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  • 2021-11-11 发布

2020年浙江省丽水市中考数学试卷

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2020 年浙江省丽水市中考数学试卷 一、选择题(本题有 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1.(3 分)实数 3 的相反数是 ( ) A. 3 B.3 C. 1 3  D. 1 3 2.(3 分)分式 5 2 x x   的值是零,则 x 的值为 ( ) A.2 B.5 C. 2 D. 5 3.(3 分)下列多项式中,能运用平方差公式分解因式的是 ( ) A. 2 2a b B. 22a b C. 2 2a b D. 2 2a b  4.(3 分)下列四个图形中,是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 5.(3 分)如图,有一些写有号码的卡片,它们的背面都相同,现将它们背面朝上,从中任 意摸出一张,摸到 1 号卡片的概率是 ( ) A. 1 2 B. 1 3 C. 2 3 D. 1 6 6.(3 分)如图,工人师傅用角尺画出工件边缘 AB 的垂线 a和 b ,得到 / /a b .理由是 ( ) A.连结直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短 B.在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C.在同一平面内,过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线 D.经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 7.(3 分)已知点 ( 2 , )(2a , )(3b , )c 在函数 ( 0)ky kx   的图象上,则下列判断正确的 是 ( ) A. a b c  B.b a c  C. a c b  D. c b a  8.(3 分)如图, O 是等边 ABC 的内切圆,分别切 AB ,BC , AC 于点 E ,F ,D ,P 是 DF 上一点,则 EPF 的度数是 ( ) A. 65 B. 60 C.58 D.50 9.(3 分)如图,在编写数学谜题时,“□”内要求填写同一个数字,若设“□”内数字为 x .则 列出方程正确的是 ( ) A.3 2 5 2x x   B.3 20 5 10 2x x    C. 3 20 5 20x x    D. 3 (20 ) 5 10 2x x     10.(3 分)如图,四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”,得到正方形 ABCD 与正方形 EFGH .连结 EG ,BD 相交于点 O 、BD 与 HC 相交于点 P .若 GO GP ,则 ABCD EFGH S S 正方形 正方形 的 值是 ( ) A.1 2 B. 2 2 C. 5 2 D.15 4 二、填空题(本题有 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 11.(4 分)点 ( ,2)P m 在第二象限内,则 m 的值可以是(写出一个即可) . 12.(4 分)数据 1,2,4,5,3 的中位数是 . 13.(4 分)如图为一个长方体,则该几何体主视图的面积为 2cm . 14.(4 分)如图,平移图形 M ,与图形 N 可以拼成一个平行四边形,则图中 的度数是  . 15.(4 分)如图是小明画的卡通图形,每个正六边形的边长都相等,相邻两正六边形的边 重合,点 A , B , C 均为正六边形的顶点, AB 与地面 BC 所成的锐角为  .则 tan  的值 是 . 16.(4 分)图 1 是一个闭合时的夹子,图 2 是该夹子的主视示意图,夹子两边为 AC , BD (点 A 与点 B 重合),点 O 是夹子转轴位置, OE AC 于点 E , OF BD 于点 F , 1OE OF cm  , 6AC BD cm  ,CE DF , : 2:3CE AE  .