（浙教版）九年级数学下册 同步备课系列专题1 17页

第 1 章 锐角三角函数 1.3 解直角三角形 一、单选题 1．如图，某地修建高速公路，要从 A 地向 B 地修一条隧道（点 ,A B 在同一水平面上）．为了测量 A B、 两地 之间的距离，一架直升飞机从 A 地出发，垂直上升800 米到达C 处，在C 处观察 B 地的俯角 为 30°，则 ,A B 两地之间的距离为（ ） A． 400 米 B． 800 3 3 米 C．1600 米 D．800 3 米 【答案】D 【分析】 由题意知∠BAC=90°，∠ABC=30°，AC=800 米，由 tan∠ABC= AC AB ，即可求解． 【详解】 由题意知∠BAC=90°，∠ABC=30°，AC=800 米， ∵tan∠ABC= AC AB ， ∴AB 800 800 3tan ABC 3 3 AC    (米)， 故选：D． 【点睛】 本题主要考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 2．周末小李带妹妹游览校园，如图所示，在学校门口 A 点观察到刻有校名的牌坊底部 C 的仰角为 24°，牌 坊顶部 D 的仰角为 39°，测得斜坡 BC 的坡面距离 34BC m ，斜坡 BC 的坡度 8:15i  ．则牌坊的高度 CD 是（ ）米．（参考数据， 24 0.41sin   ， 24 0.45tan   ； 39 0.78cos   ， 39 0.81tan   ；结果保留 到 0.1） A．11.7 B．12.8 C．15.6 D．24.0 【答案】B 【分析】 由斜坡 BC 的坡度 i=8：15 设 CE=8x、BE=15x，由 BC=17x=34，求得 x=2，据此知 AE、DE 的长，再根据 DC=DE-CE，可得答案． 【详解】 解：由斜坡 BC 的坡度 815i  ： 设 8 15CE x BE x 、 ， 则 17 34BC x  ， 解得 2x  ， 16CE  米， 30BE  米， 在 Rt ACE△ 中， 16 320 tan tan 24 9 CEAE CAE    （米）， 在 Rt ADEV 中， 320 144tan tan399 5DE AE DAE      （米）， 则 144 16 12.85DC DE CE     （米）， 故选：B． 【点睛】 本题主要考查解直角三角形的应用能力，注意能借助仰角与俯角构造直角三角形并解直角三角形是解此题 的关键． 3．如图，一艘轮船从位于灯塔 C 的北偏东方向，距离灯塔 60 海里的小岛 A 出发，沿正南方向航行一段时 间后，到达位于灯塔 C 的南偏东方向上的 B 处，这时轮船 B 与小岛 A 的距离是( ) A． 30 3 海里 B． (30 30 3) 海里 C．120 海里 D．60 海里 【答案】B 【分析】 过点 C 作 CD⊥AB 于点 D，先解 Rt△ACD，求出 AD，CD，再根据 BD=CD，即可解出 AB． 【详解】 如图，过点 C 作 CD⊥AB 于点 D， 则∠ACD=30°，∠BCD=45°， 在 Rt△ACD 中，AD= 1 2 CA= 1 2 ×60=30（海里）， CD=CA·cos∠ACD=60× 3 2 =30 3 （海里）， ∵∠BCD=45°，∠BDC=90°， ∴在 Rt△BCD 中，BD=CD， ∴AB=AD+BD=AD+CD=（30+30 3 ）海里， 故选：B． 【点睛】 此题主要考查了解直角三角形的应用——方向角问题，解一般三角形的问题，一般可以转化为解直角三角 形的问题，解题的关键是作高线． 4．如图是一个根据北京的地理位置设计的圭表，其中立柱 AC 高为 a .已知冬至时重庆的正午日光入射角 28.2ABC   ，则立柱根部与圭表的冬至线的距离（即 BC 的长）约为（ ） A． sin 28.2a  B． tan 28.2 a  C． cos28.2a  D． cos28.2 a  【答案】B 【分析】 根据题意和图形，通过∠ABC 的正切值可以用含 a 的式子表示出 BC 的长，从而可以解答本题． 