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- 2021-11-11 发布
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2020 年浙江省丽水市中考数学试卷
一、选择题(本题有 10 小题,每小题 3 分,共 30 分)
1.(3 分)实数 3 的相反数是 ( )
A. 3 B.3 C. 1
3
D. 1
3
2.(3 分)分式 5
2
x
x
的值是零,则 x 的值为 ( )
A.2 B.5 C. 2 D. 5
3.(3 分)下列多项式中,能运用平方差公式分解因式的是 ( )
A. 2 2a b B. 22a b C. 2 2a b D. 2 2a b
4.(3 分)下列四个图形中,是中心对称图形的是 ( )
A. B.
C. D.
5.(3 分)如图,有一些写有号码的卡片,它们的背面都相同,现将它们背面朝上,从中任
意摸出一张,摸到 1 号卡片的概率是 ( )
A. 1
2 B. 1
3 C. 2
3 D. 1
6
6.(3 分)如图,工人师傅用角尺画出工件边缘 AB 的垂线 a和 b ,得到 / /a b .理由是 ( )
A.连结直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短
B.在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C.在同一平面内,过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D.经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
7.(3 分)已知点 ( 2 , )(2a , )(3b , )c 在函数 ( 0)ky kx
的图象上,则下列判断正确的
是 ( )
A. a b c B.b a c C. a c b D. c b a
8.(3 分)如图, O 是等边 ABC 的内切圆,分别切 AB ,BC , AC 于点 E ,F ,D ,P
是 DF 上一点,则 EPF 的度数是 ( )
A. 65 B. 60 C.58 D.50
9.(3 分)如图,在编写数学谜题时,“□”内要求填写同一个数字,若设“□”内数字为 x .则
列出方程正确的是 ( )
A.3 2 5 2x x B.3 20 5 10 2x x
C. 3 20 5 20x x D. 3 (20 ) 5 10 2x x
10.(3 分)如图,四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”,得到正方形 ABCD 与正方形
EFGH .连结 EG ,BD 相交于点 O 、BD 与 HC 相交于点 P .若 GO GP ,则 ABCD
EFGH
S
S
正方形
正方形
的
值是 ( )
A.1 2 B. 2 2 C. 5 2 D.15
4
二、填空题(本题有 6 小题,每小题 4 分,共 24 分)
11.(4 分)点 ( ,2)P m 在第二象限内,则 m 的值可以是(写出一个即可) .
12.(4 分)数据 1,2,4,5,3 的中位数是 .
13.(4 分)如图为一个长方体,则该几何体主视图的面积为 2cm .
14.(4 分)如图,平移图形 M ,与图形 N 可以拼成一个平行四边形,则图中 的度数是
.
15.(4 分)如图是小明画的卡通图形,每个正六边形的边长都相等,相邻两正六边形的边
重合,点 A , B , C 均为正六边形的顶点, AB 与地面 BC 所成的锐角为 .则 tan 的值
是 .
16.(4 分)图 1 是一个闭合时的夹子,图 2 是该夹子的主视示意图,夹子两边为 AC , BD
(点 A 与点 B 重合),点 O 是夹子转轴位置, OE AC 于点 E , OF BD 于点 F ,
1OE OF cm , 6AC BD cm ,CE DF , : 2:3CE AE .按图示方式用手指按夹子,
夹子两边绕点 O 转动.
(1)当 E ,F 两点的距离最大时,以点 A ,B ,C ,D 为顶点的四边形的周长是 cm .
(2)当夹子的开口最大(即点 C 与点 D 重合)时, A , B 两点的距离为 cm .
三、解答题(本题有 8 小题,共 66 分,各小题都必须写出解答过程)
17.(6 分)计算: 0( 2020) 4 tan 45 | 3| .
18.(6 分)解不等式: 5 5 2(2 )x x .
