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- 2021-11-11 发布
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第四章 三角形
几种重要的线(段)
中考数学复习冲刺专项训练精讲
1.角平分线:如图1,
(1)∵OC是∠AOB的平分线,PD⊥OA,PE⊥OB,
∴PD=__________.
(2)∵PD=__________,PD⊥OA,PE⊥OB,
∴点P在∠AOB的平分线上.
一、考点知识
,
2.线段的垂直平分线:如图2,
(1)∵直线PO是线段AB的垂直平分线,
∴PA=________.
(2)∵PA=________,
∴点P在线段AB的垂直平分线上.
PE
PE
PB
PB
3.直角三角形斜边的中线:如图3,
∠ACB = 90°,CD为斜边的中线,
则CD与AB的数量关系是________.
4.三角形中位线的性质:如图4,
∵DE是△ABC的中位线,
∴DE∥________,DE=________BC.BC
1
2
CD AB
1
2
【例1】如图,在Rt△ABC中,∠ACB = 90°,D,
E,F分别是AB,BC,CA的中点,若CD = 5cm,
求EF的长.
【考点1】中位线的性质,直角三角形斜边的中线
二、例题与变式
解:∵CD是Rt△ABC斜边上的中线,CD = 5 cm,
∴AB=2CD=10 cm.
∵E,F分别是BC,CA的中点,
∴EF= AB=5.1
2
【变式1】如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,
D,E分别是AB,BC的中点,F在CA的延长线上,
∠FDA=∠B,AC=6,AB=8,求四边形AEDF的
周长.
解:在Rt△ABC中,AC=6,AB=8,
根据勾股定理求出BC=10.
再根据三角形中位线定理和直角三角形斜边上的中线性质
求出DE= AC=3和AE= BC=5.
由已知可判定四边形AEDF是平行四边形,
从而求得四边形AEDF的周长=2×(3+5)=16.
1
2
1
2
【考点2】角平分线的性质
【例2】如图,Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分
∠CAB,DE⊥AB于点E,若AC=6,BC=8,CD=3.
(1)求DE的长;
(2)求△ADB的面积.
解:(1)∵AD平分∠CAB,DE⊥AB,
∠C=90°,∴CD=DE.
∵CD=3, ∴DE=3.
(2)在Rt△ABC中,由勾股定理,
得AB= .
∴△ADB的面积为S= AB×DE= ×10×3=15.
2 2 2 26 8 10AC BC
1
2
1
2
【变式2】如图,在△ABC中,CD是AB边上的高,
BE平分∠ABC,交CD于点E,BC=5,DE=2,求
△BCE的面积.
解:过点E作EF⊥BC交BC于点F,
根据角平分线的性质可得DE=EF=2.
所以△BCE的面积等于 ×BC×EF= ×5×2=5.
1
2
1
2
【考点3】直角三角形斜边的中线,垂直平分线
【例3】如图,在△ABC中,点D在AB上,且CD=CB,点
E为BD的中点,点F为AC的中点,连接EF交CD于点M,连接
AM.
(1)求证:EF= AC.
(2)若∠BAC=45°,求线段AM,DM,BC之间的数量关系.
解:(1)证明:∵CD=CB,点E为BD的中点,
∴CE⊥BD,∠AEC=90°.
又∵点F为AC的中点,∴EF= AC.
(2)解:∵∠BAC=45°,CE⊥BD,
∴△AEC是等腰直角三角形.
∵点F为AC的中点,∴EF垂直平分AC,∴AM=CM.
∵CD=CM+DM=AM+DM,CD=CB,∴BC=AM+DM.
1
2
1
2
【变式3】如图,在△ABC中,∠ABC=45°,CD⊥AB
于点D,BE⊥AC于点E,且BE平分∠ABC,F为BC中点,
BE与DF,CD分别交于点G,H.
求证:(1)BH=AC;
(2)BG2- GE2=EA2.
证明: (1)∵CD⊥AB,∴∠BDC=∠CDA=90°.
∵∠ABC=45°,∴∠BCD=∠ABC=45°.∴BD=CD,
∵∠ABE+∠A =∠ACD+∠A =90°,∴∠ABE=∠ACD.
∴△DBH≌ △DCA. ∴BH=AC.
(2)连接GC,在Rt△CGE中,∴CG2- GE2 =EC2,
∵F为BC中点,BD=CD,∴DF垂直平分BC.∴BG=CG.
由BE平分∠ABC,BE⊥AC ,易证EC=EA,
∴BG2- GE2 =EA2.
A组
1.如图,等腰三角形ABC的周长为21,底边BC=5,
AB的垂直平分线DE交AB于点D,交AC于点E,则
△BEC的周长为________.
三、过关训练
3.如图,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是边
AB,BC,CD,DA的中点,依次连接各边中点得到中
点四边形EFGH.
(1)这个中点四边形EFGH的形状是__________;
(2)请证明(1)的结论.
2.如图,∠ABC=50°,AD垂直平分线段BC于点D,
∠ABC的平分线BE交AD于点E,连接EC,则∠AEC的
度数是__________.
13
115°
平行四边形
证明:连接AC,∵E是AB的中点,F是BC的中点,
∴EF∥AC,EF= AC,同理HG∥AC,HG= AC.
综上所述,EF∥HG.故四边形EFGH是平行四边形.
1
2
1
2
B组
4.如图:已知△ABC中,AB=AC,∠A=36°,
AC的垂直平分线交AB点于点E,点D为垂足,连接
EC.
(1)求∠ECD的度数;
(2)若CE=8,求BC长.
解:(1)∵DE是AC的垂直平分线,
∴EC=EA,∴∠ECD=∠A=36°.
(2)∵AB=AC,∴∠B=∠ACB= (180°-36°)=72°,
∵∠BEC是△AEC的外角,∴∠BEC=36°+36°=72°.
∴∠BEC=∠B.
∴BC=CE=8.
1
2
5.已知正方形ABCD中,E为对角线BD上一点,
过E点作EF⊥BD交BC于点F,连接DF,G为DF中点,
连接EG,CG.求证:EG=CG.
证明:∵EF⊥BD,∴△DEF为直角三角形.
∵G为DF中点,∴EG= DF,
(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半),
在正方形ABCD中,∠BCD=90°,
又G为DF中点, ∴CG= DF.
∴EG=CG.
1
2
1
2
6.如图,在△ABC中,AD平分∠BAC,BD⊥AD,
垂足为点D,过点D作DE∥AC,交AB于点E,若AB
=5,求线段DE的长.
解:∵AD平分∠BAC,∴∠BAD=∠CAD.
∵DE∥AC,∴∠CAD=∠ADE.
∴∠BAD=∠ADE.∴AE=DE.
∵AD⊥DB,∴∠ADB=90°.∴∠BAD+∠ABD=90°.
∵∠ADE+∠BDE=∠ADB=90°.∴∠ABD=∠BDE.
∴DE=BE,
∵AB=5,∴DE=BE=AE= AB=2.5.1
2
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