按图示方式用手指按夹子, 夹子两边绕点 O 转动. (1)当 E ,F 两点的距离最大时,以点 A ,B ,C ,D 为顶点的四边形的周长是 cm . (2)当夹子的开口最大(即点 C 与点 D 重合)时, A , B 两点的距离为 cm . 三、解答题(本题有 8 小题,共 66 分,各小题都必须写出解答过程) 17.(6 分)计算: 0( 2020) 4 tan 45 | 3|     . 18.(6 分)解不等式: 5 5 2(2 )x x   . 19.(6 分)某市在开展线上教学活动期间,为更好地组织初中学生居家体育锻炼,随机抽 取了部分初中学生对“最喜爱的体育锻炼项目”进行线上问卷调查(每人必须且只选其中一 项),得到如图两幅不完整的统计图表.请根据图表信息回答下列问题: 抽取的学生最喜爱体育锻炼项目的统计表 类别 项目 人数(人 ) A 跳绳 59 B 健身操 ▲ C 俯卧撑 31 D 开合跳 ▲ E 其它 22 (1)求参与问卷调查的学生总人数. (2)在参与问卷调查的学生中,最喜爱“开合跳”的学生有多少人? (3)该市共有初中学生约 8000 人,估算该市初中学生中最喜爱“健身操”的人数. 20.(8 分)如图, AB 的半径 2OA  , OC AB 于点 C , 60AOC  . (1)求弦 AB 的长. (2)求 AB 的长. 21.(8 分)某地区山峰的高度每增加 1 百米,气温大约降低 0.6 C ,气温 ( C)T  和高度 h(百 米)的函数关系如图所示. 请根据图象解决下列问题: (1)求高度为 5 百米时的气温; (2)求T 关于 h 的函数表达式; (3)测得山顶的气温为 6 C ,求该山峰的高度. 22.(10 分)如图,在 ABC 中, 4 2AB  , 45B   , 60C  . (1)求 BC 边上的高线长. (2)点 E 为线段 AB 的中点,点 F 在边 AC 上,连结 EF ,沿 EF 将 AEF 折叠得到 PEF . ①如图 2,当点 P 落在 BC 上时,求 AEP 的度数. ②如图 3,连结 AP ,当 PF AC 时,求 AP 的长. 23.(10 分)如图,在平面直角坐标系中,已知二次函数 21 ( ) 42y x m    图象的顶点为 A , 与 y 轴交于点 B ,异于顶点 A 的点 (1, )C n 在该函数图象上. (1)当 5m  时,求 n 的值. (2)当 2n  时,若点 A 在第一象限内,结合图象,求当 2y… 时,自变量 x 的取值范围. (3)作直线 AC 与 y 轴相交于点 D .当点 B 在 x 轴上方,且在线段 OD 上时,求 m 的取值 范围. 24.(12 分)如图,在平面直角坐标系中,正方形 ABOC 的两直角边分别在坐标轴的正半轴 上,分别过 OB , OC 的中点 D , E 作 AE , AD 的平行线,相交于点 F ,已知 8OB  . (1)求证:四边形 AEFD 为菱形. (2)求四边形 AEFD 的面积. (3)若点 P 在 x 轴正半轴上(异于点 )D ,点 Q 在 y 轴上,平面内是否存在点 G ,使得以 点 A , P ,Q ,G 为顶点的四边形与四边形 AEFD 相似?若存在,求点 P 的坐标;若不存 在,试说明理由. 2020 年浙江省丽水市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本题有 10 小题,每小题 3 分,共 30 分) 1.(3 分)实数 3 的相反数是 ( ) A. 3 B.3 C. 1 3  D. 1 3 【分析】直接利用相反数的定义分析得出答案. 【解答】解:实数 3 的相反数是: 3 . 故选: A . 【点评】此题主要考查了实数的性质,正确掌握相反数的定义是解题关键. 2.(3 分)分式 5 2 x x   的值是零,则 x 的值为 ( ) A.2 B.5 C. 2 D. 5 【分析】利用分式值为零的条件可得 5 0x   ,且 2 0x   ,再解即可. 【解答】解:由题意得: 5 0x   ,且 2 0x   , 解得: 5x   , 故选: D . 【点评】此题主要考查了分式值为零的条件,关键是掌握分式值为零的条件是分子等于零且 分母不等于零.注意:“分母不为零”这个条件不能少. 3.