【详解】 解：由题意可得， 在 Rt△ABC 中，tan∠ABC= AC BC ， ∴tan28.2°= a BC ， ∴ tan 28.2 aBC   ， 故选：B． 【点睛】 本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用锐角三角函数解答． 5．如图，一个木块沿着倾斜角为 47的斜坡，从 A 滑行至 B 巳知 5AB  米，则这个木块的高度约下降了 （参考数据： 47 0.73sin   ， cos47 0.68  ， tan 47 1.07  ）（ ） A．3．65 米 B．3．40 米 C．3．35 米 D．3．55 米 【答案】A 【分析】 过点 A 作 AC 垂直于水平线，交于点 C，构造 tR ABC ，解直角三角形，求出 AC，AC 即木块下降的高度. 【详解】 本题考查三角函数的定义．过 A 点作水平面的垂线 AC ，垂足为 C ，则sin 47 AC AB   ，故 5 0.73 3.65AC    （米），故选 A． 【点睛】 本题主要考查了解直角三角形的应用，作出辅助线构造直角三角形是解题的关键. 6．下表是小丽填写的实践活动报告的部分内容： 题目 测量树顶端到地面的高度 测量目标示意图 相关数据 10mAB  ， 45  ， 56  ° 设树顶端到地面的高度 DC 为 mx ，根据以上条件，可以列出求树高的方程为（ ） A．  10 cos56x x   B． 10 tan 56x x   C．  10 tan56x x   D．  10 sin56x x   【答案】C 【分析】 根据三角函数的定义列方程即可得到结论． 【详解】 ∵∠DAC=45°， ∴AC=CD= x ， ∵AB=10， ∴BC= 10x  ， ∴tan56°= 10 CD x BC x   ， ∴  10 56x x tan   ， 故选：C． 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，由实际问题抽象出一元一次方程，正确的识别图形是解题的关键． 7．如图，一个小球由地面沿着坡角为 30°的坡面向上前进了 10m，此时小球距离地面的高度为（ ） A．5m B．5 3 m C． 5 5 3 D．10 5 3 【答案】A 【分析】 首先画出符合题意的直角△ABC，再根据坡角的定义可知∠A=30°，然后利用正弦函数的定义即可求解． 【详解】 如图， ∵直角△ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，AB=10  m ， ∴ 1• 30 10 52BC AB sin     ( m )， 故选：A． 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用-坡度坡角问题，正弦函数的定义，理解坡角的定义，进而画出符合题意的 直角△ABC 是解决本题的关键． 8．一辆汽车在坡角为 的坡面上行驶 1000 米，则它上升的高度为（ ）米 A．1000cos B． 1000 cos C． 1000 sin D．1000sin 【答案】D 【分析】 利用坡角的正弦值即可求解． 【详解】 解：如图，∠A=α，AE=1000． 则 EF=1000sinα． 故选：D． 【点睛】 此题主要考查学生对坡度坡角的掌握情况及三角函数的运用． 二、填空题 9．有一轮船由东向西航行，在 A 处测得西偏北15 有一灯塔 P ，继续航行 10 海里后到 B 处，又测得灯塔 P 在西东偏北 30°，如果轮船航向不变，则灯塔与船之间的最近距离是__________海里． 【答案】5 【分析】 过点 P 作 PC⊥AB 于点 C，求出 PB=AB=10，再用三角函数求解即可． 【详解】 解：如图，过点 P 作 PC⊥AB 于点 C， ∵∠PBC=30°,∠PAB=15°, ∴∠BPA=15°, ∴PB=AB=10, ∴PC=PB sin30°=5. 