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  • 2021-11-11 发布

2021年中考数学专题复习 专题08 一元一次方程及其应用(教师版含解析)

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专题 08 一元一次方程及其应用 一、方程与整式、等式的区别 (1)从概念来看: 整式:单项式和多项式统称整式。 等式:用等号来表示相等关系的式子叫做等式。如 2+3=5,m=n=n+m 等都叫做等式,而像-3a+2b,3 m2n 不含等号,所以它们不是等式,而是代数式。 方程:含有未知数的等式叫做方程。如 5x+3=11。理解方程的概念必须明确两点:①是等式;②含有未知 数。两者缺一不可。 (2)从是否含有等号来看:方程首先是一个等式,它是用“=”将两个代数式连接起来的等式,而整式仅用 运算符号连接起来,不含有等号。 (3)从是否含有未知量来看:等式必含有“=”,但不一定含有未知量;方程既含有“=”,又必须含有未知 数。但整式必不含有等号,不一定含有未知量,分为单项式和多项式。 二、一元一次方程的概念 1.一元一次方程:一元一次方程的标准形式是:ax+b=0(其中 x 是未知数,a,b 是已知数,且 a≠0)。 要点诠释:一元一次方程须满足下列三个条件: (1)只含有一个未知数; (2)未知数的次数是 1 次; (3)整式方程. 注意:方程要化为最简形式,且一次项系数不能为零。 2.方程的解:判断一个数是否是某方程的解,将其代入方程两边,看两边是否相等. 三、一元一次方程的解法 1.方程的同解原理(等式的基本性质) 性质 1:等式的两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式,所得结果仍是等式。 性质 2:等式的两边都乘以(或除以)同一个数(除数不能是零),所得结果仍是等式。 注意:分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为 0 的数,分数的值不变。 2.解一元一次方程的一般步骤: (1)去分母。在方程两边都乘以各分母的最小公倍数,依据等式基本性质 2,注意防止漏乘(尤其整数项), 注意添括号。 (2)去括号。一般先去小括号,再去中括号,最后去大括号,依据去括号法则、分配律,注意变号,防止漏 乘。 (3)移项。把含有未知数的项都移到方程的一边,其他项都移到方程的另一边(记住移项要变号),依据等式 基本性质 1,移项要变号,不移不变号。 (4)合并同类项。把方程化成 ax=b(a≠0)的形式,依据合并同类项法则,计算要仔细,不要出差错。 (5)系数化为 1。在方程两边都除以未知数的系数 a,得到方程的解 x=b/a ,依据等式基本性质 2,计算要 仔细,分子分母勿颠倒。 说明:理解方程 ax=b 在不同条件下解的各种情况,并能进行简单应用: ①a≠0 时,方程有唯一解 x=b/a ; ②a=0,b=0 时,方程有无数个解; ③a=0,b≠0 时,方程无解。 四、列一元一次方程解应用题 1.列一元一次方程解应用题的一般步骤: (1)审—审题:认真审题,弄清题意,找出能够表示本题含义的相等关系。 (2)设—设出未知数:根据提问,巧设未知数. (3)列—列出方程:设出未知数后,利用等量关系写出等式,即列方程。 (4)解—解方程:解所列的方程,求出未知数的值. (5)答—检验,写答案:检验所求出的未知数的值是否是方程的解,是否符合实际, 检验后写出答案,注意带上单位。 2.