，并组织评委会对学 生写出的调查报告进行了评比．学生会随机抽取了部分评比后的调查报告进行统计，绘制了 统计图如下，请根据该图回答下列问题：釷鹆資贏車贖孙滅獅赘。 （1）学生会共抽取了______份调查报告； （2）若等第 A 为优秀，则优秀率为_____________ ； （3）学生会共收到调查报告 1000 份，请估计该校有多少份 调查报告的等第为 E ?7．有 100 张已编号的卡片（从 1 号到 100 号）从中任取 1 张，计算卡片是奇数的概率是_______，卡片号是 7 的倍数的概率是________．怂阐譜鯪迳導嘯畫長凉。 8．掷一枚正六面体的骰子，掷出的点数不大于 3 的概率是 _________． 二、选择题 9．在样本方差的计算式 S2= 10 1 (x1-20)2+(x2-20)2+…+(x10-20)2 中，数字 10 与 20 分别表示样本的( )谚辞調担鈧谄动禪泻類。 A．容量、方差 B．平均数、容量 C．容量、平均数 D．标准差、平均数 10．宾馆客房的标价影响住宿百分率．下表是某一宾馆在近几年旅游周统计的平均数据： 客房价(元) 160 140 120 100 住宿百分率 63.8％ 74.3％ 84.1％ 95％ 在旅游周，要使宾馆客房收入最大，客房标价应选( )． A．160 元 B．140 元 C．120 元 D．100 元 11．数学老师对小明在参加高考前的 5 次数学模拟考试进行统计分析，判断小明的数学 成绩是否稳定，于是老师需要知道小明这 5 次数学成绩的（ ）嘰觐詿缧铴嗫偽純铪锩。 A．平均数或中位数 B．方差或极差 C．众数或频率 D．频数或众数 12．国家实行一系列“三农”优惠 政策后，农民收入大幅度增加．某乡所 辖村庄去年年人均收入（单位：元）情 况如右表，该乡去年年人均收入的中位数是( )熒绐譏钲鏌觶鷹緇機库。 A．3700 元 B．3800 元 C．3850 元 D．3900 元 13．在一所有 1000 名学生的学校中随机调查了 100 人，其中有 85 人上学之前吃早餐， 在这所学校里随便问 1 人，上学之前吃过早餐的概率是（ ）鶼渍螻偉阅劍鲰腎邏蘞。 A．0.85 B．0.085 C．0.1 D．850 14．一布袋中有红球 8 个，白球 5 个和黑球 12 个，它们除颜色外没有其他区别，随机 地从袋中取出 1 球不是黑球的概率为（ ）纣忧蔣氳頑莶驅藥悯骛。 A． 8 25 B．1 5 C．12 25 D．13 25 颖刍莖蛺饽亿顿裊赔泷。 15．某商店举办有奖销售活动，购物满 100 元者发兑奖券一张，在 10000 张奖券中， 设特等奖 1 个，一等奖 10 个，二等奖 100 个，若某人购物满 100 元，那么他中一等奖的概 率是（ ）濫驂膽閉驟羥闈詔寢賻。 A． 1 100 B． 1 1000 C． 1 10000 D． 111 10000 銚銻縵哜鳗鸿锓謎諏涼。 年人均收入 3500 3700 3800 3900 4500 村庄个数 0 1 3 3 1 第 6 题图 16．如图所示的两个转盘分别被均匀地分成 5 个和 4 个扇形，每个扇形上都标有数字， 同时自由转动两个转盘，转盘停止后，指针都落在奇数上的概率是（ ） 挤貼綬电麥结鈺贖哓类。 A．2 5 B． 3 10 C． 3 20 D．1 5 赔荊紳谘侖驟辽輩袜錈。 17．军军的文具盒中有两支蜡笔，一支红色的、一支绿色的；三支水 彩笔，分别是黄色、黑色、红色，任意拿出一支蜡笔和一支水彩笔，正好 都是红色的概率为（ ）塤礙籟馐决穩賽釙冊庫。 A．5 6 B．1 3 C．1 5 D．1 6 裊樣祕廬廂颤谚鍘羋蔺。 18．甲、乙两位学生一起在玩抛掷两枚硬币的游戏，游戏规定：甲学生抛出两个正面得 1 分；乙学生抛出一正一反得 1 分．那么各抛掷 100 次后他们的得分情况大约应为（ ） 仓嫗盤紲嘱珑詁鍬齊驁。 A．甲→25 分，乙→25 分 B．甲→25 分，乙→50 分 C．甲→50 分，乙→25 分 D．甲→50 分，乙→50 分 三、解答题 19．某市举行一次少年滑冰比赛，各年龄组的参赛人数如下表所示： 年龄组 13 岁 14 岁 15 岁 16 岁 参赛人数 5 19 12 14 （1）求全体参赛选手年龄的众数、中位数； （2）小明说，他所在年龄组的参赛人数占全体参赛人数的 28%. 你认为小明是哪个年 龄组的选手?请说明理由.绽萬璉轆娛閬蛏鬮绾瀧。 20．小谢家买了一辆小轿车，小谢连续记录了七天每天行驶的路程． 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 第六天 第七天 路程(千米) 46 39 36 50 54 91 34 请你用统计初步的知识，解答下列问题：(1)小谢家小轿车每月(每月按 30 天计算)要行 驶多少千米?(2)若每行驶 100 千米需汽油 8 升，汽油每升 3．45 元．请你求出小谢家一年(一 年按 12 个月计算)的汽油费是多少元?骁顾燁鶚巯瀆蕪領鲡赙。 21．（连云港市 2005）今年“五一黄金周”期间，花果山风景区共接待游客约 22.5 万 人．为了了解该景区的服务水平，有关部门从这些游客中随机抽取 450 人进行调查，请他们 对景区的服务质量进行评分，评分结果的统计数据如下表：瑣钋濺暧惲锟缟馭篩凉。 档 次 第一档 第二档 第三档 第四档 第五档 分值 a（分） a≥90 80≤a<90 70≤a<80 60≤a<70 a<60 人 数 73 147 122 86 22 根据表中提供的信息，回答下列问题： A B （1）所有评分数据的中位数应在第几档内？ （2）若评分不低于 70 分为“满意”，试估计今年“五一黄金周”期间对花果山景区服 务“满意”的游客人数． 22．在青岛市政府举办的“迎奥运登山活动”中，参加崂山景区登山活动的市民约有 12000 人，为统计参加活动人员的年龄情况，我们从中随机抽取了 100 人的年龄作为样本， 进行数据处理，制成扇形统计图和条形统计图（部分）如下：鎦诗涇艳损楼紲鯗餳類。 （1）根据图①提供的信息补全图②； （2）参加崂山景区登山活动的 12000 余名市民中，哪个年龄段的人数最多？ （3）根据统计图提供的信息，谈谈自己的感想．（不超过 30 字） 23．袋中装有编号为 1、2、3 的三个形状大小相同的小球，从袋中随意摸出 1 球．并且 随意抛掷一个面上标有 1，2，3，4，5，6 各一数字的正方体均匀骰子．栉缏歐锄棗鈕种鵑瑶锬。 （1）如果摸出 1 号球和骰子朝上的数字为 1 则甲胜；如果摸出 2 号球和骰子朝上的数 字为 2，则乙胜．这个游戏对双方公平吗？辔烨棟剛殓攬瑤丽阄应。 （2）如果摸出的球编号为奇数和骰子朝上的数字为奇数则甲胜；如果摸出的球编号为 偶数和木块朝上的数字为偶数，则乙胜．这个游戏对双方公平吗？说明理由．峴扬斕滾澗辐滠 兴渙藺。 24．小明拿着一个罐子来找小华做游戏，罐子里有四个一样大小的玻璃球，两个黑色， 两个白色．小明说：“使劲摇晃罐子，使罐子中的小球位置打乱，等小球落定后，如果是黑 白相间地排列(如图所示)，就算甲方赢，否则就算乙方赢．”他问小华要当甲方还是乙方， 请你帮小华出主意，并说明理由．詩叁撻訥烬忧毀厉鋨骜。 专题四《统计与概率》 ●习题答案 一、填空题 1．11 14 （提示：实验中，我们关注的结果的次数是 11，所有等可能出现的结果的次数 是 14，故取到黄球的概率11 14 ）则鯤愜韋瘓賈晖园栋泷。 2．1 3 （提示：P（白球）= 4 4 1 4 1 7 12 3    ） 3．31（提示：将这组数据按从小到大排列为 30、31、31、31、32、34、35，则位于中 间位置的一个数为 31，即这组数据的中位数是 31）胀鏝彈奥秘孫戶孪钇賻。 4．14，14（提示：14 出现次数最多，平均降雨量是把各区域降雨量相加再除以 10） 5． 1 3 （提示：P（向上数字为 3）= 2 1 6 3  ） 6．50，0.16，40（提示：共抽查 8+20+15+5+2=50；优秀率为 8÷50=0.16；等第为 E 的 报告有 21000 4050   ）鳃躋峽祷紉诵帮废掃減。 7． 1 2 ， 7 50 （提示：1 到 100 中奇数有 50 个，P（卡片是奇数）= 50 1 100 2  ；7 的倍数 有 100÷714，所以 P（卡片号是 7 的倍数）= 14 7 100 50  ）稟虛嬪赈维哜妝扩踴粜。 8． 1 2 （提示：点数不大于 3 的数字有 1、2、3，所以 P（点数不大于 3）= 3 1 6 2  ） 二、选择题 9．C（提示：要熟悉样本方差计算公式的意义） 10．B（提示：应综合考虑客房价与住宿百分率两方面因素，要使两者乘积最大） 11．B（提示：反映数据稳定性的量是数据的方差或极差） 12．C（提示：表中共有 8 个数据，位于中间位置的两个的数分别为 3800、3900，故本 组数据的中位数为（3800+3900）÷2=3850）陽簍埡鲑罷規呜旧岿錟。 13．A（提示：100 人中吃早餐的概率 85÷100=0.85，可以代表 1000 名学生吃早餐的 概率） 14．D（提示：P（摸出的是黑球）= 12 12 8 5 12 25   ，所以 P（摸出的不是黑球）=1－ 12 25 = 13 25 ） 15．C（提示：共有 10000 张奖券，其中一等奖 10 个，购物 100 元，可得一张奖券， 故 P（中一等奖）= 1 10000 沩氣嘮戇苌鑿鑿槠谔應。 16．B（提示：P（A 指奇数）= 3 5 ，P（B 指奇数）= 2 1 4 2  ，所以 P（A、B 同时指奇数） = 3 5 × 1 2 = 3 10 ） 17．D（提示：P（两支红色水笔） 1 1 1 2 3 6    ） 18．B（提示：抛掷两枚硬币的所有可能是正正、正反、反正、反反．所以 P（甲抛出 两个正面）= 1 4 ，P（乙抛出一正一反）= 1 2 ，各抛 100 次后，甲得分 100× 1 4 =25（分），乙 得分 100× 1 2 =50（分））钡嵐縣緱虜荣产涛團蔺。 三、解答题 19．解：（1）众数是 14 岁，中位数是 15 岁； （2）（5+19+12+14）×28%=14（人） 所以小明是 16 岁年龄组的选手． 20．解：(1)由图知这七天中平均每天行驶的路程为 50(千米)． ∴每月行驶的路程为 30×50=l 500(千米)． 答：小谢家小轿车每月要行驶 1500 千米． (2)小谢一家一年的汽油费用是 4 968 元． 21．解:（1）所有评分数据的中位数应在第三档内. （2）根据题意，样本中不小于 70 的数据个数为 73+147+122=342， 所以，22.5 万游客中对花果山景区服务“满意”的游客人数约为 1.175.22450 342  （万）. 22．解：（1）略 （2）60－69 岁 （3）根据统计图提供的信息，谈谈自己的感想合理即可． 23．解：①公平因为获胜概率相同都等于 1 18 ； ②不公平；因为甲获胜概率为 3 1 ，乙获胜概率为 6 1 ． 24．解：小华当乙方．理由：设 A1 表示第一个黑球，A2 表示第二个黑球，B1 表示第一 个白球，B2 表示第二个白球．有 24 种可能结果(可以利用树状图或表格解释)，黑白相间排 列的有 8 种．因此，甲方赢的概率为 8 24 ＝1 3 ，乙方赢的概率为2 3 ，故小华当乙方 专题 10 四边形 一、选择题 1.（2017 浙江衢州第 8 题）如图，在直角坐标系中，点 A 在函数 )0(4  xxy 的图象上， AB⊥ x 轴于点 B，AB 的垂直平分线与 y 轴交于点 C，与函数 )0(4  xxy 的图象交于点 D。 连结 AC，CB，BD，DA，则四边形 ACBD 的面积等于（ ） A. 2 B. 32 C. 4 D. 34 2.（2017 浙江衢州第 9 题）如图，矩形纸片ABCD 中，AB=4，BC=6，将△ABC 沿 AC 折叠， 使点 B 落在点 E 处，CE 交 AD 于点 F，则 DF 的长等于（ ） A. 5 3 B. 3 5 C. 3 7 D. 4 5 [来源:学。科。网] 3.（2017 山东德州第 11 题）如图放置的两个正方形，大正方形 ABCD 边长为 a，小正方形 CEFG 边长为 b(a＞b),M 在边 BC 上，且 BM=b，连 AM，MF，MF 交 CG 于点 P，将 △ABM 绕点 A 旋转至△ADN，将△MEF 绕点 F 旋转至△NGF。给出以下五种结论： ∠MAD=∠AND；CP= 2 - bb a ；ΔABM≌ΔNGF；④S 四边形 AMFN=a2+b2；⑤A，M， P，D 四点共线 其中正确的个数是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 4.（2017 浙江宁波第 11 题）如图，四边形 ABCD 是边长为 6 的正方形，点 E 在边 AB 上， 4BE = ，过点 E 作 EF BC∥ ，分别交 BD ，CD 于G ，F 两点，若 M ，N 分别是 DG ，CE 的中点，则 MN 的长为( ) A.3 B. 2 3 C. 13 D.4 5.（2017 重庆 A 卷第 9 题）如图，矩形 ABCD 的边 AB=1，BE 平分∠ABC，交 AD 于点 E， 若点 E 是 AD 的中点，以点 B 为圆心，BE 为半径画弧，交 BC 于点 F，则图中阴影部分的面 积是（ ） A．2 4  B． 3 2 4  C．2 8  D． 3 2 8  6.（2017 广西贵港第 12 题）如图，在正方形 ABCD 中，O 是对角线 AC 与 BD 的交点， M 是 BC 边上的动点（点 M 不与 ,B C 重合）， ,CN DM CN 与 AB 交于点 N ，连接 , ,OM ON MN .下列五个结论：① CNB DMC   ；② CON DOM   ；③ OMN OAD   ；④ 2 2 2AN CM MN  ；⑤若 2AB  ，则 OMNS 的最小值是 1 2 ， 其中正确结论的个数是 （ ） A． 2 B．3 C. 4 D．5 7.（2017 贵州安顺第 7 题）如图，矩形纸片 ABCD 中，AD=4cm，把纸片沿直线 AC 折叠，点 B 落在 E 处，AE 交 DC 于点 O，若 AO=5cm，则 AB 的长为（ ） A．6cmB．7cmC．8cmD．9cm 8.（2017 湖南怀化第 9 题）如图，在矩形 ABCD 中， 对角线 AC ， BD 相交于点O ， 60AOB =∠ °， 6cmAC = ，则 AB 的长是( ) A.3cm B. 6cm C.10cm D.12cm 9.（2017 甘肃兰州第 8 题）如图，矩形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 D ， 30ADB =∠ °， 4AB = ，则 OC = ( ) A.5 B.4 C.3.5 D.3 10. （2017 甘肃兰州第 14 题）如图，在正方形 ABCD 和正方形 DEFG 中，点 G 在CD 上， 2DE = ，将正方形 DEFG 绕点 D 顺时针旋转 60°，得到正方形 ' ' 'DE F G ，此时点 'G 在 AC 上，连接 'CE ，则 ' 'CE CG+ = ( ) A. 2 6+ B. 3 1+ C. 3 2+ D. 3 6+ 11.（2017 贵州黔东南州第 8 题）如图，正方形 ABCD 中，E 为 AB 中点，FE⊥AB，AF=2AE， FC 交 BD 于 O，则∠DOC 的度数为（ ） A．60° B．67.5° C．75° D．54° 12.（2017 四川泸州第 7 题）下列命题是真命题的是（ ） A．四边都是相等的四边形是矩形 B．菱形的对角线相等 C．对角线互相垂直的平行四边形是正方形 D．对角线相等的平行四边形是矩形 13. （2017 四川泸州第 11 题）如图，在矩形 ABCD 中，点 E 是边 BC 的中点，AE⊥BD，垂 足为 F，则 tan∠BDE 的值是（ ） A． 2 4 B. 1 4 C. 1 3 D. 2 3 14.（2017 四川宜宾第 7 题）如图，在矩形 ABCD 中 BC=8，CD=6，将△ABE 沿 BE 折叠，使 点 A 恰好落在对角线 BD 上 F 处，则 DE 的长是（ ） A．3 B． 24 5 C．5 D． 89 16 15.（2017 浙江嘉兴第 9 题）一张矩形纸片 ABCD ，已知 3AB  ， 2AD  ，小明按所给 图步骤折叠纸片，则线段 DG 长为（ ） A． 2 B． 2 2 C．1 D． 2 二、填空题 1.（2017 浙江宁波第 18 题）如图，在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠A=60°，点 M 是 AD 边的中点，连接 MC，将菱形 ABCD 翻折，使点 A 落在线段 CM 上的点 E 处， 折痕交 AB 于点 N，则线段 EC 的长为 . 2.（2017 重庆 A 卷第 18 题）如图，正方形 ABCD 中，AD=4，点 E 是对角线 AC 上一点，连 接 DE，过点 E 作 EF⊥ED，交 AB 于点 F，连接 DF，交 AC 于点 G，将△EFG 沿 EF 翻折，得 到△EFM，连接 DM，交 EF 于点 N，若点 F 是 AB 的中点，则△EMN 的周长是 ． 3.（2017 贵州安顺第 17 题）如图所示，正方形 ABCD 的边长为 6，△ABE 是等边三 角形，点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD+PE 的和最小， 则这个最小值为 ． 4.（2017 湖北武汉第 13 题）如图，在 ABCD 中，∠D=100°，∠DAB 的平分线 AE 交 DC 于点 E，连接 BE，若 AE=AB，则∠EBC 的度数为 ． 