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- 2021-11-11 发布
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第二十八章《锐角三角函数》单元检测题
题号 一 二
三
总分
21 22 23 24 25 26 27 28
分数
一、选择题
1.在△ABC 中,若 tanA=1,sinB= ,你认为最确切的判断是( )
A. △ABC 是等腰三角形
B. △ABC 是等腰直角三角形
C. △ABC 是直角三角形
D. △ABC 是一般锐角三角形
2.在△ABC 中,∠A,∠B 都是锐角,且 cosA= ,sinB= ,则△ABC 是( )
A. 直角三角形
B. 钝角三角形
C. 锐角三角形
D. 不能确定
3.如图,若锐角△ABC 内接于⊙O,点 D 在⊙O 外(与点 C 在 AB 同侧),则下列三个结论:①sin
∠C>sin ∠D;②cos ∠C>cos ∠D;③tan ∠C>tan ∠D 中,正确的结论为( )
A. ①②
B. ②③
C. ①②③
D. ①③
4.如图,小明为测量一条河流的宽度,他在河岸边相距 80 m 的 P 和 Q 两点分别测定对岸一棵树 R
的位置,R 在 Q 的正南方向,在 P 东偏南 36°的方向,则河宽( )
A. 80tan 36°
B. 80tan 54°
C.
D. 80tan 54°
5.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=2BC,现给出下列结论:
①sinA= ;②cosB= ;③tanA= ;④tanB= ,
其中正确的有( )
A. ①②③
B. ①②④
C. ①③④
D. ②③④
二、填空题
6.在△ABC 中,若|cosA |+(1-tanB)2=0,则△ABC 的形状是________________.
7.△ABC 中,AB=AC=5,BC=8,那么 sinB=__________.
8.如图,某山坡 AB 的坡角∠BAC=30°,则该山坡 AB 的坡度为__________.
9.在△ABC 中,∠C=90°,sinA= ,BC=12,那么 AC=__________.
10.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=2BC,现给出下列结论:①sinA= ;②cosB= ;③tanA=
;④tanB= ,其中正确的结论是__________(只需填上正确结论的序号)
三、解答题
11.对于钝角α,定义它的三角函数值如下:sinα=sin (180°-α),cosα=-cos (180°-
α);若一个三角形的三个内角的比是 1∶1∶4,A,B 是这个三角形的两个顶点,sinA,cosB 是方
程 4x2-mx-1=0 的两个不相等的实数根,求 m 的值及∠A 和∠B 的大小.
12.如图,某公园内有座桥,桥的高度是 5 米,CB⊥DB,坡面 AC 的倾斜角为 45°,为方便老人过
桥,市政部门决定降低坡度,使新坡面 DC 的坡度为 i= ∶3.若新坡角外需留下 2 米宽的人行
道,问离原坡角(A 点处)6 米的一棵树是否需要移栽?(参考数据: ≈1.414, ≈1.732)
13.若α,β为直角三角形的两个锐角,若 cosα= ,求 sinβ的值.
14.如图,△ABC 中,∠B=60°,∠C=75°,AC=3 ,求 AB 的长.
15.如图,港口 B 位于港口 A 的南偏东 37°方向,灯塔 C 恰好在 AB 的中点处,一艘海轮位于港口
A 的正南方向,港口 B 的正西方向的 D 处,它沿正北方向航行 5 km 到达 E 处,测得灯塔 C 在北偏
东 45°方向上,这时,E 处距离港口 A 有多远?(参考数据:sin 37°≈0.60,cos 37°≈0.80,
tan 37°≈0.75)
16.在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,a=5,解这个直角三角形.
17.已知三角函数值,求锐角(精确到 1″).
(1)已知 sinα=0.501 8,求锐角α;
(2)已知 tanθ=5,求锐角θ.