(3 分)下列多项式中,能运用平方差公式分解因式的是 ( ) A. 2 2a b B. 22a b C. 2 2a b D. 2 2a b  【分析】根据能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式,两项都能写成平方的形 式,且符号相反进行分析即可. 【解答】解: A 、 2 2a b 不能运用平方差公式分解,故此选项错误; B 、 22a b 不能运用平方差公式分解,故此选项错误; C 、 2 2a b 能运用平方差公式分解,故此选项正确; D 、 2 2a b  不能运用平方差公式分解,故此选项错误; 故选: C . 【点评】此题考查了平方差公式,熟练掌握平方差公式是解本题的关键. 4.(3 分)下列四个图形中,是中心对称图形的是 ( ) A. B. C. D. 【分析】根据中心对称图形的概念对各图形分析判断即可得解. 【解答】解: A 、该图形不是中心对称图形,故本选项不合题意; B 、该图形不是中心对称图形,故本选项不合题意; C 、该图形是中心对称图形,故本选项符合题意; D 、该图形不是中心对称图形,故本选项不合题意; 故选: C . 【点评】本题考查了中心对称图形的概念,中心对称图形是要寻找对称中心,旋转 180 度后 两部分重合. 5.(3 分)如图,有一些写有号码的卡片,它们的背面都相同,现将它们背面朝上,从中任 意摸出一张,摸到 1 号卡片的概率是 ( ) A. 1 2 B. 1 3 C. 2 3 D. 1 6 【分析】根据概率公式直接求解即可. 【解答】解:共有 6 张卡片,其中写有 1 号的有 3 张, 从中任意摸出一张,摸到 1 号卡片的概率是 3 1 6 2  ; 故选: A . 【点评】此题考查了概率的求法,用到的知识点为:可能性等于所求情况数与总情况数之比. 6.(3 分)如图,工人师傅用角尺画出工件边缘 AB 的垂线 a和 b ,得到 / /a b .理由是 ( ) A.连结直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短 B.在同一平面内,垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C.在同一平面内,过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线 D.经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】根据垂直于同一条直线的两条直线平行判断即可. 【解答】解:由题意 a AB , b AB , / /a b (垂直于同一条直线的两条直线平行), 故选: B . 【点评】本题考查平行线的判定,平行公理等知识,解题的关键是理解题意,灵活运用所学 知识解决问题. 7.(3 分)已知点 ( 2 , )(2a , )(3b , )c 在函数 ( 0)ky kx   的图象上,则下列判断正确的 是 ( ) A. a b c  B.b a c  C. a c b  D. c b a  【分析】根据反比例函数的性质得到函数 ( 0)ky kx   的图象分布在第一、三象限,在每一 象限, y 随 x 的增大而减小,则 0b c  , 0a  . 【解答】解: 0k  , 函数 ( 0)ky kx   的图象分布在第一、三象限,在每一象限, y 随 x 的增大而减小, 2 0 2 3    , 0b c   , 0a  , a c b   . 故选: C . 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,熟练掌握反比例函数的性质是解题的 关键. 8.(3 分)如图, O 是等边 ABC 的内切圆,分别切 AB ,BC , AC 于点 E ,F ,D ,P 是 DF 上一点,则 EPF 的度数是 ( ) A. 65 B. 60 C.58 D.50 【分析】如图,连接 OE , OF .求出 EOF 的度数即可解决问题. 【解答】解:如图,连接 OE , OF . O 是 ABC 的内切圆, E , F 是切点, OE AB  , OF BC , 90OEB OFB     , ABC 是等边三角形, 60B   , 120EOF   , 1 602EPF EOF    , 故选: B . 【点评】本题考查三角形的内切圆与内心,切线的性质,圆周角定理等知识,解题的关键是 熟练掌握基本知识,属于中考常考题型. 9.