19.(6 分)某市在开展线上教学活动期间,为更好地组织初中学生居家体育锻炼,随机抽
取了部分初中学生对“最喜爱的体育锻炼项目”进行线上问卷调查(每人必须且只选其中一
项),得到如图两幅不完整的统计图表.请根据图表信息回答下列问题:
抽取的学生最喜爱体育锻炼项目的统计表
类别 项目 人数(人 )
A 跳绳 59
B 健身操 ▲
C 俯卧撑 31
D 开合跳 ▲
E 其它 22
(1)求参与问卷调查的学生总人数.
(2)在参与问卷调查的学生中,最喜爱“开合跳”的学生有多少人?
(3)该市共有初中学生约 8000 人,估算该市初中学生中最喜爱“健身操”的人数.
20.(8 分)如图, AB 的半径 2OA , OC AB 于点 C , 60AOC .
(1)求弦 AB 的长.
(2)求 AB 的长.
21.(8 分)某地区山峰的高度每增加 1 百米,气温大约降低 0.6 C ,气温 ( C)T 和高度 h(百
米)的函数关系如图所示.
请根据图象解决下列问题:
(1)求高度为 5 百米时的气温;
(2)求T 关于 h 的函数表达式;
(3)测得山顶的气温为 6 C ,求该山峰的高度.
22.(10 分)如图,在 ABC 中, 4 2AB , 45B , 60C .
(1)求 BC 边上的高线长.
(2)点 E 为线段 AB 的中点,点 F 在边 AC 上,连结 EF ,沿 EF 将 AEF 折叠得到 PEF .
①如图 2,当点 P 落在 BC 上时,求 AEP 的度数.
②如图 3,连结 AP ,当 PF AC 时,求 AP 的长.
23.(10 分)如图,在平面直角坐标系中,已知二次函数 21 ( ) 42y x m 图象的顶点为 A ,
与 y 轴交于点 B ,异于顶点 A 的点 (1, )C n 在该函数图象上.
(1)当 5m 时,求 n 的值.
(2)当 2n 时,若点 A 在第一象限内,结合图象,求当 2y
时,自变量 x 的取值范围.
(3)作直线 AC 与 y 轴相交于点 D .当点 B 在 x 轴上方,且在线段 OD 上时,求 m 的取值
范围.
24.(12 分)如图,在平面直角坐标系中,正方形 ABOC 的两直角边分别在坐标轴的正半轴
上,分别过 OB , OC 的中点 D , E 作 AE , AD 的平行线,相交于点 F ,已知 8OB .
(1)求证:四边形 AEFD 为菱形.
(2)求四边形 AEFD 的面积.
(3)若点 P 在 x 轴正半轴上(异于点 )D ,点 Q 在 y 轴上,平面内是否存在点 G ,使得以
点 A , P ,Q ,G 为顶点的四边形与四边形 AEFD 相似?若存在,求点 P 的坐标;若不存
在,试说明理由.
2020 年浙江省丽水市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本题有 10 小题,每小题 3 分,共 30 分)
1.(3 分)实数 3 的相反数是 ( )
A. 3 B.3 C. 1
3
D. 1
3
【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案.
【解答】解:实数 3 的相反数是: 3 .
故选: A .
【点评】此题主要考查了实数的性质,正确掌握相反数的定义是解题关键.
2.(3 分)分式 5
2
x
x
的值是零,则 x 的值为 ( )
A.2 B.5 C. 2 D. 5
【分析】利用分式值为零的条件可得 5 0x ,且 2 0x ,再解即可.
【解答】解:由题意得: 5 0x ,且 2 0x ,
解得: 5x ,
故选: D .
【点评】此题主要考查了分式值为零的条件,关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且
分母不等于零.注意:“分母不为零”这个条件不能少.
3.(3 分)下列多项式中,能运用平方差公式分解因式的是 ( )
A. 2 2a b B. 22a b C. 2 2a b D. 2 2a b
【分析】根据能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式,两项都能写成平方的形
式,且符号相反进行分析即可.
