北师版九年级下册数学期末测试题及答案（1） 16页

北师版九年级下册数学期末测试题及答案（1）‎ ‎(考试时间：120分钟　满分：120分)‎ 分数：____________‎ 一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项)‎ ‎1．2cos 45°的值等于 (　B　)‎ A．1 B． C． D．2‎ ‎2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AC＝2，则sin A＝ (　C　)‎ A． B． C． D． ‎3．已知二次函数y＝ax2－2ax－3a(a≠0)，关于此函数的图象及性质，下列结论中不一定成立的是 (　D　)‎ A．该图象的顶点坐标为(1，－4a)‎ B．该图象与x轴的交点为(－1，0)，(3，0)‎ C．若该图象经过点(－2，5)，则一定经过点(4，5)‎ D.当x>1时，y随x的增大而增大 ‎4．如图，AB是⊙O的直径，且经过弦CD的中点H，已知sin ∠CDB＝，BD＝5，则AH的长为 (　B　)‎ A． B． C． D． 第4题图 ‎5．(甘肃中考)如图是二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，有下列说法：①ac>0，②2a＋b>0，③4ac0时，y随x的增大而减小，其中正确的是 (　C　)‎ A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．③④⑤‎ ‎ 第5题图 ‎6．已知抛物线y＝x2＋bx＋c的顶点在第三象限，则关于x的一元二次方程x2＋bx＋c＝0根的情况中正确的是 (　A　)‎ A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．无法确定 二、填空题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)‎ ‎7．将抛物线y＝2(x－1)2＋2向左平移3个单位，‎ 那么得到的抛物线的表达式为__y＝2(x＋2)2＋2__．‎ ‎8．如图，抛物线y＝ax2＋1(a<0)与过点(0，－3)且平行于x轴的直线相交于点A，B，与y轴交于点C，若∠ACB为直角，则a＝__－__．‎ 第8题图　‎ ‎9．“南昌之星”摩天轮，位于江西省南昌市红谷滩新区红角洲赣江边上的赣江市民公园，摩天轮高160 m(最高点到地面的距离).如图，点O是摩天轮的圆心，AB是其垂直于地面的直径，小贤在地面点C处利用测角仪测得摩天轮的最高点A的仰角为45°，测得圆心O的仰角为30°，则摩天轮的半径为____m(结果保留根号).‎ ‎ 　第9题图 ‎10．如图，菱形ABCD的对角线BD，AC的长分别为2，2，以点B为圆心的弧与AD，DC相切于点E，F，则图中阴影部分的面积是__2－π__．‎ 第10题图 ‎11．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝12，点E是BC的中点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点F处，连接FC，则sin ∠ECF等于____．‎ ‎ 第11题图 ‎12．在矩形ABCD中，边AB＝1，AD＝2，E是边AD的中点，点P在射线BD上运动，若△BEP为等腰三角形，则线段DP的长度等于__或或__．‎ 选择、填空题答题卡 一、选择题(每小题3分，共18分)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ 得分 答案 B C D B C A 二、填空题(每小题3分，共18分)得分：________‎ ‎7．__y＝2(x＋2)2＋2__　 8.__－__‎ ‎9．____ 10.__2－π__‎ ‎11．____ 12.__或或__‎ 三、(本大题共5小题，每小题6分，共30分)‎ ‎13．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C＝45°，sin B＝，AD＝1.‎ ‎(1)BC的长为__2＋1__；‎ ‎(2)求tan ∠DAE的值．‎ 解：∵AE是BC边上的中线，‎ ‎∴CE＝BC＝＋.‎ ‎∴DE＝CE－CD＝－.‎ ‎∴tan ∠DAE＝＝－.‎ ‎14．