常见的一些等量关系 (1)行程问题:距离=速度·时间 (2)工程问题:工作量=工效·工时 (3)比率问题:部分=全体·比率 (4)顺逆流问题:顺流速度=静水速度+水流速度,逆流速度=静水速度-水流速度 (5)商品价格问题:售价=定价·折· 10 1 ,利润=售价-成本, %100 成本 成本售价利润率 (6)周长、面积、体积问题: C 圆=2πR,C 长方形=2(a+b),C 正方形=4a, S 圆=πR2,S 长方形=ab, S 正方形=a2,S 环形=π(R2-r2), V 长方体=abc,V 正方体=a3,V 圆柱=πR2h ,V 圆锥= 3 1 πR2h. 【例题 1】(2020•重庆)解一元一次方程 (x+1)=1 x 时,去分母正确的是( ) A.3(x+1)=1﹣2x B.2(x+1)=1﹣3x C.2(x+1)=6﹣3x D.3(x+1)=6﹣2x 【答案】D 【分析】根据等式的基本性质将方程两边都乘以 6 可得答案. 【解析】方程两边都乘以 6,得:3(x+1)=6﹣2x, 【对点练习】解方程: (1)4﹣x=3(2﹣x); (2) . 【答案】见解析。 【解析】(1)去括号得:4﹣x=6﹣3x, 移项得:﹣x+3x=6﹣4, 合并得:2x=2, 系数化为 1 得:x=1. (2)去分母得:5(x﹣1)﹣2(x+1)=2, 去括号得:5x﹣5﹣2x﹣2=2, 移项得:5x﹣2x=2+5+2, 合并得:3x=9, 系数化 1 得:x=3. 【点拨】按照解一元一次方程的步骤解就可以,注意移项时正负号的变化。 【例题 2】(2020•杭州)以下是圆圆解方程 体 1 的解答过程. 解:去分母,得 3(x+1)﹣2(x﹣3)=1. 去括号,得 3x+1﹣2x+3=1. 移项,合并同类项,得 x=﹣3. 圆圆的解答过程是否有错误?如果有错误,写出正确的解答过程. 【答案】见解析。 【解析】直接利用一元一次方程的解法进而分析得出答案. 圆圆的解答过程有错误, 正确的解答过程如下: 去分母,得:3(x+1)﹣2(x﹣3)=6. 去括号,得 3x+3﹣2x+6=6. 移项,合并同类项,得 x=﹣3. 【对点练习】(2019 湖南湘西)若关于 x 的方程 3x﹣kx+2=0 的解为 2,则 k 的值为 . 【答案】4 【解析】考查一元一次方程的解 ∵关于 x 的方程 3x﹣kx+2=0 的解为 2, ∴3×2﹣2k+2=0, 解得:k=4. 【点拨】将解带入方程,得到含有 k 的方程,再解这个方程即可。 【例题 3】(2020•内江)我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题:“一条竿子一条索,索 比竿子长一托.折回索子却量竿,却比竿子短一托.”其大意为:现有一根竿和一条绳索,用绳索去量竿, 绳索比竿长 5 尺;如果将绳索对半折后再去量竿,就比竿短 5 尺.设绳索长 x 尺.则符合题意的方程 是( ) A. x=(x﹣5)﹣5 B. x=(x+5)+5 C.2x=(x﹣5)﹣5 D.2x=(x+5)+5 【答案】A 【分析】设绳索长 x 尺,则竿长(x﹣5)尺,根据“将绳索对半折后再去量竿,就比竿短 5 尺”,即可得出关 于 x 的一元一次方程,此题得解. 【解析】设绳索长 x 尺,则竿长(x﹣5)尺, 依题意,得: x=(x﹣5)﹣5. 【对点练习】(2019•襄阳)《九章算术》是我国古代数学名著,卷七“盈不足”中有题译文如下:今有人合 伙买羊,每人出 5 钱,会差 45 钱;每人出 7 钱,会差 3 钱.问合伙人数、羊价各是多少?设合伙人数为 x 人,所列方程正确的是( ) A.5x﹣45=7x﹣3 B.5x+45=7x+3 C. = D. = 【答案】B 【解析】设合伙人数为 x 人, 依题意,得:5x+45=7x+3. 【点拨】以养总价格为不变量列含有未知数的等式。 