故答案为 5． 【点睛】 本题通过考查仰角的定义，构造直角三角形求解．考查了学生读图构造关系的能力． 10．如图，某商场停车场门口的柱子上方挂着一块收费标准牌 CD ，收费标准牌的一侧用绳子 AD 和 BC 牵 引着两排小彩旗，经过测量得到如下数据： 4AM  米， 8AB  米， 45MAD   ， 30MBC   ，则 CD 的长度为______米．（结果保留根号） 【答案】 4 3 4 【分析】 直接根据题意得出 DM 的长，再求出 BM，根据正切函求得 CM 的长，进而得出答案． 【详解】 在 Rt△AMD 中，∠MAD=45°， ∴DM=AM=4（m）， 在 Rt△BMC 中，∠MBC=30°， ∴CM=BM⋅tan30°， ∵BM=AM+AB=4+8=12（m）， ∴CM=12 3 4 33   ， ∴CD=CM-DM= 4 3 4 （米）， 答：警示牌的高 CD 为( 4 3 4 )米． 故答案为： 4 3 4 ． 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用特殊角的 三角函数解答． 11．如图，在点 B 处测得塔顶 A 的仰角为 ，点 B 到塔底C 的水平距离 BC 是30m ，那么塔 AC 的高度 为_________ m （用含 的式子表示） . 【答案】30tan 【分析】 根据三角函数的定义和直角三角形的性质解答即可． 【详解】 解：∵在点 B 处测得塔顶 A 的仰角为 ， ∴∠B＝ ， ∵BC＝30m， ∴AC＝BC•tan ＝30tan ， 故答案为 30tan ． 【点睛】 此题考查了解直角三角形−仰角的定义，注意方程思想与数形结合思想的应用． 12．如图，在 Rt△ABC 中，AB 的垂直平分线交 BC 边于点 E.若 BE=2，∠B =22.5°，则 AC 的长为_______． 【答案】 2 【分析】 先根据线段垂直平分线的性质得出 AE=BE=2，故∠EAB=∠B=22.5°，由三角形外角的性质得出∠AEC 的度 数，再根据锐角三角函数的定义即可得出结论． 【详解】 解：∵AB 的垂直平分线交 BC 边于点 E，BE=2，∠B=22.5° ∴AE=BE=2， ∴∠EAB=∠B=22.5°． ∵∠AEC 是△ABE 的外角， ∴∠AEC=∠B+∠EAB=45°． ∵∠C=90°， ∴AC=AE•sin45°=2× 2 2 = 2 ． 故答案为： 2 ． 【点睛】 本题考查的是线段垂直平分线的性质，解直角三角形，熟知线段垂直平分线上任意一点，到线段两端点的 距离相等是解答此题的关键． 13．如图，是某高速公路边水平地面上的交通警示牌，经测量得到如下数据： 8AB m ， 4BC m ， 30DAC   ， 45EBC   ， 90DCA   ，则警示牌 DE 的高度为_________．（结果精确到 0.1m ，参 考数据： 2 1.41 ， 3 1.73 ） 【答案】 2.9m 【分析】 在 Rt△CAD 中求出 CD，在 Rt△CBE 中求出 CE 即可解决问题． 【详解】 解：在 Rt△CAD 中，∵∠DCA=90°，AC=AB+BC=12m，∠DAC=30°， ∴CD=AC •tan30°=12× 3 3 = 4 3 ≈6.92， 在 Rt△CBE 中，∵∠ECB=90°，∠EBC=45°， ∴∠CEB=∠EBC=45°， ∴CE=CB=4m， ∴DE=CD-CE=6.92-4=2.92≈ 2.9m ， 故答案为： 2.9m 【点睛】 此题主要考查了解直角三角形的应用，正确得出 CD，CE 的长是解题关键． 14．如图，一根竖直的木杆在离地面 2.1m 处折断，木杆顶端落在地面上，且与地面成 38°角，则木杆折 断之前高度约为________m．（结果保留一位小数）（参考数据：sin38°≈0.62，cos38°≈0.79，tan38°≈0.78） 【答案】5.5 【分析】 由题意可知：BC=2.1，∠A=38°，根据锐角三角函数的定义即可求出答案． 