【解答】解: A 、 2 2a b 不能运用平方差公式分解,故此选项错误;
B 、 22a b 不能运用平方差公式分解,故此选项错误;
C 、 2 2a b 能运用平方差公式分解,故此选项正确;
D 、 2 2a b 不能运用平方差公式分解,故此选项错误;
故选: C .
【点评】此题考查了平方差公式,熟练掌握平方差公式是解本题的关键.
4.(3 分)下列四个图形中,是中心对称图形的是 ( )
A. B.
C. D.
【分析】根据中心对称图形的概念对各图形分析判断即可得解.
【解答】解: A 、该图形不是中心对称图形,故本选项不合题意;
B 、该图形不是中心对称图形,故本选项不合题意;
C 、该图形是中心对称图形,故本选项符合题意;
D 、该图形不是中心对称图形,故本选项不合题意;
故选: C .
【点评】本题考查了中心对称图形的概念,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转 180 度后
两部分重合.
5.(3 分)如图,有一些写有号码的卡片,它们的背面都相同,现将它们背面朝上,从中任
意摸出一张,摸到 1 号卡片的概率是 ( )
A. 1
2 B. 1
3 C. 2
3 D. 1
6
【分析】根据概率公式直接求解即可.
【解答】解:共有 6 张卡片,其中写有 1 号的有 3 张,
从中任意摸出一张,摸到 1 号卡片的概率是 3 1
6 2
;
故选: A .
【点评】此题考查了概率的求法,用到的知识点为:可能性等于所求情况数与总情况数之比.
6.(3 分)如图,工人师傅用角尺画出工件边缘 AB 的垂线 a和 b ,得到 / /a b .理由是 ( )
A.连结直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短
B.在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行
C.在同一平面内,过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线
D.经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行
【分析】根据垂直于同一条直线的两条直线平行判断即可.
【解答】解:由题意 a AB , b AB ,
/ /a b (垂直于同一条直线的两条直线平行),
故选: B .
【点评】本题考查平行线的判定,平行公理等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学
知识解决问题.
7.(3 分)已知点 ( 2 , )(2a , )(3b , )c 在函数 ( 0)ky kx
的图象上,则下列判断正确的
是 ( )
A. a b c B.b a c C. a c b D. c b a
【分析】根据反比例函数的性质得到函数 ( 0)ky kx
的图象分布在第一、三象限,在每一
象限, y 随 x 的增大而减小,则 0b c , 0a .
【解答】解: 0k ,
函数 ( 0)ky kx
的图象分布在第一、三象限,在每一象限, y 随 x 的增大而减小,
2 0 2 3 ,
0b c , 0a ,
a c b .
故选: C .
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,熟练掌握反比例函数的性质是解题的
关键.
8.(3 分)如图, O 是等边 ABC 的内切圆,分别切 AB ,BC , AC 于点 E ,F ,D ,P
是 DF 上一点,则 EPF 的度数是 ( )
A. 65 B. 60 C.58 D.50
【分析】如图,连接 OE , OF .求出 EOF 的度数即可解决问题.
【解答】解:如图,连接 OE , OF .
O 是 ABC 的内切圆, E , F 是切点,
OE AB , OF BC ,
90OEB OFB ,
ABC 是等边三角形,
60B ,
120EOF ,
1 602EPF EOF ,
故选: B .
【点评】本题考查三角形的内切圆与内心,切线的性质,圆周角定理等知识,解题的关键是
熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
9.(3 分)如图,在编写数学谜题时,“□”内要求填写同一个数字,若设“□”内数字为 x .则
列出方程正确的是 ( )
A.3 2 5 2x x B.3 20 5 10 2x x
C. 3 20 5 20x x D. 3 (20 ) 5 10 2x x
【分析】直接利用表示十位数的方法进而得出等式即可.
【解答】解:设“□”内数字为 x ,根据题意可得:
3 (20 ) 5 10 2x x .
故选: D .
【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程,正确表示十位数是解题关键.