【例题 4】(2019▪湖北黄石)“今有善行者行一百步,不善行者行六十步.”(出自《九章算术》)意思是:同 样时间段内,走路快的人能走 100 步,走路慢的人只能走 60 步.假定两者步长相等,据此回答以下问题: (1)今不善行者先行一百步,善行者追之,不善行者再行六百步,问孰至于前,两者几何步隔之?即:走路 慢的人先走 100 步,走路快的人开始追赶,当走路慢的人再走 600 步时,请问谁在前面,两人相隔多少步? (2)今不善行者先行两百步,善行者追之,问几何步及之?即:走路慢的人先走 200 步,请问走路快的人走 多少步才能追上走路慢的人? 【答案】(1)当走路慢的人再走 600 步时,走路快的人在前面,两人相隔 300 步. (2)走路快的人走 500 步才能追上走路慢的人. 【解析】(1)设当走路慢的人再走 600 步时,走路快的人的走 x 步,根据同样时间段内,走路快的人能走 100 步,走路慢的人只能走 60 步.列方程求解即可。 由题意得 x:600=100:60 ∴x=1000 ∴1000﹣600﹣100=300 所以当走路慢的人再走 600 步时,走路快的人在前面,两人相隔 300 步. (2)设走路快的人走 y 步才能追上走路慢的人,根据同样时间段内,走路快的人能走 100 步,走路慢的人只 能走 60 步,及追及问题可列方程求解. 由题意得 y=200+ y ∴y=500 所以走路快的人走 500 步才能追上走路慢的人. 【对点练习】(2019•湖南岳阳)岳阳市整治农村“空心房”新模式,获评全国改革开放 40 年地方改革创新 40 案例.据了解,我市某地区对辖区内“空心房”进行整治,腾退土地 1200 亩用于复耕和改造,其中复耕 土地面积比改造土地面积多 600 亩. (1)求复耕土地和改造土地面积各为多少亩? (2)该地区对需改造的土地进行合理规划,因地制宜建设若干花卉园和休闲小广场,要求休闲小广场总面积 不超过花卉园总面积的 ,求休闲小广场总面积最多为多少亩? 【答案】见解析。 【解析】(1)设改造土地面积是 x 亩,则复耕土地面积是(600+x)亩.根据“复耕土地面积+改造土地面积= 1200 亩”列出方程并解答; 由题意,得 x+(600+x)=1200,解得 x=300. 则 600+x=900. 所以改造土地面积是 300 亩,则复耕土地面积是 900 亩。 (2)设休闲小广场总面积是 y 亩,则花卉园总面积是(300﹣y)亩,根据“休闲小广场总面积不超过花卉园总 面积的 ”列出不等式并解答. 由题意,得 y≤ (300﹣y). 解得 y≤75. 故休闲小广场总面积最多为 75 亩. 所以休闲小广场总面积最多为 75 亩. 【点拨】根据“复耕土地面积+改造土地面积=1200 亩”列出方程并解答是正确思路。 一、选择题 1.(2020•金华)如图,在编写数学谜题时,“□”内要求填写同一个数字,若设“□”内数字为 x.则列出 方程正确的是( ) A.3×2x+5=2x B.3×20x+5=10x×2 C.3×20+x+5=20x D.3×(20+x)+5=10x+2 【答案】D 【分析】直接利用表示十位数的方法进而得出等式即可. 【解析】设“□”内数字为 x,根据题意可得: 3×(20+x)+5=10x+2. 2.(2019▪贵州毕节)如果 3ab2m﹣1 与 9abm+1 是同类项,那么 m 等于( ) A.2 B.1 C.﹣1 D.0 【答案】A 【解析】根据同类项的定义得出 m 的方程解答即可. 根据题意可得:2m﹣1=m+1, 解得:m=2 3.(2019•杭州)已知九年级某班 30 位学生种树 72 棵,男生每人种 3 棵树,女生每人种 2 棵树,设男生有 x 人,则( ) A.2x+3(72﹣x)=30 B.3x+2(72﹣x)=30 C.2x+3(30﹣x)=72 D.3x+2(30﹣x)=72 【答案】D. 