寒假课程 【精品讲义】人教版 九年级 数学 总复习 第四讲 相似和圆（教师版） 30页

相似与圆 1 第四讲 相似和圆 明确目标﹒定位考点 圆”这部分知识是初中数学的难点和重点,是中考必考内容,除要求掌握基本概念外,还要求充分利 用圆中的有关知识解决一类与圆有关的实际应用问题、动态问题、探索型问题......同时，本内容作为几 何知识的总结，运用的知识具有综合性，在中考中圆的知识点是经常出现的，尤其压轴题经常考察圆和其 他内容结合的题型，要求学生能够熟练掌握圆的相关知识并运用。相似三角形的应用十分广泛,尤其以圆 巧妙地结合,形成数学中一道亮丽的“风景”,相似三角形借助圆的隐含条件:“直径所对的圆周角是直角” 和“同弧或等弧所对的圆周角相等”，可以构造多对相似三角形而解决问题。 热点聚焦﹒考点突破 考点 1 相似与圆简单应用 【例 1】23.（本小题满分 12 分） 如图，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，D 是 AB 边上一点，以 BD 为直径的⊙O 与 AC 交于点 E，连接 DE 并延长，与 BC 的延长线交于点 F，BD=BF． （1）求证：AC 是⊙O 的切线； （2）若 BC=12,AD=8，求弧 DE 的长. 【规律方法】（1）注意用多种方法证明切线。（2）根据△AOE∽△ABC 可以求出圆的半径，再根据△ DOE 是等边三角形可以求出弧 DE 的长. 考点 2 相似与圆及作图 第 1 题 相似与圆 2 【例 2】3．（本小题满分 12 分） 如图 7，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°. （1）动手操作：利用尺规作∠ABC 的平分线，交 AC 于点 O，再以 O 为圆心，OC 的长为半径作⊙O（保留作 图痕迹，不写作法）； （2）综合运用：在你所作的图中， ①判断 AB 与⊙O 的位置关系，并证明你的结论； ②若 AC=12，tan∠OBC= 3 2 ，求⊙O 的半径. 【规律方法】第（2）题 ①注意角平分线的性质定理的运用； ②注意解直角三角形及相似和勾股定理 的运用。 【例 3】23．（12 分）如图，AC 是⊙O的直径，点 B在⊙O 上，∠ACB=30° （1）利用尺规作∠ABC 的平分线 BD，交 AC 于点 E，交⊙O 于点 D，连接 CD（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，求△ABE 与△CDE 的面积之比． 【规律方法】本题主要考查基本作图，圆周角定理，勾股定理，作一个角的平分线，牢记一些基本作图是 解答本题的关键．另外相似三角形面积的比等于相似比的平方。 考点 3 相似与圆及一元二次方程 【例 4】（2016 年荔湾区一模）（2015 年黄埔一模）24.（本小题满分 14 分） 相似与圆 3 如图，正三角形 ABC 内接于⊙O，P 是弧BC 上的一点（P 不与点 B、C 重合），且 PCPB  ， PA 交 BC 于 E，点 F 是 PC 延长线上的点， PBCF  ， 13AB ， 4PA ． （1）求证 ABP ≌ ACF ； （2）求证 AEPAAC 2 ； （3）求 PB 和 PC 的长． 【规律方法】求 PB 和 PC 的长时注意先证明 APF 是等边三角形求出PB+PC，再证明 PAB ∽ CEP 求出 PB.PC，最后可以把 PB 和 PC 作为一元二次方程的两根求出 PB 和 PC 的长。 考点 4 相似、圆及四边形 【例 5】24．（14分）如图，四边形 OMTN中，OM=ON，TM=TN，我们把这种两组邻边分别相等的四边 形叫做筝形． （1）试探究筝形对角线之间的位置关系，并证明你的结论； （2）在筝形 ABCD中，已知 AB=AD=5，BC=CD，BC＞AB，BD、AC为对角线，BD=8 ①是否存在一个圆使得 A，B，C，D四个点都在这个圆上？