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  • 2021-11-11 发布

人教版九年级数学上册期末考试复习第二十四章圆复习教学课件

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第二十四章 圆 人教版 九年级数学上册 · 一.与圆有关的概念 1.圆:平面内到定点的距离等于定长的所有点组成的图形. 2.弦:连结圆上任意两点的线段. 3.直径:经过圆心的弦是圆的直径,直径是最长的弦. 4.劣弧:小于半圆周的圆弧. 5.优弧:大于半圆周的圆弧. 要点梳理 6.等弧:在同圆或等圆中,能够互相重合的弧. 7.圆心角:顶点在圆心,角的两边与圆相交. 8.圆周角:顶点在圆上,角的两边与圆相交. [注意] (1)确定圆的要素:圆心决定位置,半径决定 大小.(2)不在同一条直线上的三个点确定一个圆. · 9.外接圆、内接正多边形:将一个圆n(n≥3)等分,依 次连接各等分点所得到的多边形叫作这个圆的内接 正多边形,这个圆是这个正多边形的外接圆. 10.三角形的外接圆 外心:三角形的外接圆的圆心叫做这个这个三角形 的外心. [注意] (1)三角形的外心是三角形三条边的垂直平 分线的交点.(2)一个三角形的外接圆是唯一的. 11.三角形的内切圆 内心:三角形的内切圆的圆心叫做这个这个三角形的 内心. [注意] (1)三角形的内心是三角形三条角平分线的 交点.(2)一个三角形的内切圆是唯一的. 12.正多边形的相关概念 (1)中心:正多变形外接圆和内切圆有公共的圆 心,称其为正多边形的中心. (2)半径:外接圆的半径叫做正多边形的半径. (3)边心距:中心到正多边形一边的距离叫做正多边 形的边心距. (4)中心角:正多边形每一条边对应所对的外接圆 的圆心角都相等,叫做正多边形的中心角. 二、与圆有关的位置关系 1.点与圆的位置关系 判断点与圆的位置关系可由点到圆心的距离d与圆 的半径r比较得到. 设☉O的半径是r,点P到圆心的距离为d,则有 点P在圆内;d<r 点P在圆上;d=r 点P在圆外.d>r [注意]点与圆的位置关 系可以转化为点到圆心 的距离与半径之间的关 系;反过来,也可以通 过这种数量关系判断点 与圆的位置关系. 2.直线与圆的位置关系 设r为圆的半径,d为圆心到直线的距离 直线与圆的 位置关系 图形 d与r的关系 公共点个数 公共点名称 直线名称 2个 交点 割线 1个 切点 切线 0个 相离 相切 相交 d>r d=r d<r 三、 圆的基本性质 1. 圆的对称性 圆是轴对称图形,它的任意一条_______所在的直 线都是它的对称轴. 直径 2. 有关圆心角、弧、弦的性质. (1)在同圆中,如果圆心角相等,那么 它们所对的弧相等,所对的弦也相等. (2)在同圆或等圆中,如果两个圆心角、 两条弧和两条弦中有一组量相等,那么 它们所对应的其余各组量都分别相等. (2)垂径定理的推论:平分弦(不是直径)的直径垂直于 这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧; 平分弧的直径垂直平分这条弧所对的弦. 三、 有关定理及其推论 1.垂径定理 (1)垂径定理:垂直于弦的直径平分这条弦,并且 平分弦所对的   . [注意] ①条件中的“弦”可以是直径;②结论 中的“平分弧”指平分弦所对的劣弧、优弧. 两条弧 2.圆周角定理 (1)圆周角定理:圆周角的度数等于它所对弧上的 圆心角度数的一半. (3)推论2:90°的圆周角所对的弦是直径. [注意] “同弧”指“在一个圆中的同一段弧”; “等弧”指“在同圆或等圆中相等的弧”;“同弧 或等弧”不能改为“同弦或等弦”. (4)推论3:圆的内接四边形的对角互补. (2)推论1:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的 圆周角相等;相等的圆周角所对弧相等. 3.