2021年中考数学专题复习 专题08 一元一次方程及其应用（教师版含解析） 15页

专题 08 一元一次方程及其应用 一、方程与整式、等式的区别 (1)从概念来看： 整式：单项式和多项式统称整式。 等式：用等号来表示相等关系的式子叫做等式。如 2+3=5，m＝n＝n＋m 等都叫做等式，而像－3a+2b，3 m2n 不含等号，所以它们不是等式，而是代数式。 方程：含有未知数的等式叫做方程。如 5x＋3＝11。理解方程的概念必须明确两点：①是等式；②含有未知 数。两者缺一不可。 (2)从是否含有等号来看：方程首先是一个等式，它是用“＝”将两个代数式连接起来的等式，而整式仅用 运算符号连接起来，不含有等号。 (3)从是否含有未知量来看：等式必含有“＝”，但不一定含有未知量；方程既含有“＝”，又必须含有未知 数。但整式必不含有等号，不一定含有未知量，分为单项式和多项式。 二、一元一次方程的概念 1.一元一次方程：一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中 x 是未知数，a,b 是已知数，且 a≠0)。 要点诠释：一元一次方程须满足下列三个条件： (1)只含有一个未知数； (2)未知数的次数是 1 次； (3)整式方程． 注意：方程要化为最简形式，且一次项系数不能为零。 2.方程的解：判断一个数是否是某方程的解,将其代入方程两边，看两边是否相等． 三、一元一次方程的解法 1.方程的同解原理(等式的基本性质) 性质 1：等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，所得结果仍是等式。 性质 2：等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是零)，所得结果仍是等式。 注意：分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为 0 的数，分数的值不变。 2.解一元一次方程的一般步骤： (1)去分母。在方程两边都乘以各分母的最小公倍数，依据等式基本性质 2，注意防止漏乘(尤其整数项)， 注意添括号。 (2)去括号。一般先去小括号，再去中括号，最后去大括号，依据去括号法则、分配律，注意变号，防止漏 乘。 (3)移项。把含有未知数的项都移到方程的一边，其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号)，依据等式 基本性质 1，移项要变号，不移不变号。 (4)合并同类项。把方程化成 ax＝b(a≠0)的形式，依据合并同类项法则，计算要仔细，不要出差错。 (5)系数化为 1。在方程两边都除以未知数的系数 a，得到方程的解 x＝b/a ,依据等式基本性质 2，计算要 仔细，分子分母勿颠倒。 说明：理解方程 ax=b 在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用: ①a≠0 时，方程有唯一解 x＝b/a ； ②a=0，b=0 时，方程有无数个解； ③a=0，b≠0 时，方程无解。 四、列一元一次方程解应用题 1.列一元一次方程解应用题的一般步骤： (1)审—审题：认真审题，弄清题意，找出能够表示本题含义的相等关系。 (2)设—设出未知数：根据提问，巧设未知数． (3)列—列出方程：设出未知数后，利用等量关系写出等式，即列方程。 (4)解—解方程：解所列的方程，求出未知数的值． (5)答—检验，写答案：检验所求出的未知数的值是否是方程的解，是否符合实际， 检验后写出答案，注意带上单位。 2.常见的一些等量关系 (1)行程问题：距离=速度·时间 (2)工程问题：工作量=工效·工时 (3)比率问题：部分=全体·比率 (4)顺逆流问题：顺流速度=静水速度+水流速度，逆流速度=静水速度-水流速度 (5)商品价格问题：售价=定价·折· 10 1 ，利润=售价-成本， %100 成本 成本售价利润率 (6)周长、面积、体积问题： C 圆=2πR，C 长方形=2(a+b)，C 正方形=4a， S 圆=πR2，S 长方形=ab， S 正方形=a2，S 环形=π(R2-r2), V 长方体=abc，V 正方体=a3，V 圆柱=πR2h ，V 圆锥= 3 1 πR2h. 【例题 1】(2020•重庆)解一元一次方程 (x+1)＝1 x 时，去分母正确的是( ) A．3(x+1)＝1﹣2x B．2(x+1)＝1﹣3x C．2(x+1)＝6﹣3x D．3(x+1)＝6﹣2x 【答案】D 【分析】根据等式的基本性质将方程两边都乘以 6 可得答案． 【解析】方程两边都乘以 6，得：3(x+1)＝6﹣2x， 【对点练习】解方程： (1)4﹣x=3(2﹣x)； (2) ． 【答案】见解析。 