若存在，求出圆的半径；若不存在，请说明 理由； ②过点 B作 BF⊥CD，垂足为 F，BF交 AC于点 E，连接 DE，当四边形 ABED为菱形时，求点 F到 AB 的距离． O P F E C B A 第 24 题 相似与圆 4 【规律方法】本题考查了菱形的判定与性质，以及相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线是关键，在 初中范围内求线段长的基本方法是解直角三角形和利用三角形相似求解． 考点 5 相似、圆及锐角三角函数 【例 6】24．（14 分）如图，AB 是⊙O的直径，弦 CD⊥AB 于 H，过 CD 延长线上一点 E 作⊙O 的切线交 AB 的延长线于 F．切点为 G，连接 AG 交 CD 于 K． （1）求证：KE=GE； （2）若 2KG =KD·GE，试判断 AC 与 EF 的位置关系，并说明理由； （3） 在（2）的条件下，若 sinE= 3 5 ，AK=2 3，求 FG 的长． 【规律方法】第（2）题可以证明△GKD∽△EGK；第（3）题可以根据勾股定理和解直角三角形得出。 考点 6 相似与圆及动点问题 【例 7】（2015 年海珠区一模）24．（本题满分 14 分） 相似与圆 5 第 24题图 如图，AB 是⊙O的直径，直线 l 与⊙O相切于点 C，AE⊥ l 交直线 l 于点 E、 交⊙O于点 F，BD⊥ l 交直线 l 于点 D． （1）求证：△AEC∽△CDB； （2）求证：AE+EF=AB； （3）若 AC=8cm，BC=6cm，点 P从点 A出发沿线段 AB 向点 B 以 2 /cm s的速度运动，点 Q从点 B出 发沿线段 BC 向点 C 以 1 /cm s的速度运动，两点同时出发，当点 P运动到点 B时，两点都停止运动．设 运动时间为 t秒，求当 t为何值时，△BPQ 为等腰三角形？ 【规律方法】 归纳总结﹒思维升华 圆和相似综合题有关定理 圆幂定理（在证明比例式、求线段长度时将发挥重要作用。 相似与圆 6 专题训练﹒对接中考 一、选择题。 1.如图3，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的切线，切点为 D ，DC 与 AB 的延长线交于点C ， 030A  ， 给出下面 3个结论： BDC A  ； 2AB BC ； 2 23AD BC ；其中正确结论的个数是 （ ）． A．0 B．1 C．2 D．3 2.如图 4，正方形 ABCD的边CD 与正方形CEFG 的边CE 重合，点O 是 EG 的中点， CGE 的平分 线GH 过点 D ，交 BE 于 H ，连接OH 、FH、EG 与 FH交于M，对于下面四个结论：① BEGH  ； ② BGHOBGHO 2 1,//  ；③点 H 不在正方形CGFE 的外接圆上；④ GBE ∽ GMF ．其中结论正确 的个数是（ ） A． 1个 B． 个2 C．3个 D．4个 相似与圆 7 3.如图， AB 为半圆O 的直径， AD、 BC 分别切⊙O 于 ,A B 两点，CD 切⊙O 于点 E ，AD与CD 相交于 D ，BC 与CD 相交于C ，连结OD 、OE 、OC ，对于下列结论： 1 AD BC CD  ；② 90DOC  ；③ 1 2ABCDS CD OA 梯形 ；④ OD CD DE OD  ． 其中结论正确的个数是（ ）． A．1 B．2 C．3 D．4 二、解答题 1.如图 7， AB 为 O⊙ 的直径，劣弧⌒ BC ⌒BE ， CEBD // ，连接 AE 并延长交 BD于 D ． 求证：（1） AEAC  ； （2） 2AB AC AD · ． 