(3 分)如图,在编写数学谜题时,“□”内要求填写同一个数字,若设“□”内数字为 x .则 列出方程正确的是 ( ) A.3 2 5 2x x   B.3 20 5 10 2x x    C. 3 20 5 20x x    D. 3 (20 ) 5 10 2x x     【分析】直接利用表示十位数的方法进而得出等式即可. 【解答】解:设“□”内数字为 x ,根据题意可得: 3 (20 ) 5 10 2x x     . 故选: D . 【点评】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程,正确表示十位数是解题关键. 10.(3 分)如图,四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”,得到正方形 ABCD 与正方形 EFGH .连结 EG ,BD 相交于点 O 、BD 与 HC 相交于点 P .若 GO GP ,则 ABCD EFGH S S 正方形 正方形 的 值是 ( ) A.1 2 B. 2 2 C. 5 2 D.15 4 【分析】证明 ( )BPG BCG ASA   ,得出 PG CG .设 OG PG CG x   ,则 2EG x , 2FG x ,由勾股定理得出 2 2(4 2 2)BC x  ,则可得出答案. 【解答】解:四边形 EFGH 为正方形, 45EGH  , 90FGH   , OG GP , 67.5GOP OPG    , 22.5PBG   , 又 45DBC   , 22.5GBC   , PBG GBC   , 90BGP BG     , BG BG , ( )BPG BCG ASA   , PG CG  . 设 OG PG CG x   , O 为 EG , BD 的交点, 2EG x  , 2FG x , 四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”, BF CG x   , 2BG x x   , 2 2 2 2 2 2 2( 2 1) (4 2 2)BC BG CG x x x        ,    2 2 4 2 2 2 22 ABCD EFGH xS S x    正方形 正方形 . 故选: B . 【点评】本题考查了正方形的性质,全等三角形的判定与性质,勾股定理,直角三角形的性 质等知识,熟练掌握勾股定理的应用是解题的关键. 二、填空题(本题有 6 小题,每小题 4 分,共 24 分) 11.(4 分)点 ( ,2)P m 在第二象限内,则 m 的值可以是(写出一个即可) 1 (答案不唯 一). . 【分析】直接利用第二象限内点的坐标特点得出 m 的取值范围,进而得出答案. 【解答】解:点 ( ,2)P m 在第二象限内, 0m  , 则 m 的值可以是 1 (答案不唯一). 故答案为: 1 (答案不唯一). 【点评】此题主要考查了点的坐标,正确得出 m 的取值范围是解题关键. 12.(4 分)数据 1,2,4,5,3 的中位数是 3 . 【分析】先将题目中的数据按照从小到大排列,即可得到这组数据的中位数. 【解答】解:数据 1,2,4,5,3 按照从小到大排列是 1,2,3,4,5, 则这组数据的中位数是 3, 故答案为:3. 【点评】本题考查中位数,解答本题的关键是明确中位数的含义,会求一组数据的中位数. 13.(4 分)如图为一个长方体,则该几何体主视图的面积为 20 2cm . 【分析】根据从正面看所得到的图形,即可得出这个几何体的主视图的面积. 【解答】解:该几何体的主视图是一个长为 5,宽为 4 的矩形,所以该几何体主视图的面积 为 220cm . 故答案为:20. 【点评】本题考查了三视图的知识,主视图是从物体的正面看得到的视图. 14.(4 分)如图,平移图形 M ,与图形 N 可以拼成一个平行四边形,则图中 的度数是 30  . 【分析】根据平行四边形的性质解答即可. 【解答】解:四边形 ABCD 是平行四边形, 180 60D C       , 180 (540 70 140 180 ) 30             , 故答案为:30. 【点评】此题考查平行四边形的性质,关键是根据平行四边形的邻角互补解答. 15.(4 分)如图是小明画的卡通图形,每个正六边形的边长都相等,相邻两正六边形的边 重合,点 A , B , C 均为正六边形的顶点, AB 与地面 BC 所成的锐角为  .