如图，已知四边形ABCD内接于圆O，连接BD，∠BAD＝105°，∠DBC＝75°.‎ ‎(1)求证：BD＝CD；‎ ‎(2)若圆O的半径为3，则的长为__π__．‎ ‎(1)证明：∵四边形ABCD内接于圆O，‎ ‎∴∠DCB＋∠BAD＝180°.‎ ‎ ‎ ‎∵∠BAD＝105°，‎ ‎∴∠DCB＝75°.‎ ‎∵∠DBC＝75°，‎ ‎∴∠DCB＝∠DBC＝75°，‎ ‎∴BD＝CD.‎ ‎15．如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，OE⊥AB于点E，连接BD.请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留作图痕迹).‎ ‎(1)在图①中，若BA＝BD，画出△ABD中AD边上的高BG.‎ ‎(2)在图②中，若BC＝AD，AB＝2CD，画出△ABD中BD边上的中线AF.‎ ‎　‎ 解：(1)(2)作图如图所示．‎ ‎16．(贵阳中考)如图，C，D是半圆O上的三等分点，AB＝4，连接AD，AC，DE⊥AB，垂足为E，DE交AC于点F.‎ ‎(1)则∠AFE的度数为__60°__；‎ ‎(2)求阴影部分的面积．(结果保留π和根号)‎ 解：由(1)知，∠AOD＝60°，‎ ‎∵OA＝OD，AB＝4，‎ ‎∴△AOD是等边三角形，OA＝2，∵DE⊥AO，∴易得DE＝，‎ ‎∴S阴影＝S扇形AOD－S△AOD＝π－.‎ ‎17．某校九年级进行集体跳绳比赛．如图所示，跳绳时，绳甩到最高处时的形状可看作是某抛物线的一部分，记作G，绳子两端的距离AB约为8米，两名甩绳同学拿绳的手到地面的距离AC和BD基本保持1米，当绳甩过最低点时刚好擦过地面，且与抛物线G关于直线AB对称．‎ ‎(1)求抛物线G的表达式并写出自变量的取值范围；‎ ‎(2)如果身高为1.5米的小华站在C，D之间，且距点C的水平距离为m米，绳子甩过最高处时超过她的头顶，直接写出m的取值范围．‎ 解：(1)由题易得抛物线G的表达式为y＝－x2＋1.‎ 自变量的取值范围为－4≤x≤4.(答案不唯一)‎ ‎(2)m的取值范围是4－2＜m＜4＋2.‎ 四、(本大题共3小题，每小题8分，共24分)‎ ‎18．(天水中考)如图，AB，AC分别是⊙O的直径和弦，OD⊥AC于点D.过点A作⊙O的切线与OD的延长线交于点P，PC，AB的延长线交于点F.‎ ‎(1)求证：PC是⊙O的切线；‎ ‎(2)若∠ABC＝60°，AB＝10，求线段CF的长．‎ ‎ (1)证明：连接OC，‎ ‎∵OD⊥AC，OD经过圆心O，‎ ‎∴AD＝CD，∴PA＝PC，‎ ‎∴△OAP≌△OCP(SSS)，‎ ‎∴∠OCP＝∠OAP，‎ ‎∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°.∴∠OCP＝90°，‎ 即OC⊥PC，∴PC是⊙O的切线．‎ (2) 解：∵OB＝OC，∠OBC＝60°，∴△OBC是等边三角形，‎ ‎∴∠COB＝60°，∵AB＝10，∴OC＝5，‎ 由(1)知∠OCF＝90°，‎ ‎∴CF＝OC·tan ∠COB＝5.‎ ‎19．网上销售已成为产品销售的一种重要方式，很多大学生也在网上开起了网店．某手机销售网店正在代理销售一种新型智能手机，手机每部进价为1 000元，经过试销发现：售价x(元/部)与每天交易量y(部)之间满足如图所示关系．‎ ‎(1)求出y与x之间的函数关系式；‎ ‎(2)写出每天的利润W与售价x之间的函数关系式，‎ 并说明将价格定为多少时，每天获得的利润最大，最大利润是多少？‎ 解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b，‎ 由函数图象可知 解得 ‎∴y与x的函数关系式为y＝－0.1x＋180.‎ ‎(2)W＝(x－1 000)y＝(x－1 000)(－0.1x＋180)‎ ‎＝－0.1x2＋280x－180 000‎ ‎＝－0.1(x－1 400)2＋16 000，‎ 当x＝1 400时，W有最大值，W最大＝16 000，‎ ‎∴将价格定为1 400元/部时，每天获得的利润最大，‎ 最大利润为16 000元．‎ ‎20．如图所示(左图为实景侧视图，右图为安装示意图)，在屋顶斜坡面上安装太阳能热水器：先安装支架AB和CD(均与水平面垂直)，‎ 再将集热板安装在AD上．为使集热板吸热率更高，公司规定：AD与水平面夹角为θ1，且在水平线上的射影AF为1.4 m．