10.(3 分)如图,四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”,得到正方形 ABCD 与正方形
EFGH .连结 EG ,BD 相交于点 O 、BD 与 HC 相交于点 P .若 GO GP ,则 ABCD
EFGH
S
S
正方形
正方形
的
值是 ( )
A.1 2 B. 2 2 C. 5 2 D.15
4
【分析】证明 ( )BPG BCG ASA ,得出 PG CG .设 OG PG CG x ,则 2EG x ,
2FG x ,由勾股定理得出 2 2(4 2 2)BC x ,则可得出答案.
【解答】解:四边形 EFGH 为正方形,
45EGH , 90FGH ,
OG GP ,
67.5GOP OPG ,
22.5PBG ,
又 45DBC ,
22.5GBC ,
PBG GBC ,
90BGP BG , BG BG ,
( )BPG BCG ASA ,
PG CG .
设 OG PG CG x ,
O 为 EG , BD 的交点,
2EG x , 2FG x ,
四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”,
BF CG x ,
2BG x x ,
2 2 2 2 2 2 2( 2 1) (4 2 2)BC BG CG x x x ,
2
2
4 2 2
2 22
ABCD
EFGH
xS
S x
正方形
正方形
.
故选: B .
【点评】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,直角三角形的性
质等知识,熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键.
二、填空题(本题有 6 小题,每小题 4 分,共 24 分)
11.(4 分)点 ( ,2)P m 在第二象限内,则 m 的值可以是(写出一个即可) 1 (答案不唯
一). .
【分析】直接利用第二象限内点的坐标特点得出 m 的取值范围,进而得出答案.
【解答】解:点 ( ,2)P m 在第二象限内,
0m ,
则 m 的值可以是 1 (答案不唯一).
故答案为: 1 (答案不唯一).
【点评】此题主要考查了点的坐标,正确得出 m 的取值范围是解题关键.
12.(4 分)数据 1,2,4,5,3 的中位数是 3 .
【分析】先将题目中的数据按照从小到大排列,即可得到这组数据的中位数.
【解答】解:数据 1,2,4,5,3 按照从小到大排列是 1,2,3,4,5,
则这组数据的中位数是 3,
故答案为:3.
【点评】本题考查中位数,解答本题的关键是明确中位数的含义,会求一组数据的中位数.
13.(4 分)如图为一个长方体,则该几何体主视图的面积为 20 2cm .
【分析】根据从正面看所得到的图形,即可得出这个几何体的主视图的面积.
【解答】解:该几何体的主视图是一个长为 5,宽为 4 的矩形,所以该几何体主视图的面积
为 220cm .
故答案为:20.
【点评】本题考查了三视图的知识,主视图是从物体的正面看得到的视图.
14.(4 分)如图,平移图形 M ,与图形 N 可以拼成一个平行四边形,则图中 的度数是 30
.
【分析】根据平行四边形的性质解答即可.
【解答】解:四边形 ABCD 是平行四边形,
180 60D C ,
180 (540 70 140 180 ) 30 ,
故答案为:30.
【点评】此题考查平行四边形的性质,关键是根据平行四边形的邻角互补解答.
15.(4 分)如图是小明画的卡通图形,每个正六边形的边长都相等,相邻两正六边形的边
重合,点 A , B , C 均为正六边形的顶点, AB 与地面 BC 所成的锐角为 .则 tan 的值
是 19 3
15
.
【分析】如图,作 / /AT BC ,过点 B 作 BH AT 于 H ,设正六边形的边长为 a ,则正六边
形的半径为 a,边心距 3
2 a .求出 BH , AH 即可解决问题.
【解答】解:如图,作 / /AT BC ,过点 B 作 BH AT 于 H ,设正六边形的边长为 a ,则正
六边形的半径为,边心距 3
2 a .
观察图象可知: 19
2BH a , 5 3
2AH a ,
/ /AT BC ,
BAH ,
19
19 32tan 155 3
2
aBH
AH a
.
故答案为 19 3
15
.
【点评】本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是理解题意,学会添加常用辅助线,构
造直角三角形解决问题.