【解析】(1)去括号得：4﹣x=6﹣3x， 移项得：﹣x+3x=6﹣4， 合并得：2x=2， 系数化为 1 得：x=1． (2)去分母得：5(x﹣1)﹣2(x+1)=2， 去括号得：5x﹣5﹣2x﹣2=2， 移项得：5x﹣2x=2+5+2， 合并得：3x=9， 系数化 1 得：x=3． 【点拨】按照解一元一次方程的步骤解就可以，注意移项时正负号的变化。 【例题 2】(2020•杭州)以下是圆圆解方程 体 1 的解答过程． 解：去分母，得 3(x+1)﹣2(x﹣3)＝1． 去括号，得 3x+1﹣2x+3＝1． 移项，合并同类项，得 x＝﹣3． 圆圆的解答过程是否有错误？如果有错误，写出正确的解答过程． 【答案】见解析。 【解析】直接利用一元一次方程的解法进而分析得出答案． 圆圆的解答过程有错误， 正确的解答过程如下： 去分母，得：3(x+1)﹣2(x﹣3)＝6． 去括号，得 3x+3﹣2x+6＝6． 移项，合并同类项，得 x＝﹣3． 【对点练习】(2019 湖南湘西)若关于 x 的方程 3x﹣kx+2＝0 的解为 2，则 k 的值为 ． 【答案】4 【解析】考查一元一次方程的解 ∵关于 x 的方程 3x﹣kx+2＝0 的解为 2， ∴3×2﹣2k+2＝0， 解得：k＝4． 【点拨】将解带入方程，得到含有 k 的方程，再解这个方程即可。 【例题 3】(2020•内江)我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索 比竿子长一托．折回索子却量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿， 绳索比竿长 5 尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短 5 尺．设绳索长 x 尺．则符合题意的方程 是( ) A． x＝(x﹣5)﹣5 B． x＝(x+5)+5 C．2x＝(x﹣5)﹣5 D．2x＝(x+5)+5 【答案】A 【分析】设绳索长 x 尺，则竿长(x﹣5)尺，根据“将绳索对半折后再去量竿，就比竿短 5 尺”，即可得出关 于 x 的一元一次方程，此题得解． 【解析】设绳索长 x 尺，则竿长(x﹣5)尺， 依题意，得： x＝(x﹣5)﹣5． 【对点练习】(2019•襄阳)《九章算术》是我国古代数学名著，卷七“盈不足”中有题译文如下：今有人合 伙买羊，每人出 5 钱，会差 45 钱；每人出 7 钱，会差 3 钱．问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数为 x 人，所列方程正确的是( ) A．5x﹣45＝7x﹣3 B．5x+45＝7x+3 C． ＝ D． ＝ 【答案】B 【解析】设合伙人数为 x 人， 依题意，得：5x+45＝7x+3． 【点拨】以养总价格为不变量列含有未知数的等式。 【例题 4】(2019▪湖北黄石)“今有善行者行一百步，不善行者行六十步．”(出自《九章算术》)意思是：同 样时间段内，走路快的人能走 100 步，走路慢的人只能走 60 步．假定两者步长相等，据此回答以下问题： (1)今不善行者先行一百步，善行者追之，不善行者再行六百步，问孰至于前，两者几何步隔之？即：走路 慢的人先走 100 步，走路快的人开始追赶，当走路慢的人再走 600 步时，请问谁在前面，两人相隔多少步？ (2)今不善行者先行两百步，善行者追之，问几何步及之？即：走路慢的人先走 200 步，请问走路快的人走 多少步才能追上走路慢的人？ 【答案】(1)当走路慢的人再走 600 步时，走路快的人在前面，两人相隔 300 步． (2)走路快的人走 500 步才能追上走路慢的人． 【解析】(1)设当走路慢的人再走 600 步时，走路快的人的走 x 步，根据同样时间段内，走路快的人能走 100 步，走路慢的人只能走 60 步．列方程求解即可。 由题意得 x：600＝100：60 ∴x＝1000 ∴1000﹣600﹣100＝300 所以当走路慢的人再走 600 步时，走路快的人在前面，两人相隔 300 步． (2)设走路快的人走 y 步才能追上走路慢的人，根据同样时间段内，走路快的人能走 100 步，走路慢的人只 能走 60 步，及追及问题可列方程求解． 由题意得 y＝200+ y ∴y＝500 所以走路快的人走 500 步才能追上走路慢的人． 【对点练习】(2019•湖南岳阳)岳阳市整治农村“空心房”新模式，获评全国改革开放 40 年地方改革创新 40 案例．据了解，我市某地区对辖区内“空心房”进行整治，腾退土地 1200 亩用于复耕和改造，其中复耕 土地面积比改造土地面积多 600 亩． (1)求复耕土地和改造土地面积各为多少亩？ (2)该地区对需改造的土地进行合理规划，因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场，要求休闲小广场总面积 不超过花卉园总面积的 ，求休闲小广场总面积最多为多少亩？ 