与切线相关的定理 (1)判定定理:经过圆的半径的外端且垂直于这 条半径的直线是圆的切线. (2)性质定理:圆的切线垂直于经过切点的半径. (3)切线长定理:经过圆外一点所画的圆的两条 切线,它们的切线长相等.这一点和圆心的连线 平分这两条切线的夹角. 四、 圆中的计算问题 1.弧长公式 半径为R的圆中,n°圆心角所对的弧长l=________.180 n R 2.扇形面积公式 半径为R,圆心角为n°的扇形面积S= ____________. 2 360 n R 1 2 lR或 3.弓形面积公式 OO 弓形的面积=扇形的面积±三角形的面积 (3)圆锥的侧面积为   . (4)圆锥的全面积为   . lr 2lr r  4.圆锥的侧面积 (1)圆锥的侧面展开图是一个   . (2)如果圆锥母线长为l,底面圆的半径为r,那么这 个扇形的半径为  ,扇形的弧长为   . 扇形 l 2 r 5.圆内接正多边形的计算 (1)正n边形的中心角为 360 n  (2)正n边形的边长a,半径R,边心距r之间的关系 2 2 2( ) . 2 aR r  (3)边长a,边心距r的正n边形的面积为 1 1 . 2 2 S nar lr  其中l为正n边形的周长. 考点一 圆周角定理 例1 在图中,BC是☉O的直径,AD⊥BC,若∠D=36°, 则∠BAD的度数是( ) A. 72° B.54° C. 45° D.36 ° A B C D B 135° 1.如图a,四边形ABCD为☉O的内接正方形,点P为 劣弧BC上的任意一点(不与B,C重合),则∠BPC的 度数是 . C D B A P O 图a 针对训练 2.如图b,线段AB是直径,点D是☉O上一点, ∠CDB=20 °,过点C作☉O的切线交AB的延长 线于点E,则∠E等于 . O C A B E D 图b 50 ° 考点二 垂径定理 例2 工程上常用钢珠来测量零件上小圆孔的宽口,假设 钢珠的直径是10mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为 8mm,如图所示,则这个小圆孔的宽口AB的长度为 mm. 8mm A B 8 C D O 解析 设圆心为O,连接AO,作出过 点O的弓形高CD,垂足为D,可知 AO=5mm,OD=3mm,利用勾股定理 进行计算,AD=4mm,所以 AB=8mm. 2 A O B C E F 图a 3.如图a,点C是扇形OAB上的AB的任意一点,OA=2, 连接AC,BC,过点O作OE ⊥AC,OF ⊥BC,垂足分别为 E,F,连接EF,则EF的长度等于 . ( 针对训练 3 A B C D P O 图b D’ P 4.如图b,AB是⊙ O的直径,且AB=2,C,D是同一半圆 上的两点,并且AC与BD的度数分别是96 °和36 °, 动点P是AB上的任意一点,则PC+PD的最小值 是 . (( 例3 如图, O为正方形对角线上一点,以点O 为圆心, OA长为半径的☉O与BC相切于点M. (1)求证:CD与☉O相切; A B C D O M (1)证明:过点O作ON⊥CD于N.连接OM ∵BC与☉O相切于点M, ∴ ∠OMC=90 °, ∵四边形ABCD是正方形,点O在AC上. ∴AC是∠BCD的角平分线, ∴ON=OM, ∴ CD与☉O相切. N 考点三 与圆有关的位置关系 A B C D O M (2)解: ∵正方形ABCD的边长为1,AC= . 设☉O的半径为r,则OC= . 又易知△OMC是等腰直角三角形, ∴OC= 因此有 ,解得 . 2 2 r 2r 2 2r r  2 2r   (2)若正方形ABCD的边长为1,求☉O的半径. 方法归纳 (1)证切线时添加辅助线的解题方法有两种: ①有公共点,连半径,证垂直; ②无公共点,作 垂直,证半径;有切线时添加辅助线的解题方法 是:见切点,连半径,得垂直; (2)设未知数,通常利用勾股定理建立方程. 5. ☉O的半径为R,圆心到点A的距离为d,且R、d分 别是方程x2-6x+8=0的两根,则点A与☉O的位置 关系是( ) A.点A在☉O内部 B.点A在☉O上 C.点A在☉O外部 D.