16.(4 分)图 1 是一个闭合时的夹子,图 2 是该夹子的主视示意图,夹子两边为 AC , BD
(点 A 与点 B 重合),点 O 是夹子转轴位置, OE AC 于点 E , OF BD 于点 F ,
1OE OF cm , 6AC BD cm ,CE DF , : 2:3CE AE .按图示方式用手指按夹子,
夹子两边绕点 O 转动.
(1)当 E ,F 两点的距离最大时,以点 A ,B ,C ,D 为顶点的四边形的周长是 16 cm .
(2)当夹子的开口最大(即点 C 与点 D 重合)时, A , B 两点的距离为 cm .
【分析】(1)当 E , F 两点的距离最大时, E , O , F 共线,此时四边形 ABCD 是矩形,
求出矩形的长和宽即可解决问题.
(2)如图 3 中,连接 EF 交 OC 于 H .想办法求出 EF ,利用平行线分线段成比例定理即
可解决问题.
【解答】解:(1)当 E , F 两点的距离最大时, E ,O , F 共线,此时四边形 ABCD 是矩
形,
1OE OF cm ,
2EF cm ,
2AB CD cm ,
此时四边形 ABCD 的周长为 2 2 6 6 16( )cm ,
故答案为 16.
(2)如图 3 中,连接 EF 交 OC 于 H .
由题意 2 126 ( )5 5CE CF cm ,
1OE OF cm ,
CO 垂直平分线段 EF ,
2 2 2 212 13( ) 1 ( )5 5OC CE OE cm ,
1 1
2 2OE EC CO EH ,
121 125 ( )13 13
5
EH cm
,
242 ( )13EF EH cm
/ /EF AB ,
2
5
EF CE
AB CB
,
5 24 60 ( )2 13 13AB cm .
故答案为 60
13
.
【点评】本题考查旋转的性质,矩形的判定和性质,平行线分线段成比例定理等知识,解题
的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题.
三、解答题(本题有 8 小题,共 66 分,各小题都必须写出解答过程)
17.(6 分)计算: 0( 2020) 4 tan 45 | 3| .
【分析】利用零次幂的性质、二次根式的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质进行计
算,再算加减即可.
【解答】解:原式 1 2 1 3 5 .
【点评】此题主要考查了实数运算,关键是掌握零次幂、二次根式的性质、特殊角的三角函
数值、绝对值的性质.
18.(6 分)解不等式: 5 5 2(2 )x x .
【分析】去括号,移项、合并同类项,系数化为 1 求得即可.
【解答】解: 5 5 2(2 )x x ,
5 5 4 2x x
5 2 4 5x x ,
3 9x ,
3x .
【点评】本题考查了解一元一次不等式,熟练掌握解不等式的步骤是解题的关键.
19.(6 分)某市在开展线上教学活动期间,为更好地组织初中学生居家体育锻炼,随机抽
取了部分初中学生对“最喜爱的体育锻炼项目”进行线上问卷调查(每人必须且只选其中一
项),得到如图两幅不完整的统计图表.请根据图表信息回答下列问题:
抽取的学生最喜爱体育锻炼项目的统计表
类别 项目 人数(人 )
A 跳绳 59
B 健身操 ▲
C 俯卧撑 31
D 开合跳 ▲
E 其它 22
(1)求参与问卷调查的学生总人数.
(2)在参与问卷调查的学生中,最喜爱“开合跳”的学生有多少人?
(3)该市共有初中学生约 8000 人,估算该市初中学生中最喜爱“健身操”的人数.
【分析】(1)从统计图表中可得,“ E 组 其它”的频数为 22,所占的百分比为11% ,可求
出调查学生总数;
(2)“开合跳”的人数占调查人数的 24% ,即可求出最喜爱“开合跳”的人数;
(3)求出“健身操”所占的百分比,用样本估计总体,即可求出 8000 人中喜爱“健身操”
的人数.