【详解】 解：如图， 由题意可知：BC=2.1，∠A=38°， ∴sin38 BC AB   ， ∴AB= BC sin38 ≈3.4， ∴AB+BC≈3.4+2.1=5.5， 故答案为：5.5 【点睛】 本题考查解直角三角形，解题的关键是熟练运用锐角三角函数的定义，本题属于基础题型． 三、解答题 15．如图，斜坡 BE，坡顶 B 到水平地面的距离 AB 为 3 米，坡底 AE 为 16 米，在 B 处，E 处分别测得 CD 顶部点 D 的仰角为 30°，60 ° ，求 CD 的高度． 【答案】CD 的高度为 98 3+ 2 米． 【分析】 作 BF⊥CD 于点 F，设 DF＝x 米，在直角△DBF 中利用三角函数用 x 表示出 BF 的长，在直角△DCE 中表 示出 CE 的长，然后根据 BF−CE＝AE 即可列方程求得 x 的值，进而求得 CD 的长． 【详解】 作 BF⊥CD 于点 F，设 DF＝x 米， 在 Rt△DBF 中，tan∠DBF＝ DF BF ， 则 BF＝ = 330 DF x xtan DBF tan   ， 在直角△DCE 中，DC＝x＋CF＝3＋x（米）， 在直角△DCE 中，tan∠DEC＝ DC EC ，则 EC＝ 3 3= ( 3)60 3 DC x xtan DEC tan    米． ∵BF−CE＝AE，即 3 x− 3 ( 3)3 x  ＝16． 解得：x＝ 38 3+ 2 ， 则 CD＝ 38 3+ 2 ＋3＝ 98 3+ 2 （米）． 答：CD 的高度是（ 98 3+ 2 ）米． 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用，解答本题关键是构造直角三角形，利用三角函数的知识表示出相关线段 的长度． 16．如图，天空中有一个静止的广告气球 C，从地面 A 点测得 C 点的仰角为 45°，从地面 B 点测得 C 点的 仰角为 60°．已知 AB＝20m，点 C 和直线 AB 在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度（结果保留根号）． 【答案】10（3＋ 3 ）米 【分析】 过点 C 作 CD⊥AB，交 AB 于点 D；设 CD＝x．本题涉及到两个直角三角形△ADC、△BDC，应利用其公 共边 CD 构造等量关系，解三角形可得 AD、BD 与 x 的关系；借助 AB＝AD−BD 构造方程关系式，进而可 求出答案． 【详解】 过点 C 作 CD⊥AB，交 AB 于点 D；设 CD＝x， 在 Rt△ADC 中，有 AD＝CD/ tan45 ＝CD＝x， 在 Rt△BDC 中，有 BD＝CD/ tan60 ＝ 3 3 x， 又有 AB＝AD−BD＝20；即 x− 3 3 x＝20， 解得：x＝10（3＋ 3 ）， 答：气球离地面的高度 CD 为 10（3＋ 3 ）米． 【点睛】 本题考查俯角、仰角的定义，要求学生能借助俯角、仰角构造直角三角形并结合图形利用三角函数解直角 三角形． 17．如图，无人机在空中C 处测得地面 A 、 B 两点的俯角分别为 60〫、45〫，如果无人机距地面高度 100 3CD  米，点 A 、 D 、 B 在同水平直线上，求 A 、 B 两点间的距离．（结果保留根号） 【答案】A、B 两点间的距离为 100（1+ 3 ）米 【分析】 如图，利用平行线的性质得∠A=60°，∠B=45°，在 Rt△ACD 中利用正切定义可计算出 AD=100，在 Rt△BCD 中利用等腰直角三角形的性质得 BD=CD=100 3 ，然后计算 AD+BD 即可． 【详解】 ∵无人机在空中 C 处测得地面 A、B 两点的俯角分别为 60°、45°， ∴∠A=60°，∠B=45°， 在 Rt ACD 中，∵tanA = CD AD ， ∴AD= 100 3 100 3 tan 60 3  =100， 在 Rt BCD 中，BD=CD=100 3 ， ∴AB=AD+BD=100+100 3 =100(1+ 3 )． 