2..（本小题满分 12 分） 如图6， ABC 中， 4 5AB AC  ， 5cos 5 C  . （1）动手操作：利用尺规作以 AC 为直径的 O ，并标出 O 与 AB 的交点 D ，与 BC 的交点 E （保 留作图痕迹，不写作法）； （2）综合应用：在你所作的图中， ①求证：  DE CE ； 相似与圆 8 2 求点 D 到 BC 的距离。 3.如图，⊙O 的半径为 1，点 P 是⊙O 上一点，弦 AB 垂直平分线段 OP，点 D 是APB上任一点（与端点 A、 B 不重合），DE⊥AB 于点 E，以点 D 为圆心、DE 长为半径作⊙D，分别过点 A、B 作⊙D 的切线，两条切 线相交于点 C． （1）求弦 AB 的长； （2）判断∠ACB 是否为定值，若是，求出∠ACB 的大小；否则，请说明理由； （3）记△ABC 的面积为 S，若 2 S DE ＝4 3，求△ABC 的周长. C P D O BA E 4.如图，△ABC 中 AB=AC，AE 是角平分线，BM 平分∠ABC 交 AE 于点 M。经过 B,M 两点的⊙O交 BC 于点 G，交 AB于点 F，FB 恰好为⊙O的直径。 （1） 求证：AE 与⊙O相切。 （2） 当 BC=6，cosC= 4 1 ，求⊙O的直径。 相似与圆 9 作业： 1.如图，在 Rt△ABC 中， 90BAC  ，AB=AC. （1）利用尺规，以 AB 为直径作⊙O，交 BC 于点 D；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，求证： 2 ·AC CD CB 2.如图，等腰三角形 ABC 中，AC=BC=10，AB=12， （1）动手操作：利用尺规作以 BC 为直径的⊙O，⊙O 交 AB 于点 D，⊙O交 AC 于点 E，并且过点 D 作 DF⊥ AC 交 AC 于点 F. （2）求证：直线 DF 是⊙O的切线； （3），连接 DE，记△ADE 的面积为 1S ，四边形 DECB 的面积为 2S ，求 2 1 S S 的值。 第 1 题 相似与圆 10 3.如图圆O内接三角形 ABC .把 ABC 以点O为旋转中心，顺时针方向旋转 BOA 的度数得到 EAF . （1） 利用尺规作出 EAF （要求保留作图痕迹，不写作法） （2） 连接CE ，设 EF 与 AC ， BC 分别交于点 K 和 D ，求证： DKDECD 2 4. 正方形 ABCD 的边长是 2a，H是以 BC 为直径的半圆上一点，过 H 与半圆相切的直线交 AB 于 E，交 CD 于 F． （1）当点 H在半圆上移动时，切线 EF 与 AB、CD 的两个交点 E、F 也分别在 AB、CD 上移动（E 与 A 不重合， F 与 D 不重合）．问：四边形 AEFD 的周长是否在变化？证明你的结论； （2）若∠BOE=60°，求四边形 BEFC 的周长； （3）设△BOE 的面积为 1S ，△COF 的面积为 2S ，正方形的面积为 S，已知 SSS 48 13 21  ，求 BE、CF 的 长． 相似与圆 11 5.如图 12：△ABC 中，∠C＝45°，点 D在 AC 上，且∠ADB＝60°，AB 为△BCD 外接圆的切线． （１）用尺规作出△BCD 的外接圆（保留作图痕迹，可不写作法）； （２）求∠A的度数； （３）求 AD DC 的值． 