18.如图,长方形广告牌架在楼房顶部,已知 CD=2 m,经测量得到∠CAH=37°,∠DBH=60°,
AB=10 m,求 GH 的长.(参考数据:tan 37°≈0.75, ≈1.732,结果精确到 0.1 m)
答案解析
1.【答案】B
【解析】∵tanA=1,sinB= ,
∴∠A=45°,∠B=45°.
又∵三角形内角和为 180°,
∴∠C=90°.
∴△ABC 是等腰直角三角形.
故选 B.
2.【答案】B
【解析】由∠A,∠B 都是锐角,且 cosA= ,sinB= ,得
A=B=30°,C=180°-A-B=180°-30°-30°=120°,
故选 B.
3.【答案】D
【解析】如图,连接 BE,
根据圆周角定理,可得∠C=∠AEB,
∵∠AEB=∠D+∠DBE,
∴∠AEB>∠D,
∴∠C>∠D,
根据锐角三角形函数的增减性,可得,
sin ∠C>sin ∠D,故①正确;cos ∠C<cos ∠D,故②错误;tan ∠C>tan ∠D,故③正
确,故选 D.
4.【答案】A
【解析】∵R 在 P 东偏南 36°的方向,
∴∠QPR=36°,
tan 36°= ,
∵PQ=80,
∴QR=tan 36°
PQ=80tan 36°,
故选 A.
5.【答案】D
【解析】∵∠C=90°,AB=2BC,
∴AC= BC,
①sinA= = ;
②cosB= = ;
③tanA= = ;
④tanB= = ,
正确的有②③④,
故选 D.
6.【答案】锐角三角形
【解析】由题意得:cosA- =0,1-tanB=0,
解得 cosA= ,tanB=1,
∴∠A=60°,∠B=45°.
∴∠C=180°-60°-45°=75°.
∴△ABC 是锐角三角形.
7.【答案】
【解析】过 A 作 AD⊥BC 于 D,
∵AB=AC=5,BC=8,
∴∠ADB=90°,BD= BC=4,
由勾股定理得 AD= =3,
∴sinB= = .
8.【答案】
【解析】根据坡度等于坡角的正切值即可得到结果.
根据题意,得该山坡 AB 的坡度为 tan 30°= .
9.【答案】5
【解析】在△ABC 中,∠C=90°,
∵sinA= = ,BC=12,
∴AB=13,
∴AC= =5.
10.【答案】②③④
【解析】如图所示:
∵在 Rt△ABC 中,∠C=90°,AB=2BC,
∴sinA= = ,故①错误;
∴∠A=30°,
∴∠B=60°,
∴cosB=cos 60°= ,故②正确;
∵∠A=30°,
∴tanA=tan 30°= ,故③正确;
∵∠B=60°,
∴tanB=tan 60°= ,故④正确.
故答案为②③④.
11.【答案】解 ∵三角形的三个内角的比是 1∶1∶4,
∴三个内角分别为 30°,30°,120°,
①当∠A=30°,∠B=120°时,方程的两根为 ,- ,
将 代入方程,得 4× 2-m× -1=0,
解得 m=0,
经检验- 是方程 4x2-1=0 的根,
∴m=0 符合题意;
②当∠A=120°,∠B=30°时,两根为 , ,不符合题意;
③当∠A=30°,∠B=30°时,两根为 , ,
将 代入方程得:4×( )2-m× -1=0,
解得 m=0,
经检验 不是方程 4x2-1=0 的根.
综上所述:m=0,∠A=30°,∠B=120°.
【解析】分三种情况进行分析:①当∠A=30°,∠B=120°时;②当∠A=120°,∠B=30°
时;③当∠A=30°,∠B=30°时,根据题意分别求出 m 的值即可.
12.【答案】解 不需要移栽,理由:
∵CB⊥AB,∠CAB=45°,
∴△ABC 为等腰直角三角形,
∴AB=BC=5 米,
在 Rt△BCD 中,新坡面 DC 的坡度为 i= ∶3,即∠CDB=30°,
∴DC=2BC=10 米,BD= BC=5 米,
∴AD=BD-AB=(5 -5)米≈3.66 米,
∵2+3.66=5.66<6,
∴不需要移栽.