则 tan  的值 是 19 3 15 . 【分析】如图,作 / /AT BC ,过点 B 作 BH AT 于 H ,设正六边形的边长为 a ,则正六边 形的半径为 a,边心距 3 2 a .求出 BH , AH 即可解决问题. 【解答】解:如图,作 / /AT BC ,过点 B 作 BH AT 于 H ,设正六边形的边长为 a ,则正 六边形的半径为,边心距 3 2 a . 观察图象可知: 19 2BH a , 5 3 2AH a , / /AT BC , BAH   , 19 19 32tan 155 3 2 aBH AH a     . 故答案为 19 3 15 . 【点评】本题考查解直角三角形的应用,解题的关键是理解题意,学会添加常用辅助线,构 造直角三角形解决问题. 16.(4 分)图 1 是一个闭合时的夹子,图 2 是该夹子的主视示意图,夹子两边为 AC , BD (点 A 与点 B 重合),点 O 是夹子转轴位置, OE AC 于点 E , OF BD 于点 F , 1OE OF cm  , 6AC BD cm  ,CE DF , : 2:3CE AE  .按图示方式用手指按夹子, 夹子两边绕点 O 转动. (1)当 E ,F 两点的距离最大时,以点 A ,B ,C ,D 为顶点的四边形的周长是 16 cm . (2)当夹子的开口最大(即点 C 与点 D 重合)时, A , B 两点的距离为 cm . 【分析】(1)当 E , F 两点的距离最大时, E , O , F 共线,此时四边形 ABCD 是矩形, 求出矩形的长和宽即可解决问题. (2)如图 3 中,连接 EF 交 OC 于 H .想办法求出 EF ,利用平行线分线段成比例定理即 可解决问题. 【解答】解:(1)当 E , F 两点的距离最大时, E ,O , F 共线,此时四边形 ABCD 是矩 形, 1OE OF cm  , 2EF cm  , 2AB CD cm   , 此时四边形 ABCD 的周长为 2 2 6 6 16( )cm    , 故答案为 16. (2)如图 3 中,连接 EF 交 OC 于 H . 由题意 2 126 ( )5 5CE CF cm    , 1OE OF cm  , CO 垂直平分线段 EF , 2 2 2 212 13( ) 1 ( )5 5OC CE OE cm     ,  1 1 2 2OE EC CO EH    , 121 125 ( )13 13 5 EH cm     , 242 ( )13EF EH cm   / /EF AB ,  2 5 EF CE AB CB   , 5 24 60 ( )2 13 13AB cm    . 故答案为 60 13 . 【点评】本题考查旋转的性质,矩形的判定和性质,平行线分线段成比例定理等知识,解题 的关键是理解题意,灵活运用所学知识解决问题. 三、解答题(本题有 8 小题,共 66 分,各小题都必须写出解答过程) 17.(6 分)计算: 0( 2020) 4 tan 45 | 3|     . 【分析】利用零次幂的性质、二次根式的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质进行计 算,再算加减即可. 【解答】解:原式 1 2 1 3 5     . 【点评】此题主要考查了实数运算,关键是掌握零次幂、二次根式的性质、特殊角的三角函 数值、绝对值的性质. 18.(6 分)解不等式: 5 5 2(2 )x x   . 【分析】去括号,移项、合并同类项,系数化为 1 求得即可. 【解答】解: 5 5 2(2 )x x   , 5 5 4 2x x   5 2 4 5x x   , 3 9x  , 3x  . 【点评】本题考查了解一元一次不等式,熟练掌握解不等式的步骤是解题的关键. 19.(6 分)某市在开展线上教学活动期间,为更好地组织初中学生居家体育锻炼,随机抽 取了部分初中学生对“最喜爱的体育锻炼项目”进行线上问卷调查(每人必须且只选其中一 项),得到如图两幅不完整的统计图表.请根据图表信息回答下列问题: 抽取的学生最喜爱体育锻炼项目的统计表 类别 项目 人数(人 ) A 跳绳 59 B 健身操 ▲ C 俯卧撑 31 D 开合跳 ▲ E 其它 22 (1)求参与问卷调查的学生总人数. (2)在参与问卷调查的学生中,最喜爱“开合跳”的学生有多少人? (3)该市共有初中学生约 8000 人,估算该市初中学生中最喜爱“健身操”的人数. 