【解答】解:(1) 22 11% 200 (人 ) ,
答:参与调查的学生总数为 200 人;
(2) 200 24% 48 (人 ) ,
答:最喜爱“开合跳”的学生有 48 人;
(3)最喜爱“健身操”的学生数为 200 59 31 48 22 40 (人 ) ,
408000 1600200
(人 ) ,
答:最喜爱“健身操”的学生数大约为 1600 人.
【点评】考查统计表、扇形统计图的意义和制作方法,理解统计图表中的数量之间的关是解
决问题的关键.
20.(8 分)如图, AB 的半径 2OA , OC AB 于点 C , 60AOC .
(1)求弦 AB 的长.
(2)求 AB 的长.
【分析】(1)根据题意和垂径定理,可以求得 AC 的长,然后即可得到 AB 的长;
(2)根据 60AOC ,可以得到 AOB 的度数,然后根据弧长公式计算即可.
【解答】解:(1) AB 的半径 2OA , OC AB 于点 C , 60AOC ,
3sin60 2 32AC OA ,
2 2 3AB AC ;
(2) OC AB , 60AOC ,
120AOB ,
2OA ,
AB 的长是: 120 2 4
180 3
.
【点评】本题考查弧长的计算、垂径定理,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思
想解答.
21.(8 分)某地区山峰的高度每增加 1 百米,气温大约降低 0.6 C ,气温 ( C)T 和高度 h(百
米)的函数关系如图所示.
请根据图象解决下列问题:
(1)求高度为 5 百米时的气温;
(2)求T 关于 h 的函数表达式;
(3)测得山顶的气温为 6 C ,求该山峰的高度.
【分析】(1)根据高度每增加 1 百米,气温大约降低 0.6 C ,由 3 百米时温度为13.2 C ,即
可得出高度为 5 百米时的气温;
(2)应用待定系数法解答即可;
(3)根据(2)的结论解答即可.
【解答】解:(1)由题意得,高度增加 2 百米,则气温降低 2 0.6 1.2( )C ,
13.2 1.2 12 ,
高度为 5 百米时的气温大约是12 C ;
(2)设T 关于 h 的函数表达式为T kh b ,
则: 3 13.2
5 12
k b
k b
,
解得 0.6
15
k
b
,
T 关于 h 的函数表达式为 0.6 15T h ;
(3)当 6T 时, 6 0.6 15h ,
解得 15h .
该山峰的高度大约为 15 百米.
【点评】本题考查一次函数的应用,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利
用数形结合的思想解答问题.
22.(10 分)如图,在 ABC 中, 4 2AB , 45B , 60C .
(1)求 BC 边上的高线长.
(2)点 E 为线段 AB 的中点,点 F 在边 AC 上,连结 EF ,沿 EF 将 AEF 折叠得到 PEF .
①如图 2,当点 P 落在 BC 上时,求 AEP 的度数.
②如图 3,连结 AP ,当 PF AC 时,求 AP 的长.
【分析】(1)如图 1 中,过点 A 作 AD BC 于 D .解直角三角形求出 AD 即可.
(2)①证明 BE EP ,可得 45EPB B 解决问题.
②如图 3 中,由(1)可知: 8 3
sin 60 3
ADAC
,证明 AEF ACB ∽ ,推出 AF AE
AB AC
,
由此求出 AF 即可解决问题.
【解答】解:(1)如图 1 中,过点 A 作 AD BC 于 D .
在 Rt ABD 中, 2sin 45 4 2 42AD AB .
(2)①如图 2 中,
AEF PEF ,
AE EP ,
AE EB ,
BE EP ,
45EPB B ,
90PEB ,
180 90 90AEP .
②如图 3 中,由(1)可知: 8 3
sin 60 3
ADAC
,
PF AC ,
90PFA ,
AEF PEF ,
45AFE PFE ,
AFE B ,
EAF CAB ,
AEF ACB ∽ ,
AF AE
AB AC
,即 2 2
4 2 8 3
3
AF ,
2 3AF ,
在 Rt AFP , AF FP ,
2 2 6AP AF .