点A不在☉O上 解析:此题需先计算出一元二次方程x2-6x+8=0的 两个根,然后再根据R与d的之间的关系判断出点A 与 ☉O的关系. D 针对训练 6.(多解题)如图,直线AB,CD相交于点O, ∠AOD=30 °,半径为1cm的☉P的圆心在射线OA上,且 与点O的距离为6cm,如果☉P以1cm/s的速度沿由A向B的 方向移动,那么 秒钟后☉P与直线CD相切.4或8 解析: 根本题应分为两种情况:(1)☉P在直线AB下面与 直线CD相切;(2)☉P在直线AB上面与直线CD相切. A B D C P P2P1 E 例4 已知:如图,PA,PB是⊙ O的切线,A、B为切点, 过 上的一点C作⊙ O的切线,交PA于D,交PB于E. (1)若∠P=70°,求∠DOE的度数; AB 解:(1)连接OA、OB、OC, ∵⊙ O分别切PA、PB、DE于点A、B、C, ∴OA⊥PA,OB⊥PB,OC⊥DE,AD=CD,BE=CE, ∴OD平分∠AOC,OE平分∠BOC. ∴∠DOE= ∠AOB. ∵∠P+∠AOB=180°,∠P=70°, ∴∠DOE=55°. 1 2 (2)∵⊙ O分别切PA、PB、DE于A、B、C, ∴AD=CD,BE=CE. ∴△PDE的周长=PD+PE+DE =PD+AD+BE+PE=2PA=8(cm) (2)若PA=4 cm,求△PDE的周长. 例5 如图,四边形OABC为菱形,点B、C在以点O为圆 心的圆上, OA=1,∠AOC=120°,∠1=∠2,则扇形 OEF的面积? 解:∵四边形OABC为菱形 ∴OC=OA=1 ∵ ∠AOC=120°,∠1=∠2 ∴ ∠FOE=120° 又∵点C在以点O为圆心的圆上 2120 1= 360 3 S 扇形OEF p p创 = 考点四 圆中的计算问题 7.(1)一条弧所对的圆心角为135 ° ,弧长等于半径 为5cm的圆的周长的3倍,则这条弧的半径为 . (2)若一个正六边形的周长为24,则该正六边形的面 积为______. 40cm 24 3 针对训练 8.如图,已知C,D是以AB为直径的半圆周上的两点,O 是圆心,半径OA=2,∠COD=120°,则图中阴影部分 的面积等于_______. 2 3 p 例6 如图所示,在正方形ABCD内有一条折线段,其 中AE⊥EF,EF⊥FC,已知AE=6,EF=8,FC=10, 求图中阴影部分的面积. 解:将线段FC平移到直线AE上,此时点F与点E重合, 点C到达点C'的位置.连接AC,如图所示. 根据平移的方法可知,四边形EFCC'是矩形. ∴ AC'=AE+EC'=AE+FC=16,CC'=EF=8. 在Rt△AC'C中,得 2 2 2 2AC= AC' +CC' = 16 +8 =8 5 ∴正方形ABCD外接圆的半径为 4 5 ∴正方形ABCD的边长为 ACAB= 4 10 2  2 2= 4 5 4 10 =80 160S     阴影 ( )( ) 当图中出现圆的直径时,一般方法是作出 直径所对的圆周角,从而利用“直径所对的圆 周角等于 ”构造出直角三角形,为进一步利 用勾股定理或锐角三角函数提供了条件. 方法总结 90 9. 如图,正六边形ABCDEF内接于半径为5的⊙ O, 四边形EFGH是正方形. ⑴求正方形EFGH的面积; 解:⑴∵正六边形的边长与其半径相等, ∴EF=OF=5. ∵四边形EFGH是正方形, ∴FG=EF=5, ∴正方形EFGH的面积是25. 针对训练 ⑵∵正六边形的边长与其半径相等, ∴∠OFE=600. ∴正方形的内角是900, ∴∠OFG=∠OFE +∠EFG=600+900=1500. 由⑴得OF=FG, ∴∠OGF= (1800-∠OFG) = (1800-1500)=150. 1 2 1 2 ⑵连接OF、OG,求∠OGF的度数. 考点五 与圆有关的作图 · a b c d a 例7 如何解决“破镜重圆”的问题: O· 例8 如何作圆内接正五边形怎么作? · O E72°B A DC (1)用量角器作72°的中心角, 得圆的五等分点; (2)依次连接各等分点,得圆 的内接正五边形.