5.（2017 湖南怀化第 13 题）如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC ，BD 相交于点O ， 点 E 是 AB 的中点， 5cmOE = ，则 AD 的长为 cm． 6. （2017 湖南怀化第 16 题） 如图，在菱形 ABCD 中， 120ABC =∠ °， 10cmAB = ，点 P 是这个菱形内部或边上的一点，若以 , ,P B C 为顶点的三角形是等腰三角形，则 P ， A ( P ， A 两点不重合)两点间的最短距离为 cm. 7.（2017 甘肃兰州第 19 题）在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 相交于点O ，要使 四边形 ABCD 是正方形，还需添加一组条件。下面给出了四组条件：① AB AD^ ，且 AB AD= ；② AB BD= ，且 AB BD^ ；③ OB OC= ，且OB OC^ ；④ AB AD= ，且 AC BD= ， 其中正确的序号是 . 8.（2017 四川宜宾第 11 题）如图，在菱形 ABCD 中，若 AC=6，BD=8，则菱形 ABCD 的面积是 ． 9.（2017 四川自贡第 18 题）如图，13 个边长为 1 的小正方形，排列形式如图，把它们分 割，使分割后能拼成一个大正方形．请在如图所示的网格中（网格的边长为 1）中，用直尺 作出这个大正方形． 10.（2017 新疆建设兵团第 14 题）如图，在边长为 6cm 的正方形 ABCD 中，点 E、F、G、 H 分别从点 A、B、C、D 同时出发，均以 1cm/s 的速度向点 B、C、D、A 匀速运动，当点 E 到达点 B 时，四个点同时停止运动，在运动过程中，当运动时间为 s 时，四边形 EFGH 的面积最小，其最小值是 cm2． 11. （2017 新疆建设兵团第 15 题）如图，在四边形 ABCD 中，AB=AD，CB=CD，对角线 AC， BD 相交于点 O，下列结论中： ①∠ABC=∠ADC； ②AC 与 BD 相互平分； ③AC，BD 分别平分四边形 ABCD 的两组对角； ④四边形 ABCD 的面积 S= 1 2 AC•BD． 正确的是 （填写所有正确结论的序号） 12.（2017 江苏徐州第 17 题）如图，矩形 ABCD 中， 4, 3AB AD  ，点Q 在对角线 AC 上，且 AQ AD ，连接 DQ 并延长，与边 BC 交于点 P ，则线段 AP  ． 13.（2017 浙江嘉兴第 15 题）如图，把 n 个边长为 1 的正方形拼接成一排，求得 1tan 1BAC  ， 2 1tan 3BA C  ， 3 1tan 7BA C  ，计算 4tan BA C  ，…… 按此规律，写出 tan nBA C  （用含 n 的代数式表示）． 三、解答题 1（2017 浙江衢州第 24 题）在直角坐标系中，过原点 O 及点 A（8，0），C（0，6）作矩形 OABC，连结 OB，D 为 OB 的中点。点 E 是线段 AB 上的动点，连结 DE，作 DF⊥DE，交 OA 于点 F，连结 EF。已知点 E 从 A 点出发，以每秒 1 个单位长度的速度在线段 AB 上移动，设 移动时间为 t 秒。 （1）如图 1，当 t=3 时，求 DF 的长；[来源:学§科§网] （2）如图 2，当点 E 在线段 AB 上移动的过程中，∠DEF 的大小是否发生变化？如果变化， 请说明理由；如果不变，请求出 tan∠DEF 的值； （3）连结 AD，当 AD 将△DEF 分成的两部分面积之比为 1:2 时，求相应 t 的值。 2.（2017 山东德州第 23 题）如图 1，在矩形纸片 ABCD 中，AB=3cm，AD=5cm，折叠纸片 使 B 点落在边 AD 上的 E 处，折痕为 PQ.过点 E 作 EF∥AB 交 PQ 于 F，连接 BF, (1)求证：四边形 BFEP 为菱形； （2）当 E 在 AD 边上移动时，折痕的端点 P，Q 也随着移动. ①当点 Q 与点 C 重合时，（如图 2），求菱形 BFEP 的边长； ②如限定 P，Q 分别在 BA，BC 上移动，求出点 E 在边 AD 上移动的最大距离. 3.（2017 浙江宁波第 24 题）在一次课题学习中，老师让同学们合作编题，某学习小组受赵 爽弦图的启发，编写了下面这道题，请你来解一解： 如图，将矩形 ABCD 的四边 BA 、CB 、DC 、AD 分别延长至 E 、F 、G 、H ，使得 AE CG= ， BF DH= ，连接 EF ， FG ， GH ， HE . (1) 求证：四边形 EFGH 为平行四边形； (2) 若矩形 ABCD 是边长为 1 的正方形，且 45FEB =∠ °， tan 2AEH =∠ ，求 AE 的长. 4.（2017 甘肃庆阳第 26 题）如图，矩形 ABCD 中，AB=6，BC=4，过对角线 BD 中点 O 的直 线分别交 AB，CD 边于点 E，F． （1）求证：四边形 BEDF 是平行四边形； （2）当四边形 BEDF 是菱形时，求 EF 的长． 5.（2017 广西吴江第 26 题）已知，在 Rt ABC 中， 90 , 4, 2,ACB AC BC D    是 AC 边上的一个动点，将 ABD 沿 BD 所在直线折叠，使点 A 落在点 P 处. （1）如图 1，若点 D 是 AC 中点，连接 PC . ①写出 ,BP BD 的长；②求证：四边形 BCPD 是平行四边形. （2）如图 2，若 BD AD ，过点 P 作 PH BC 交 BC 的延长线于点 H ，求 PH 的长. 6.（2017 贵州安顺第 21 题）如图，DB∥AC，且 DB= 1 2 AC，E 是 AC 的中点， （1）求证：BC=DE； （2）连接 AD、BE，若要使四边形 DBEA 是矩形，则给△ABC 添加什么条件，为 什么？ 7.（2017 湖北武汉第 23 题）已知四边形 ABCD 的一组对边 ,AD BC 的延长线相交于点 E ． （1）如图 1，若 90ABC ADC     ，求证 ED EA EC EB  ； （2）如图 2，若 120ABC   ， 3cos 5ADC  ， 5CD  ， 12AB  ， CDE 的面积为 6，求四边形 ABCD 的面积； （3）如图 3，另一组对边 ,AB DC 的延长线相交于点 F ，若 3cos cos 5ABC ADC    ， 5CD  ，CF ED n  ，直接写出 AD 的长（用含 n 的式子表示）． 8.（2017 湖南怀化第 19 题）如图，四边形 ABCD 是正方形， EBC△ 是等边三角形. (1)求证： ABE DCE△ ≌△ ； (2)求 AED∠ 的度数. 9.（2017 江苏无锡第 21 题）已知，如图，平行四边形 ABCD 中，E 是 BC 边的中点，连 DE 并延长交 AB 的延长线于点 F，求证：AB=BF． 10.（2017 江苏盐城第 22 题）如图，矩形 ABCD 中，∠ABD、∠CDB 的平分线 BE、DF 分别 交边 AD、BC 于点 E、F． （1）求证：四边形 BEDF 是平行四边形； （2）当∠ABE 为多少度时，四边形 BEDF 是菱形？请说明理由． 11.（2017 甘肃兰州第 26 题）如图，1，将一张矩形纸片 ABCD 沿着对角线 BD 向上折叠， 顶点 C 落到点 E 处， BE 交 AD 于点 F . (1)求证： BDF△ 是等腰三角形； (2)如图 2，过点 D 作 DG BE∥ ，交 BC 于点 G ，连结 FG 交 BD 于点O . ①判断四边形 BFDG 的形状，并说明理由； ②若 6AB = ， 8AD = ，求 FG 的长. 12.（2017 四川自贡第 21 题）如图，点 E，F 分别在菱形 ABCD 的边 DC，DA 上，且 CE=AF． 求证：∠ABF=∠CBE．学*科网 13.（2017 江苏徐州第 23 题）如图，在平行四边形 ABCD 中，点O 是边 BC 的中点，连接 DO 并延长，交 AB 延长线于点 E 连接 ,BD EC . （1）求证：四边形 BECD 是平行四边形； （2）若 50A   ，则当 BOD   时，四边形 BECD 是矩形. 14.（2017 浙江嘉兴第 23 题）如图， AM 是 ABC 的中线， D 是线段 AM 上一点（不与 点 A 重合）． / /DE AB 交 AC 于点 F ， / /CE AM ，连结 AE ． （1）如图 1，当点 D 与 M 重合时，求证：四边形 ABDE 是平行四边形； （2）如图 2，当点 D 不与 M 重合时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由. （3）如图 3，延长 BD 交 AC 于点 H ，若 BH AC ，且 BH AM ． ①求 CAM 的度数；②当 3FH  ， 4DM  时，求 DH 的长． 高中阶段教育学校招生考试 数 学 试 卷 注意事项： 1．本试卷共 8 页，满分 150 分，考试时间 120 分钟． 2．答卷前将密封线内的项目填写清楚． 3．用蓝、黑墨水笔直接答在试题卷中． 4．解答题要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 一、选择题：每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意要求，请将符合要求的选 项的代号填入题后的括号内．(本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分) 1． 2 的倒数是（ ） A． 1 2  B．2 C． 2 D． 2 2．截止 2008 年 6 月 1 日 12 时，我国各级政府共投入四川汶川救灾资金达 22609000000 元， 这项资金用科学记数法表示为（ ） A． 92.2609 10 元 B． 102.2609 10 元 C． 112.2609 10 元 D． 112.2609 10 元 3．一位卖“运动鞋”的经销商到一所学校对 200 名学生的鞋号进行了抽样调查，经销商最 感兴趣的是这组鞋号的（ ） A． 中位数 B．平均数 C．众数 D．方差 4．下列图形中的曲线不表示 y 是 x 的函数的是（ ） 5．下列说法中，正确的是（ ） A．等腰梯形既是中心对称图形又是轴对称图形． B．平行四边形的邻边相等． C．矩形是轴对称图形且有四条对称轴． D．菱形的面积等于两条对角线长乘积的一半． 二、填空题：请把正确答案直接写在题后的横线上．（本大题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分） 6．计算： 36 ( 2 )x x   ． 7．若 5 33 mx y x y 与 是同类项，则 m  ． 8．如图 1，在⊙O 中，AB 为⊙O 的直径，弦 CD⊥AB，∠AOC=60º，则 ∠B= ． 9．在平面直角坐标系中，将直线 2 1y x  向上平移动 4 个单位长度后， 所得直线的解析式为 ． 10．如图 2，该圆锥的左视图是边长为 2cm 的等边三角形，则此圆锥的侧面积为 cm2． 11．如图 3，当输入 5x  时，输出的 y  ． 12．某初一 2 班举行“激情奥运”演讲比赛，共有甲、乙、丙三位选手，班主任让三位选手 抽签决定演讲先后顺序，从先到后恰好是甲、乙、丙的概率是 ． v x0 D v x0 A v x0 C y O B x O D C A B 图 1 自动 输出 y 输入 x 2x  2 5y x  图 2 图 3 2x  6 1y x   13．若分式 3 5 1 x x   无意义，当 5 1 03 2 2m x m x    时，则 m  ． 14．在同一坐标系中，一次函数 (1 ) 2 1y k x k    与反比 例函数 ky x  的图象没有交点，则常数 k 的取值范围 是 ． 15．如图 4，菱形 ABCD 中，∠BAD=60º ，M 是 AB 的中点，P 是对角线 AC 上的一个动点，若 PM+PB 的最小值是 3，则 AB 长为 ． 三、解答题（本大题共 3 个小题，第 16 小题 7 分，第 17、18 小题各 8 分，共 23 分） 16．计算： 2 313 ( ) |1 3 | 272       ． 17．先化简再求值： 24 4( )3 3 x xx x x     ，其中 5x  ． 18．“5．12”汶川地震发生后，某天广安先后有两批自愿者救援队分别乘客车和出租车沿相 同路线从广安赶往重灾区平武救援，下图 5 表示其行驶过程中路程随时间的变化图象． （1）根据图象，请分别写出客车和出租车行驶过程中路程与时间之间的函数关系式（不写 出自变量的取值范围）； （2）写出客车和出租车行驶的速度分别是多少？ （3）试求出出租车出发后多长时间赶上客车？ P B CA D M 图 4 1 2 3 4 5 （小时） 200 150 100 50 O y (千米) 出租车 客车 图 5 四、解答题（本大题共 2 小题，每小题 9 分，共 18 分） 19．如图 6 是华扬商场 5 月份销售 A、B、C、D 四种品牌的空调机销售统计图． （1）哪种品牌空调机销售量最多？其对应的扇形的圆心角为多少度？ （2）若该月 C 种品牌空调机的销售量为 100 台，那么其余三种品牌的空调机各销售多 少台？ （3）用条形图表示该月这四种空调机的销售情况． 20．如图 7， 在梯形 ABCD 中，AD∥BC，E 为 CD 中点，连接 AE 并延长 AE 交 BC 的延长线于点 F． （1）求证：CF=AD； （2）若 AD=2，AB=8，当 BC 为多少时，点 B 在线段 AF 的垂直平分线上，为什么？ 五、解答题（本大题共 3 个小题，每小题 9 分，共 27 分） 21．如图 8，某幼儿园为了加强安全管理，决定将园内的滑滑板的倾角由 45º降为 30º，已 知原滑滑板 AB 的长为 5 米，点 D、B、C 在同一水平地面上． （1）改善后滑滑板会加长多少？（精确到 0．01） （2）若滑滑板的正前方能有 3 米长的空地就能保证安全，原滑滑板的前方有 6 米长的空地， 像这样改造是否可行？说明理由 (参考数 据： 2 1.414, 3 1.732, 6 2.449   ) A 种 10% C 种 20% D 种 40% B 种 30% 图 6 品牌 台数 A E B C F D 图 7 操作 A CD B 30º 图 8 45º 22．在平面直角坐标系中，有 A（2，3）、B（3，2）两点． （1）请再添加一点 C，求出图象经过 A、B、C 三点的函数关系式． （2）反思第（1）小问，考虑有没有更简捷的解题策略？请说出你的理由． 23．“5．12”汶川特大地震灾害发生后，社会各界积极为灾区捐款捐物，某经销商在当月销 售的甲种啤酒尚有 2 万元货款未收到的情况下，先将销售甲种啤酒全部应收货款的 70% 捐给了灾区，后又将该月销售乙种啤酒所得的全部货款的 80%捐给了灾区．已知该月销 售甲、乙两种啤酒共 5000 件，甲种啤酒每件售价为 50 元，乙种啤酒每件售价为 35 元， 设该月销售甲种啤酒 x 件，共捐助救灾款 y 元． （1）该经销商先捐款 元，后捐款 元．（用含 x 的式子表示） （2）写出 y 与 x 的函数关系式，并求出自变量 x 的取值范围． （3）该经销商两次至少共捐助多少元？ 六、解答题（本大题满分 10 分） 24．如图 9，AB 为⊙O 的直径，OE 交弦 AC 于点 P，交 于点 M，且 = ， （1）求证： 1 2OP BC ； （2）如果 2 ,AE EP EO  且 6 5, 6AE BC  ，求⊙O 的半径． 七、解答题（本大题满分 12 分） 25．如图 10，已知抛物线 2y x bx c   经过点（1，-5）和（-2，4） （1）求这条抛物线的解析式． （2）设此抛物线与直线 y x 相交于点 A，B（点 B 在点 A 的右侧），平行于 y 轴的直线  0 5 1x m m    与抛物线交于点 M，与直线 y x 交于点 N，交 x 轴于点 P，求 线段 MN 的长（用含 m 的代数式表示）． A P O C B 图 9 M E （3）在条件（2）的情况下，连接 OM、BM，是否存在 m 的值，使△BOM 的面积 S 最大？ 若存在，请求出 m 的值，若不存在，请说明理由． 4．解答题要写出必要鲤貉惕者兽鼓洪凳砷照秉横扮恕补桅折乓眺捅昌饮呻杏裔溯署蒙侵您橱绕硬罗观豌辫 忙唇驳债睹骗咯氮窄篱钞舅乘蒋挤铸洒饺蓟幕傍胃宴厦沫守缓柿诉纲与痒镭磐弯线拳伟楷瓤庶时泼死湖洼谗赖仇逊箍 申舰庄孟种濒睁掂茎硬告篆氢驼骋荒忱津言坑验卑潜滋城秒饯呆铣阑六朗贿腺坪鸯事剿填湃谭绵蔽宝顾曹氮歹咀峪颗 造漆叠宿伏绳遣洛离涉精复手故抄折笨监戳兢咀哗篆镊淋定惠绊锹爸透匹保止译骚霖倦勋褂崩疤烛寂恍叉茧滑岸产豆 陛转摄憾姿滴那公朝套置挑洼桓腺埠娟宦吗岗揣呢蕊后郁钓官监摘尽愧僚硫存掉煞摘迈熏货救旷庐辫觅谅枚俯犬舵桃 牺辊之登鸯刑绳稍栈崖阂录毋用汇 中考数学真题试卷及答案 数 学 一、选择题（每小题只有一个选项符合题意要求，每小题 3 分，共 30 分） 1．（3 分）（2015•广安） 的倒数是（ ） A．5 B．﹣5 C． D．﹣ 考点：倒数． 分析：根据倒数的意义，乘积是 1 的两个数互为倒数，求一个数的倒数就是把这个数的分子 和分母调换位置．由此解答． 解答：解： 的倒数是 5． 故选 A． 点评：此题主要考查倒数的意义，关键是求一个数的倒数的方法． xO P N M B A y y=x x=m 图 10 2．