【点评】本题属于三角形综合题,考查了解直角三角形的应用,翻折变换,全等三角形的性
质,相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题,属于中
考常考题型.
23.(10 分)如图,在平面直角坐标系中,已知二次函数 21 ( ) 42y x m 图象的顶点为 A ,
与 y 轴交于点 B ,异于顶点 A 的点 (1, )C n 在该函数图象上.
(1)当 5m 时,求 n 的值.
(2)当 2n 时,若点 A 在第一象限内,结合图象,求当 2y
时,自变量 x 的取值范围.
(3)作直线 AC 与 y 轴相交于点 D .当点 B 在 x 轴上方,且在线段 OD 上时,求 m 的取值
范围.
【分析】(1)利用待定系数法求解即可.
(2)求出 2y 时, x 的值即可判断.
(3)由题意点 B 的坐标为 21(0, 4)2 m ,求出几个特殊位置 m 的值即可判断.
【解答】解:(1)当 5m 时, 21 ( 5) 42y x ,
当 1x 时, 21 4 4 42n .
(2)当 2n 时,将 (1,2)C 代入函数表达式 21 ( ) 42y x m ,得 212 (1 ) 42 m ,
解得 3m 或 1 (舍弃),
此时抛物线的对称轴 3x ,
根据抛物线的对称性可知,当 2y 时, 1x 或 5,
x 的取值范围为1 5x .
(3)点 A 与点 C 不重合,
1m ,
抛物线的顶点 A 的坐标是 ( ,4)m ,
抛物线的顶点在直线 4y 上,
当 0x 时, 21 42y m ,
点 B 的坐标为 21(0, 4)2 m ,
抛物线从图 1 的位置向左平移到图 2 的位置, m 逐渐减小,点 B 沿 y 轴向上移动,
当点 B 与 O 重合时, 21 4 02 m ,
解得 2 2m 或 2 2 ,
当点 B 与点 D 重合时,如图 2,顶点 A 也与 B , D 重合,点 B 到达最高点,
点 (0,4)B ,
21 4 42 m ,解得 0m ,
当抛物线从图 2 的位置继续向左平移时,如图 3 点 B 不在线段 OD 上,
B 点在线段 OD 上时, m 的取值范围是: 0 1m 或1 2 2m .
【点评】本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的性质,待定系数法,一次函数的性质
等知识,解题的关键是理解题意,学会寻找特殊位置解决数学问题,属于中考常压轴题.
24.(12 分)如图,在平面直角坐标系中,正方形 ABOC 的两直角边分别在坐标轴的正半轴
上,分别过 OB , OC 的中点 D , E 作 AE , AD 的平行线,相交于点 F ,已知 8OB .
(1)求证:四边形 AEFD 为菱形.
(2)求四边形 AEFD 的面积.
(3)若点 P 在 x 轴正半轴上(异于点 )D ,点 Q 在 y 轴上,平面内是否存在点 G ,使得以
点 A , P ,Q ,G 为顶点的四边形与四边形 AEFD 相似?若存在,求点 P 的坐标;若不存
在,试说明理由.
【分析】(1)根据邻边相等的四边形是菱形证明即可.
(2)连接 DE ,求出 ADE 的面积即可解决问题.
(3)首先证明 3AK DK ,①当 AP 为菱形的一边,点 Q 在 x 轴的上方,有图 2,图 3 两种
情形.②当 AP 为菱形的边,点 Q 在 x 轴的下方时,有图 4,图 5 两种情形.③如图 6 中,
当 AP 为菱形的对角线时,有图 6 一种情形.分别利用相似三角形的性质求解即可.
【解答】(1)证明:如图 1 中,
/ /AE DF , / /AD EF ,
四边形 AEFD 是平行四边形,
四边形 ABCD 是正方形,
AC AB OC OB , 90ACE ABD ,
E , D 分别是 OC , OB 的中点,
CE BD ,
( )CAE ABD SAS ,
AE AD ,
四边形 AEFD 是菱形.