【分析】(1)从统计图表中可得,“ E 组 其它”的频数为 22,所占的百分比为11% ,可求 出调查学生总数; (2)“开合跳”的人数占调查人数的 24% ,即可求出最喜爱“开合跳”的人数; (3)求出“健身操”所占的百分比,用样本估计总体,即可求出 8000 人中喜爱“健身操” 的人数. 【解答】解:(1) 22 11% 200  (人 ) , 答:参与调查的学生总数为 200 人; (2) 200 24% 48  (人 ) , 答:最喜爱“开合跳”的学生有 48 人; (3)最喜爱“健身操”的学生数为 200 59 31 48 22 40     (人 ) , 408000 1600200   (人 ) , 答:最喜爱“健身操”的学生数大约为 1600 人. 【点评】考查统计表、扇形统计图的意义和制作方法,理解统计图表中的数量之间的关是解 决问题的关键. 20.(8 分)如图, AB 的半径 2OA  , OC AB 于点 C , 60AOC  . (1)求弦 AB 的长. (2)求 AB 的长. 【分析】(1)根据题意和垂径定理,可以求得 AC 的长,然后即可得到 AB 的长; (2)根据 60AOC  ,可以得到 AOB 的度数,然后根据弧长公式计算即可. 【解答】解:(1) AB 的半径 2OA  , OC AB 于点 C , 60AOC  , 3sin60 2 32AC OA      , 2 2 3AB AC   ; (2) OC AB , 60AOC  , 120AOB   , 2OA  ,  AB 的长是: 120 2 4 180 3    . 【点评】本题考查弧长的计算、垂径定理,解答本题的关键是明确题意,利用数形结合的思 想解答. 21.(8 分)某地区山峰的高度每增加 1 百米,气温大约降低 0.6 C ,气温 ( C)T  和高度 h(百 米)的函数关系如图所示. 请根据图象解决下列问题: (1)求高度为 5 百米时的气温; (2)求T 关于 h 的函数表达式; (3)测得山顶的气温为 6 C ,求该山峰的高度. 【分析】(1)根据高度每增加 1 百米,气温大约降低 0.6 C ,由 3 百米时温度为13.2 C ,即 可得出高度为 5 百米时的气温; (2)应用待定系数法解答即可; (3)根据(2)的结论解答即可. 【解答】解:(1)由题意得,高度增加 2 百米,则气温降低 2 0.6 1.2( )C   , 13.2 1.2 12   , 高度为 5 百米时的气温大约是12 C ; (2)设T 关于 h 的函数表达式为T kh b  , 则: 3 13.2 5 12 k b k b      , 解得 0.6 15 k b     , T 关于 h 的函数表达式为 0.6 15T h   ; (3)当 6T  时, 6 0.6 15h   , 解得 15h  . 该山峰的高度大约为 15 百米. 【点评】本题考查一次函数的应用,解题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利 用数形结合的思想解答问题. 22.(10 分)如图,在 ABC 中, 4 2AB  , 45B   , 60C  . (1)求 BC 边上的高线长. (2)点 E 为线段 AB 的中点,点 F 在边 AC 上,连结 EF ,沿 EF 将 AEF 折叠得到 PEF . ①如图 2,当点 P 落在 BC 上时,求 AEP 的度数. ②如图 3,连结 AP ,当 PF AC 时,求 AP 的长. 【分析】(1)如图 1 中,过点 A 作 AD BC 于 D .解直角三角形求出 AD 即可. (2)①证明 BE EP ,可得 45EPB B     解决问题. ②如图 3 中,由(1)可知: 8 3 sin 60 3 ADAC   ,证明 AEF ACB ∽ ,推出 AF AE AB AC  , 由此求出 AF 即可解决问题. 【解答】解:(1)如图 1 中,过点 A 作 AD BC 于 D . 