2021年中考数学专题复习 专题49 中考数式图规律型试题解法（学生版） 11页

专题 49 中考数式图规律型试题解法 给出一组具有某种特定关系的数、式、图形，或是给出与图形有关的操作变化过程，或某一具体的 问题情境，要求通过观察分析推理，探究其中蕴含的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论．这类问题成 为探索规律性问题。主要采用归纳法解决。 1.数字猜想型：数字规律问题主要是在分析比较的基础上发现题目中所蕴涵的数量关系，先猜想，然后通 过适当的计算回答问题． 2.数式规律型：数式规律问题主要是通过观察、分析、归纳、验证，然后得出一般性的结论，以列代数式 即函数关系式为主要内容． 3.图形规律型：图形规律问题主要是观察图形的组成、分拆等过程中的特点，分析其联系和区别，用相应 的算式描述其中的规律，要注意对应思想和数形结合． 4.数形结合猜想型：数形结合猜想型问题首先要观察图形，从中发现图形的变化方式，再将图形的变化以 数或式的形式反映出来，从而得出图形与数或式的对应关系，数形结合总结出图形的变化规律，进而解决 相关问题． 5.解题方法 规律探索问题的解题方法一般是通过观察、类比特殊情况(特殊点、特殊数量、特殊线段、特殊位置等) 中数据特点，将数据进行分解重组、猜想、归纳得出规律，并用数学语言来表达这种规律，同时要用结论 去检验特殊情况，以肯定结论的正确． 【例题 1】(2019 安徽合肥)观察下列各组式子： ① 2 6 1 1 51 3 1 3 3     ； ② 1 2 6 2 1 11 3 5 3 5 15     ； ③ 1 2 6 3 1 17···5 7 5 7 35     (1)请根据上面的规律写出第 4 个式子； (2)请写出第 n 个式子，并证明你发现的规律． 【对点练习】(2019 湖南益阳)观察下列等式： ①3﹣2 ＝( ﹣1)2， ②5﹣2 ＝( ﹣ )2， ③7﹣2 ＝( ﹣ )2， … 请你根据以上规律，写出第 6 个等式 ． 【例题 2】(2019 湖北咸宁)有一列数，按一定规律排列成 1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相 邻数的积是 412，则这三个数的和是 ． 【对点练习】(2019 湖南常德)观察下列等式：70＝1，71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，…， 根据其中的规律可得 70+71+72+…+72019 的结果的个位数字是( ) A．0 B．1 C．7 D．8 【例题 3】(2020 贵州黔西南)如图图形都是由同样大小的菱形按照一定规律所组成的，其中第①个图形中 一共有 3 个菱形，第②个图形中一共有 7 个菱形，第③个图形中一共有 13 个菱形，…，按此规律排列下去， 第⑦个图形中菱形的个数为________． 【对点练习】如图，将△ABC 沿着过 BC 的中点 D 的直线折叠，使点 B 落在 AC 边上的 B1 处，称为第一次操作， 折痕 DE 到 AC 的距离为 h1；还原纸片后，再将△BDE 沿着过 BD 的中点 D1 的直线折叠，使点 B 落在 DE 边上的 B2 处，称为第二次操作，折痕 D1E1 到 AC 的距离记为 h2；按上述方法不断操作下去……经过第 n 次操作后得 到折痕 Dn﹣1En﹣1，到 AC 的距离记为 hn．若 h1＝1，则 hn 的值为( ) A．1+ B．1+ C．2﹣ D．2﹣ 一、选择题 1．(2019 湖南张家界)如图，在平面直角坐标系中，将边长为 1 的正方形 OABC 绕点 O 顺时针旋转 45°后得 到正方形 OA1B1C1，依此方式，绕点 O 连续旋转 2019 次得到正方形 OA2019B2019C2019，那么点 A2019 的坐标是( ) A．( ，﹣ ) B．(1，0) C．(﹣ ，﹣ ) D．(0，﹣1) 2．如图所示，用相同的小正方形按照某种规律进行摆放，则第 8 个图形中小正方形的个数是( ) A．71 B．78 C．85 D．89 3.(2019•湖北武汉)观察等式：2+22＝23﹣2；2+22+23＝24﹣2；2+22+23+24＝25﹣2…已知按一定规律排列的一 组数：250、251.252.…、299.2100．若 250＝a，用含 a 的式子表示这组数的和是( ) A．2a2﹣2a B．2a2﹣2a﹣2 C．2a2﹣a D．2a2+a 4.(2019•四川省达州市)a 是不为 1 的有理数，我们把 称为 a 的差倒数，如 2 的差倒数为 ＝﹣1， ﹣1 的差倒数 ＝ ，已知 a1＝5，a2 是 a1 的差倒数，a3 是 a2 的差倒数，a4 是 a3 的差倒数…，依此类 推，a2019 的值是( ) A．5 B．﹣ C． D． 5.(2019 成都)如图所示，下列每个图是由若干盆花组成的形如三角形的图案，每条边(包括两个顶点)有 n 盆花，每个图案花盆总数是 S，按此推断 S 与 n 的关系式为( ) A．