【解析】设男生有 x 人,则女生(30﹣x)人,根据题意可得: 3x+2(30﹣x)=72. 4.(2020 湖南长沙模拟)某车间有 26 名工人,每人每天可以生产 800 个螺钉或 1000 个螺母,1 个螺钉需要 配 2 个螺母,为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套.设安排 x 名工人生产螺钉,则下面所列方程正确的是 ( ) A.2×1000(26﹣x)=800x B.1000(13﹣x)=800x C.1000(26﹣x)=2×800x D.1000(26﹣x)=800x 【答案】C 【解析】题目已经设出安排 x 名工人生产螺钉,则(26﹣x)人生产螺母,由一个螺钉配两个螺母可知螺母的 个数是螺钉个数的 2 倍从而得出等量关系,就可以列出方程.由题意得 1000(26﹣x)=2×800x,故 C 答案正确。 二、填空题 5.(2020•衢州)一元一次方程 2x+1=3 的解是 x= . 【答案】1 【分析】将方程移项,然后再将系数化为 1 即可求得一元一次方程的解. 【解答】解;将方程移项得, 2x=2, 系数化为 1 得, x=1. 6.(2020•株洲)关于 x 的方程 3x﹣8=x 的解为 x= . 【答案】4 【分析】方程移项、合并同类项、把 x 系数化为 1,即可求出解. 【解析】方程 3x﹣8=x, 移项,得 3x﹣x=8, 合并同类项,得 2x=8. 解得 x=4. 7.(2020•武威)暑假期间,亮视眼镜店开展学生配镜优惠活动.某款式眼镜的广告如下,请你为广告牌填 上原价. 原价: 元 暑假八折优惠,现价:160 元 【答案】200 【分析】设广告牌上的原价为 x 元,根据现价=原价×折扣率,即可得出关于 x 的一元一次方程,解之即 可得出结论. 【解析】设广告牌上的原价为 x 元, 依题意,得:0.8x=160, 解得:x=200. 8.(2019•张家界)《田亩比类乘除捷法》是我国古代数学家杨辉的著作,其中有一个数学问题:“直田积八 百六十四步,只云长阔共六十步,问长多阔几何”.意思是:一块矩形田地的面积为 864 平方步,只知道它 的长与宽共 60 步,问它的长比宽多多少步?根据题意得,长比宽多 步. 【答案】12 【解析】设长为 x 步,宽为(60﹣x)步, x(60﹣x)=864, 解得,x1=36,x2=24(舍去), ∴当 x=36 时,60﹣x=24, ∴长比宽多:36﹣24=12(步) 9.方程﹣ (1﹣2x)= (3x+1)的解为___________. 【答案】x=﹣ . 【解析】这是一个带分母的方程,所以要先去分母,再去括号,最后移项,化系数为 1,从而得到方程的解 ﹣7(1﹣2x)=3×2(3x+1) ﹣7+14x=18x+6 ﹣4x=13 x=﹣ . 10.(2019 贵州黔西南州)某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高 40%后标价,在某次电商购物节中,为促销 该商品,按标价 8 折销售,售价为 2240 元,则这种商品的进价是 元. 【答案】2000 【解析】一元一次方程的应用。 设这种商品的进价是 x 元, 由题意,得(1+40%)x×0.8=2240. 解得 x=2000 11.(2019▪贵州毕节)某品牌旗舰店平日将某商品按进价提高 40%后标价,在某次电商购物节中,为促销该商 品,按标价 8 折销售,售价为 2240 元,则这种商品的进价是 元. 【答案】2000 【解析】设这种商品的进价是 x 元,根据提价之后打八折,售价为 2240 元,列方程解答即可. 