在 Rt ABD 中, 2sin 45 4 2 42AD AB     . (2)①如图 2 中, AEF PEF   , AE EP  , AE EB , BE EP  , 45EPB B     , 90PEB  , 180 90 90AEP       . ②如图 3 中,由(1)可知: 8 3 sin 60 3 ADAC   , PF AC , 90PFA   , AEF PEF   , 45AFE PFE    , AFE B   , EAF CAB   , AEF ACB ∽ ,  AF AE AB AC  ,即 2 2 4 2 8 3 3 AF  , 2 3AF  , 在 Rt AFP , AF FP , 2 2 6AP AF   . 【点评】本题属于三角形综合题,考查了解直角三角形的应用,翻折变换,全等三角形的性 质,相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题,属于中 考常考题型. 23.(10 分)如图,在平面直角坐标系中,已知二次函数 21 ( ) 42y x m    图象的顶点为 A , 与 y 轴交于点 B ,异于顶点 A 的点 (1, )C n 在该函数图象上. (1)当 5m  时,求 n 的值. (2)当 2n  时,若点 A 在第一象限内,结合图象,求当 2y… 时,自变量 x 的取值范围. (3)作直线 AC 与 y 轴相交于点 D .当点 B 在 x 轴上方,且在线段 OD 上时,求 m 的取值 范围. 【分析】(1)利用待定系数法求解即可. (2)求出 2y  时, x 的值即可判断. (3)由题意点 B 的坐标为 21(0, 4)2 m  ,求出几个特殊位置 m 的值即可判断. 【解答】解:(1)当 5m  时, 21 ( 5) 42y x    , 当 1x  时, 21 4 4 42n       . (2)当 2n  时,将 (1,2)C 代入函数表达式 21 ( ) 42y x m    ,得 212 (1 ) 42 m    , 解得 3m  或 1 (舍弃), 此时抛物线的对称轴 3x  , 根据抛物线的对称性可知,当 2y  时, 1x  或 5, x 的取值范围为1 5x„ „ . (3)点 A 与点 C 不重合, 1m  , 抛物线的顶点 A 的坐标是 ( ,4)m , 抛物线的顶点在直线 4y  上, 当 0x  时, 21 42y m   , 点 B 的坐标为 21(0, 4)2 m  , 抛物线从图 1 的位置向左平移到图 2 的位置, m 逐渐减小,点 B 沿 y 轴向上移动, 当点 B 与 O 重合时, 21 4 02 m   , 解得 2 2m  或 2 2 , 当点 B 与点 D 重合时,如图 2,顶点 A 也与 B , D 重合,点 B 到达最高点, 点 (0,4)B , 21 4 42 m   ,解得 0m  , 当抛物线从图 2 的位置继续向左平移时,如图 3 点 B 不在线段 OD 上, B 点在线段 OD 上时, m 的取值范围是: 0 1m „ 或1 2 2m  . 【点评】本题属于二次函数综合题,考查了二次函数的性质,待定系数法,一次函数的性质 等知识,解题的关键是理解题意,学会寻找特殊位置解决数学问题,属于中考常压轴题. 24.(12 分)如图,在平面直角坐标系中,正方形 ABOC 的两直角边分别在坐标轴的正半轴 上,分别过 OB , OC 的中点 D , E 作 AE , AD 的平行线,相交于点 F ,已知 8OB  . (1)求证:四边形 AEFD 为菱形. (2)求四边形 AEFD 的面积. (3)若点 P 在 x 轴正半轴上(异于点 )D ,点 Q 在 y 轴上,平面内是否存在点 G ,使得以 点 A , P ,Q ,G 为顶点的四边形与四边形 AEFD 相似?若存在,求点 P 的坐标;若不存 在,试说明理由. 【分析】(1)根据邻边相等的四边形是菱形证明即可. (2)连接 DE ,求出 ADE 的面积即可解决问题. (3)首先证明 3AK DK ,①当 AP 为菱形的一边,点 Q 在 x 轴的上方,有图 2,图 3 两种 情形.②当 AP 为菱形的边,点 Q 在 x 轴的下方时,有图 4,图 5 两种情形.③如图 6 中, 当 AP 为菱形的对角线时,有图 6 一种情形.分别利用相似三角形的性质求解即可. 【解答】(1)证明:如图 1 中, / /AE DF , / /AD EF , 四边形 AEFD 是平行四边形, 四边形 ABCD 是正方形, AC AB OC OB    , 90ACE ABD    , E , D 分别是 OC , OB 的中点, CE BD  , ( )CAE ABD SAS   , AE AD  , 四边形 AEFD 是菱形. (2)解:如图 1 中,连接 DE . 