（3 分）（2015•广安）在第三届中小学生运动会上，我市共有 1330 名学生参赛，创造了 比赛组别、人数、项目之最，将 1330 用科学记数法表示为（ ） A．133×10 B．1.33×103 C．133×104 D．133×105 考点：科学记数法—表示较大的数． 分析：科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当 原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 解答：解：1330 用科学记数法表示为 1.33×103． 故选 B． 点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 3．（3 分）（2015•广安）下列运算正确的是（ ） A．5a2+3a2=8a4 B．a3•a4=a12 C．（a+2b）2=a2+4b2 D．﹣ =﹣4 考点：完全平方公式；立方根；合并同类项；同底数幂的乘法． 分析：根据同类项、同底数幂的乘法、立方根和完全平方公式计算即可． 解答：解：A、5a2+3a2=8a2，错误； B、a3•a4=a7，错误； C、（a+2b）2=a2+4ab+4b2，错误； D、 ，正确； 故选 D． 点评：此题考查同类项、同底数幂的乘法、立方根和完全平方公式，关键是根据法则计算． 4．（3 分）（2015•广安）在市委、市府的领导下，全市人民齐心协力，将广安成功地创建为 “全国文明城市”，为此小红特制了一个正方体玩具，其展开图如图所示，原正方体中与 “文”字所在的面上标的字应是（ ） A．全 B．明 C．城 D．国 考点：专题：正方体相对两个面上的文字． 分析：正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 解答：解：由正方体的展开图特点可得：与“文”字所在的面上标的字应是“城”． 故选：C． 点评：此题考查了正方体相对两个面上的文字的知识；掌握常见类型展开图相对面上的两个 字的特点是解决本题的关键． 5．（3 分）（2015•广安）下列四个图形中，线段 BE 是△ABC 的高的是（ ） A． B． C． D． 考点：三角形的角平分线、中线和高． 分析：根据三角形高的画法知，过点 B 作 AC 边上的高，垂足为 E，其中线段 BE 是△ABC 的 高，再结合图形进行判断． 解答：解：线段 BE 是△ABC 的高的图是选项 D． 故选 D． 点评：本题主要考查了三角形的高，三角形的高是指从三角形的一个顶点向对边作垂线，连 接顶点与垂足之间的线段．熟记定义是解题的关键． 6．（3 分）（2015•广安）下列说法错误的是（ ） A．“伊利”纯牛奶消费者服务热线是 4008169999，该十个数的中位数为 7 B．服装店老板最关心的是卖出服装的众数 C．要了解全市初三近 4 万名学生 2015 年中考数学成绩情况，适宜采用全面调查 D．条形统计图能够显示每组中的具体数据，易于比较数据之间的差别 考点：中位数；全面调查与抽样调查；统计图的选择；众数．. 分析：根据中位数、众数、全面调查和条形统计图的概念解答即可． 解答：解：A、4008169999 的中位数是 7，正确； B、服装店老板最关心的是卖出服装的众数，正确； C、要了解全市初三近 4 万名学生 2015 年中考数学成绩情况，适宜采用抽样调查，错 误； D、条形统计图能够显示每组中的具体数据，易于比较数据之间的差别，正确； 故选 C． 点评：此题考查中位数、众数、全面调查和条形统计图，关键是根据他们的概念解答． 7．（3 分）（2015•广安）如图，数轴上表示的是某个函数自变量的取值范围，则这个函数解 析式为（ ） A．y=x+2 B．y=x2+2 C．y= D．y= 考点：函数自变量的取值范围；在数轴上表示不等式的解集．. 分析：分别求出个解析式的取值范围，对应数轴，即可解答． 解答：解：A、y=x+2，x 为任意实数，故错误； B、y=x2+2，x 为任意实数，故错误； C、 ，x﹣2≥0，即 x≥2，故正确； D、y= ，x+2≠0，即 x≠﹣2，故错误； 故选：C． 点评：本题考查了函数自变量的取值范围，解决本题的关键是函数自变量的范围一般从三个 方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 8．（3 分）（2015•广安）一个等腰三角形的两条边长分别是方程 x2﹣7x+10=0 的两根，则该 等腰三角形的周长是（ ） A．12 B．9 C．13 D．12 或 9 考点：解一元二次方程-因式分解法；三角形三边关系；等腰三角形的性质．. 分析：求出方程的解，即可得出三角形的边长，再求出即可． 解答：解：x2﹣7x+10=0， （x﹣2）（x﹣5）=0， x﹣2=0，x﹣5=0， x1=2，x2=5， ①等腰三角形的三边是 2，2，5 ∵2+2＜5， ∴不符合三角形三边关系定理，此时不符合题意； ②等腰三角形的三边是 2，5，5，此时符合三角形三边关系定理，三角形的周长是 2+5+5=12； 即等腰三角形的周长是 12． 故选：A． 点评：本题考查了等腰三角形性质、解一元二次方程、三角形三边关系定理的应用等知识， 关键是求出三角形的三边长． 9．（3 分）（2015•广安）某油箱容量为 60 L 的汽车，加满汽油后行驶了 100 Km 时，油箱中 的汽油大约消耗了 ，如果加满汽油后汽车行驶的路程为 x Km，邮箱中剩油量为 y L，则 y 与 x 之间的函数解析式和自变量取值范围分别是（ ） A．y=0.12x，x＞0 B．y=60﹣0.12x，x＞0 C．y=0.12x，0≤x≤500 D．y=60﹣0.12x，0≤x≤500 考点：根据实际问题列一次函数关系式． 分析：根据题意列出一次函数解析式，即可求得答案． 解答：解：因为油箱容量为 60 L 的汽车，加满汽油后行驶了 100 Km 时，油箱中的汽油大约 消耗了 ， 可得： L/km，60÷0.12=500（km）， 所以 y 与 x 之间的函数解析式和自变量取值范围是：y=60﹣0.12x，（0≤x≤500）， 故选 D． 点评：本题主要考查了一次函数的实际应用，解答一次函数的应用问题中，要注意自变量的 取值范围还必须使实际问题有意义，属于中档题． 10．（3 分）（2015•广安）如图，抛物线 y=ax2+bx+c（c≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3）， 且顶点在第四象限，设 P=a+b+c，则 P 的取值范围是（ ） A．﹣3＜P＜﹣1 B．﹣6＜P＜0 C．﹣3＜P＜0 D．﹣6＜P＜﹣3 考点：二次函数图象与系数的关系． 分析：利用二次函数图象的开口方向和对称轴求出 a＞0，b＜0，把 x=﹣1 代入求出 b=a﹣3， 把 x=1 代入得出 P=a+b+c=2a﹣6，求出 2a﹣6 的范围即可． 解答：解：∵抛物线 y=ax2+bx+c（c≠0）过点（﹣1，0）和点（0，﹣3）， ∴0=a﹣b+c，﹣3=c， ∴b=a﹣3， ∵当 x=1 时，y=ax2+bx+c=a+b+c， ∴P=a+b+c=a+a﹣3﹣3=2a﹣6， ∵顶点在第四象限，a＞0， ∴b=a﹣3＜0， ∴a＜3， ∴0＜a＜3， ∴﹣6＜2a﹣6＜0， 即﹣6＜P＜0． 故选：B． 点评：此题主要考查了二次函数图象的性质，根据图象过（﹣1，0）和点（0，﹣3）得出 a 与 b 的关系，以及当 x=1 时 a+b+c=P 是解决问题的关键． 二、填空题（每小题 3 分，共 18 分） 11．（3 分）（2015•广安）如果点 M（3，x）在第一象限，则 x 的取值范围是 x＞0 ． 考点：点的坐标． 分析：根据第一象限内点的横坐标大于零，点的纵坐标大于零，可得答案． 解答：解：由点 M（3，x）在第一象限，得 x＞0． 故答案为：x＞0． 点评：本题考查了点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号 特点分别是：第一象限（+，+）；第二象限（﹣，+）；第三象限（﹣，﹣）；第四象限 （+，﹣）． 12．（3 分）（2015•广安）如图，A、B、C 三点在⊙O 上，且∠AOB=70°，则∠C= 35 度． 考点：圆周角定理． 分析：由 A，B，C 三点在⊙O 上，且∠AOB=70°，根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的 圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得答案． 解答：解：∵∠AOB=70°， ∴∠C= ∠AOB=35°． 故答案为：35． 点评：此题考查了圆周角定理．此题比较简单，注意掌握数形结合思想的应用，解题的关键 是：熟记在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心 角的一半． 13．（3 分）（2015•广安）实数 a 在数轴的位置如图所示，则|a﹣1|= 1﹣a ． 考点：实数与数轴；绝对值． 分析：根据数轴上的点与实数的一一对应关系得到 a＜﹣1，然后利用绝对值的意义得到原式 =﹣（a﹣1），再去括号、合并即可． 解答：解：∵a＜﹣1， ∴a﹣1＜0， 原式=|a﹣1| =﹣（a﹣1） =﹣a+1 =1﹣a． 故答案为 1﹣a． 点评：本题考查了实数与数轴，解决本题的关键是明确绝对值的意义以及数轴上的点与实数 的一一对应关系． 14．（3 分）（2015•广安）不等式组 的所有整数解的积为 0 ． 考点：一元一次不等式组的整数解． 分析：先分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，在其公共解集内找出符合条件的 x 的所有整数解相乘即可求解． 解答： 解： ， 解不等式①得：x ， 解不等式②得：x≤50， ∴不等式组的整数解为﹣1，0，1…50， 所以所有整数解的积为 0， 故答案为：0． 点评：本题考查的是解一元一次不等式组及求一元一次不等式组的整数解，求不等式的公共 解，要遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 15．（3 分）（2015•广安）如图，已知 E、F、G、H 分别为菱形 ABCD 四边的中点，AB=6cm， ∠ABC=60°，则四边形 EFGH 的面积为 9 cm2． 考点：中点四边形；菱形的性质． 分析：连接 AC、BD，首先判定四边形 EFGH 的形状为矩形，然后根据菱形的性质求出 AC 与 BD 的值，进而求出矩形的长和宽，然后根据矩形的面积公式计算其面积即可． 解答：解：连接 AC，BD，相交于点 O，如图所示， ∵E、F、G、H 分别是菱形四边上的中点， ∴EH= BD=FG，EH∥BD∥FG， EF= AC=HG， ∴四边形 EHGF 是平行四边形， ∵菱形 ABCD 中，AC⊥BD， ∴EF⊥EH， ∴四边形 EFGH 是矩形， ∵四边形 ABCD 是菱形，∠ABC=60°， ∴∠ABO=30°， ∵AC⊥BD， ∴∠AOB=90°， ∴AO= AB=3， ∴AC=6， 在 Rt△AOB 中，由勾股定理得：OB= =3 ， ∴BD=6 ， ∵EH= BD，EF= AC， ∴EH=3 ，EF=3， ∴矩形 EFGH 的面积=EF•FG=9 cm2． 故答案为：9 ． 点评：本题考查了中点四边形和菱形的性质，解题的关键是判定四边形 EFGH 的形状为矩形． 16．（3 分）（2015•广安）如图，半径为 r 的⊙O 分别绕面积相等的等边三角形、正方形和圆 用相同速度匀速滚动一周，用时分别为 t1、t2、t3，则 t1、t2、t3 的大小关系为 t2＞t3＞ t1 ． 考点：轨迹． 分析：根据面积，可得相应的周长，根据有理数的大小比较，可得答案． 解答：解：设面积相等的等边三角形、正方形和圆的面积为 3.14， 等边三角型的边长为 a≈2， 等边三角形的周长为 6； 正方形的边长为 b≈1.7， 正方形的周长为 1.7×4=6.8； 圆的周长为 3.14×2×1=6.28， ∵6.8＞6.28＞6， ∴t2＞t3＞t1． 故答案为：t2＞t3＞t1． 点评：本题考查了轨迹，利用相等的面积求出相应的周长是解题关键． 三、解答题（本大题共 4 小题，17 题 5 分，18、19、20 题各 6 分，共 23 分） 17．（5 分）（2015•广安）计算：﹣14+（2﹣2 ）0+|﹣2015|﹣4cos60°． 考点：实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值． 分析：利用有理数的乘方以及特殊角的三角函数值以及零指数幂的性质分别化简求出即可． 解答：解：﹣14+（2﹣2 ）0+|﹣2015|﹣4cos60° =﹣1+1+2015﹣4× =2013． 点评：此题主要考查了实数运算，正确掌握相关性质是解题关键． 18．（6 分）（2015•广安）解方程： = ﹣1． 考点：解分式方程． 分析：观察可得方程最简公分母为：2x﹣4，将方程去分母转化为整式方程即可求解． 解答：解：化为整式方程得：2﹣2x=x﹣2x+4， 解得：x=﹣2， 把 x=﹣2 代入原分式方程中，等式两边相等， 经检验 x=﹣2 是分式方程的解． 点评：此题考查分式方程的解法，解分式方程去分母时有常数项的注意不要漏乘，求解后要 进行检验，这两项是都是容易忽略的地方，要注意检查． 19．（6 分）（2015•广安）在平行四边形 ABCD 中，将△BCD 沿 BD 翻折，使点 C 落在点 E 处， BE 和 AD 相交于点 O，求证：OA=OE． 考点：全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；翻折变换（折叠问题）． 专题：证明题． 分析：由在平行四边形 ABCD 中，将△BCD 沿 BD 对折，使点 C 落在 E 处，即可求得∠DBE=∠ADB， 得出 OB=OD，再由∠A=∠C，证明三角形全等，利用全等三角形的性质证明即可． 解答：证明：平行四边形 ABCD 中，将△BCD 沿 BD 对折，使点 C 落在 E 处， 可得∠DBE=∠ADB，∠A=∠C， ∴OB=OD， 在△AOB 和△EOD 中， ， ∴△AOB≌△EOD（AAS）， ∴OA=OE． 点评：此题考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定与性质以及折叠的性质．此题难度 不大，注意掌握折叠前后图形的对应关系，注意掌握数形结合思想的应用． 20．（6 分）（2015•广安）如图，一次函数的图象与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点，且与 反比例函数 y= （k≠0）的图象在第一象限交于点 C，如果点 B 的坐标为（0，2），OA=OB， B 是线段 AC 的中点． （1）求点 A 的坐标及一次函数解析式． （2）求点 C 的坐标及反比例函数的解析式． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题． 分析：（1）根据 OA=OB 和点 B 的坐标易得点 A 坐标，再将 A、B 两点坐标分别代入 y=kx+b， 可用待定系数法确定一次函数的解析式，； （2）由 B 是线段 AC 的中点，可得 C 点坐标，将 C 点坐标代入 y= （k≠0）可确定反 比例函数的解析式． 解答：解：（1）∵OA=OB，点 B 的坐标为（0，2）， ∴点 A（﹣2，0）， 点 A、B 在一次函数 y=kx+b（k≠0）的图象上， ∴ ， 解得 k=1，b=2， ∴一次函数的解析式为 y=x+2． （2）∵B 是线段 AC 的中点， ∴点 C 的坐标为（2，4）， 又∵点 C 在反比例函数 y= （k≠0）的图象上， ∴k=8； ∴反比例函数的解析式为 y= ． 点评：本题考查了用待定系数法求函数解析式，过某个点，这个点的坐标应适合这个函数解 析式． 四、实践应用（本大题共 4 个小题，21 题 6 分，22、23、24 题各 8 分，共 30 分） 21．（6 分）（2015•广安）“阳光体育”运动关乎每个学生未来的幸福生活，今年五月，我 市某校开展了以“阳光体育我是冠军”为主题的一分钟限时跳绳比赛，要求每个班选 2﹣3 名选手参赛，现将 80 名选手比赛成绩（单位：次/分钟）进行统计．绘制成频数分布直方图， 如图所示． （1）图中 a 值为 4 ． （2）将跳绳次数在 160～190 的选手依次记为 A1、A2、…An，从中随机抽取两名选手作经验 交流，请用树状或列表法求恰好抽取到的选手 A1 和 A2 的概率． 考点：列表法与树状图法；频数（率）分布直方图．. 分析：（1）观察直方图可得：a=80﹣8﹣40﹣28=4； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好抽取到 的选手 A1 和 A2 的情况，再利用概率公式即可求得答案． 解答：解：（1）根据题意得：a=80﹣8﹣40﹣28=4， 故答案为：4； （2）画树状图得： ∵共有 12 种等可能的结果，恰好抽取到的选手 A1 和 A2 的有 2 种情况， ∴恰好抽取到的选手 A1 和 A2 的概率为： = ． 点评：此题考查了列表法或树状图法求概率以及直方图的知识．用到的知识点为：概率=所 求情况数与总情况数之比． 22．（8 分）（2015•广安）为了贯彻落实市委市府提出的“精准扶贫”精神．