【解析】根据题意得到三角形 ABC 为等腰直角三角形,求出 AB 的长,在直角三角形 BCD 中,根据
新坡面的坡度求出∠BDC 的度数为 30,利用 30 度角所对的直角边等于斜边的一半求出 DC 的长,
再利用勾股定理求出 DB 的长,由 DB-AB 求出 AD 的长,然后将 AD+2 与 6 进行比较,若大于则需
要移栽,反之不需要移栽.
13.【答案】解 ∵α,β为直角三角形的两个锐角,
∴sinβ=cos (90°-β)=cosα= .
【解析】根据互余两角三角函数的关系进行解答.
14.【答案】解 过点 C 作 CD⊥AB 于点 D,
∵∠B=60°,∠C=75°,
∴∠A=45°,
在△ADC 中,AC=3 ,
∵sinA= ,
∴AD=sin 45°×3 =3=CD,
在△BDC 中,∠DCB=30°,
∵tan ∠BCD= ,
∴BD=tan 30°×3= ,
∴AB= +3.
【解析】过点 C 作 CD⊥AB 于点 D,先根据三角形内角和定理计算出∠A=45°,在 Rt△ADC 中,利
用∠A 的正弦可计算出 CD,进而求得 AD,然后在 Rt△BDC 中,利用∠B 的余切可计算出 BD,进而
就可求得 AB.
15.【答案】解 如图作 CH⊥AD 于 H.设 CH=xkm,
在 Rt△ACH 中,∠A=37°,∵tan 37°= ,
∴AH= = ,
在 Rt△CEH 中,∵∠CEH=45°,
∴CH=EH=x,
∵CH⊥AD,BD⊥AD,
∴CH∥BD,
∴ = ,
∵AC=CB,
∴AH=HD,
∴ =x+5,
∴x= ≈15,
∴AE=AH+HE= +15≈35 km,
∴E 处距离港口 A 有 35 km.
【解析】如图作 CH⊥AD 于 H.设 CH=xkm,在 Rt△ACH 中,可得 AH= = ,在 Rt△CEH
中,可得 CH=EH=x,由 CH∥BD,推出 = ,由 AC=CB,推出 AH=HD,可得 =x+5,求
出 x 即可解决问题.
16.【答案】解 在 Rt△ABC 中,∠B=90°-∠A=60°,
∵tanB= ,
∴b=a×tanB=5×tan 60°=5 ,
由勾股定理,得 c= =10.
【解析】直角三角形的两个锐角互余,并且 Rt△ABC 中,∠C=90°则∠A=90-∠B=60°,解直
角三角形就是求直角三角形中出直角以外的两锐角,三边中的未知的元素.
17.【答案】解 (1)∵sinα=0.501 8,
∴α≈30.119 1°.
∴a≈30°7′9″;
(2)∵tanθ=5,
∴θ=78.690 0°≈78°41′24″.
【解析】利用计算器进行计算即可,然后将结果化为度分秒的形式即可.
18.【答案】解 延长 CD 交 AH 于点 E,如图所示:根据题意得 CE⊥AH,
设 DE=xm,则 CE=(x+2)m,
在 Rt△AEC 和 Rt△BED 中,tan 37°= ,tan 60°= ,
∴AE= ,BE= ,
∵AE-BE=AB,
∴ =10,
即 - =10,
解得 x≈5.8,
∴DE=5.8 m,
∴GH=CE=CD+DE=2 m+5.8 m=7.8 m.
答:GH 的长为 7.8 m.
【解析】首先构造直角三角形,设 DE=xm,则 CE=(x+2)m,由三角函数得出 AE 和 BE,由 AE=
BE=AB 得出方程,解方程求出 DE,即可得出 GH 的长.