中考数学一轮复习知识点+题型专题讲义16 相交线与平行线（学生版） 19页

专题 16 相交线与平行线 考点总结 【思维导图】 【知识要点】 知识点一 相交线 直线的位置关系：在同一平面内，不重合的两条直线之间的位置关系只有两种：相交或平行。 垂线的概念：当两条相交直线所成的四个角中，有一个角是直角，就说这两条直线互相垂直，其中一条直 线叫做另一条直线的垂线，交点叫做垂足。 表示方法： 如图，a ⊥ b，垂足为Ｏ． 记作：a ⊥ b 于点Ｏ． 【注意事项】 1.线段与线段，线段与射线，线段与直线，射线与射线，射线与直线垂直，是特指它们所在的直线互相垂直。 2.两条直线互相垂直，则它们之间所形成的四个角为直角；若两条直线的夹角为直角，则这两条直线互相垂直。 垂线的性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 垂线的画法：一落、二移、三画。 注意：经过一点画射线或线段的垂线，是指它们所在直线的垂线，垂足的位置不固定，可能会出现在射线的反向 延长线或线段的延长线上。 垂线段最短定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。 注意： 1、 垂线是一条直线，而垂线段是一条线段。 2、经过直线外一点到这条直线的垂线段有且只有一条。 点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离 【典型例题】 1．（2016·福建中考模拟）两条直线相交所成的四个角中，下列说法正确的是（ ） A．一定有一个锐角 B．一定有一个钝角 C．一定有一个直角 D．一定有一个不是钝角 2．（2018·天津中考模拟）有下列几种说法： ①两条直线相交所成的四个角中有一个是直角； ②两条直线相交所成的四个角相等； ③两条直线相交所成的四个角中有一组相邻补角相等； ④两条直线相交对顶角互补． 其中，能两条直线互相垂直的是（ ） A．①③ B．①②③ C．②③④ D．①②③④ 3．（2018·湖南中考模拟）在同一平面内，下列说法：①过两点有且只有一条直线；②两条不相同的直线有 且只有一个公共点；③经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直；④经过直线外一点有且只有一 条直线与已知直线平行，其中正确的个数为（ ） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 4．（2019·贵州中考真题）如图， △ ABC 中，CD 是 AB 边上的高，CM 是 AB 边上的中线，点 C 到边 AB 所在 直线的距离是( ) A．线段 CA 的长度 B．线段 CM 的长度 C．线段 CD 的长度 D．线段 CB 的长度 5．（2018·安徽中考模拟）下列说法正确的是( ) A．两点之间的距离是两点间的线段 B．同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．与同一条直线垂直的两条直线也垂直 D．同一平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 考查题型一 垂线性质的应用方法 1．（2017·湖南中考模拟）如图，AB∥CD，EG⊥AB，垂足为 G．若∠1＝50°，则∠E＝（ ）. A．60° B．50° C．40° D．30° 2．（2018·广西中考模拟）如图，O 为直线 AB 上一点，OE 平分∠BOC，OD⊥OE 于点 O，若∠BOC=80°， 则∠AOD 的度数是（ ） A．70° B．50° C．40° D．35° 3．（2015·河北中考模拟）如图，已知点 O 在直线 AB 上，CO⊥DO 于点 O，若∠1=145°，则∠3 的度数为 （ ） A．35° B．45° C．55° D．65° 4．（2019·湖南中考模拟）如图所示，直线 AB，CD 相交于点 O，OE⊥CD，已知∠BOE＝65°，则∠AOC 的 大小为（ ） A．25° B．35° C．65° D．115° 5．（2017·重庆中考模拟）如图， / /EF GH ，点 A 在 EF 上， |2 4 x x  分别交GH 于点 B C、 ，且 AP AQ ， 035PBG  ，则 FAC 的度数为（ ） A． 045 B． 050 C． 055 D． 060 考查题型二 判断两条直线是否垂直 1．（2018·广东正德中学中考模拟）如图，已知 DG⊥BC，AC⊥BC，EF⊥AB，∠1=∠2，试说明：CD⊥AB． 考察题型三 利用垂线段最短，解决实际问题 1．（2018·贵州中考模拟）如图，计划把河水 l 引到水池 A 中，先作 AB⊥l，垂足为 B，然后沿 AB 开渠，能 使所开的渠道最短，这样设计的依据是（ ） A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．过一点只能作一条直线 D．