某校特制定了 一系列关于帮扶 A、B 两贫困村的计划．现决定从某地运送 152 箱鱼苗到 A、B 两村养殖，若 用大小货车共 15 辆，则恰好能一次性运完这批鱼苗，已知这两种大小货车的载货能力分别 为 12 箱/辆和 8 箱/辆，其运往 A、B 两村的运费如下表： 目的地 车型 A 村（元/辆） B 村（元/辆） 大货车 800 900 小货车 400 600 （1）求这 15 辆车中大小货车各多少辆？ （2）现安排其中 10 辆货车前往 A 村，其余货车前往 B 村，设前往 A 村的大货车为 x 辆，前 往 A、B 两村总费用为 y 元，试求出 y 与 x 的函数解析式． （3）在（2）的条件下，若运往 A 村的鱼苗不少于 100 箱，请你写出使总费用最少的货车调 配方案，并求出最少费用． 考点：一次函数的应用． 分析：（1）设大货车用 x 辆，小货车用 y 辆，根据大、小两种货车共 15 辆，运输 152 箱鱼 苗，列方程组求解； （2）设前往 A 村的大货车为 x 辆，则前往 B 村的大货车为（8﹣x）辆，前往 A 村的 小货车为（10﹣x）辆，前往 B 村的小货车为[7﹣（10﹣x）]辆，根据表格所给运费， 求出 y 与 x 的函数关系式； （3）结合已知条件，求 x 的取值范围，由（2）的函数关系式求使总运费最少的货车 调配方案． 解答：解：（1）设大货车用 x 辆，小货车用 y 辆，根据题意得： 解得： ． ∴大货车用 8 辆，小货车用 7 辆． （2）y=800x+900（8﹣x）+400（10﹣x）+600[7﹣（10﹣x）]=100x+9400．（0≤x≤10， 且 x 为整数）． （3）由题意得：12x+8（10﹣x）≥100， 解得：x≥5， 又∵0≤x≤10， ∴5≤x≤10 且为整数， ∵y=100x+9400， k=100＞0，y 随 x 的增大而增大， ∴当 x=5 时，y 最小， 最小值为 y=100×5+9400=9900（元）． 答：使总运费最少的调配方案是：5 辆大货车、5 辆小货车前往 A 村；3 辆大货车、2 辆小货车前往 B 村．最少运费为 9900 元． 点评：本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用．关键是根据题意，得出安排各 地的大、小货车数与前往 B 村的大货车数 x 的关系． 23．（8 分）（2015•广安）数学活动课上，老师和学生一起去测量学校升旗台上旗杆 AB 的高 度，如图，老师测得升旗台前斜坡 FC 的坡比为 iFC=1：10（即 EF：CE=1：10），学生小明站 在离升旗台水平距离为 35m（即 CE=35m）处的 C 点，测得旗杆顶端 B 的仰角为α，已知 tanα= ，升旗台高 AF=1m，小明身高 CD=1.6m，请帮小明计算出旗杆 AB 的高度． 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题． 分析：首先根据题意分析图形，本题涉及到两个直角三角形，分别解可得 BG 与 EF 的大小， 进而求得 BE、AE 的大小，再利用 AB=BE﹣AE 可求出答案． 解答：解：作 DG⊥AE 于 G，则∠BDG=α， 易知四边形 DCEG 为矩形． ∴DG=CE=35m，EG=DC=1.6m 在直角三角形 BDG 中，BG=DG•×tanα=35× =15m， ∴BE=15+1.6=16.6m． ∵斜坡 FC 的坡比为 iFC=1：10，CE=35m， ∴EF=35× =3.5， ∵AF=1， ∴AE=AF+EF=1+3.5=4.5， ∴AB=BE﹣AE=16.6﹣4.5=12.1m． 答：旗杆 AB 的高度为 12.1m． 点评：本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形 利用三角函数解直角三角形． 24．（8 分）（2015•广安）手工课上，老师要求同学们将边长为 4cm 的正方形纸片恰好剪成 六个等腰直角三角形，聪明的你请在下列四个正方形中画出不同的剪裁线，并直接写出每种 不同分割后得到的最小等腰直角三角形面积（注：不同的分法，面积可以相等） 考点：作图—应用与设计作图． 分析：（1）正方形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点，连接 HE、EF、FG、 GH、HF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公 式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可． （2）正方形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、BC 的中点，O 是 AC、BD 的交点，连接 OE、OF， 即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出 分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可． （3）正方形 ABCD 中，F、H 分别是 BC、DA 的中点，O 是 AC、BD 的交点，连接 HF，即 可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形的面积公式，求出分 割后得到的最小等腰直角三角形面积即可． （4）正方形 ABCD 中，E、F 分别是 AB、BC 的中点，O 是 AC 的中点，I 是 AO 的中点， 连接 OE、OB、OF，即可把正方形纸片恰好剪成六个等腰直角三角形；然后根据三角形 的面积公式，求出分割后得到的最小等腰直角三角形面积即可． 解答：解：根据分析，可得 ． （1）第一种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEH、△BEF、△CFG、 △DHG， 每个最小的等腰直角三角形的面积是： （4÷2）×（4÷2）÷2 =2×2÷2 =2（cm2） （2）第二种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEO、△BEO、△BFO、 △CFO， 每个最小的等腰直角三角形的面积是： （4÷2）×（4÷2）÷2 =2×2÷2 =2（cm2） （3）第三种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AHO、△DHO、△BFO、 △CFO， 每个最小的等腰直角三角形的面积是： （4÷2）×（4÷2）÷2 =2×2÷2 =2（cm2） （4）第四种情况下，分割后得到的最小等腰直角三角形是△AEI、△OEI， 每个最小的等腰直角三角形的面积是： （4÷2）×（4÷2）÷2÷2 =2×2÷2÷2 =1（cm2）． 点评：（1）此题主要考查了作图﹣应用与设计作图问题，要熟练掌握，解答此题的关键是 结合正方形的性质和基本作图的方法作图． （2）此题还考查了三角形的面积的求法，要熟练掌握． 五、推理与论证（9 分） 25．（9 分）（2015•广安）如图，PB 为⊙O 的切线，B 为切点，过 B 作 OP 的垂线 BA，垂足为 C，交⊙O 于点 A，连接 PA、AO，并延长 AO 交⊙O 于点 E，与 PB 的延长线交于点 D． （1）求证：PA 是⊙O 的切线； （2）若 = ，且 OC=4，求 PA 的长和 tanD 的值． 考点：切线的判定与性质；相似三角形的判定与性质；解直角三角形． 分析：（1）连接 OB，先由等腰三角形的三线合一的性质可得：OP 是线段 AB 的垂直平分线， 进而可得：PA=PB，然后证明△PAO≌△PBO，进而可得∠PBO=∠PAO，然后根据切线的 性质可得∠PBO=90°，进而可得：∠PAO=90°，进而可证：PA 是⊙O 的切线； （2）连接 BE，由 = ，且 OC=4，可求 AC，OA 的值，然后根据射影定理可求 PC 的 值，从而可求 OP 的值，然后根据勾股定理可求 AP 的值；由 AC=BC，AO=OE，可得 OC 是△ABE 的中位线，进而可得 BE∥OP，BE=2OC=8，进而可证△DBE∽△DPO，进而可得： ，从而求出 BD 的值，进而即可求出 tanD 的值． 解答：（1）证明：连接 OB，则 OA=OB， ∵OP⊥AB， ∴AC=BC， ∴OP 是 AB 的垂直平分线， ∴PA=PB， 在△PAO 和△PBO 中， ∵ ， ∴△PAO≌△PBO（SSS） ∴∠PBO=∠PAO，PB=PA， ∵PB 为⊙O 的切线，B 为切点， ∴∠PBO=90°， ∴∠PAO=90°， 即 PA⊥OA， ∴PA 是⊙O 的切线； （2）连接 BE， ∵ = ，且 OC=4， ∴AC=6， ∴AB=12， 在 Rt△ACO 中， 由勾股定理得：AO= =2 ， ∴AE=2OA=4 ，OB=OA=2 ， 在 Rt△APO 中， ∵AC⊥OP， ∴AC2=OC•PC， 解得：PC=9， ∴OP=PC+OC=13， 在 Rt△APO 中，由勾股定理得：AP= =3 ， ∴PB=PA=3 ， ∵AC=BC，OA=OE， ∴OC= BE，OC∥BE， ∴BE=2OC=8，BE∥OP， ∴△DBE∽△DPO， ∴ ， 即 ， 解得：BD= ， 在 Rt△OBD 中， tanD= = = ． 点评：本题考查了切线的判定与性质以及相似三角形的判定和性质；能够通过作辅助线将所 求的角转移到相应的直角三角形中，是解答此题的关键．要证某线是圆的切线，对于 切线的判定：已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可． 六、拓展探究（10 分） 26．（10 分）（2015•广安）如图，边长为 1 的正方形 ABCD 一边 AD 在 x 负半轴上，直线 l： y= x+2 经过点 B（x，1）与 x 轴，y 轴分别交于点 H，F，抛物线 y=﹣x2+bx+c 顶点 E 在直线 l 上． （1）求 A，D 两点的坐标及抛物线经过 A，D 两点时的解析式； （2）当抛物线的顶点 E（m，n）在直线 l 上运动时，连接 EA，ED，试求△EAD 的面积 S 与 m 之间的函数解析式，并写出 m 的取值范围； （3）设抛物线与 y 轴交于 G 点，当抛物线顶点 E 在直线 l 上运动时，以 A，C，E，G 为顶点 的四边形能否成为平行四边形？若能，求出 E 点坐标；若不能，请说明理由． 考点：二次函数综合题． 分析：（1）通过直线 l 的解析式求得 B 的坐标，进而根据正方形的边长即可求得 A、D 的坐 标，然后利用待定系数法即可求得抛物线经过 A，D 两点时的解析式； （2）根据一次函数图象上点的坐标特征求得 E 的纵坐标为 m+2，然后根据三角形的 面积公式即可求得 S 与 m 之间的函数解析式； （3）根据平行四边形的性质得出 AC=EQ，AC∥EQ，易证得△EHQ≌△CDA，从而得出 E 的横坐标为﹣1，然后代入直线 l 的解析式即可求得 E 的坐标． 解答：解：（1）∵直线 l：y= x+2 经过点 B（x，1）， ∴1= x+2，解得 x=﹣2， ∴B（﹣2，1）， ∴A（﹣2，0），D（﹣3，0）， ∵抛物线经过 A，D 两点， ∴ ，解得 ， ∴抛物线经过 A，D 两点时的解析式为 y═﹣x2﹣5x﹣6； （2）∵顶点 E（m，n）在直线 l 上， ∴n= m+2， ∴S= ×1×（ m+2）= m+1， 即 S= m+1（m≠4）； （3）如图，若以 A，C，E，G 为顶点的四边形能成为平行四边形，则 AC=EQ，AC∥EQ， 作 EH∥y 轴交过 Q 点平行于 x 轴的直线相交于 H，则 EH⊥QH，△EHQ≌△CDA， ∴QH=AD=1， ∴E 的横坐标为±1， ∵顶点 E 在直线 l 上， ∴y= ×（﹣1）+2= ，或 y= ×1+2= ∴E（﹣1， ）或（1， ）． 点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的 判定与性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，抛物线上点的坐标特征，确 定 QH=AD=1 是解题的关键． 中考数学二模试卷 一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分） 1．给出四个数 0， ，1，﹣2，其中最大的数是（ ） A．0 B． C．1 D．﹣2 2．下列各数中，能使 有意义的是（ ） A．0 B．2 C．4 D．6 3．共享单车的投放使用为人们的工作和生活带来了极大的便利，不仅有效缓解了出行“最 后一公里”问题，而且经济环保，据相关部门 2018 年 11 月统计数据显示，郑州市互联网租 赁自行车累计投放超过 49 万辆，将 49 万用科学记数法表示正确的是（ ） A．4.9×104 B．4.9×105 C．0.49×104 D．49×104 4．如图，由五个完全相同的小正方体组合搭成一个几何体，把正方体 A 向右平移到正方体 P 前面，其“三视图”中发生变化的是（ ） A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．主视图和左视图 5．下列各式计算正确的是（ ） A．a3+2a2＝3a5 B．3 +4 ＝7 C．（a6）2÷（a4）3＝0 D．（a3）2 •a4＝a9 6．下列说法正确的是（ ） A．周长相等的两个三角形全等 B．面积相等的两个三角形全等 C．三个角对应相等的两个三角形全等 D．三条边对应相等的两个三角形全等 7．在下列函数中，其图象与 x 轴没有交点的是（ ） A．y＝2x B．y＝﹣3x+1 C．y＝x2 D．y＝ 8．某篮球运动员在连续 7 场比赛中的得分（单位：分）依次为 20，18，23，17，20，20， 18，则这组数据的众数与中位数分别是（ ） A．18 分，17 分 B．20 分，17 分 C．20 分，19 分 D．20 分，20 分 9．下列图形中，属于轴对称图形的是（ ） A． B． C． D． 10．关于抛物线 y＝ （x+2）2+3，下列说法正确的是（ ） A．对称轴是直线 x＝2，y 有最小值是 3 B．对称轴是直线 x＝﹣2，y 有最大值是 3 C．对称轴是直线 x＝2，y 有最大值是 3 D．对称轴是直线 x＝﹣2，y 有最小值是 3 二．填空题（共 4 小题，满分 16 分，每小题 4 分） 11．方程 ＝ 的解是 x＝ ． 12．如图，一组平行横格线，其相邻横格线间的距离都相等，已知点 A、B、C、D、O 都在 横格线上，且线段 AD，BC 交于点 O，则 AB：CD 等于 ． 13．关于 x 的一元二次方程 3x2﹣6x+m＝0 有两个不相等的实数根，则 m 的取值范围 是 ． 14．如图，▱ ABCD 中，AB＝2，BC＝3．以点 C 为圆心，适当长为半径画弧，交 BC 于点 P，交 CD 于点 Q，再分别以点 P、Q 为圆心，大于 PQ 的长为半径画弧，两弧相交于点 N， 射线 CN 交 BA 的延长线于点 E，则线段 AE 的长为 ． 三．解答题（共 6 小题，满分 54 分） 15．（6 分）计算： 16．（12 分）（1）计算：2﹣1+4cos60°﹣（ ﹣ π ）°；（2）解方程：x2+4x﹣1＝0． 17．（8 分）已知一个不透明的袋子中装有 7 个只有颜色不同的球，其中 2 个白球，5 个红 球． （1）求从袋中随机摸出一个球是红球的概率．（2）从袋中随机摸出一个球，记录颜色后放 回，摇匀，再随机摸出一个球，求两次摸出的球恰好颜色不同的概率．（3）若从袋中取出 若干个红球，换成相同数量的黄球．搅拌均匀后，使得随机从袋中摸出两个球，颜色是一白 一黄的概率为 ，求袋中有几个红球被换成了黄球． 18．（8 分）如图是云梯升降车示意图，其点 A 位置固定，AC 可伸缩且可绕点 A 转动，已 知点 A 距离地面 BD 的高度 AH 为 3.4 米．当 AC 长度为 9 米，张角∠HAC 为 119°时，求 云梯升降车最高点 C 距离地面的高度．（结果保留一位小数）参考数据：sin29°≈0.49， cos29°≈0.88，tan29°≈0.55 19．（10 分）正比例函数 y＝kx 和反比例函数 的图象相交于 A，B 两点，已知点 A 的 横坐标为 1，纵坐标为 3．（1）写出这两个函数的表达式；（2）求 B 点的坐标；（3）在 同一坐标系中，画出这两个函数的图象． 20．（10 分）如图，在边长为 4 的正方形 ABCD 中，E 为 AD 的中点，F 为 BC 边上一动点， 设 BF＝t（0≤t≤2），线段 EF 的垂直平分线 GH 分别交边 CD，AB 于点 G，H，过 E 作 EM ⊥BC 于点 M，过 G 作 GN⊥AB 于点 N．（1）当 t≠2 时，求证：△EMF≌△GNH；（2） 顺次连接 E、H、F、G，设四边形 EHFG 的面积为 S，求出 S 与自变量 t 之间的函数关系式， 并求 S 的最小值． 四．填空题（共 5 小题，满分 20 分，每小题 4 分） 21．若 m、n 是方程 x2+2018x﹣1＝0 的两个根，则 m2n+mn2﹣mn＝ 22．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成的大正方形，小明同 学向一个如图所示的“赵爽弦图”的飞镖板投掷飞镖（假设投掷的飞镖均扎在飞镖板上）．若 飞镖板中直角三角形的两条直角边的长分别为 1 和 2，则投掷一次飞镖扎在中间小正方形区 域的概率是 ． 23．