1 8 4 162ADB ACES S      , 1 4 4 82EODS     , 2 64 2 16 8 24AED ABD EODABOCS S S S          正方形 , 2 48AEDAEFDS S  菱形 . (3)解:如图 1 中,连接 AF ,设 AF 交 DE 于 K , 4OE OD  , OK DE , KE KD  , 2 2OK KE KD    , 8 2AO  , 6 2AK  , 3AK DK  , ①当 AP 为菱形的一边,点 Q 在 x 轴的上方,有图 2,图 3 两种情形: 如图 2 中,设 AG 交 PQ 于 H ,过点 H 作 HN x 轴于 N ,交 AC 于 M ,设 AM t . 菱形 PAQG∽菱形 ADFE , 3PH AH  , / /HN OQ , QH HP , ON NP  , HN 是 PQO 的中位线, 8ON PN t    , 90MAH PHN AHM       , 90PNH AMH     , HMA PNH ∽ ,  1 3 AM MH AH NH PN PH    , 3 3HN AM t   , 8 3MH MN NH t     , 3PN MH , 8 3(8 3 )t t    , 2t  , 2 2(8 ) 12OP ON t     , (12,0)P . 如图 3 中,过点 H 作 HI y 轴于 I ,过点 P 作 PN x 轴交 IH 于 N ,延长 BA 交 IN 于 M . 同法可证: AMH HNP ∽ ,  1 3 AM MH AH HN PN HP    ,设 MH t , 3 3PN MH t   , 3 8AM BM AB t     , HI 是 OPQ 的中位线, 2OP IH  , HIHN , 8 9 24t t    , 4t  , 2 2(8 ) 24OP HI t     , (24,0)P . ②当 AP 为菱形的边,点 Q 在 x 轴的下方时,有图 4,图 5 两种情形: 如图 4 中, 3QH PH ,过点 H 作 HM OC 于 M ,过 D 点 P 作 PN MH 于 N . MH 是 QAC 的中位线, 1 42MH AC   , 同法可得: HPN QHM ∽ ,  1 3 NP HN PH HM MQ QH    , 1 4 3 3PN HM   , 4 3OM PN   ,设 HN t ,则 3MQ t , MQ MC , 43 8 3t   , 20 9t  , 564 9OP MN t     , 点 P 的坐标为 56( 9 , 0) . 如图 5 中, 3QH PH ,过点 H 作 HM x 轴于 M 交 AC 于 I ,过点 Q 作 QN HM 于 N . IH 是 ACQ 的中位线, 2CQ HI  , 4NQ CI  , 同法可得: PMH HNQ ∽ ,  1 3 MH PM PH NQ HN HQ    ,则 1 4 3 3MH NQ  , 设 PM t ,则 3HN t , HN HI , 43 8 3t   , 28 9t  , 84 9OP OM PM QN PM t        , 8(9P , 0) . ③如图 6 中,当 AP 为菱形的对角线时,有图 6 一种情形: 过点 H 作 HM y 轴于于点 M ,交 AB 于 I ,过点 P 作 PN HM 于 N . / /HI x 轴, AH HP , 4AI IB   , 4PN IB   , 同法可得: PNH HMQ ∽ ,  1 3 PN HN PH HM MQ HQ    , 3 12MH PN   , 4HI MH MI   , HI 是 ABP 的中位线, 2 8BP IH   , 16OP OB BP    , (16,0)P , 综上所述,满足条件的点 P 的坐标为 (12,0) 或 (24,0) 或 56( 9 , 0) 或 8(9 , 0) 或 (16,0) . 【点评】本题属于相似形综合题,考查了正方形的性质,菱形的判定和性质,解直角三角形, 相似三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题,学会寻找 相似三角形,利用相似三角形的性质构建方程解决问题,属于中考压轴题.