九年级上册青岛版数学课件4-6一元二次方程根与系数的关系 24页

4.6一元二次方程根与系数的关系 1.探索一元二次方程的根与系数的关系.（难点） 2.不解方程利用一元二次方程的根与系数的关系解决 问题.（重点） 学习目标 复习引入 1.一元二次方程的求根公式是什么？ 2 24 ( 4 0)2 b b acx b aca      想一想：方程的两根x1和x2与系数a,b,c还有其他关系吗？ 2.如何用判别式b2 - 4ac来判断一元二次方程根的情况？ 对一元二次方程： ax2 + bx +c = 0(a≠0) b2 - 4ac > 0 时,方程有两个不相等的实数根. b2 - 4ac = 0 时,方程有两个相等的实数根. b2 - 4ac < 0 时,方程无实数根. 导入新课 算一算 解下列方程并完成填空： （1）x2+3x-4=0; (2)x2-5x+6=0; (3)2x2+3x+1=0. 一元二次方程 两 根 关 系 x1 x2 x2+3x-4=0 x2-5x+6=0 2x2+3x+1=0 -4 1 2 3 1 2  -1 x1+x2=-3 x1 · x2=-4 x1+x2=5 x1 · x2=6 2 3 1 02 2x x   1 2 3 2x x   1 2 1 2x x g 讲授新课 探索一元二次方程的根与系数的关系知识点1 猜一猜 （1）若一元二次方程的两根为x1,x2,则有x-x1=0, 且x-x2=0,那么方程（x-x1)(x-x2)=0(x1,x2为已知数） 的两根是什么？将方程化为x2+px+q=0的形式，你能 看出x1,x2与p,q之间的关系吗？ u重要发现 如果方程x2+px+q=0的两根是x1,x2,那么x1+x2= -p , x1 ·x2=q. (x-x1)(x-x2)=0. x2-(x1+x2)x+x1·x2=0， x2+px+q=0， x1+x2= -p , x1 ·x2=q. 猜一猜 （2）通过上表猜想，如果一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根分别是x1， x2，那么，你 可以发现什么结论？ 1 2 bx x a    1 2 cx x a g 2 2 1 2 4 4 2 2 b b ac b b acx x a a         2 24 4 2 b b ac b b ac a       2 2 b a  .b a  证一证： 2 2 1 2 4 4 2 2 b b ac b b acx x a a          2 2 2 4 4 b b ac a    2 4 4 ac a  .c a  一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理） 如果 ax2+bx+c=0(a≠0)的两个根为x1， x2，那么 1 2 bx + x = a  1 2 cx x a g 注意 满足上述关系的前提条件 b2-4ac≥0. 归纳总结 例1：利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、 两根之积. （1）x2 + 7x + 6 = 0; 解：这里 a = 1 , b = 7 , c = 6. Δ = b2 - 4ac = 72 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0. ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = -7 , x1 x2 = 6. 一元二次方程的根与系数的关系的应用知识点2 （2）2x2 - 3x - 2 = 0. 解：这里 a = 2 , b = -3 , c = -2. Δ= b2 - 4ac = （- 3）2 – 4 × 2 × (-2) = 25 > 0, ∴方程有两个实数根. 设方程的两个实数根是 x1, x2, 那么 x1 + x2 = , x1 x2 = -1 . 3 2 例2 已知方程5x2+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个 根及k的值. 解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=2 . 所以：x1 · x2=2x2= 即：x2= 由于x1+x2=2+ = 得：k=－7. 答：方程的另一个根是 ，k=－7. ,5 k 3.5  3( )5  3 5  6 ,5  变式：已知方程3x2-18x+m=0的一个根是1，求它 的另一个根及m的值. 解：设方程的两个根分别是x1、x2，其中x1=1. 所以：x1 + x2=1+x2=6， 即：x2=5 . 由于x1·x2=1×5= 得：m=15. 答：方程的另一个根是5，m=15. ,3 m 例3 不解方程，求方程2x2+3x-1=0的两根的平方和、 倒数和. 1 2 1 2 3 1, .2 2x x x x      解：根据根与系数的关系可知：    2 2 2 1 2 1 1 2 21 2 ,x x x x x x∵      22 2 1 2 1 2 1 22x x x x x x     23 1 132 ;2 2 4                  1 2 1 2 1 2 1 1 3 12 3.2 2 x x x x x x                  设x1, x2为方程x2-4x+1=0的两个根，则: （1）x1+x2= , (2)x1·x2= , (3) , (4) . 