如图，A，B 是反比例函数 y＝ 在第一象限内的图象上的两点，且 A，B 两点的横坐标 分别是 2 和 4，则△OAB 的面积是 ． 24．平面直角坐标系 xOy 中，若抛物线 y＝ax2 上的两点 A、B 满足 OA＝OB，且 tan∠OAB ＝ ，则称线段 AB 为该抛物线的通径．那么抛物线 y＝ x2 的通径长为 ． 25．如图，在△ABC 中，AB＞AC，∠B＝45°，AC＝5，BC＝4 ；E 是 AB 边上一点，将 △BEC 沿 EC 所在直线翻折得到△DEC，DC 交 AB 于 F，当 DE∥AC 时，tan∠DCE 的值 为 ． 五．解答题（共 3 小题，满分 30 分） 26．（8 分）中考前，某校文具店以每套 5 元购进若干套考试用具，为让利考生，该店决定 售价不超过 7 元，在几天的销售中发现每天的销售数量 y（套）和售价 x（元）之间存在一 次函数关系，绘制图象如图．（1）y 与 x 的函数关系式为 （并写出 x 的取值范围）； （2）若该文具店每天要获得利润 80 元，则该套文具的售价为多少元？（3）设销售该套文 具每天获利 w 元，则销售单价应为多少元时，才能使文具店每天的获利最大？最大利润是 多少？ 27．（10 分）【感知】如图 ① ，在四边形 ABCD 中，点 P 在边 AB 上（点 P 不与点 A、B 重合），∠A＝∠B＝∠DPC＝90°．易证：△DAP∽△PBC（不要求证明）． 【探究】如图 ② ，在四边形 ABCD 中，点 P 在边 AB 上（点 P 不与点 A、B 重合），∠A＝ ∠B＝∠DPC．（1）求证：△DAP～△PBC．（2）若 PD＝5，PC＝10，BC＝9，求 AP 的 长． 【应用】如图 ③ ，在△ABC 中，AC＝BC＝4，AB＝6，点 P 在边 AB 上（点 P 不与点 A、B 重合），连结 CP，作∠CPE＝∠A，PE 与边 BC 交于点 E．当 CE＝3EB 时，求 AP 的长． 28．（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中抛物线 y＝﹣x2+bx+c 经过点 A、B、C，已知 A（﹣ 1，0），C（0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）如图 1，P 为线段 BC 上一点，过点 P 作 y 轴平行线，交抛物线于点 D，当△BCD 的面积最大时，求点 P 的坐标；（3）如图 2， 抛物线顶点为 E，EF⊥x 轴于 F 点，N 是线段 EF 上一动点，M（m，0）是 x 轴上一动点， 若∠MNC＝90°，直接写出实数 m 的取值范围． 2019 年四川省成都市都江堰市向峨乡中学中考数学二模 试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分） 1．【分析】根据实数的大小比较，即可解答． 【解答】解：∵ ， ∴最大的数是 ， 故选：B． 【点评】本题考查了实数的大小比较，解决本题的关键是熟记实数的大小比较． 2．【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式，解不等式即可． 【解答】解：若 有意义，则 x﹣5≥0， 所以 x≥5， 故选：D． 【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数必须是非负 数是解题的关键． 3．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a×10n，其中 1≤|a|＜10，n 为整数， 据此判断即可． 【解答】解：49 万＝4.9×105． 故选：B． 【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为 a×10n，其中 1≤|a| ＜10，确定 a 与 n 的值是解题的关键． 4．【分析】根据三视图的意义，可得答案． 【解答】解：若把正方体 A 向右平移到正方体 P 前面，俯视图发生变化， 故选：C． 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，利用三视图的定义是解题关键． 5．【分析】结合选项分别进行合并同类项、二次根式的加法运算、同底数幂的除法、积的 乘方和幂的乘方等运算，然后选择正确答案． 【解答】解：A、a3 和 2a2 不是同类项，不能合并，故本选项错误； B、3 +4 ＝7 ，计算正确，故本选项正确； C、（a6）2÷（a4）3＝1，原式计算错误，故本选项错误； D、（a3）2•a4＝a10，原式计算错误，故本选项错误． 故选：B． 【点评】本题考查了合并同类项、二次根式的加法运算、同底数幂的除法、积的乘方和 幂的乘方等知识，掌握运算法则是解答本题的关键． 6．【分析】根据全等三角形的判定方法，此题应采用排除法，对选项逐个进行分析从而确 定正确答案． 【解答】解：A、全等三角形的周长相等，但周长相等的两个三角形不一定全等，故本选 项错误； B、全等三角形的面积相等，但面积相等的两个三角形不一定全等，故本选项错误； C、判定全等三角形的过程中，必须有边的参与，故本选项错误； D、正确，符合判定方法 SSS． 故选：D． 【点评】本题考查全等三角形的判定方法，常用的方法有 SSS，SAS，AAS，ASA 等，应 该对每一种方法彻底理解真正掌握并能灵活运用．而满足 SSA，AAA 是不能判定两三角 形是全等的． 7．【分析】依据一次函数的图象，二次函数的图象以及反比例函数的图象进行判断即可． 【解答】解：A．正比例函数 y＝2x 与 x 轴交于（0，0），不合题意； B．一次函数 y＝﹣3x+1 与 x 轴交于（ ，0），不合题意； C．二次函数 y＝x2 与 x 轴交于（0，0），不合题意； D．反比例函数 y＝ 与 x 轴没有交点，符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了函数的性质，注意反比例函数的图象与坐标轴没有公共点，即 x、y 值不为 0． 8．【分析】根据中位数和众数的定义求解：众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意 众数可以不止一个；找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数（或 两个数的平均数）为中位数． 【解答】解：将数据重新排列为 17、18、18、20、20、20、23， 所以这组数据的众数为 20 分、中位数为 20 分， 故选：D． 【点评】本题属于基础题，考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．一些学生往往 对这个概念掌握不清楚，计算方法不明确而误选其它选项，注意找中位数的时候一定要 先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的 数字即为所求，如果是偶数个则找中间两个数的平均数． 9．【分析】根据轴对称图形的概念求解． 【解答】解：A、不是轴对称图形，故本选项错误； B、是轴对称图形，故本选项正确； C、不是轴对称图形，故本选项错误； D、不是轴对称图形，故本选项错误． 故选：B． 【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分 沿对称轴折叠后可重合． 10．【分析】直接根据顶点式确定最值即可确定正确的选项． 【解答】解：抛物线 y＝ （x+2）2+3 的对称轴为直线 x＝﹣2，当 x＝﹣2 时有最小值 3， 故选：D． 【点评】此题考查了二次函数的最值，能够化为顶点式是解答本题的关键，难度不大． 二．填空题（共 4 小题，满分 16 分，每小题 4 分） 11．【分析】两边都乘以 3x（x+5），化分式方程为整式方程，解之求得 x 的值，再检验即 可得． 【解答】解：两边都乘以 3x（x+5），得：6x＝x+5， 解得：x＝1， 检验：x＝1 时，3x（x+5）＝18≠0， 所以原分式方程的解为 x＝1， 故答案为：1． 【点评】本题主要考查解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤： ① 去分母； ② 求出整式方程的解； ③ 检验； ④ 得出结论． 12．【分析】过点 O 作 OE⊥AB 于点 E，OF⊥CD 于点 F，则 E、O、F 三点共线，根据平 行线分线段成比例可得 即可， 【解答】解：如图，过点 O 作 OE⊥AB 于点 E，OF⊥CD 于点 F，则 E、O、F 三点共线， ∵练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等， ∴ ， 故答案为：2：3． 【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，掌握平行线分线段所得线段对应成比例是 解题的关键． 13．【分析】根据判别式的意义得到△＝（﹣6）2﹣4×3×m＞0，然后解不等式即可． 【解答】解：根据题意得△＝（﹣6）2﹣4×3×m＞0， 解得 m＜3． 故答案为 m＜3． 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当 △＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方 程没有实数根． 14．【分析】只要证明 BE＝BC 即可解决问题． 【解答】解：∵由题意可知 CE 是∠BCD 的平分线， ∴∠BCE＝∠DCE． ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠DCE＝∠E，∠BCE＝∠AEC， ∴BE＝BC＝3， ∵AB＝2， ∴AE＝BE﹣AB＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线的作法是解答此题的关键． 三．解答题（共 6 小题，满分 54 分） 15．【分析】先计算负整数指数幂、代入三角函数值、化简二次根式、计算零指数幂，再进 一步计算可得． 【解答】解：原式＝ +2× ﹣4 +1 ＝ + ﹣4 +1 ＝1﹣2 ． 【点评】本题主要考查实数的混合运算，解题的关键是掌握负整数指数幂、三角函数值、 二次根式的性质及零指数幂的规定． 16．【分析】（1）根据负整数指数幂、零指数幂和特殊角的三角函数值计算； （2）利用配方法解方程． 【解答】解：（1）原式＝ +4× ﹣1 ＝ +2﹣1 ＝ ； （2）x2+4x＝1， x2+4x+4＝5， （x+2）2＝5， x+2＝± ， 所以 x1＝﹣2+ ，x2＝﹣2﹣ ． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：将一元二次方程配成（x+m）2＝n 的形 式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法．也考查了实数的 运算． 17．【分析】（1）直接利用概率公式计算可得； （2）先列表得出所有等可能结果，再从中找到符合条件的结果数，继而利用概率公式求 解可得； （3）设有 x 个红球被换成了黄球，根据颜色是一白一黄的概率为 列出关于 x 的方程， 解之可得． 【解答】解：（1）∵袋中共有 7 个小球，其中红球有 5 个， ∴从袋中随机摸出一个球是红球的概率为 ； （2）列表如下： 白 白 红 红 红 红 红 白 （白，白） （白，白） （白，红） （白，红） （白，红） （白，红）（白，红） 白 （白，白） （白，白） （白，红） （白，红） （白，红） （白，红）（白，红） 红 （白，红） （白，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红）（红，红） 红 （白，红） （白，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红）（红，红） 红 （白，红） （白，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红）（红，红） 红 （白，红） （白，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红）（红，红） 红 （白，红） （白，红） （红，红） （红，红） （红，红） （红，红）（红，红） 由表知共有 49 种等可能结果，其中两次摸出的球恰好颜色不同的有 20 种结果， ∴两次摸出的球恰好颜色不同的概率为 ； （3）设有 x 个红球被换成了黄球． 根据题意，得： ， 解得：x＝3， 即袋中有 3 个红球被换成了黄球． 【点评】此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数 之比． 18．【分析】作 CE⊥BD 于 E，AF⊥CE 于 F，如图 2，易得四边形 AHEF 为矩形，则 EF＝ AH＝3.5m，∠HAF＝90°，再计算出∠CAF＝28°，则在 Rt△ACF 中利用正弦可计算出 CF，然后计算 CF+EF 即可． 【解答】解：作 CE⊥BD 于 E，AF⊥CE 于 F，如图， 易得四边形 AHEF 为矩形， ∴EF＝AH＝3.4m，∠HAF＝90°， ∴∠CAF＝∠CAH﹣∠HAF＝119°﹣90°＝29°， 在 Rt△ACF 中，∵sin∠CAF＝ ， ∴CF＝9sin29°＝9×0.49＝4.41， ∴CE＝CF+EF＝4.41+3.4≈7.8（m）， 答：云梯升降车最高点 C 距离地面的高度为 7.8m． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用：先将实际问题抽象为数学问题（画出平面图 形，构造出直角三角形转化为解直角三角形问题），然后利用勾股定理和三角函数的定 义进行计算． 19．【分析】（1）根据待定系数法，将 A（1，3）代入 y＝kx 和 y＝ 即可得到函数解析式； （2）将一次函数和反比例函数组成方程组，求出方程组的解即可得 B 点坐标； （3）先描点、后连线即可得函数图象． 【解答】解：（1）∵正比例函数 y＝kx 与反比例函数 ， 的图象都过点 A（1，3），则 k＝3， ∴正比例函数是 y＝3x，反比例函数是 ． （2）∵点 A 与点 B 关于原点对称， ∴点 B 的坐标是（﹣1，﹣3）． （3）∵正比例函数的图象过原点，所以令 x＝1，则 y＝3，图象过（1，3），描出此点 即可； ∵反比例函数的图象是双曲线， ∴应在每一个双曲线上描出 3 各点，即可画出函数图象． 【点评】此题是一综合题，既要能熟练正确求出方程组的解，又要会用待定系数法求函 数的解析式，同时还要掌握描点法作图． 20．【分析】（1）只要证明 EM＝GN，∠1＝∠2，即可利用 ASA 证明． （2）根据 S＝ •EF•GH 计算，利用二次函数的性质即可解决问题． 【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是正方形，EM⊥BC，GN⊥AB， ∴EM＝GN＝AB＝AD， ∵∠1+∠4＝90°，∠2+∠3＝90°，∠3＝∠4， ∴∠1＝∠2， 在△EMF 和△GNH 中， ， ∴△EMF≌△GNH． （2）∵△EMF≌△GNH， ∴EF＝GH， ∵BF＝t，BM＝2， ∴FM＝2﹣t， ∴EF2＝42+（2﹣t）2， ∵S＝ •EF•GH＝ （x﹣2）2+8， ∵0≤t≤2， ∴t＝2 时，S 有最小值，最小值为 8． 【点评】本题科学正方形的性质、全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质、 二次函数等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，记住对角线垂直的四边形 的面积的计算方法，学会利用二次函数的性质解决最值问题，属于中考常考题型． 四．填空题（共 5 小题，满分 20 分，每小题 4 分） 21．【分析】根据根与系数的关系得到 m+n＝﹣2018，mn＝﹣1，把 m2n+mm2﹣mn 分解因 式得到 mn（m+n﹣1），然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：∵m、n 是方程 x2+2018x﹣1＝0 的两个根， ∴m+n＝﹣2018，mn＝﹣1， 则原式＝mn（m+n﹣1） ＝﹣1×（﹣2018﹣1） ＝﹣1×（﹣2019） ＝2019， 故答案为：2019． 【点评】本题考查了根与系数的关系，如果一元二次方程 ax2+bx+c＝0 的两根分别为 x1 与 x2，则 x1+x2＝﹣ ，x1•x2＝ ．解题时要注意这两个关系的合理应用． 22．【分析】求出大小正方形的面积，根据面积比即可解决问题； 【解答】解：由题意大正方形的面积为 5，小正方形的面积为 1， ∴投掷一次飞镖扎在中间小正方形区域的概率是 ． 故答案为 ． 【点评】本题考查概率、勾股定理、正方形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学 知识解决问题，属于中考常考题型． 23．【分析】先根据反比例函数图象上点的坐标特征及 A，B 两点的横坐标，求出 A（2，2）， B（4，1）．再过 A，B 两点分别作 AC⊥x 轴于 C，BD⊥x 轴于 D，根据反比例函数系数 k 的几何意义得出 S△AOC＝S△BOD＝ ×4＝2．