(2)解:如图 1 中,连接 DE .
1 8 4 162ADB ACES S ,
1 4 4 82EODS ,
2 64 2 16 8 24AED ABD EODABOCS S S S 正方形 ,
2 48AEDAEFDS S 菱形 .
(3)解:如图 1 中,连接 AF ,设 AF 交 DE 于 K ,
4OE OD , OK DE ,
KE KD ,
2 2OK KE KD ,
8 2AO ,
6 2AK ,
3AK DK ,
①当 AP 为菱形的一边,点 Q 在 x 轴的上方,有图 2,图 3 两种情形:
如图 2 中,设 AG 交 PQ 于 H ,过点 H 作 HN x 轴于 N ,交 AC 于 M ,设 AM t .
菱形 PAQG∽菱形 ADFE ,
3PH AH ,
/ /HN OQ , QH HP ,
ON NP ,
HN 是 PQO 的中位线,
8ON PN t ,
90MAH PHN AHM , 90PNH AMH ,
HMA PNH ∽ ,
1
3
AM MH AH
NH PN PH
,
3 3HN AM t ,
8 3MH MN NH t ,
3PN MH ,
8 3(8 3 )t t ,
2t ,
2 2(8 ) 12OP ON t ,
(12,0)P .
如图 3 中,过点 H 作 HI y 轴于 I ,过点 P 作 PN x 轴交 IH 于 N ,延长 BA 交 IN 于 M .
同法可证: AMH HNP ∽ ,
1
3
AM MH AH
HN PN HP
,设 MH t ,
3 3PN MH t ,
3 8AM BM AB t ,
HI 是 OPQ 的中位线,
2OP IH ,
HIHN ,
8 9 24t t ,
4t ,
2 2(8 ) 24OP HI t ,
(24,0)P .
②当 AP 为菱形的边,点 Q 在 x 轴的下方时,有图 4,图 5 两种情形:
如图 4 中, 3QH PH ,过点 H 作 HM OC 于 M ,过 D 点 P 作 PN MH 于 N .
MH 是 QAC 的中位线,
1 42MH AC ,
同法可得: HPN QHM ∽ ,
1
3
NP HN PH
HM MQ QH
,
1 4
3 3PN HM ,
4
3OM PN ,设 HN t ,则 3MQ t ,
MQ MC ,
43 8 3t ,
20
9t ,
564 9OP MN t ,
点 P 的坐标为 56( 9
, 0) .
如图 5 中, 3QH PH ,过点 H 作 HM x 轴于 M 交 AC 于 I ,过点 Q 作 QN HM 于 N .
IH 是 ACQ 的中位线,
2CQ HI , 4NQ CI ,
同法可得: PMH HNQ ∽ ,
1
3
MH PM PH
NQ HN HQ
,则 1 4
3 3MH NQ ,
设 PM t ,则 3HN t ,
HN HI ,
43 8 3t ,
28
9t ,
84 9OP OM PM QN PM t ,
8(9P , 0) .
③如图 6 中,当 AP 为菱形的对角线时,有图 6 一种情形:
过点 H 作 HM y 轴于于点 M ,交 AB 于 I ,过点 P 作 PN HM 于 N .
/ /HI x 轴, AH HP ,
4AI IB ,
4PN IB ,
同法可得: PNH HMQ ∽ ,
1
3
PN HN PH
HM MQ HQ
,
3 12MH PN , 4HI MH MI ,
HI 是 ABP 的中位线,
2 8BP IH ,
16OP OB BP ,
(16,0)P ,
综上所述,满足条件的点 P 的坐标为 (12,0) 或 (24,0) 或 56( 9
, 0) 或 8(9
, 0) 或 (16,0) .
【点评】本题属于相似形综合题,考查了正方形的性质,菱形的判定和性质,解直角三角形,
相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,学会寻找
相似三角形,利用相似三角形的性质构建方程解决问题,属于中考压轴题.
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