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 考查题型四 相交线交点的判断 1．（2013·湖北中考真题）两条直线最多有 1 个交点，三条直线最多有 3 个交点，四条直线最多有 6 个交点，… 那么六条直线最多有( ) A．21 个交点 B．18 个交点 C．15 个交点 D．10 个交点 2．观察如图图形，并阅读相关文字：那么 10 条直线相交，最多交点的个数是( ) A．10 B．20 C．36 D．45 3．（2017·温江区期末）三条互不重合的直线的交点个数可能是（ ） A．0，1，3 B．0，2，3 C．0，1，2，3 D．0，1，2 知识点二 相交线中的角 邻补角与对顶角的知识点 两直线相交所成的四个角中存在几种不同关系的角，它们的概念及性质如下表： 图形 顶点 边的关系 大小关系 对顶角 ∠1 与∠2 有公共顶点 ∠1 的两边与∠ 2 的两边互为反 向延长线 对顶角相等 即∠1=∠2 邻补角 ∠3 与∠4 有公共顶点 ∠3 与∠4 有一 条边公共，另一 边互为反向延长 线. ∠3+∠4=180° 注意点： （1）对顶角是成对出现的，对顶角是具有特殊位置关系的两个角； （2）如果∠α与∠β是对顶角，那么一定有∠α=∠β；反之如果∠α=∠β，那么∠α与∠β不一定是对顶角； （3）如果∠α与∠β互为邻补角，则一定有∠α+∠β=180°；反之如果∠α+∠β=180°，则∠α与∠β不一定是邻 补角； （4）两直线相交形成的四个角中，每一个角的邻补角有两个，而对顶角只有一个. 同位角、内错角与同旁内角的知识点 同位角：在两条直线的上方，又在直线 EF 的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同位角。（同旁同侧） 如：∠1 和∠5。 内错角：在在两条直线之间，又在直线 EF 的两侧，具有这种位置关系的两个角叫内错角。（内部异侧） 如：∠3 和∠5。 同旁内角：在在两条直线之间，又在直线 EF 的同侧，具有这种位置关系的两个角叫同旁内角。（同旁内侧） 如：∠3 和∠6。 三线八角:指的是两条直线被第三条直线所截而形成的八个角，其中同位角 4 对，内错角有 2 对，同旁内角 有 2 对，同旁内角有 2 对。 考查题型五 同位角、内错角与同旁内角的判断 1．（2019·浙江中考模拟）两条直线被第三条直线所截，∠1 是∠2 的同旁内角，∠2 是∠3 的内错角． （1）画出示意图，标出∠1，∠2，∠3． （2）若∠1＝2∠2，∠2＝2∠3，求∠3 的度数． 2．（2019·福建中考模拟）如图，与∠1 是同旁内角的是( ) A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠5 3．（2019·甘肃中考模拟）如图，下列四个选项中， 1 与 2 是内错角的是( ) A． B． C． D． 考查题型六 利用对顶角的性质求角的度数 1．（2019·余干县瑞洪中学中考模拟）如图，已知直线 AB 与 CD 相交于点 O，EO⊥CO，OF 平分∠AOE， 且 OF 在∠COE 的内部． (1)若∠COF＝15°，求∠BOD 的度数． (2)若∠BOD＝x°，则∠COF＝__________°(用含 x 的代数式表示)． 2．（2017·河南中考模拟）如图，直线 AB、CD 相交于点 O，∠AOC＝70°，∠2＝40°，则∠1 的度数为（ ） A．30° B．35° C．40° D．70° 考查题型七 利用对顶角、邻补角的性质求角的度数 1．（2012·北京中考真题）如图，直线 AB，CD 交于点 O，射线 OM 平分∠AOD，若∠BOD=760，则∠BOM 等于（ ） A． B． C． D． 2．（2012·四川中考模拟）如图， 1 15   ，OC OA ，点 B、O、D 在同一直线上，则 2 的度数是 ( ) A． 75 B．105 C．115 D．165 3．（2018·河南中考真题）如图，直线 AB，CD 相交于点 O，EO⊥AB 于点 O，∠EOD=50°，则∠BOC 的度 数为_____． 知识点三 平行线 平行线的概念：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，平行用符号“∥”表示， 如：直线 a 与直线b 互相平行，记作 a ∥b ，读作 a 平行于 b。 平行线的画法：一落、二靠、三移、四画。 判断同一平面内两直线的位置关系时，可以根据它们的公共点的个数来确定： ①有且只有一个公共点，两直线相交； ②无公共点，则两直线平行； ③两个或两个以上公共点，则两直线重合 平行公理（唯一性）：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。 