现已测量出屋顶斜面与水平面夹角为θ2，并已知tan θ1＝1.082，tan θ2＝0.412.如果安装工人确定支架AB高为25 cm，求支架CD的高(结果精确到1 cm)?‎ 解：过点A作AE∥BC交CD于E，‎ 在Rt△ADF中，DF＝AF tan θ1＝1.514 8(m)，‎ 在Rt△EAF中，EF＝AF tan θ2＝0.576 8(m)，‎ ‎∴DE＝DF－EF＝0.938(m)，‎ 又可证四边形ABCE为平行四边形，‎ 故有CE＝AB＝25 cm.∴CD＝DE＋CE＝93.8＋25＝118.8≈119(cm)‎ 答：支架CD的高约为119 cm.‎ 五、(本大题共2小题，每小题9分，共18分)‎ ‎21．如图，点C在以AB为直径的⊙O上，将△ABC沿边AC翻折得到△ADC，再将CD沿CE翻折，使点D恰好落在⊙O上的点F处．‎ ‎(1)求证：直线CE是⊙O的切线；‎ ‎(2)当AB＝10，且tan ∠DAB＝时，则CE的长为__4__.‎ ‎(1)证明：连接OC.∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠B.‎ 又∵∠B＝∠D，‎ ‎∴∠OCB＝∠D.‎ ‎∴OC∥AD.‎ 又∵CE⊥AD，‎ ‎∴CE⊥OC.‎ ‎∴直线CE是⊙O的切线．‎ ‎22．已知抛物线C∶y＝x[a(x－1)＋x＋1](a为任意实数).‎ ‎(1)无论a取何值，抛物线C恒过定点__(0，0)__，__(1，1)__．‎ ‎(2)当a＝1时，设抛物线C在第一象限依次经过整数点(横、纵坐标均为整数的点)为A1，A2，…，An.将抛物线C沿直线y＝x(x≥0)平移，平移后的抛物线记为Cn，抛物线Cn经过点An，Cn的顶点坐标为Mn(n＝1，2，…，n，例如n＝1时，抛物线C1经过点A1，C1的顶点坐标为M1)‎ ‎①抛物线C2的表达式为__y＝(x－3)2＋3__；顶点坐标为__(3，3)__；‎ ‎②在抛物线C1上是否存在点P，使得PM1∥A2M2？若存在，求出点P的坐标，并判断四边形PM1M2A2的形状；若不存在，请说明理由．‎ ‎③直接写出线段Mn－1Mn的长为__2__．‎ 解：(2)②假设存在点P，使得PM1∥A2M2，‎ 由题易得直线PM1∶y＝－x＋2，‎ 直线A2M2∶y＝－x＋6.故易知存在点P(0，2).使得PM1∥A2M2，‎ ‎∵|PM1|＝，|A2M2|＝，‎ ‎∴|PM1|＝|A2M2|，又∵PM1∥A2M2，‎ ‎∴四边形PM1M2A2是平行四边形，‎ 又∵|PM1|2＝2，‎ ‎|M1M2|2＝8，|PM2|2＝10，‎ ‎∴|PM2|2＝|PM1|2＋|M1M2|2，‎ ‎∴∠PM1M2＝90°，∴四边形PM1M2A2是矩形．‎ 六、(本大题共12分)‎ ‎23．如图，已知抛物线y＝ax2－2x＋c与直线y＝kx＋b都经过A(0，－3)，B(3，0)两点，该抛物线的顶点为C.‎ ‎(1)求此抛物线和直线AB的表达式；‎ ‎(2)设直线AB与该抛物线的对称轴交于点E，在射线EB上是否存在一点M，过M作x轴的垂线交抛物线于点N，使点M，N，C，E是平行四边形的四个顶点？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由；‎ ‎(3)设点P是直线AB下方抛物线上的一动点，当△PAB面积最大时，求点P的坐标，并求△PAB面积的最大值．‎ 解：(1)抛物线表达式为y＝x2－2x－3；‎ 直线AB表达式为y＝x－3.‎ ‎(2)存在．∵y＝x2－2x－3＝(x－1)2－4，‎ ‎∴抛物线的顶点C的坐标为(1，－4)，‎ ‎∵CE∥y轴，‎ ‎∴E(1，－2)，∴CE＝2，‎ ‎①若点M在x轴下方，四边形CEMN为平行四边形，‎ 则CE＝MN，设M(a，a－3)，‎ 则N(a，a2－2a－3)，∴MN＝a－3－(a2－2a－3)＝－a2＋3a，‎ ‎∴－a2＋3a＝2，解得a＝2，a＝1(舍去)，∴M(2，－1)；‎ ‎②若点M在x轴上方，同理可得M，‎ 综上，M点的坐标为(2，－1)或.‎ ‎(3)作PG∥y轴交直线AB于点G，‎ 设P(m，m2－2m－3)，则G(m，m－3)，‎ ‎∴PG＝－m2＋3m，‎ ‎∴S△PAB＝S△PGA＋S△PGB＝PG·OB ‎＝－m2＋m ‎＝－＋，‎ ‎∴当m＝时，△PAB面积的最大值是，‎ 此时P点坐标为.‎