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- 2021-11-11 发布
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二次函数与面积问题 1
第七讲 二次函数与面积问题
明确目标﹒定位考点
二次函数是初中代数的重要内容之一,中考通常放在压轴题的位置来考查,主要考查二次函数的图
像及性质(解析式、增减性、最值),并且通常以二次函数图像抛物线为背景,综合考查函数图像与几何
图形性质。占比 15 分左右。
热点聚焦﹒考点突破
考点 1 直接求三角形的面积
【例 1】 若抛物线
2 6y x x 与 x 轴交于 A、B两点,与 y 轴交于点 C,则△ABC 的面积为________。
【变式训练 1】已知二次函数 2 1 3
2 2
y x x 与 x轴交于 AB两点,顶点为 C,则△ABC 的面积为________。
【规律方法】直接套三角形面积公式。
考点 2 分割法求图形的面积
【例 2】)如图,已知直线 AB:y=kx+2k+4 与抛物线 21
2
y x 交于 A,B 两点.
(1)直线 AB 总经过一个定点 C,请直接出点 C 坐标;
(2)当 k=﹣
1
2
时,在直线 AB 下方的抛物线上求点 P,使△ABP 的面积等于 5;
【变式训练 2】已知二次函数 21 4
2
y x x 的图像与 x 轴的交点从右向左为 A、B 两点,与 y 轴交点
二次函数与面积问题 2
为 C,顶点为 D,求四边形 ABCD 的面积。
【规律方法】分割法求图形面积适于斜三角形及四边形。三角形分割成两个底和高与坐标轴平行(或垂直)
的三角形,四边形分割成几个三角形。
考点 3 扩充法求图形面积
【例 3】已知:如图抛物线 2
1 4y x x a 过点 A(0,3),抛物线 1y 与抛物线 2y 关于 y 轴对称,抛
物线 2y 的对称轴交 x轴于点 B,点 Q是第四象限内抛物线 1y 上的一点。
(1)求出抛物线 1y 的解析式;
(2)是否存在点 Q使得△QAB 的面积最大?若存在,请求出△QAB 的最大面积;若不存在,说明理由.
1y
【变式训练 3】如图, △ABC 是以 BC 为底边的等腰三角形,点 A、C 分别是一次函数
3 3
4
y x 的图像
二次函数与面积问题 3
与 y 轴、x 轴的交点,点 B 在二次函数 21
8
y x bx c 的图像上,且该二次函数图像上存在一点 D使四边
形 ABCD 能构成平行四边形.
(1)试求 b、c 的值,并写出该二次函数的解析式;
(2)动点 P 从 A 到 D,同时动点 Q 从 C 到 A 都以每秒 1 个单位的速度运动,问:当 P 运动到何处时,
四边形 PDCQ 的面积最小?此时四边形 PDCQ 的面积是多少?
【规律方法】 扩充法求图形面积即把原图扩为可求的图形,再用减法求所求图形的面积。
考点 4 动态问题与面积
【例 4】如图 11,在梯形 ABCD 中,AD∥BC,AB=AD=DC=2cm,BC=4cm,在等腰△PQR 中,∠QPR=120°,底
边 QR=6cm,点 B、C、Q、R 在同一直线 l 上,且 C、Q 两点重合,如果等腰△PQR 以 1cm/秒的速度沿直线 l
箭头所示方向匀速运动,t秒时梯形 ABCD 与等腰△PQR 重合部分的面积记为 S平方厘米。
(1)当 t=4 时,求 S 的值
(2)当 4 t ,求 S 与 t 的函数关系式,并求出 S 的最大值
【变式训练 4】如图所示,在平面直角坐标系中,抛物线 y=ax2+bx+c 经过 A(﹣3,0)、B(1,0)、C(0,
3)三点,其顶点为 D,连接 AD,点 P 是线段 AD 上一个动点(不与 A、D 重合),过点 P 作 y 轴的垂线,
二次函数与面积问题 4
垂足点为 E,连接 AE.
(1)求抛物线的函数解析式,并写出顶点 D的坐标;
(2)如果 P点的坐标为(x,y),△PAE的面积为 S,求 S与 x之间的函数关系式,直接写出自变量 x的
取值范围,并求出 S的最大值。
【规律方法】 动态问题中求图形的最大面积,利用二次函数的最值性质来解决。
归纳总结﹒思维升华
抛物线背景下,常见的有以下几何图形:
二次函数与面积问题 5
注意:
(1) 取三角形的底边时一般以坐标轴上线段或以与轴平行的线段为底边。
(2) 三边均不在坐标轴上的三角形及不规则多边形需把图形分解。(即采用割补法的方法把它分解成易
于求出面积的图形)
(3) 在求图形的面积时常常使用到以下公式:
抛物线解析式:
2 ( 0)y ax bx c a
抛物线与 x 轴两交点的距离 AB= 1 2AB x x
a
抛物线顶点坐标
24( , )
2 4
b ac b
a a
抛物线与 y 轴交点(0,c)
专题训练﹒对接中考
一、解答题。
1.已知关于 x 的二次函数 y=ax2+bx+c(a>0)的图象经过点 C(0,1),且与 x 轴交于不同的两点 A、B,点 A的
二次函数与面积问题 6
坐标是(1,0)
(1)求 c 的值;
(2)求 a 的取值范围;
(3)该二次函数的图象与直线 y=1 交于 C、D 两点,设 A、B、C、D 四点构成的四边形的对角线相交于点 P,
记△PCD 的面积为 S1,△PAB 的面积为 S2,当 0
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