【答案】见解析。 【解析】(1)设改造土地面积是 x 亩，则复耕土地面积是(600+x)亩．根据“复耕土地面积+改造土地面积＝ 1200 亩”列出方程并解答； 由题意，得 x+(600+x)＝1200,解得 x＝300． 则 600+x＝900． 所以改造土地面积是 300 亩，则复耕土地面积是 900 亩。 (2)设休闲小广场总面积是 y 亩，则花卉园总面积是(300﹣y)亩，根据“休闲小广场总面积不超过花卉园总 面积的 ”列出不等式并解答． 由题意，得 y≤ (300﹣y)． 解得 y≤75． 故休闲小广场总面积最多为 75 亩． 所以休闲小广场总面积最多为 75 亩． 【点拨】根据“复耕土地面积+改造土地面积＝1200 亩”列出方程并解答是正确思路。 一、选择题 1．(2020•金华)如图，在编写数学谜题时，“□”内要求填写同一个数字，若设“□”内数字为 x．则列出 方程正确的是( ) A．3×2x+5＝2x B．3×20x+5＝10x×2 C．3×20+x+5＝20x D．3×(20+x)+5＝10x+2 【答案】D 【分析】直接利用表示十位数的方法进而得出等式即可． 【解析】设“□”内数字为 x，根据题意可得： 3×(20+x)+5＝10x+2． 2.(2019▪贵州毕节)如果 3ab2m﹣1 与 9abm+1 是同类项，那么 m 等于( ) A．2 B．1 C．﹣1 D．0 【答案】A 【解析】根据同类项的定义得出 m 的方程解答即可． 根据题意可得：2m﹣1＝m+1， 解得：m＝2 3.(2019•杭州)已知九年级某班 30 位学生种树 72 棵，男生每人种 3 棵树，女生每人种 2 棵树，设男生有 x 人，则( ) A．2x+3(72﹣x)＝30 B．3x+2(72﹣x)＝30 C．2x+3(30﹣x)＝72 D．3x+2(30﹣x)＝72 【答案】D． 【解析】设男生有 x 人，则女生(30﹣x)人，根据题意可得： 3x+2(30﹣x)＝72． 4．(2020 湖南长沙模拟)某车间有 26 名工人，每人每天可以生产 800 个螺钉或 1000 个螺母，1 个螺钉需要 配 2 个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套．设安排 x 名工人生产螺钉，则下面所列方程正确的是 ( ) A．2×1000(26﹣x)=800x B．1000(13﹣x)=800x C．1000(26﹣x)=2×800x D．1000(26﹣x)=800x 【答案】C 【解析】题目已经设出安排 x 名工人生产螺钉，则(26﹣x)人生产螺母，由一个螺钉配两个螺母可知螺母的 个数是螺钉个数的 2 倍从而得出等量关系，就可以列出方程．由题意得 1000(26﹣x)=2×800x，故 C 答案正确。 二、填空题 5．(2020•衢州)一元一次方程 2x+1＝3 的解是 x＝ ． 【答案】1 【分析】将方程移项，然后再将系数化为 1 即可求得一元一次方程的解． 【解答】解；将方程移项得， 2x＝2， 系数化为 1 得， x＝1． 6．(2020•株洲)关于 x 的方程 3x﹣8＝x 的解为 x＝ ． 【答案】4 【分析】方程移项、合并同类项、把 x 系数化为 1，即可求出解． 【解析】方程 3x﹣8＝x， 移项，得 3x﹣x＝8， 合并同类项，得 2x＝8． 解得 x＝4． 7．(2020•武威)暑假期间，亮视眼镜店开展学生配镜优惠活动．某款式眼镜的广告如下，请你为广告牌填 上原价． 原价： 元 暑假八折优惠，现价：160 元 【答案】200 【分析】设广告牌上的原价为 x 元，根据现价＝原价×折扣率，即可得出关于 x 的一元一次方程，解之即 可得出结论． 【解析】设广告牌上的原价为 x 元， 依题意，得：0.8x＝160， 解得：x＝200． 8.(2019•张家界)《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作，其中有一个数学问题：“直田积八 百六十四步，只云长阔共六十步，问长多阔几何”．意思是：一块矩形田地的面积为 864 平方步，只知道它 的长与宽共 60 步，问它的长比宽多多少步？根据题意得，长比宽多 步． 【答案】12 【解析】设长为 x 步，宽为(60﹣x)步， x(60﹣x)＝864， 解得，x1＝36，x2＝24(舍去)， ∴当 x＝36 时，60﹣x＝24， ∴长比宽多：36﹣24＝12(步) 9.方程﹣ (1﹣2x)= (3x+1)的解为___________. 【答案】x=﹣ ． 【解析】这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，化系数为 1，从而得到方程的解 ﹣7(1﹣2x)=3×2(3x+1) ﹣7+14x=18x+6 ﹣4x=13 x=﹣ ． 