答：A、B 两点间的距离为 100(1+ 3 )米． 【点睛】 本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题：解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相 关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形． 18．一艘观光游船从港口 A 以北偏东 60°的方向出港观光，航行 80 海里至 C 处时发生了侧翻沉船事故， 立即发出了求救信号，一艘在港口正东方向的海警船接到求救信号，测得事故船在它的北偏东 37°方向， 马上以 40 海里每小时的速度前往救援， （1）求点 C 到直线 AB 的距离； （2）求海警船到达事故船 C 处所需的大约时间．（温馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6） 【答案】（1）40 海里；（2） 5 4 小时． 【分析】 （1）作 CD⊥AB，在 Rt△ACD 中，由∠CAD＝30°知 CD＝ 1 2 AC，据此可得答案； （2）根据 BC＝ sin CD CBD 求得 BC 的长，继而可得答案． 【详解】 解：（1）如图，过点 C 作 CD⊥AB 交 AB 延长线于 D． 在 Rt△ACD 中，∵∠ADC＝90°，∠CAD＝30°，AC＝80 海里， ∴点 C 到直线 AB 距离 CD＝ 1 2 AC＝40(海里）． （2）在 Rt△CBD 中，∵∠CDB＝90°，∠CBD＝90°﹣37°＝53°， ∴BC＝ sin CD CBD ≈ 40 0.8 ＝50（海里）， ∴海警船到达事故船 C 处所需的时间大约为：50÷40＝ 5 4 （小时）． 【点睛】 此题主要考查解直角三角形的应用，解题的关键是熟知三角函数的定义. 19．如图，在 5X5 的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，线段 AB 的端点 A B、 均在小正方形的顶 点上，请按要求画出图形并计算:  1 以 AB 为一边画出 ABC ，使其是等腰直角三角形，点C 在小正方形的顶点上，且 ABC 的面积为5 ；  2 以 AB 为一边画出 ABD△ ，使得 1 2tan ABD  ，点 D 在小正方形的顶点上，且 ABD△ 的面积最大；  3 连接 CD ，并直接写出四边形 ABCD 的面积． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）10 【解析】 【分析】 （1）根据网格的特点求出 AB= 10 ，根据面积为 5 求出直角边为 10 ，故可画出 ABC ； （2）根据 1 2tan ABD  ，根据网格的特点确定 E，再根据三角形面积最大即 BD 最长，故可画出 ABD△ ； （3）根据网格的特点利用割补法即可求解． 【详解】  1 如图， ABC 为所求；  2 如图， ABD△ 为所求；  3 S=5×5-2×1×2-2× 1 2 ×1×3-2× 1 2 ×2×4=25-4-3-8=10． 【点睛】 此题主要考查网格与等腰三角形、三角函数的应用，解题的关键是熟知等腰三角形的性质、正切的定义及 网格的特点． 20．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，求∠A 的正弦值、余弦值和正切值． 【答案】sinA= 5 13 ，cosA= 12 13 ，tanA= 5 12 ． 【分析】 根据勾股定理求出 AB，根据锐角三角函数的定义解答即可． 【详解】 由勾股定理得， 2 2 2 212 5 13AB AC BC     ， 则 5sin 13 BCA AB   ， 12cos 13 ACA AB   ， 5tan 12 BCA AC   ． 【点睛】 本题考查解直角三角形，解题的关键是利用勾股定理求出 AB 的长.