4 1 14 12 2 21 )( xx  2 2 2 1 xx 练一练 例4：设x1，x2是方程 x2 -2(k - 1)x + k2 =0 的两个实数根， 且x12 +x22 =4，求k的值. 解：由方程有两个实数根，得Δ= 4（k - 1）2 - 4k2 ≥ 0 即 -8k + 4 ≥ 0. 由根与系数的关系得 x1 + x2 = 2(k -1) , x1 x2 =k 2. ∴ x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 4(k -1)2 -2k2 = 2k2 -8k + 4. 由 x12 + x22 = 4，得 2k2 - 8k + 4 = 4, 解得 k1= 0 , k2 = 4 . 经检验， k2 = 4 不合题意，舍去. 1 2k  u 总结常见的求值: 1 2 1 11. x x   1 2 1 2 ;x x x x  1 24 .( 1)( 1)x x   1 2 1 2( ) 1;x x x x   1 2 2 1 3. x x x x  2 2 1 2 1 2 x x x x  2 1 2 1 2 1 2 ( ) 2 ;x x x x x x   1 25. x x  2 1 2( )x x 2 1 2 1 2( ) 4 .x x x x   2 2 2 1 2 1 2 1 22. ( ) 2 ;x x x x x x    求与方程的根有关的代数式的值时,一般先将所求的 代数式化成含两根之和,两根之积的形式,再整体代入. 归纳 1.如果-1是方程2x2－x+m=0的一个根，则另一个 根是___，m =____. 2.已知一元二次方程x2+px+q=0的两根分别为-2 和 1 ，则：p = , q= .1 -2 3 2 -3 随堂练习 3.已知方程 3x2 -19x + m=0的一个根是1，求它的另一 个根及m的值. 解：将x = 1代入方程中： 3 -19 + m = 0. 解得 m = 16, 设另一个根为x1,则： 1 × x1 = ∴x1 = 16 .3 c a  16 .3 4.已知x1,x2是方程2x2+2kx+k-1=0的两个根，且 （x1+1)(x2+1)=4； （1）求k的值； （2）求(x1-x2)2的值. 解：(1)根据根与系数的关系 所以(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1= 解得：k=-7； 1 2 ,x x k   1 2 1.2 kx x  1 ( ) 1 4,2 k k     （2）因为k=-7,所以 则： 1 2 4.xx 1 2 7,x x  2 2 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 4 7 4 ( 4) 65.x x x x xx         5.设x1,x2是方程3x2 + 4x – 3 = 0的两个根.利用根系数之 间的关系,求下列各式的值. (1) (x1 + 1)(x2 + 1); (2) . 2 1 1 2 x x x x  解:根据根与系数的关系得： （1）(x1 + 1)(x2 + 1) = x1 x2 + x1 + x2 + 1= （2） 1 2 1 2 4 , 1.3 b cx x x xa a          4 4(-1) 1 ;3 3      2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) 2 34 .9 x x x x x x x x x x x x x x        6. 当k为何值时，方程2x2-kx+1=0的两根差为1. 解：设方程两根分别为x1,x2(x1>x2)，则x1-x2=1. ∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1， 拓展提升 由根与系数的关系，得 1 2 ,2 kx x  1 2 1 ,2x x  2 14 1,2 2 k       2 3,2 k     2 3.k   7.已知关于x的一元二次方程mx2-2mx+ m -2=0 （1）若方程有实数根,求实数m的取值范围. （2）若方程两根x1,x2满足∣ x1-x2∣ = 1 求m的值.解：(1)方程有实数根，     2 2 2 2 4 2 4 2 4 4 8 8 0 b ac m m m m m m m               ∴m的取值范围为m＞0. (2)∵方程有实数根x1,x2，  1 2 1 2 22, .mx x x x m      ∵ (x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=1， 2 22 4 1.m m     解得m=8. 经检验m=8是原方程 的解． 根与系数的关 系（韦达定理） 内 容 如果一元二次方ax2+bx+c=0(a≠0) 的两个根分别是x1， x2，那么 应 用 2 2 2 1 2 1 2 1 2( ) 2x x x x x x    2 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 4x x x x x x    1 2 1 2 1 2 1 1 x x x x x x    1 2 bx x a    1 2 cx x a g 课堂小结