10.(2019 贵州黔西南州)某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高 40%后标价，在某次电商购物节中，为促销 该商品，按标价 8 折销售，售价为 2240 元，则这种商品的进价是 元． 【答案】2000 【解析】一元一次方程的应用。 设这种商品的进价是 x 元， 由题意，得(1+40%)x×0.8＝2240． 解得 x＝2000 11.(2019▪贵州毕节)某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高 40%后标价，在某次电商购物节中，为促销该商 品，按标价 8 折销售，售价为 2240 元，则这种商品的进价是 元． 【答案】2000 【解析】设这种商品的进价是 x 元，根据提价之后打八折，售价为 2240 元，列方程解答即可． 由题意得，(1+40%)x×0.8＝2240． 解得：x＝2000 12.(2019•湖南湘西州)若关于 x 的方程 3x﹣kx+2＝0 的解为 2，则 k 的值为 ． 【答案】4 【解析】∵关于 x 的方程 3x﹣kx+2＝0 的解为 2， ∴3×2﹣2k+2＝0， 解得：k＝4． 三、解答题 13.解方程： 【答案】x= 【解析】这是一个带分母的方程，所以要先去分母，再去括号，最后移项，化系数为 1，从而得到方程的解 左右同乘 12 可得：3[2x﹣(x﹣1)]=8(x﹣1)， 化简可得：3x+3=8x﹣8， 移项可得：5x=11， 解可得 x= ． 故原方程的解为 x= 14．解方程 (1)4(x﹣1)﹣3(20﹣x)=5(x﹣2)； (2)x﹣ =2﹣ ． 【答案】见解析。 【解析】(1)去括号得：4x﹣4﹣60+3x=5x﹣10 移项得：4x+3x﹣5x=4+60﹣10 合并得：2x=54 系数化为 1 得：x=27； (2)去分母得：6x﹣3(x﹣1)=12﹣2(x+2) 去括号得：6x﹣3x+3=12﹣2x﹣4 移项得：6x﹣3x+2x=12﹣4﹣3 合并得：5x=5 系数化为 1 得：x=1． 15．(2020•攀枝花)课外活动中一些学生分组参加活动，原来每组 6 人，后来重新编组，每组 8 人，这样就 比原来减少 2 组，问这些学生共有多少人？ 【答案】见解析。 【分析】设这些学生共有 x 人，先表示出原来和后来各多少组，其等量关系为后来的比原来的少 2 组，根 据此列方程求解． 【解析】设这些学生共有 x 人， 根据题意得 ， 解得 x＝48． 答：这些学生共有 48 人． 16．(2020•凉山州)解方程：x 1 体 ． 【答案】见解析。 【分析】根据解一元一次方程的步骤解答即可． 【解析】去分母，得：6x﹣3(x﹣2)＝6+2(2x﹣1)， 去括号，得：6x﹣3x+6＝6+4x﹣2， 移项，得：6x﹣3x﹣4x＝6﹣6﹣2， 合并同类项，得：﹣x＝﹣2， 系数化为 1，得：x＝2． 17.(2019•甘肃)中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个 问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车， 每 3 人共乘一车，最终剩余 2 辆车，若每 2 人共乘一车，最终剩余 9 个人无车可乘，问共有多少人，多少 辆车？ 【答案】共有 39 人，15 辆车． 【解析】设共有 x 人，根据题意列出方程，求出方程的解即可得到结果． 根据题意得： +2＝ ， 去分母得：2x+12＝3x﹣27，解得：x＝39， ∴ ＝15， 则共有 39 人，15 辆车． 18.(2019 安徽)为实施乡村振兴战略，解决某山区老百姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路．其 中一段长为 146 米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工．甲工程队独立工作 2 天后，乙工程队 加入，两工程队又联合工作了 1 天，这 3 天共掘进 26 米．已知甲工程队每天比乙工程队多掘进 2 米，按此 速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合工作多少天？ 【答案】甲乙两个工程队还需联合工作 10 天． 【解析】设甲工程队每天掘进 x 米，则乙工程队每天掘进(x﹣2)米．根据“甲工程队独立工作 2 天后，乙 工程队加入，两工程队又联合工作了 1 天，这 3 天共掘进 26 米”列出方程，然后求工作时间． 由题意，得 2x+(x+x﹣2)＝26， 解得 x＝7， 所以乙工程队每天掘进 5 米， (天) 所以甲乙两个工程队还需联合工作 10 天． ．