平行公理的推论（传递性）：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 几何描述 ：∵b ∥ a ， c ∥ a ∴b ∥ c 平行线的判定 判定方法 1 ：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 简称：同位角相等，两直线平行 判定方法 2 ：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行 简称：内错角相等，两直线平行 判定方法 3： 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行 简称：同旁内角互补，两直线平行 几何符号语言： ∵ ∠3＝∠2 ∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行） ∵ ∠1＝∠2 ∴ AB∥CD（内错角相等，两直线平行） ∵ ∠4＋∠2＝180° ∴ AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行） 平行线的性质 性质 1：两直线平行，同位角相等； 性质 2：两直线平行，内错角相等； 性质 3：两直线平行，同旁内角互补.。 几何符号语言： ∵AB∥CD ∴∠1＝∠2（两直线平行，内错角相等） ∵AB∥CD ∴∠3＝∠2（两直线平行，同位角相等） ∵AB∥CD ∴∠4＋∠2＝180°（两直线平行，同旁内角互补） 考查题型八 利用平行线的性质求角的度数 1．（2018·辽宁中考模拟）如图，a∥b，点 B 在直线 b 上，且 AB⊥BC，若∠1=36°，则∠2 的大小为（ ） A．34° B．54° C．56° D．66° 2．（2019·广东可园中学中考模拟）如图，在 △ ABC 中，CD 平分∠ACB 交 AB 于点 D，过点 D 作 DE∥BC 交 AC 于点 E,若∠A=54°，∠B=48°，则∠CDE 的大小为（ ） A．44° B．40° C．39° D．38° 3．（2018·湖北中考真题）已知直线 a∥b，将一块含 45°角的直角三角板（∠C=90°）按如图所示的位置摆放， 若∠1=55°，则∠2 的度数为（ ） A．80° B．70° C．85° D．75° 4．（2019·重庆八中中考模拟）如图，将矩形 ABCD 沿 GH 折叠，点 C 落在点 Q 处，点 D 落在 AB 边上的 点 E 处，若∠AGE=32°，则∠GHC 等于（ ） A．112° B．110° C．108° D．106° 5．（2019·山东中考模拟）如图，直线 ,a b 被 ,c d 所截，且 / /a b ，则下列结论中正确的是( ) A． 1 2   B． 3 4   C． 2 4 180     D． 1 4 180     考查题型九 判断两条直线平行 1（2017·北京中考模拟）已知：如图，直线 EF 分别与直线 AB，CD 相交于点 P，Q，PM 垂直于 EF，∠1+∠2=90°． 求证：AB∥CD． 2．（2017·盐城市大丰区万盈初级中学中考模拟）如图，已知 AB=AC=AD，且 C=2∠D，求证 AD BC． 考查题型十 平行线的判定与性质的综合应用 1．（2018·江苏中考模拟）如图，EF∥AD，AD∥BC，CE 平分∠BCF，∠DAC=120°，∠ACF=20°，求∠FEC 的度数． 2．（2019·广东华南师大附中中考模拟）已知：如图，AE⊥BC，FG⊥BC，∠1＝∠2，∠D＝∠3+60°，∠CBD ＝70°． （1）求证：AB∥CD； （2）求∠C 的度数． 3．（2018·重庆中考模拟）已知：如图，∠CDG=∠B，AD⊥BC 于点 D，EF⊥BC 于点 F，试判断∠1 与∠2 的关系，并说明理由． 4．（2017·重庆中考模拟）如图 AF//DE，点 B、C 在线段 AD 上，连接 FC、EB，且∠E=∠F，延长 EB 交 AF 于点 G. （1）求证：BE//CF （2）若 CF=BE，求证：AB=CD 考查题型十一 利用作辅助线的方法解决平行线的相关问题 1．（2019·贵州中考模拟）如图所示，直线 a∥b，∠1=35°，∠2=90°，则∠3 的度数为（ ） A．125° B．135° C．145° D．155° 2．（2019·山东省临沂实验中学中考模拟）如图，直线 AB∥CD，∠C＝44°，∠E 为直角，则∠1 等于（ ） A．132° B．134° C．136° D．138° 3．（2019·四川中考模拟）如图，AB∥CD，∠BED=61°，∠ABE 的平分线与∠CDE 的平分线交于点 F，则 ∠DFB=（ ） A．149° B．149.5° C．150° D．150.5° 4．（2019·广东中考模拟）如图，在平行线 l1、l2 之间放置一块直角三角板，三角板的锐角顶点 A，B 分别在 直线 l1、l2 上，若∠l=65°，则∠2 的度数是（ ） A．25° B．35° C．45° D．65° 5．（2018·山东中考模拟）如图，AB∥CD，图中α，β，γ三角之间的关系是（ ） A．α+β+γ=180° B．α﹣β+γ=180° C．α+β﹣γ=180° D．α+β+γ=360° 考查题型十二 平行线在实际问题中的应用 1．（2018·河北中考真题）如图，快艇从 P 处向正北航行到 A 处时，向左转 50°航行到 B 处，再向右转 80° 继续航行，此时的航行方向为（ ） A．