2021年九年级中考数学几何重难点专题：平面展开—最短路径问题（一） 14页

2021 年中考数学几何教学重难点专题： 平面展开—最短路径问题（一） 1．如图 1，一只蚂蚁要从边长为 1cm 正方体的一个顶点 A 沿表面爬行到顶点 B，怎样爬行 路线最短？如果要爬行到顶点 C 呢？请完成下列问题： （1）图 2 是将立方体表面展开的一部分，请将正方体的表面展开图补充完整；（画一种 即可） （2）在图 2 中画出点 A 到点 B 的最短爬行路线，最短路径为： ； （3）在图 2 中标出点 C，并画出 A、C 两点的最短爬行路线（画一种即可），最短路径 为 ． 2．如图所示，一个无盖四棱柱容器，其底面是一个边长为 3cm 的正方形，高为 20cm．现 有一根彩带，从底面 A 点开始缠绕四棱柱，刚好缠绕 4 周到达 B 点（假设彩带完美贴合 四棱柱）． （1）请问彩带的长度是多少？ （2）如图所示，一只蚂蚁在容器外 A 点发现容器的内部距离顶部 2cm 处有一滴蜂蜜， 它想以最短的路程到达 C 处．请问蚂蚁走的最短路程是多少呢？ （注：以上两问均要画出平面展开示意图，再解答） 3．如图，长方体的长为 20cm，宽为 10cm，高为 15cm，点 B 与点 C 之间的距离为 5cm， 一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点 A 爬到点 B 去吃一滴蜜糖． （1）求出点 A 到点 B 的距离； （2）求蚂蚁从点 A 爬到点 B 的最短路程是多少？ 4．如图，长方体的长 AB＝5cm，宽 BC＝4cm，高 AE＝6cm，三只蚂蚁沿长方体的表面 同时以相同的速度从点 A 出发到点 G 处．蚂蚁甲的行走路径 S 甲为：翻过棱 EH 后到达 G 处（即 A→P→G），蚂蚁乙的行走路径 S 乙为：翻过棱 EF 后到达 G 处（即 A→M→G）， 蚂蚁丙的行走路径 S 丙为：翻过棱 BF 后到达 G 处（即 A→N→G）． （1）求三只蚂蚁的行走路径 S 甲，S 乙，S 丙的最小值分别是多少？ （2）三只蚂蚁都走自己的最短路径，请判断哪只最先到达？哪只最后到达？ 5．如图 a，圆柱的底面半径为 4cm，圆柱高 AB 为 2cm，BC 是底面直径，求一只蚂蚁从 点 A 出发沿圆柱表面爬行到点 C 的最短路线，小明设计了两条路线： 路线 1：高线 AB+底面直径 BC，如图 a 所示，设长度为 l1． 路线 2：侧面展开图中的线段 AC，如图 b 所示，设长度为 l2． 请按照小明的思路补充下面解题过程： （1）解：l1＝AB+BC＝2+8＝10 l2＝ ； ∵l1 2﹣l2 2＝ （2）小明对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱底面半径为 2cm，高 AB 为 4cm”继续按前面的路线进行计算．（结果保留π） ①此时，路线 1： ．路线 2： ． ②所以选择哪条路线较短？试说明理由． 6．已知：如图，观察图形回答下面问题： （1）此图形的名称为 ． （2）请你与同伴一起做一个这样的物体，并把它沿 AS 处剪开，铺在桌面上，研究一下 它的侧面展开是一个 形． （3）如果点 C 是 SA 的中点，在 C 处有蜗牛想吃到的食品，恰好在 A 处有一只蜗牛， 但它又不能直接爬到 C 处，只能沿圆锥曲面爬行，你能画出蜗牛爬行的最短路程的图形 吗？ （4）圆锥的母线长为 10cm，侧面展开图的夹角为 90°，请你求出蜗牛爬行的最短路程 的平方． 7．那长方体的最短路径呢？我们来看一下这题（如图） 从 A′到 C，不经过 A′B′C′D′和 ABCD 两面，怎样走最近？我们不如先不考虑第二个条件， 从上题可知有六条最短路径，但此题与上题略有不同──长方体各面不相等，因此我们需 比较那条路径最短．观察发现这六条路径，两两长度相等，即只比较这三条路径谁更短 就可以了（如图）． 8．如图，一个长方体形的木柜放在墙角处（与墙面和地面均没有缝隙），有一只蚂蚁从柜 角 A 处沿着木柜表面爬到柜角 C1 处．若 AB＝4，BC＝4，CC1＝5， （1）请你在备用图中画出蚂蚁能够最快到达目的地的可能路径； （2）求蚂蚁爬过的最短路径的长． 9．一只螳螂在松树树干的 A 点处，发现它的正上方 B 点处有一只小虫子，螳螂想捕到这只 虫子，但又怕被发现，于是按如图所示的路线，绕到虫子后面吃掉它．已知树干的半径 为 10cm，A、B 两点的距离为 40cm．（其中π取 3） （1）若螳螂想吃掉在 B 点的小虫子，求螳螂绕行的最短距离． （要求画图） （2）螳螂得知又有一只虫子在点 C 处被松树油粘住不能动弹，这时螳螂还在 A 点，螳 螂想吃掉虫子，求螳螂爬行的最短距离．（要求画图） （3）如果螳螂在点 A 处时，虫子在点 E 处不动，其中点 E 是 CD 的中点那么螳螂吃掉 虫子的最短距离是多少 cm？（要求画图） 10．如图 1，是一个长方体盒子，长 AB＝4，宽 BC＝2，高 CG＝1． （1）一只蚂蚁从盒子下底面的点 A 沿盒子表面爬到点 G，求它所行走的最短路线的长． （2）这个长方体盒子内能容下的最长木棒长度的为多少？ 解：（1）蚂蚁从点 A 爬到点 G 有三种可能，展开成平面图形如图 2 所示，由勾股定理 计算出 AG2 的值分别为 、 、 ，比较后得 AG2 最小为 ．即 最短路线的长是 ． （2）如图 3，AG2＝AC2+CG2＝AB2+BC2+CG2＝42+22+12＝21． 参考答案 1．解：（1）如图所示， （2）如图所示，连接 AB，线段 AB 的即为点 A 到点 B 的最短爬行路线， 故答案为：线段 AB； （3）如图所示，线段 AC 即为 A、C 两点的最短爬行路线， 故答案为：线段 AC． 2．解：（1）如图， 将长方体的侧面沿 AB 展开，取 A′B′的四等分点 C、D、E，取 AB 的四等分点 C′、D′、E′， 连接 B′E′，D′E，C′D，AC， 则 AC+C′D+D′E+E′B′＝4AC 为所求的最短细线长， ∵AC2＝AA′2+A′C2，AC＝ ＝13， ∴AC+C′D+D′E+E′B′＝4AC＝52， 答：彩带的长度是 52cm； （2）如图， 将四棱柱展开，找到 C 的对称点 C′，连接 AC′，则 AC′即为蚂蚁走的最段路程， 在直角△AMC 中，AM＝6cm，MC′＝20+（20﹣18）＝22cm， 由勾股定理得：AC′2＝AM2+MC′2＝62+222 ＝520， 则 AC′＝2 cm， 答：蚂蚁走的最短路程是 2 cm． 3．