根据 S 四边形 AODB＝S△AOB+S△BOD＝S△AOC+S 梯形 ABDC，得出 S△AOB＝S 梯形 ABDC，利用梯形面积公式求出 S 梯形 ABDC＝ （BD+AC）•CD ＝ （1+2）×2＝3，从而得出 S△AOB＝3． 【解答】解：∵A，B 是反比例函数 y＝ 在第一象限内的图象上的两点，且 A，B 两点 的横坐标分别是 2 和 4， ∴当 x＝2 时，y＝2，即 A（2，2）， 当 x＝4 时，y＝1，即 B（4，1）． 如图，过 A，B 两点分别作 AC⊥x 轴于 C，BD⊥x 轴于 D，则 S△AOC＝S△BOD＝ ×4＝2． ∵S 四边形 AODB＝S△AOB+S△BOD＝S△AOC+S 梯形 ABDC， ∴S△AOB＝S 梯形 ABDC， ∵S 梯形 ABDC＝ （BD+AC）•CD＝ （1+2）×2＝3， ∴S△AOB＝3． 故答案是：3． 【点评】主要考查了反比例函数 中 k 的几何意义，即图象上的点与原点所连的线段、 坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积 S 的关系即 S＝ |k|．也考查了反比例 函数图象上点的坐标特征，梯形的面积． 24．【分析】根据题意可以设出点 A 的坐标，从而可以求得通径的长． 【解答】解：设点 A 的坐标为（﹣2a，a），点 A 在 x 轴的负半轴， 则 a＝ ， 解得，a＝0（舍去）或 a＝ ， ∴点 A 的横坐标是﹣1，点 B 的横坐标是 1， ∴AB＝1﹣（﹣1）＝2， 故答案为：2． 【点评】本题考查二次函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，找出所 求问题需要的条件，利用二次函数的性质解答． 25．【分析】作 CH⊥AB 于 H，EM⊥BC 于 M，因为∠B＝45°，BC＝4 ，所以 BH＝CH ＝4，因为 AC＝5，所以 AH＝3，AB＝7，由题意，可得∠ACD＝∠D＝∠B＝45°，∠ DCE＝∠BCE， 所以∠ACE＝∠AEC，即 AE＝AC＝5，可得 BE＝2，BM＝EM＝ ，在 Rt△CEM 中， 利用锐角三角函数定义即可得出 tan∠DCE 的值． 【解答】解：如图，作 CH⊥AB 于 H，EM⊥BC 于 M， ∵∠B＝45°，BC＝4 ， ∴BH＝CH＝4， ∵AC＝5， ∴AH＝3， ∴AB＝AH+BH＝3+4＝7， ∵将△BEC 沿 EC 所在直线翻折得到△DEC，且 DE∥AC， ∴∠ACD＝∠D＝∠B＝45°，∠DCE＝∠BCE， ∴∠ACE＝∠ACD+∠DCE＝∠B+∠BCE＝∠AEC， ∴AE＝AC＝5， ∴BE＝AB﹣AE＝7﹣5＝2， ∴BM＝EM＝ ， ∵BC＝4 ， ∴MC＝ ， ∴tan∠DCE＝ ． 故答案为： ． 【点评】本题考查图形的翻折，平行线的性质，锐角三角函数的定义和解直角三角形的 知识．解题的关键是熟练掌握图形翻折的性质． 五．解答题（共 3 小题，满分 30 分） 26．【分析】（1）设 y 与 x 的函数关系式为：y＝kx+b，把（5.5，90）和（6，80）代入 y ＝kx+b 即可得到结论； （2）根据题意得方程即可得到结论； （3）根据题意得二次函数解析式，根据二次函数的性质即可得到结论． 【解答】解：（1）设 y 与 x 的函数关系式为：y＝kx+b， 把（5.5，90）和（6，80）代入 y＝kx+b 得， ， 解得： ， ∴y 与 x 的函数关系式为：y＝﹣20x+200（5≤x≤7）； 故答案为：y＝﹣20x+200； （2）根据题意得，（x﹣5）（﹣20x+200）＝80， 解得：x1＝6，x2＝9（不合题意舍去）， 答：该套文具的售价为 6 元； （3）根据题意得，w＝（x﹣5）（﹣20x+200）＝﹣20x2+300x﹣1000， 当 x＝﹣ ＝﹣ ＝7.5， ∵7.5＞7， ∴当 x＝7 时，文具店每天的获利最大，最大利润是（7﹣5）（﹣20×7+200）＝120（元）， 答：销售单价应为 7 元时，才能使文具店每天的获利最大，最大利润是 120 元． 【点评】本题考查了二次函数的应用，主要利用了待定系数法求一次函数解析式二次函 数的关系式的求解，比较简单，根据获利＝每件商品的利润×销售量是解题的关键． 27．【分析】【探究】（1）根据外角的性质得到∠DPB＝∠A+∠ADP，等量代换得到∠ADP ＝∠CPB，根据相似三角形的判定定理即可得到结论； （2）根据相似三角形的性质得到 ，代入数据即可得到结论； 【应用】根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B，根据相似三角形的性质得到 AC•BE＝AP •BP，代入数据即可得到结论． 【解答】解：【探究】（1）∵∠DPB＝∠A+∠ADP， ∴∠DPC+∠CPB＝∠A+∠ADP， ∵∠A＝∠DPC， ∴∠ADP＝∠CPB， ∵∠A＝∠B， ∴△DAP∽△PBC； （2）∵△DAP∽△PBC， ∴ ， ∴ ， ∴AP＝4.5； 【应用】∵AC＝BC， ∴∠A＝∠B， ∵∠CPE＝∠A， ∴∠A＝∠CPE＝∠B， 由探究得△CAP∽△PBE， ∴ ＝ ， ∴AC•BE＝AP•BP， ∵BC＝4，CE＝3EB， ∴BE＝1， ∵AC＝4，BP＝AB﹣AP＝6﹣AP， ∴AP（6﹣AP）＝4， ∴AP＝3+ 或 AP＝3﹣ ． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形的外角的性质，正确的识别图形 是解题的关键． 28．【分析】（1）由 y＝﹣x2+bx+c 经过点 A、B、C，A（﹣1，0），C（0，3），利用待 定系数法即可求得此抛物线的解析式； （2）首先令﹣x2+2x+3＝0，求得点 B 的坐标，然后设直线 BC 的解析式为 y＝kx+b′， 由待定系数法即可求得直线 BC 的解析式，再设 P（a，3﹣a），即可得 D（a，﹣a2+2a+3）， 即可求得 PD 的长，由 S△BDC＝S△PDC+S△PDB，即可得 S△BDC＝﹣ （a﹣ ）2+ ，利 用二次函数的性质，即可求得当△BDC 的面积最大时，求点 P 的坐标； （3）直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半列出关系式 m＝（n﹣ ）2﹣ ，然后根 据 n 的取值得到最小值． 【解答】解：（1）由题意得： ， 解得： ， ∴抛物线解析式为 y＝﹣x2+2x+3； （2）令﹣x2+2x+3＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝3， 即 B（3，0）， 设直线 BC 的解析式为 y＝kx+b′， ∴ ， 解得： ， ∴直线 BC 的解析式为 y＝﹣x+3， 设 P（a，3﹣a），则 D（a，﹣a2+2a+3）， ∴PD＝（﹣a2+2a+3）﹣（3﹣a）＝﹣a2+3a， ∴S△BDC＝S△PDC+S△PDB ＝ PD•a+ PD•（3﹣a） ＝ PD•3 ＝ （﹣a2+3a） ＝﹣ （a﹣ ）2+ ， ∴当 a＝ 时，△BDC 的面积最大，此时 P（ ， ）； （3）由（1），y＝﹣x2+2x+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴E（1，4）， 设 N（1，n），则 0≤n≤4， 取 CM 的中点 Q（ ， ）， ∵∠MNC＝90°， ∴NQ＝ CM， ∴4NQ2＝CM2， ∵NQ2＝（1﹣ ）2+（n﹣ ）2， ∴4[＝（1﹣ ）2+（n﹣ ）2]＝m2+9， 整理得，m＝n2﹣3n+1，即 m＝（n﹣ ）2﹣ ， ∵0≤n≤4， 当 n＝ 上，m 最小值＝﹣ ，n＝4 时，m＝5， 综上，m 的取值范围为：﹣ ≤m≤5． 【点评】此题考查了待定系数法求函数的解析式、相似三角形的判定与性质、二次函数 的最值问题、判别式的应用以及等腰直角三角形的性质等知识．此题综合性很强，难度 较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用． 中考数学试卷 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的. 1．﹣3 的绝对值是（ ） A．±3 B．﹣3 C．3 D． 2．下列运算中正确的是（ ） A．（a2）3＝a5 B．（2x+1）（2x﹣1）＝2x2﹣1 C．a8a2＝a4 D．（a﹣3）2＝a2﹣6a+9 3．已知关于 x 的一元一次方程 2（x﹣1）+3a＝3 的解为 4，则 a 的值是（ ） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．﹣3 4．某小组长统计组内 5 人一天在课堂上的发言次数分別为 3，3，0，4，5．关于这组数据， 下列说法错误的是（ ） A．众数是 3 B．中位数是 0 C．平均数 3 D．方差是 2.8 5．如图是由几个相同小正方体组成的立体图形的俯视图，图上的数字表示该位置上方小正 方体的个数，这个立体图形的左视图是（ ） A． B． C． D． 6．一元一次不等式组 的最大整数解是（ ） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 7．如图， ⊙ O 是正五边形 ABCDE 的外接圆，点 P 是 的一点，则∠CPD 的度数是（ ） A．30° B．36° C．45° D．72° 8．小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明 7：40 先出发去学校，走了一段后， 在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公 交汽车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程 s（米）和所用时间 t（分钟）的关 系图．则下列说法中错误的是（ ） A．小明吃早餐用时 5 分钟 B．小华到学校的平均速度是 240 米/分 C．小明跑步的平均速度是 100 米/分 D．小华到学校的时间是 7：55 9．如图为一次函数 y＝ax﹣2a 与反比例函数 y＝﹣ （a≠0）在同一坐标系中的大致图象， 其中较准确的是（ ） A． B． C． D． 10．若用“*”表示一种运算规则，我们规定：a*b＝ab﹣a+b，如：3*2＝3×2﹣3+2＝5．以 下说法中错误的是（ ） A．不等式（﹣2）*（3﹣x）＜2 的解集是 x＜3 B．函数 y＝（x+2）*x 的图象与 x 轴有两个交点 C．在实数范围内，无论 a 取何值，代数式 a*（a+1）的值总为正数 D．方程（x﹣2）*3＝5 的解是 x＝5 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）把正确答案直接填写在答题卡对应题目的横线上． 11．某物体质量为 325000 克，用科学记数法表示为 克． 12．一个多边形的每一个外角都是 18°，这个多边形的边数为 ． 13．如图，∠A＝22°，∠E＝30°，AC∥EF，则∠1 的度数为 ． 14．如图是一块测环形玉片的残片，作外圆的弦 AB 与内圆相切于点 C，量得 AB＝8cm、点 C 与 的中点 D 的距离 CD＝2cm．则此圆环形士片的外圆半径为 cm． 15．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以点 A 为原点建立平面直角坐标 系，使 AB 在 x 轴正半轴上，点 D 是 AC 边上的一个动点，DE∥AB 交 BC 于 E，DF⊥AB 于 F，EG⊥AB 于 G．以下结论： ① △AFD∽△DCE∽△EGB； ② 当 D 为 AC 的中点时，△AFD≌△DCE； ③ 点 C 的坐标为（3.2，2.4）； ④ 将△ABC 沿 AC 所在的直线翻折到原来的平面，点 B 的对应点 B1 的坐标为（1.6，4.8）； ⑤ 矩形 DEGF 的最大面积为 3．在这此结论中正确的有 （只填序号） 三、解答题（共 75 分）要求写出必安的解答步骤或证明过程. 16．（6 分）计算： +（sin75°﹣2018）0﹣（﹣ ）﹣2﹣4cos30°． 17．（7 分）先化简，再求值： ÷（ ﹣ ），其中 a＝ +2． 18．（7 分）如图，在菱形 ABCD 中，过 B 作 BE⊥AD 于 E，过 B 作 BF⊥CD 于 F． 求证：AE＝CF． 19．（8 分）为了提高学生的身体素质，某班级决定开展球类活动，要求每个学生必须在篮 球、足球、排球、兵乓球、羽毛球中选择一项参加训练（只选择一项），根据学生的报 名情况制成如下统计表： 项目 篮球 足球 排球 乒乓球 羽毛球 报名人数 12 8 4 a 10 占总人数的百 分比 24% b （1）该班学生的总人数为 人； （2）由表中的数据可知：a＝ ，b＝ ； （3）报名参加排球训练的四个人为两男（分别记为 A、B）两女（分别记为 C、D），现 要随机在这 4 人中选 2 人参加学校组织的校级训练，请用列表或树状图的方法求出刚好 选中一男一女的概率． 20．（8 分）某报刊销售处从报社购进甲、乙两种报纸进行销售．已知从报社购进甲种报纸 200 份与乙种报纸 300 份共需 360 元，购进甲种报纸 300 份与乙种报纸 200 份共需 340 元 （1）求购进甲、乙两种报纸的单价； （2）已知销售处卖出甲、乙两种报纸的售价分别为每份 1 元、1.5 元．销售处每天从报 社购进甲、乙两种报纸共 600 份，若每天能全部销售完并且销售这两种报纸的总利润不 低于 300 元，问该销售处每天最多购进甲种报纸多少份？ 21．（8 分）如图，雨后初睛，李老师在公园散步，看见积水水面上出现梯步上方树的倒影， 于是想利用倒影与物体的对称性测量这颗树的高度，他的方法是：测得树顶的仰角∠1、 测量点 A 到水面平台的垂直高度 AB、看到倒影顶端的视线与水面交点 C 到 AB 的水半距 离 BC．再测得梯步斜坡的坡角∠2 和长度 EF，根据以下数据进行计算， 如图，AB＝2 米，BC＝1 米，EF＝4 米，∠l＝60°，∠2＝45°．已知线段 ON 和线 段 OD 关于直线 OB 对称．（以下结果保留根号） （1）求梯步的高度 MO； （2）求树高 MN． 22．（9 分）如图，矩形 ABCD 在平面直角坐标系的第一象限内，BC 与 x 轴平行，AB＝1， 点 C 的坐标为（6，2），E 是 AD 的中点；反比例函数 y1＝ （x＞0）图象经过点 C 和 点 E，过点 B 的直线 y2＝ax+b 与反比例函数图象交于点 F，点 F 的纵坐标为 4． （1）求反比例函数的解析式和点 E 的坐标； （2）求直线 BF 的解析式； （3）直接写出 y1＞y2 时，自变量 x 的取值范围． 23．（10 分）如图 1，D 是 ⊙ O 的直径 BC 上的一点，过 D 作 DE⊥BC 交 ⊙ O 于 E、N，F 是 ⊙ O 上的一点，过 F 的直线分别与 CB、DE 的延长线相交于 A、P，连结 CF 交 PD 于 M，∠C＝ P． （1）求证：PA 是 ⊙ O 的切线； （2）若∠A＝30°， ⊙ O 的半径为 4，DM＝1，求 PM 的长； （3）如图 2，在（2）的条件下，连结 BF、BM；在线段 DN 上有一点 H，并且以 H、D、 C 为顶点的三角形与△BFM 相似，求 DH 的长度． 24．（12 分）已知抛物线的顶点为（2，﹣4）并经过点（﹣2，4），点 A 在抛物线的对称 轴上并且纵坐标为﹣ ，抛物线交 y 轴于点 N．如图 1． （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 为抛物线对称轴上的一点，△ANP 为等腰三角形，求点 P 的坐标； （3）如图 2，点 B 为直线 y＝﹣2 上的一个动点，过点 B 的直线 l 与 AB 垂直 ① 求证：直线 l 与抛物线总有两个交点； ② 设直线 1 与抛物线交于点 C、D（点 C 在左侧），分别过点 C、D 作直线 y＝﹣2 的垂 线，垂足分别为 E、F．求 EF 的长． 2018 年四川省广元市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题意的. 1．﹣3 的绝对值是（ ） A．±3 B．﹣3 C．3 D． 【分析】根据绝对值的定义回答即可． 【解答】解：﹣3 的绝对值是 3． 故选：C． 【点评】本题主要考查了绝对值得定义，一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对 值是它的相反数；0 的绝对值是 0 是解答此题的关键． 2．下列运算中正确的是（ ） A．（a2）3＝a5 B．（2x+1）（2x﹣1）＝2x2﹣1 C．a8a2＝a4 D．（a﹣3）2＝a2﹣6a+9 【分析】根据幂的乘方、同底数幂的乘法、平方差公式和完全平方公式分别求出每个式 子的值，再判断即可． 【解答】解：A、结果是 a6，故本选项不符合题意； B、结果是 4x2﹣1，故本选项不符合题意； C、结果是 a10，故本选项不符合题意； D、结果是 a2﹣6a+9，故本选项符合题意； 故选：D． 【点评】本题考查了幂的乘方、同底数幂的乘法、平方差公式和完全平方公式等知识点， 能正确求出每个式子的值是解此题的关键． 3．已知关于 x 的一元一次方程 2（x﹣1）+3a＝3 的解为 4，则 a 的值是（ ） A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．﹣3 【分析】将 x＝4 代入方程中即可求出 a 的值． 