由题意得,(1+40%)x×0.8=2240. 解得:x=2000 12.(2019•湖南湘西州)若关于 x 的方程 3x﹣kx+2=0 的解为 2,则 k 的值为 . 【答案】4 【解析】∵关于 x 的方程 3x﹣kx+2=0 的解为 2, ∴3×2﹣2k+2=0, 解得:k=4. 三、解答题 13.解方程: 【答案】x= 【解析】这是一个带分母的方程,所以要先去分母,再去括号,最后移项,化系数为 1,从而得到方程的解 左右同乘 12 可得:3[2x﹣(x﹣1)]=8(x﹣1), 化简可得:3x+3=8x﹣8, 移项可得:5x=11, 解可得 x= . 故原方程的解为 x= 14.解方程 (1)4(x﹣1)﹣3(20﹣x)=5(x﹣2); (2)x﹣ =2﹣ . 【答案】见解析。 【解析】(1)去括号得:4x﹣4﹣60+3x=5x﹣10 移项得:4x+3x﹣5x=4+60﹣10 合并得:2x=54 系数化为 1 得:x=27; (2)去分母得:6x﹣3(x﹣1)=12﹣2(x+2) 去括号得:6x﹣3x+3=12﹣2x﹣4 移项得:6x﹣3x+2x=12﹣4﹣3 合并得:5x=5 系数化为 1 得:x=1. 15.(2020•攀枝花)课外活动中一些学生分组参加活动,原来每组 6 人,后来重新编组,每组 8 人,这样就 比原来减少 2 组,问这些学生共有多少人? 【答案】见解析。 【分析】设这些学生共有 x 人,先表示出原来和后来各多少组,其等量关系为后来的比原来的少 2 组,根 据此列方程求解. 【解析】设这些学生共有 x 人, 根据题意得 , 解得 x=48. 答:这些学生共有 48 人. 16.(2020•凉山州)解方程:x 1 体 . 【答案】见解析。 【分析】根据解一元一次方程的步骤解答即可. 【解析】去分母,得:6x﹣3(x﹣2)=6+2(2x﹣1), 去括号,得:6x﹣3x+6=6+4x﹣2, 移项,得:6x﹣3x﹣4x=6﹣6﹣2, 合并同类项,得:﹣x=﹣2, 系数化为 1,得:x=2. 17.(2019•甘肃)中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题,其中《孙子算经》中有个 问题,原文:今有三人共车,二车空;二人共车,九人步,问人与车各几何?译文为:今有若干人乘车, 每 3 人共乘一车,最终剩余 2 辆车,若每 2 人共乘一车,最终剩余 9 个人无车可乘,问共有多少人,多少 辆车? 【答案】共有 39 人,15 辆车. 【解析】设共有 x 人,根据题意列出方程,求出方程的解即可得到结果. 根据题意得: +2= , 去分母得:2x+12=3x﹣27,解得:x=39, ∴ =15, 则共有 39 人,15 辆车. 18.(2019 安徽)为实施乡村振兴战略,解决某山区老百姓出行难的问题,当地政府决定修建一条高速公路.其 中一段长为 146 米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工.甲工程队独立工作 2 天后,乙工程队 加入,两工程队又联合工作了 1 天,这 3 天共掘进 26 米.已知甲工程队每天比乙工程队多掘进 2 米,按此 速度完成这项隧道贯穿工程,甲乙两个工程队还需联合工作多少天? 【答案】甲乙两个工程队还需联合工作 10 天. 【解析】设甲工程队每天掘进 x 米,则乙工程队每天掘进(x﹣2)米.根据“甲工程队独立工作 2 天后,乙 工程队加入,两工程队又联合工作了 1 天,这 3 天共掘进 26 米”列出方程,然后求工作时间. 由题意,得 2x+(x+x﹣2)=26, 解得 x=7, 所以乙工程队每天掘进 5 米, (天) 所以甲乙两个工程队还需联合工作 10 天. .