S=3n B．S=3(n﹣1) C．S=3n﹣1 D．S=3n+1 6.(2019 云南)按一定规律排列的单项式：x3，－x5，x7，－x9，x11，……第 n 个单项式是( ) A.(－1)n－1x2n－1 B.(－1)nx2n－1 C.(－1)n－1x2n＋1 D.(－1)nx2n＋1 7．(2019 河南)如图，小聪用一张面积为 1 的正方形纸片，按如下方式操作： ①将正方形纸片四角向内折叠，使四个顶点重合，展开后沿折痕剪开，把四个等腰直角三角形扔掉； ②在余下纸片上依次重复以上操作，当完成第 2019 次操作时，余下纸片的面积为( ) A．22019 B． C． D． 8．(2019 湖北宜昌)如图，在平面直角坐标系中，将边长为 1 的正方形 OABC 绕点 O 顺时针旋转 45°后得到 正方形 OA1B1C1，依此方式，绕点 O 连续旋转 2019 次得到正方形 OA2019B2019C2019，那么点 A2019 的坐标是( ) A．( ，﹣ ) B．(1，0) C．(﹣ ，﹣ ) D．(0，﹣1) 9.(2019•湖北鄂州)如图，在平面直角坐标系中，点 A1、A2、A3…An 在 x 轴上，B1、B2、B3…Bn 在直线 y＝ x 上，若 A1(1，0)，且△A1B1A2、△A2B2A3…△AnBnAn+1 都是等边三角形，从左到右的小三角形(阴影部分)的面积 分别记为 S1、S2、S3…Sn．则 Sn 可表示为( ) A．22n B．22n﹣1 C．22n﹣2 D．22n﹣3 二、填空题 10．(2019 湖北咸宁)有一列数，按一定规律排列成 1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相邻数的 积是 412，则这三个数的和是 ． 11．(2019 海南)有 2019 个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第 一个数是 0，第二个数是 1，那么前 6 个数的和是 ，这 2019 个数的和是 ． 12.(2019•湖北省咸宁市)有一列数，按一定规律排列成 1，﹣2，4，﹣8，16，﹣32，…，其中某三个相邻 数的积是 412，则这三个数的和是 ． 13.(2019•四川省广安市)如图，在平面直角坐标系中，点 A1 的坐标为(1，0)，以 OA1 为直角边作 Rt△OA1A2， 并使∠A1OA2＝60°，再以 OA2 为直角边作 Rt△OA2A3，并使∠A2OA3＝60°，再以 OA3 为直角边作 Rt△OA3A4，并 使∠A3OA4＝60°…按此规律进行下去，则点 A2019 的坐标为 ． 14.(2019•甘肃庆阳)已知一列数 a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第 9 个数 是 ． 15.(2020 云南模拟)观察下列各式： ， ， ， 设 n 表示 正整数，用关于 n 的等式表示这个规律是 ． 16.(2019 湖南怀化)探索与发现：下面是用分数(数字表示面积)砌成的“分 数墙”，则整面“分数墙”的总面积是 ． 17.(2019·贵州安顺)如图，将从 1 开始的自然数按下规律排列，例如位于第 3 行、第 4 列的数是 12，则位 于第 45 行、第 7 列的数是 ． 18.(2019•海南省)有 2019 个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果 第一个数是 0，第二个数是 1，那么前 6 个数的和是 ，这 2019 个数的和是 ． 19.(2019•贵州铜仁)按一定规律排列的一列数依次为：﹣ ， ，﹣ ， ，…(a≠0)，按此规律排 列下去，这列数中的第 n 个数是________．(n 为正整数) A．(﹣1)n• ． B．(﹣1)n+1• ． C．(﹣1)n-1• ． D． ． 20.如图，点 B1 在直线 l：y＝ x 上，点 B1 的横坐标为 2，过 B1 作 B1A1⊥1，交 x 轴于点 A1，以 A1B1 为边，向 右作正方形 A1B1B2C1，延长 B2C1 交 x 轴于点 A2；以 A2B2 为边，向右作正方形 A2B2B3C2，延长 B3C2 交 x 轴于点 A3； 以 A3B3 为边，向右作正方形 A3B3B4C3 延长 B4C3 交 x 轴于点 A4；…；按照这个规律进行下去，点∁ n 的横坐标为 (结果用含正整数 n 的代数式表示) 21．(2019 齐齐哈尔)如图，直线 l：y＝ x+1 分别交 x 轴、y 轴于点 A 和点 A1，过点 A1 作 A1B1⊥l，交 x 轴于点 B1，过点 B1 作 B1A2⊥x 轴，交直线 l 于点 A2；过点 A2 作 A2B2⊥l，交 x 轴于点 B2，过点 B2 作 B2A3⊥x 轴， 交直线 l 于点 A3，依此规律…，若图中阴影△A1OB1 的面积为 S1，阴影△A2B1B2 的面积为 S2，阴影△A3B2B3 的面 积为 S3…，则 Sn＝ ． 22．