参考答案： 热点聚焦﹒考点突破 【例 1】 解：（1）证法 1：连接 OE ----1 分 证法 2：连接 OE ------1 分 ∵BD=BF ∵BD=BF ∴∠BDF=∠F ∴∠BDF=∠F ∵OD=OE ∴∠ODE=∠0ED ∵OD=OE ∴∠OED=∠F ----------3 分 ∴∠ODE=∠0ED ∵∠BCA=90°∴∠F+∠FEC=90° ∴∠OED=∠F ----------3 分 ∵∠FEC=∠AED, ∠OED=∠F ∴OE∥BF ∴∠OED+∠AED=90° A B C D 图 12 相似与圆 12 ∴∠OEA=∠BCA=90° ∴AC 是⊙O 的切线 --------5 分 ∴AC 是⊙O 的切线 ----------5 分 （2）设⊙O 的半径为 r, ∵OE∥BF ∴△AOE∽△ABC ------6 分 ∴ BC OE AB AO  ∵AB=12,AD=8 ∴ 1228 8 r r r    解得：r=8 r=-6(舍去) -------9 分 ∴AD=OD=8 ∵△AOE 是 Rt△ ∴DE=OD=8 ∴DE=OD=OE ∴∠DOE=60° ∴ 60 8 8 180 3 l      ---------12 分 【例 2】 解：（1）如图，⊙O 为所求…………………………3分 （2） AB 与⊙O 相切，理由如下…………………………4 分 过点O 作OD AB ，垂足为 D ， ∵∠ACB=90°， BO 是∠ABC 的平分线  OC OD ………5 分 即OD 是⊙O 的半径， AB 经过⊙O 的半径OD 的外端 D ，并且垂直于半径OD ，  AB 与⊙O相切。…………………………6 分 （3）在 Rt OBC 中，tan∠OBC= 3 2 ，  2 3 OC BC = ，………………7 分 又∵∠ADO=∠ACB=90°，∠A=∠A， ∴Rt△ADO∽Rt△ACB，………………8 分 ∴ 2 3 AD OD OC AC BC BC    ， ∴ 2 12 3 AD  ， ∴ 8AD  ，………………9 分 在 Rt△ADO 中，设OD x ， ∴ 2 2 28 (12 )x x   ，………………10 分 解得 10 3 x  ， ∴⊙O 的半径是 10 3 ………………12 分 相似与圆 13 【例 3】（1）如图所示； （2）如图 2，连接 OD，设⊙O 的半径为 r， ∵∠BAE=∠CDE， ∠AEB=∠DEC， ∴△ABE∽△DCE， 在 Rt△ACB 中，∠ABC=90°，∠ACB=30°， ∴AB= AC=r， ∵∠ABD=∠ACD=45°， ∵OD=OC， ∴∠ABD=∠ACD=45°， ∴∠DOC=90°， 在 Rt△ODC 中，DC= = r， ∴ = = = ． 【例 4】 解：（1）∵∠ACP+∠ABP=180°， 又∠ACP+∠ACF=180°， ∴∠ABP=∠ACF ……1 分 在 ABP 和 ACF 中， ∵AB=AC，∠ABP=∠ACF， PBCF  ∴ ABP ≌ ACF ． ……3 分 相似与圆 14 (2)在 AEC 和 ACP 中， ∵∠APC=∠ABC， 而 ABC 是等边三角形，故∠ACB=∠ABC=60º， ∴∠ACE =∠APC . 又∠CAE =∠PAC ， ∴ AEC ∽ ACP ∴ AC AE AP AC  ,即 AEPAAC 2 . ……6分 （3） 由（1）知 ABP ≌ ACF ， ∴∠BAP=∠CAF， PBCF  ∴∠BAP+∠PAC=∠CAF+∠PAC ∴∠PAF=∠BAC=60°，又∠APC＝∠ABC＝60°. ∴ APF 是等边三角形 ∴AP=PF ∴ 4 PAPFCFPCPCPB 在 PAB 与 CEP 中， ∵∠BAP=∠ECP ， 又∠APB=∠EPC=60°， ∴ PAB ∽ CEP ∴ PC PA PE PB  ,即 PEPAPCPB  由（2） AEPAAC 2 ， ∴ 22 )( PAPEAEPAPEPAAEPAPCPBAC  ∴   3134 222222  ABPAACPAPCPB 因此 PB 和 PC 的长是方程x2 − 4x + 3 = 0的解． 解这个方程，得 11 x ， 32 x ． ∵PB