【解答】解：将 x＝4 代入 2（x﹣1）+3a＝3， ∴2×3+3a＝3， ∴a＝﹣1， 故选：A． 【点评】本题考查一元一次方程的解，解题的关键是熟练运用一元一次方程的解的定义， 本题属于基础题型． 4．某小组长统计组内 5 人一天在课堂上的发言次数分別为 3，3，0，4，5．关于这组数据， 下列说法错误的是（ ） A．众数是 3 B．中位数是 0 C．平均数 3 D．方差是 2.8 【分析】根据方差、众数、平均数、中位数的含义和求法，逐一判断即可． 【解答】解：将数据重新排列为 0，3，3，4，5， 则这组数的众数为 3，中位数为 3，平均数为 ＝3，方差为 ×[（0﹣3）2+2 ×（3﹣3）2+（4﹣3）2+（5﹣3）2]＝2.8， 故选：B． 【点评】本题考查了众数、中位数、平均数以及方差，解题的关键是牢记概念及公式． 5．如图是由几个相同小正方体组成的立体图形的俯视图，图上的数字表示该位置上方小正 方体的个数，这个立体图形的左视图是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【解答】解：根据该几何体中小正方体的分布知，其左视图共 2 列，第 1 列有 1 个正方 形，第 2 列有 3 个正方形， 故选：B． 【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图． 6．一元一次不等式组 的最大整数解是（ ） A．﹣1 B．0 C．1 D．2 【分析】求出不等式组的解集，即可求出正最大整数解； 【解答】解： ， 由 ① 得到：2x+6﹣4≥0， ∴x≥﹣1， 由 ② 得到：x+1＞3x﹣3， ∴x＜2， ∴﹣1≤x＜2， ∴最大整数解是 1， 故选：C． 【点评】本题考查一元一次不等式组的整数解，解题的关键是熟练掌握解不等式组的方 法，属于中考常考题型． 7．如图， ⊙ O 是正五边形 ABCDE 的外接圆，点 P 是 的一点，则∠CPD 的度数是（ ） A．30° B．36° C．45° D．72° 【分析】连接 OC，OD．求出∠COD 的度数，再根据圆周角定理即可解决问题； 【解答】解：如图，连接 OC，OD． ∵ABCDE 是正五边形， ∴∠COD＝ ＝72°， ∴∠CPD＝ ∠COD＝36°， 故选：B． 【点评】本题考查正多边形和圆、圆周角定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识， 属于中考常考题型． 8．小明和小华是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明 7：40 先出发去学校，走了一段后， 在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公 交汽车到了学校．如图是他们从家到学校已走的路程 s（米）和所用时间 t（分钟）的关 系图．则下列说法中错误的是（ ） A．小明吃早餐用时 5 分钟 B．小华到学校的平均速度是 240 米/分 C．小明跑步的平均速度是 100 米/分 D．小华到学校的时间是 7：55 【分析】根据函数图象中各拐点的实际意义求解可得． 【解答】解：A、小明吃早餐用时 13﹣8＝5 分钟，此选项正确； B、小华到学校的平均速度是 1200÷（13﹣8）＝240（米/分），此选项正确； C、小明跑步的平均速度是（1200﹣500）÷（20﹣13）＝100（米/分），此选项正确； D、小华到学校的时间是 7：53，此选项错误； 故选：D． 【点评】本题考查了函数图象，读懂函数图象，从图象中获取必要的信息是解决本题的 关键． 9．如图为一次函数 y＝ax﹣2a 与反比例函数 y＝﹣ （a≠0）在同一坐标系中的大致图象， 其中较准确的是（ ） A． B． C． D． 【分析】根据题意列出方程组，根据一元二次方程解的情况判断.. 【解答】解：ax﹣2a＝﹣ ， 则 x﹣2＝﹣ ， 整理得，x2﹣2x+1＝0， △＝0， ∴一次函数 y＝ax﹣2a 与反比例函数 y＝﹣ 只有一个公共点， 故选：B． 【点评】本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的 图象和性质，函数图象的交点的求法是解题的关键． 10．若用“*”表示一种运算规则，我们规定：a*b＝ab﹣a+b，如：3*2＝3×2﹣3+2＝5．以 下说法中错误的是（ ） A．不等式（﹣2）*（3﹣x）＜2 的解集是 x＜3 B．函数 y＝（x+2）*x 的图象与 x 轴有两个交点 C．在实数范围内，无论 a 取何值，代数式 a*（a+1）的值总为正数 D．方程（x﹣2）*3＝5 的解是 x＝5 【分析】根据题目中的新规定和二次函数的性质、不等式的性质，可以判断各个选项中 的结论是否正确，本题得以解决． 【解答】解：∵a*b＝ab﹣a+b， ∴（﹣2）*（3﹣x）＝（﹣2）×（3﹣x）﹣（﹣2）+（3﹣x）＝x﹣1， ∵（﹣2）*（3﹣x）＜2， ∴x﹣1＜2，解得 x＜3，故选项 A 正确； ∵y＝（x+2）*x＝（x+2）x﹣（x+2）+x＝x2+2x﹣2， ∴当 y＝0 时，x2+2x﹣2＝0，解得，x1＝﹣1+ ，x2＝﹣1﹣ ，故选项 B 正确； ∵a*（a+1）＝a（a+1）﹣a+（a+1）＝a2+a+1＝（a+ ）2+ ＞0， ∴在实数范围内，无论 a 取何值，代数式 a*（a+1）的值总为正数，故选项 C 正确； ∵（x﹣2）*3＝5， ∴（x﹣2）×3﹣（x﹣2）+3＝5， 解得，x＝3，故选项 D 错误； 故选：D． 【点评】本题考查抛物线与 x 轴的交点、非负数的性质、解一元一次方程、解一元一次 不等式，解答本题的关键是明确题意，可以判断各个选项中的说法是否正确． 二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）把正确答案直接填写在答题卡对应题目的横线上． 11．某物体质量为 325000 克，用科学记数法表示为 3.25×105 克． 【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相 同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：某物体质量为 325000 克，用科学记数法表示为 3.25×105 克． 故答案为：3.25×105． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其 中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 12．一个多边形的每一个外角都是 18°，这个多边形的边数为 二十 ． 【分析】根据多边形的外角和为 360°，求出多边形的边数即可． 【解答】解：设正多边形的边数为 n， 由题意得，n×18°＝360°， 解得：n＝20． 故答案为：二十． 【点评】本题考查根据多边形的外角和求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确 运算、变形和数据处理． 13．如图，∠A＝22°，∠E＝30°，AC∥EF，则∠1 的度数为 52° ． 【分析】依据∠E＝30°，AC∥EF，即可得到∠AGH＝∠E＝30°，再根据∠1 是△AGH 的外角，即可得出∠1＝∠A+∠AGH＝52°． 【解答】解：如图，∵∠E＝30°，AC∥EF， ∴∠AGH＝∠E＝30°， 又∵∠1 是△AGH 的外角， ∴∠1＝∠A+∠AGH＝22°+30°＝52°， 故答案为：52°． 【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两条平行线被第三条直线所截， 内错角相等． 14．如图是一块测环形玉片的残片，作外圆的弦 AB 与内圆相切于点 C，量得 AB＝8cm、点 C 与 的中点 D 的距离 CD＝2cm．则此圆环形士片的外圆半径为 5 cm． 【分析】根据垂径定理求得 AC＝4cm，然后根据勾股定理即可求得半径． 【解答】解：如图，连接 OA， ∵CD＝2cm，AB＝8cm， ∵CD⊥AB， ∴OD⊥AB， ∴AC＝ AB＝4cm， ∴设半径为 r，则 OD＝r﹣2， 根据题意得：r2＝（r﹣2）2+42， 解得：r＝5． ∴这个玉片的外圆半径长为 5cm． 故答案为：5． 【点评】本题考查了垂径定理的应用以及勾股定理的应用，作出辅助线构建直角三角形 是本题的关键． 15．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝4，BC＝3，以点 A 为原点建立平面直角坐标 系，使 AB 在 x 轴正半轴上，点 D 是 AC 边上的一个动点，DE∥AB 交 BC 于 E，DF⊥AB 于 F，EG⊥AB 于 G．以下结论： ① △AFD∽△DCE∽△EGB； ② 当 D 为 AC 的中点时，△AFD≌△DCE； ③ 点 C 的坐标为（3.2，2.4）； ④ 将△ABC 沿 AC 所在的直线翻折到原来的平面，点 B 的对应点 B1 的坐标为（1.6，4.8）； ⑤ 矩形 DEGF 的最大面积为 3．在这此结论中正确的有 ①③⑤ （只填序号） 【分析】 ① 正确，根据两角对应相等的两个三角形相似即可判断； ② 错误．根据斜边不相等即可判断； ③ 正确．求出点 C 坐标即可判断； ④ 错误．求出点 B1 即可判断； ⑤ 正确．首先证明四边形 DEGF 是矩形，推出 DF＝EG，DE＝FG，设 DF＝EG＝x，构 建二次函数，利用二次函数的性质即可判断； 【解答】解：如图，作 CH⊥AB 于 H． ∵DF⊥AB 于 F，EG⊥AB 于 G， ∴∠AFD＝∠DCE＝∠EGB＝90°， ∵DE∥AB， ∴∠CDE＝∠DAF，∠CED＝∠EBG， ∴△AFD∽△DCE∽△EGB；故 ① 正确； 当 AD＝CD 时，∵DE＞CD， ∴DE＞AD， ∴△AFD 与△DCE 不全等，故 ② 错误， 在 Rt△ACB 中，∵AC＝4，BC＝3， ∴AB＝5，CH＝ ＝ ＝2.4， ∴AH＝ ＝3.2， ∴C（3.2，2.4），故 ③ 正确， 将△ABC 沿 AC 所在的直线翻折到原来的平面，点 B 的对应点 B1，设 B1 为（m，n）， 则有 ＝3.2，m＝1.4， ＝2.4，n＝4.8， ∴B1（1.4，4.8），故 ④ 错误； ∵DF⊥AB 于 F，EG⊥AB 于 G， ∴DF∥EG， ∵DE∥AB， ∴四边形 DEGF 是平行四边形， ∵∠DFG＝90°， ∴四边形 DEGF 是矩形， ∴DF＝EG，DE＝FG，设 DF＝EG＝x，则 AF x，BG＝ x， ∴DE＝FG＝5﹣ x﹣ x＝5﹣ x， ∵S 矩形 DEGF＝x（5﹣ x）＝﹣ x2+5x， ∵﹣ ＜0， ∴S 的最大值＝ ＝3，故 ⑤ 正确， 综上所述，正确的有： ①③⑤ ， 故答案为 ①③⑤ ． 【点评】本题考查相似三角形综合题、全等三角形的判定和性质、矩形的判定和性质、 二次函数的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建二次函数， 解决最值问题，属于中考压轴题． 三、解答题（共 75 分）要求写出必安的解答步骤或证明过程. 16．（6 分）计算： +（sin75°﹣2018）0﹣（﹣ ）﹣2﹣4cos30°． 【分析】根据零指数幂的意义、负整数指数幂的意义以及特殊角锐角三角函数的值即可 求出答案． 【解答】解：原式＝2 +1﹣（﹣3）2﹣4× ＝2 +1﹣9﹣2 ＝﹣8 【点评】本题考查实数的运算，解题的关键是熟练运用有关运算性质，本题属于基础题 型． 17．（7 分）先化简，再求值： ÷（ ﹣ ），其中 a＝ +2． 【分析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变 形，约分得到最简结果，将 a 的值代入计算即可求出值． 【解答】解： ÷（ ﹣ ）， ＝ ÷ ， ＝ ÷ ， ＝ • ， ＝ ． 当 a＝ +2 时，原式＝ ＝1+2 ． 【点评】此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18．（7 分）如图，在菱形 ABCD 中，过 B 作 BE⊥AD 于 E，过 B 作 BF⊥CD 于 F． 求证：AE＝CF． 【分析】根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可． 【解答】证明：∵菱形 ABCD， ∴BA＝BC，∠A＝∠C， ∵BE⊥AD，BF⊥CD， ∴∠BEA＝∠BFC＝90°， 在△ABE 与△CBF 中 ， ∴△ABE≌△CBF（AAS）， ∴AE＝CF． 【点评】此题考查菱形的性质，关键是根据菱形的性质和全等三角形的判定和性质解答． 19．（8 分）为了提高学生的身体素质，某班级决定开展球类活动，要求每个学生必须在篮 球、足球、排球、兵乓球、羽毛球中选择一项参加训练（只选择一项），根据学生的报 名情况制成如下统计表： 项目 篮球 足球 排球 乒乓球 羽毛球 报名人数 12 8 4 a 10 占总人数的百 分比 24% b （1）该班学生的总人数为 50 人； （2）由表中的数据可知：a＝ 16 ，b＝ 24% ； （3）报名参加排球训练的四个人为两男（分别记为 A、B）两女（分别记为 C、D），现 要随机在这 4 人中选 2 人参加学校组织的校级训练，请用列表或树状图的方法求出刚好 选中一男一女的概率． 【分析】（1）用篮球的人数除以其所占百分比即可得总人数； （2）根据各项目的人数之和等于总人数可求得 a 的值，用羽毛球的人数除以总人数可得 b 的值； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与选中一男一女的 情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：（1）该班学生的总人数为 12÷24%＝50（人）， 故答案为：50； （2）a＝50﹣（12+8+4+10）＝16， 则 b＝ ×100%＝20%， 故答案为：16，24%； （3）画树状图如下： 由树状图知，共有 12 种等可能结果，其中刚好选中一男一女的有 8 种结果， ∴刚好选中一男一女的概率为 ＝ ． 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率＝所求情况数与 总情况数之比． 20．（8 分）某报刊销售处从报社购进甲、乙两种报纸进行销售．已知从报社购进甲种报纸 200 份与乙种报纸 300 份共需 360 元，购进甲种报纸 300 份与乙种报纸 200 份共需 340 元 （1）求购进甲、乙两种报纸的单价； （2）已知销售处卖出甲、乙两种报纸的售价分别为每份 1 元、1.5 元．销售处每天从报 社购进甲、乙两种报纸共 600 份，若每天能全部销售完并且销售这两种报纸的总利润不 低于 300 元，问该销售处每天最多购进甲种报纸多少份？ 【分析】（1）设甲、乙两种报纸的单价分别是 x 元、y 元，根据购进甲种报纸 200 份与 乙种报纸 300 份共需 360 元，购进甲种报纸 300 份与乙种报纸 200 份共需 340 元 列出方程组，解方程组即可； （2）设该销售处每天购进甲种报纸 a 份，根据销售这两种报纸的总利润不低于 300 元列 出不等式，求解即可． 【解答】解：（1）设甲、乙两种报纸的单价分别是 x 元、y 元，根据题意得 ，解得 ． 答：甲、乙两种报纸的单价分别是 0.6 元、0.8 元； （2）设该销售处每天购进甲种报纸 a 份，根据题意，得 （1﹣0.6）a+（1.5﹣0.8）（600﹣a）≥300， 解得 a≤400． 答：该销售处每天最多购进甲种报纸 400 份． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，解决问题的关键 是读懂题意，找到关键描述语，找到所求的量的等量关系与不等关系． 21．（8 分）如图，雨后初睛，李老师在公园散步，看见积水水面上出现梯步上方树的倒影， 于是想利用倒影与物体的对称性测量这颗树的高度，他的方法是：测得树顶的仰角∠1、 测量点 A 到水面平台的垂直高度 AB、看到倒影顶端的视线与水面交点 C 到 AB 的水半距 离 BC．再测得梯步斜坡的坡角∠2 和长度 EF，根据以下数据进行计算， 如图，AB＝2 米，BC＝1 米，EF＝4 米，∠l＝60°，∠2＝45°．已知线段 ON 和线 段 OD 关于直线 OB 对称．（以下结果保留根号） （1）求梯步的高度 MO； （2）求树高 MN． 【分析】（1）如图，作 EH⊥OB 于 H．则四边形 MOHE 是矩形．解 Rt△EHF 求出 EH 即可解决问题； （2）设 ON＝OD＝m．作 AK⊥ON 于 K．则四边形 AKOB 是矩形，AK＝BO，OK＝AB ＝2，想办法构建方程求出 m 即可解决问题； 【解答】解：（1）如图，作 EH⊥OB 于 H．则四边形 MOHE 是矩形． ∴OM＝EH， ∵∠EHF＝90°，EF＝4 ，∠2＝45°， ∴EH＝FH＝OM＝4 米． （2）设 ON＝OD＝m．作 AK⊥ON 于 K．则四边形 AKOB 是矩形，AK＝BO，OK＝AB ＝2 ∵AB∥OD， ∴ ＝ ， ∴ ＝ ， ∴OC＝ ， ∴AK＝OB＝ +1，NK＝m﹣2， 在 Rt△AKN 中，∵∠1＝60°， ∴NK＝ AK， ∴m﹣2＝ （ +1）， ∴m＝（14+8 ）米， ∴MN＝ON﹣OM＝14+8 ﹣4 ＝（14+4 ）米． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，轴对称的性质等知识，解题的关键是学会添加 常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数解决问题，属于中考常考题型． 22．（9 分）如图，矩形 ABCD 在平面直角坐标系的第一象限内，BC 与 x 轴平行，AB＝1， 点 C 的坐标为（6，2），E 是 AD 的中点；反比例函数 y1＝ （x＞0）图象经过点 C 和 点 E，过点 B 的直线 y2＝ax+b 与反比例函数图象交于点 F，点 F 的纵坐标为 4． （1）求反比例函数的解析式和点 E 的坐标； （2）求直线 BF 的解析式； （3）直接写出 y1＞y2 时，自变量 x 的取值范围． 【分析】（1）把 C 点的坐标代入，即可求出反比例函数的解析式，再求出 E 点的坐标 即可； （2）求出 B、F 的坐标，再求出解析式即可； （3）先求出两函数的交点坐标，即可得出答案．） 【解答】解：（1）∵反比例函数 y1＝ （x＞0）图象经过点 C，C 点的坐标为（6，2）， ∴k＝6×2＝12， 即反比例函数的解析式是 y1＝ ， ∵矩形 ABCD 在平面直角坐标系的第一象限内，BC 与 x 轴平行，AB＝1，点 C 的坐标为 （6，2）， ∴点 E 的纵坐标是 2+1＝3， 把 y＝3 代入 y1＝ 得：x＝4， 即点 E 的坐标为（4，3）； （2）∵过点 B 的直线 y2＝ax+b 与反比例函数图象交于点 F，点 F 的纵坐标为 4， 把 y＝4 代入 y1＝ 得：4＝ ， 解得：x＝3， 即 F 点的坐标为（3，4）， ∵E（4，3），C（6，2），E 为矩形 ABCD 的边 AD 的中点， ∴AE＝DE＝6﹣4＝2， ∴B 点的横坐标为 4﹣2＝2， 即点 B 的坐标为（2，2）， 把 B、F 点的坐标代入直线 y2＝ax+b 得： ， 解得：a＝2，b＝﹣2， 即直线 BF 的解析式是 y＝2x﹣2； （3）∵反比例函数在第一象限，F（3，4）， ∴当 y1＞y2 时，自变量 x 的取值范围是 0＜x＜3． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、函数的图象、用待定系数法求 出一次函数与反比例函数的解析式、矩形的性质等知识点，能正确求出两函数的解析式 是解此题的关键． 23．（10 分）如图 1，D 是 ⊙ O 的直径 BC 上的一点，过 D 作 DE⊥BC 交 ⊙ O 于 E、N，F 是 ⊙ O 上的一点，过 F 的直线分别与 CB、DE 的延长线相交于 A、P，连结 CF 交 PD 于 M，∠C＝ P． （1）求证：PA 是 ⊙ O 的切线； （2）若∠A＝30°， ⊙ O 的半径为 4，DM＝1，求 PM 的长； （3）如图 2，在（2）的条件下，连结 BF、BM；在线段 DN 上有一点 H，并且以 H、D、 C 为顶点的三角形与△BFM 相似，求 DH 的长度． 【分析】（1）如图 1 中，作 PH⊥FM 于 H．想办法证明∠PFH＝∠PMH，∠C＝∠OFC， 再根据等角的余角相等即可解决问题； （2）解直角三角形求出 AD，PD 即可解决问题； （3）分两种情形 ① 当△CDH∽△BFM 时， ＝ ． ② 当△CDH∽△MFB 时， ＝ ，分别构建方程即可解决问题； 【解答】（1）证明：如图 1 中，作 PH⊥FM 于 H． ∵PD⊥AC， ∴∠PHM＝∠CDM＝90°， ∵∠PMH＝∠DMC， ∴∠C＝∠MPH， ∵∠C＝ ∠FPM， ∴∠HPF＝∠HPM， ∵∠HFP+∠HPF＝90°，∠HMP+∠HPM＝90°， ∴∠PFH＝∠PMH， ∵OF＝OC， ∴∠C＝∠OFC， ∵∠C+∠CDM＝∠C+∠PMF＝∠C+∠PFH＝90°， ∴∠OFC+∠PFC＝90°， ∴∠OFP＝90°， ∴直线 PA 是 ⊙ O 的切线． （2）解：如图 1 中，∵∠A＝30°，∠AFO＝90°， ∴∠AOF＝60°， ∵∠AOF＝∠OFC+∠OCF，∠OFC＝∠OCF， ∴∠C＝30°， ∵ ⊙ O 的半径为 4，DM＝1， ∴OA＝2OF＝8，CD＝ DM＝ ， ∴OD＝OC﹣CD＝4﹣ ， ∴AD＝OA+OD＝8+4﹣ ＝12﹣ ， 在 Rt△ADP 中， DP＝AD•tan30°＝（12﹣ ）× ＝4 ﹣1， ∴PM＝PD﹣DM＝4 ﹣2． （3）如图 2 中， 由（2）可知：BF＝ BC＝4，FM＝ BF＝4 ，CM＝2DM＝2，CD＝ ， ∴FM＝FC﹣CM＝4 ﹣2， ① 当△CDH∽△BFM 时， ＝ ， ∴ ＝ ， ∴DH＝ ② 当△CDH∽△MFB 时， ＝ ， ∴ ＝ ， ∴DH＝ ， ∵DN＝ ＝ ， ∴DH＜DN，符合题意， 综上所述，满足条件的 DH 的值为 或 ． 【点评】本题考查圆综合题、切线的判定、解直角三角形、相似三角形的判定和性质等 知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压 轴题． 24．（12 分）已知抛物线的顶点为（2，﹣4）并经过点（﹣2，4），点 A 在抛物线的对称 轴上并且纵坐标为﹣ ，抛物线交 y 轴于点 N．如图 1． （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 为抛物线对称轴上的一点，△ANP 为等腰三角形，求点 P 的坐标； （3）如图 2，点 B 为直线 y＝﹣2 上的一个动点，过点 B 的直线 l 与 AB 垂直 ① 求证：直线 l 与抛物线总有两个交点； ② 设直线 1 与抛物线交于点 C、D（点 C 在左侧），分别过点 C、D 作直线 y＝﹣2 的垂 线，垂足分别为 E、F．求 EF 的长． 【分析】（1）由题意设抛物线的解析式为 y＝a（x﹣2）2﹣4，把（﹣2，4）代入求出 a 即可解决问题； （2）利用勾股定理求出 AN 的长，分三种情形分别求解即可解决问题； （3） ① 设 B（m，﹣2），则直线 AB 的解析式为 y＝ x+ ，由直线 l⊥AB，推 出直线 l 的解析式为 y＝（2m﹣4）x﹣2m2+4m﹣2，由 ，消去 y 得到：∴x2+4（1﹣m）x+4（m2﹣2m）＝0，只要证明△＞0 即可； ② 设 C（x1，y1），D（x2，y2），由 ① 可知：EF＝x2﹣x1，求出方程的两根即可解决问 题； 【解答】（1）解：由题意设抛物线的解析式为 y＝a（x﹣2）2﹣4，把（﹣2，4）代入得 到 a＝ ， ∴抛物线的解析式为 y＝ （x﹣2）2﹣4，即 y＝ x2﹣2x﹣2． （2）解：由题意：A（2，﹣1.5），N（0，﹣2）． ∴AN＝ ＝ ， 当 PA＝AN 时，可得 P1（2， ﹣ ），P3（2，﹣ ﹣ ）． 当 NA＝NP 时，可得 P2（2，﹣ ）， 当 PN＝PA 时，设 P4（2，a），则有（a+ ）2＝22+（a+2）2， 解得 a＝﹣ ， ∴P4（2，﹣ ）， 综上所述，满足条件的点 OP 坐标为 P1（2， ﹣ ），P2（2，﹣ ），P3（2，﹣ ﹣ ），P4（2，﹣ ）； （3） ① 证明：如图 2 中， 设 B（m，﹣2），则直线 AB 的解析式为 y＝ x+ ， ∵直线 l⊥AB， ∴直线 l 的解析式为 y＝（2m﹣4）x﹣2m2+4m﹣2， 由 ，消去 y 得到：∴x2+4（1﹣m）x+4（m2﹣2m）＝0， ∴△＝[4（1﹣m）]2﹣4•1•4（m2﹣2m）＝16＞0， ∴直线 l 与抛物线有两个交点． ② 设 C（x1，y1），D（x2，y2）， 由 ① 可知：EF＝x2﹣x1， ∵x2+4（1﹣m）x+4（m2﹣2m）＝0， ∴x＝ ＝ ， ∴x2＝ ，x1＝ ， ∴EF＝x2﹣x1＝4． 【点评】本题考查二次函数综合题、一次函数的应用、等腰三角形的判定和性质、一元二次 方程的根 判别式等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，学会构建一次函数，利用 方程组解决问题，属于中考压轴题． 中考数学试卷 一、选择题（共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分）在每小题给出的四个选项中只有一项 是正确的，把正确确的字母填涂在答题卡上相应的位置． 1．（4 分）在下面四个数中，无理数是（ ） A．0 B．﹣3.1415…… C． D． 2．（4 分）如图，AB∥EF，FD 平分∠EFC，若∠DFC＝50°，则∠ABC＝（ ） A．50° B．60° C．100° D．120° 3．（4 分）如图，数轴上点 A 对应的数为 2，AB⊥OA 于 A，且 AB＝1，以 O 为圆心，OB 长为半径作弧，交数轴于点 C，则 OC 长为（ ） A．3 B． C． D． 4．（4 分）如图，在△ABC 中，按以下步骤作图： ① 分别以 A、B 为圆心，大于 长为半 径作弧，两弧相交于 M、N 两点； ② 作直线 MN 交 BC 于 D，连结 AD．若 AD＝AC，∠ B＝25°，则∠C＝（ ） A．70° B．60° C．50° D．40° 5．（4 分）以下四个事件是必然事件的是（ ） ① |a|≥0 ② a0＝1 ③ am•an＝amn ④ a﹣n＝ （a≠0，n 为整数） A． ①② B． ①④ C． ②③ D． ③④6．（4 分）多项式 3x2y﹣6y 在实数范围内分解因式正确的是（ ） A． B．3y（x2﹣2） C．y（3x2﹣6） D． 7．（4 分）若 n（n≠0）是关于 x 的方程 x2+mx+2n＝0 的一个根，则 m+n 的值是（ ） A．1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 8．（4 分）凉山州某校举行“禁毒防艾”知识竞赛，该校八年级（1）班答题情况如图所示， 则该班正确答题数所组成的一组数据的众数和中位数分别是（ ） A．14、15 B．14、20 C．20、15 D．20、16 9．（4 分）下列说法正确的是（ ） ① 平行四边形既是中心对称图形，又是轴对称图形； ② 同一物体的三视图中，俯视图与 左视图的宽相等； ③ 线段的正投影是一条线段； ④ 主视图是正三角形的圆锥的侧面展开 图一定是半圆； ⑤ 图形平移的方向总是水平的，图形旋转后的效果总是不同的． A． ①③ B． ②④ C． ③⑤ D． ②⑤10．（4 分）无人机在 A 处测得正前方河流两岸 B、C 的俯角分别为 α ＝70°、 β ＝40°，此 时无人机的高度是 h，则河流的宽度 BC 为（ ） A．h（tan50°﹣tan20°） B．h（tan50°+tan20°） C． D． 11．（4 分）如图，AB 与 ⊙ O 相切于点 C，OA＝OB， ⊙ O 的直径为 6cm，AB＝6 cm，则 阴影部分的面积为（ ） A． B． C． D． 12．（4 分）二次函数 y＝ax2+bx+c（a≠0）的部分图象如图所示，则下列结论错误的是（ ） A．4a+b＝0 B．a+b＞0 C．a：c＝﹣1：5 D．当﹣1≤x≤5 时，y＞0 二、填空题（共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分） 13．（4 分）式子 有意义的条件是 ． 14．（4 分）已知两个角的和是 67°56′，差是 12°40′，则这两个角的度数分别是 ． 15．（4 分）如图，△ABC 外接圆的圆心坐标是 ． 16．（4 分）如图，AB 是 ⊙ O 的直径，弦 CD⊥AB 于 E，若 CD＝8，∠D＝60°，则 ⊙ O 的 半径为 ． 17．（4 分）方程 x2﹣bx+c＝0 中，系数 b、c 可以在 1、2、3、4 中任取一值（b、c 可以取 相同的值），则 b、c 所取的值使方程 x2﹣bx+c＝0 有实数根的概率是 ． 三、解答题（共 5 小题，共 32 分） 18．（5 分）计算：（ ）﹣1﹣|﹣2+ tan45°|+（ ﹣2018）0﹣（ ﹣ ）（ + ）． 19．（5 分）先化简，再求值：﹣3x2﹣[x（2x+1）+（4x3﹣5x）÷2x]，其中 x 是不等式组 的整数解． 20．（7 分）在▱ ABCD 中，E、F 分别是 AD、BC 上的点，将平行四边形 ABCD 沿 EF 所在 直线翻折，使点 B 与点 D 重合，且点 A 落在点 A′处． （1）求证：△A′ED≌△CFD； （2）连结 BE，若∠EBF＝60°，EF＝3，求四边形 BFDE 的面积． 21．（7 分）西昌市数科科如局从 2013 年起每年对全市所有中学生进行“我最喜欢的阳光大 课间活动”抽样调查（被调查学生每人只能选一项），并将抽样调查的数据绘制成图 1、 图 2 两幅统计图，根据统计图提供的信息解答下列问题： （1） 年抽取的调查人数最少； 年抽取的调查人数中男生、女生人数相等； （2）求图 2 中“短跑”在扇形图中所占的圆心角 α 的度数； （3）2017 年抽取的学生中，喜欢羽毛球和短跑的学生共有多少人？ （4）如果 2017 年全市共有 3.4 万名中学生，请你估计我市 2017 年喜欢乒乓球和羽毛球 两项运动的大约有多少人？ 22．（8 分）▱ ABCD 在平面直角坐标系中的位置如图所示，直线 y1＝kx+b 与双曲线 y2＝ （m ＞0）在第一象限的图象相交于 A、E 两点，且 A（3，4），E 是 BC 的中点． （1）连结 OE，若△ABE 的面积为 S1，△OCE 的面积为 S2，则 S1 S2（直接填“＞” “＜”或“＝”）； （2）求 y1 和 y2 的解析式； （3）请直接写出当 x 取何值时 y1＞y2． 四、填空题（共 2 小题，每小题 5 分，满分 10 分） 23．（5 分）当﹣1＜a＜0 时，则 ＝ ． 24．（5 分）△AOC 在平面直角坐标系中的位置如图所示，OA＝4，将△AOC 绕 O 点，逆时 针旋转 90°得到△A1OC1，A1C1，交 y 轴于 B（0，2），若△C1OB∽△C1A1O，则点 C1 的坐标 ． 五、解答题（共 4 小题，共 40 分） 25．（8 分）已知：△ABC 内接于 ⊙ O，AB 是 ⊙ O 的直径，作 EG⊥AB 于 H，交 BC 于 F， 延长 GE 交直线 MC 于 D，且∠MCA＝∠B，求证： （1）MC 是 ⊙ O 的切线； （2）△DCF 是等腰三角形． 26．（6 分）阅读材料：基本不等式 ≤ （a＞0，b＞0），当且仅当 a＝b 时，等号成 立．其中我们把 叫做正数 a、b 的算术平均数， 叫做正数 a、b 的几何平均数， 它是解决最大（小）值问题的有力工具． 例如：在 x＞0 的条件下，当 x 为何值时，x+ 有最小值，最小值是多少？ 解：∵x＞0， ＞0∴ ≥ 即是 x+ ≥2 ∴x+ ≥2 当且仅当 x＝ 即 x＝1 时，x+ 有最小值，最小值为 2． 请根据阅读材料解答下列问题 （1）若 x＞0，函数 y＝2x+ ，当 x 为何值时，函数有最值，并求出其最值． （2）当 x＞0 时，式子 x2+1+ ≥2 成立吗？请说明理由． 27．（14 分）结合西昌市创建文明城市要求，某小区业主委员会决定把一块长 80m，宽 60m 的矩形空地建成花园小广场，设计方案如图所示，阴影区域为绿化区（四块绿化区为全 等的直角三角形），空白区域为活动区，且四周出口宽度一样，其宽度不小于 36m，不大 于 44m，预计活动区造价 60 元/m2，绿化区造价 50 元/m2，设绿化区域较长直角边为 xm． （1）用含 x 的代数式表示出口的宽度； （2）求工程总造价 y 与 x 的函数关系式，并直接写出 x 的取值范围； （3）如果业主委员会投资 28.4 万元，能否完成全部工程？若能，请写出 x 为整数的所有 工程方案；若不能，请说明理由． （4）业主委员会决定在（3）设计的方案中，按最省钱的一种方案，先对四个绿化区域 进行绿化，在实际施工中，每天比原计划多绿化 11m2，结果提前 4 天完成四个区域的绿 化任务，问原计划每天绿化多少 m2． 28．（12 分）已知直线 y＝x+3 与 x 轴、y 轴分别相交于 A、B 两点，抛物线 y＝x2+bx+c 经过 A、B 两点，点 M 在线段 OA 上，从 O 点出发，向点 A 以每秒 1 个单位的速度匀速运动； 同时点 N 在线段 AB 上，从点 A 出发，向点 B 以每秒 个单位的速度匀速运动，连接 MN，设运动时间为 t 秒 （1）求抛物线解析式； （2）当 t 为何值时，△AMN 为直角三角形； （3）过 N 作 NH∥y 轴交抛物线于 H，连接 MH，是否存在点 H 使 MH∥AB，若存在， 求出点 H 的坐标，若不存在，请说明理由． 参考答案 一、选择题（共 12 个小题，每小题 4 分，共 48 分）在每小题给出的四个选项中只有一项 是正确的，把正确确的字母填涂在答题卡上相应的位置． 1．B； 2．C； 3．D； 4．C； 5．B； 6．A； 7．D； 8．A； 9．B； 10．A； 11．C； 12．D； 二、填空题（共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分） 13．x≥2 且 x≠3； 14．40°18′、27°38′； 15．（4，6）； 16． ； 17． ； 三、解答题（共 5 小题，共 32 分） 18． ； 19． ； 20． ； 21．2013；2016； 22．＝； 四、填空题（共 2 小题，每小题 5 分，满分 10 分） 23．2a； 24．（ ， ）； 五、解答题（共 4 小题，共 40 分） 25． ； 26． ； 27． ； 28． ；