已知 a＞0，S1= ，S2=﹣S1﹣1，S3= ，S4=﹣S3﹣1，S5= ，…(即当 n 为大于 1 的奇数时，Sn= ； 当 n 为大于 1 的偶数时，Sn=﹣Sn﹣1﹣1)，按此规律，S2018= ． 23．如图，把 Rt△OAB 置于平面直角坐标系中，点 A 的坐标为(0，4)，点 B 的坐标为(3，0)，点 P 是 Rt△ OAB 内切圆的圆心．将 Rt△OAB 沿 x 轴的正方向作无滑动滚动，使它的三边依次与 x 轴重合，第一次滚动后 圆心为 P1，第二次滚动后圆心为 P2，…，依此规律，第 2019 次滚动后，Rt△OAB 内切圆的圆心 P2019 的坐标 是 ． 24．如图，在平面直角坐标系中，矩形 AOCB 的两边 OA、OC 分别在 x 轴和 y 轴上，且 OA=2，OC=1．在第二 象限内，将矩形 AOCB 以原点 O 为位似中心放大为原来的 倍，得到矩形 A1OC1B1，再将矩形 A1OC1B1 以原点 O 为位似中心放大 倍，得到矩形 A2OC2B2…，以此类推，得到的矩形 AnOCnBn 的对角线交点的坐标为 ． 25．(2020 通辽模拟)一列数 x1，x2，x3，…，其中 x1= ，xn= (n 为不小于 2 的整数)，则 x2015= ． 26．(2020 随州模拟)观察下列图形规律：当 n= 时，图形“●”的个数和“△”的个数相等． 27.(2019•山东泰安)在平面直角坐标系中，直线 l：y＝x+1 与 y 轴交于点 A1，如图所示，依次作正方形 OA1B1C1， 正方形 C1A2B2C2，正方形 C2A3B3C3，正方形 C3A4B4C4，……，点 A1，A2，A3，A4，……在直线 l 上，点 C1，C2，C3， C4，……在 x 轴正半轴上，则前 n 个正方形对角线长的和是 ． 28．(2019•山东潍坊)如图所示，在平面直角坐标系 xoy 中，一组同心圆的圆心为坐标原点 O，它们的半径 分别为 1，2，3，…，按照“加 1”依次递增；一组平行线，l0，l1，l2，l3，…都与 x 轴垂直，相邻两直线 的间距为 l，其中 l0 与 y 轴重合若半径为 2 的圆与 l1 在第一象限内交于点 P1，半径为 3 的圆与 l2 在第一象 限内交于点 P2，…，半径为 n+1 的圆与 ln 在第一象限内交于点 Pn，则点 Pn 的坐标为 ．(n 为正整 数) 三、解答题 29.(2019•四川自贡)阅读下列材料：小明为了计算 1+2+22+…+22017+22018 的值，采用以下方法： 设 S＝1+2+22+…+22017+22018① 则 2S＝2+22+…+22018+22019② ②﹣①得 2S﹣S＝S＝22019﹣1 ∴S＝1+2+22+…+22017+22018＝22019﹣1 请仿照小明的方法解决以下问题： (1)1+2+22+…+29＝________； (2)3+32+…+310＝________； (3)求 1+a+a2+…+an 的和(a＞0，n 是正整数，请写出计算过程)． 30．(2019 湖南张家界)阅读下面的材料： 按照一定顺序排列着的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．排在第一位的数称为第一 项，记为 a1，排在第二位的数称为第二项，记为 a2，依此类推，排在第 n 位的数称为第 n 项，记为 an．所 以，数列的一般形式可以写成：a1，a2，a3，…，an，…． 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列， 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用 d 表示．如：数列 1，3，5，7，…为等差数列，其中 a1＝1，a2 ＝3，公差为 d＝2． 根据以上材料，解答下列问题： (1)等差数列 5，10，15，…的公差 d 为 ，第 5 项是 ． (2)如果一个数列 a1，a2，a3，…，an…，是等差数列，且公差为 d，那么根据定义可得到 a2﹣a1＝d，a3﹣a2 ＝d，a4﹣a3＝d，…，an﹣an﹣1＝d，…． 所以 a2＝a1+d a3＝a2+d＝(a1+d)+d＝a1+2d， a4＝a3+d＝(a1+2d)+d＝a1+3d， …… 由此，请你填空完成等差数列的通项公式：an＝a1+( )d． （3）﹣4041 是不是等差数列﹣5，﹣7，﹣9…的项？如果是，是第几项？ 31. (2019•四川自贡)阅读下列材料：小明为了计算 1+2+22+…+22017+22018 的值，采用以下方法： 设 S＝1+2+22+…+22017+22018① 则 2S＝2+22+…+22018+22019② ②﹣①得 2S﹣S＝S＝22019﹣1 ∴S＝1+2+22+…+22017+22018＝22019﹣1 请仿照小明的方法解决以下问题： (1)1+2+22+…+29＝ ； (2)3+32+…+310＝ ； (3)求 1+a+a2+…+an 的和(a＞0，n 是正整数，请写出计算过程)．