北偏东 30° B．北偏东 80° C．北偏西 30° D．北偏西 50° 2．（2019·河北中考模拟）如图，要修建一条公路，从 A 村沿北偏东 75°方向到 B 村，从 B 村沿北偏西 25° 方向到 C 村．若要保持公路 CE 与 AB 的方向一致，则∠ECB 的度数为（ ） A．80° B．90° C．100° D．105° 3．（2018·内蒙古中考模拟）如图，小明从 A 处出发沿北偏东 60°方向行走至 B 处，又沿北偏西 20°方向行 走至 C 处，此时需把方向调整到与出发时一致，则方向的调整应是（ ） A．右转 80° B．左转 80° C．右转 100° D．左转 100° 知识点四 图形平移 平移的概念：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移变换 (简称 平移)，平移不改变物体的形状和大小。 平移的性质： 1、把一个图形整体沿某一方向移动，会得到一个新的图形，新图形与原图形的形状和大小完全相同. 2、新图形的每一点，都是由原图形中的某一点移动后得到的，这两个点是对应点 3、连接各组对应点的线段平行且相等。 作平移图形的一般步骤： 1、确定平移的方向和距离。 2、确定图形的关键点。 3、过这些关键点作与平移方向平行的射线，在射线上截取与平移的距离相等的线段，得到关键点的对应点。 4、依次连接关键点，作出平移后的新图形。 【典型例题】 1．（2017·湖北中考模拟）线段 CD 是由线段 AB 平移得到的。点 A（－2，1）的对应点为 C（3，1），点 B （－1，0）的对应点 D 的坐标为( ) A．（4，0） B．（－5，0） C．（－1，3） D．（－1，－3） 2．（2012·河北中考模拟）．如图所示，半圆 AB 平移到半圆 CD 的位置时所扫过的面积为（ ） A．3 B．3＋ C．6 D．6+ 3．（2019·浙江中考模拟）如图，在平面直角坐标系中， △ ABC 位于第一象限，点 A 的坐标是（4，3），把 △ ABC 向左平移 6 个单位长度，得到 △ A1B1C1，则点 B1 的坐标是（ ） A．（﹣2，3） B．（3，﹣1） C．（﹣3，1） D．（﹣5，2） 考查题型十三 利用图形平移的性质解决周长问题 1．（2018·河北中考模拟）如图，将 △ ABE 向右平移 2cm 得到 △ DCF，如果 △ ABE 的周长是 16cm，那么四边 形 ABFD 的周长是（ ） A．16cm B．18cm C．20cm D．21cm 2．（2014·广东中考模拟）如图，将周长为 8 的 △ ABC 沿 BC 方向平移 1 个单位得到 △ DEF，则四边形 ABFD 的周长为（ ） A．6 B．8 C．10 D．12 3．（2018·四川中考模拟）如图， △ ABC 中，AB=AC，BC=12cm，点 D 在 AC 上，DC=4cm，将线段 DC 沿 CB 方向平移 7cm 得到线段 EF，点 E、F 分别落在边 AB、BC 上，则 △ EBF 的周长是（ ）cm． A．7 B．11 C．13 D．16 4．（2018·天津中考模拟）如图，将周长为 8 的 △ ABC 沿 BC 方向平移 1 个单位长度得到 DEF ，则四边形 ABFD 的周长为（ ） A．8 B．10 C．12 D．16 5．（2012·山东中考模拟）如图，将边长为 4 个单位的等边 △ ABC 沿边 BC 向右平移 2 个单位得到 △ DEF，则 四边形 ABFD 的周长为（ ） A．12 B．16 C．20 D．24 考查题型十四 利用图形平移的思想解决面积问题 1．（2019·河北中考模拟）如图，将 △ ABC 沿 BC 边上的中线 AD 平移到 △ A'B'C'的位置，已知 △ ABC 的面积 为 9，阴影部分三角形的面积为 4．若 AA'=1，则 A'D 等于（ ） A．2 B．3 C． 2 3 D． 3 2 2．（2018·广西中考模拟）如图，将 △ ABC 沿着点 B 到 C 的方向平移到 △ DEF 的位置，AB=10，DO=4，平 移距离为 6，则阴影部分面积为（ ） A．42 B．96 C．84 D．48 3．（2018·江西中考模拟）如图，将一个 Rt △ ABC 沿着直角边 CA 所在的直线向右平移得到 Rt △ DEF，已知 BC=a，CA=b，FA= 1 3 b；则四边形 DEBA 的面积等于（ ） A． 1 3 ab B． 1 2 ab C． 2 3 ab D．ab 4．（2019·天津中考模拟）如图，A，B 的坐标分别为(2，0)，(0，1)，将线段 AB 平移至 A1B1，连接 BB1， AA1，则四边形 ABB1A1 的面积为( ) A．2 B．3 C．4 D．5 5．（2018·河北中考模拟）如图，两张完全相同的正六边形纸片 ( 边长为 2a) 重合在一起，下面一张保持不 动，将上面一张纸片沿水平方向向左平移 a 个单位长度，则空白部分与阴影部分面积之比是 ( ) A．5：2 B．3：2 C．3：1 D．2： 1