解：（1）将长方体沿 CF、FG、GH 剪开，向右翻折，使面 FCHG 和面 ADCH 在同一 个平面内， 连接 AB，如图 1， 由题意可得：BD＝BC+CD＝5+10＝15cm，AD＝CH＝15cm， 在 Rt△ABD 中，根据勾股定理得：AB＝ ＝ ＝15 cm； 将长方体沿 DE、EF、FC 剪开，向上翻折，使面 DEFC 和面 ADCH 在同一个平面内， 连接 AB，如图 2， 由题意得：BH＝BC+CH＝5+15＝20cm，AH＝10cm， 在 Rt△ABH 中，根据勾股定理得：AB＝ ＝ ＝10 cm， 则需要爬行的最短距离是 15 cm． 连接 AB，如图 3， 由题意可得：BB′＝B′E+BE＝15+10＝25cm，AB′＝BC＝5cm， 在 Rt△AB′B 中，根据勾股定理得：AB＝ ＝ ＝5 cm， 综上所述，点 A 到点 B 的距离为：15 cm，10 cm，5 cm； （2）由（1）知，∵点 A 到点 B 的距离为：15 cm，10 cm，5 cm； ∴15 ＜10 ＜5 ， ∴则需要爬行的最短距离是 15 cm． 4．解：（1）∵长 AB＝5cm，宽 BC＝4cm，高 AE＝6cm， ∴EF＝AB＝5cm，CF＝BC＝EH＝4cm，AE＝BF＝CG＝6cm， ∴S 甲＝ ＝ ＝ （cm） S 乙＝ ＝ ＝ ＝5 （cm）， S 丙＝ ＝ ＝ （cm）， 答：三只蚂蚁的行走路径 S 甲，S 乙，S 丙的最小值分别是 cm，5 cm， cm； （2）由（1）知，S 甲＝ （cm），S 乙＝5 （cm），S 丙＝ （cm）， ∵ ＞ ＞ ， ∴蚂蚁丙最先到达，蚂蚁甲最后到达． 5．解：（1）l1＝AB+BC＝2+8＝10， l2＝ ＝ ＝ ； ∵l1 2﹣l2 2＝102﹣（4+16π2） ＝96﹣16π2 ＝16（6﹣π2）＜0 ∴ 即 l1＜l2 所以选择路线 11 较短． （2）①l1＝8． ∴l2＝ ＝ 故答案为：8、 ； ②∵l1 2﹣l2 2＝82﹣（16+4π2） ＝48﹣4π2 ＝4（12﹣π2）＞0． ∴l1 2＞l2 2，即 l1＞l2 所以选择路线 2 较短． 6．解：（1）由图示可得，此图形为圆锥； （2）圆锥的侧面展开图是扇形； （3）如图所示， AC 为蜗牛爬行的最短路线； （4）由勾股定理得：AC2＝102+52＝125 平方厘米， 故蜗牛爬行的最短路程的平方为 125 平方厘米． 7．解：设长方体长、宽、高分别为 x、y、z，依题意，得： ① ， ② ， ③ ， ∵2xy＞2xz＞2yz， ∴③＜②＜①， 即走第三条路径最短． 得到从 A′到 C 的路径中从 A′→BB′→C 和 A′→DD′→C 最短， 与第二个已知条件无关． 8．解 （1）如图，木柜的表面展开图是两个矩形 ABC′1D 和 AA1C1C．蚂蚁能够最快到达 目的地的可能路径有如图的 AC′1 和 AC1． （2）①蚂蚁沿着木柜表面爬过的路径的长是 AC′1＝ ＝ ． ②爬过的路径的长是 AC1＝ ＝ ． ∵ ＜ ， ∴最短路径的长是 AC1＝ ． 9．解：（1）如图 1 所示：AC＝2π×10＝20π≈60（cm），BC＝40cm， 故 AB＝ ＝ ＝20 （cm）． 答：螳螂绕行的最短距离为 20 cm； （2）如图 2 所示：AD＝ ×2π×10＝10π≈30（cm），DC＝40cm， 故 AC＝ ＝50（cm）． 答：螳螂爬行的最短距离为 50cm； （3）如图 2 所示：AD＝ ×2π×10＝10π≈30（cm），DE＝ DC＝20cm， 故 AE＝ ＝10 （cm）， 答：螳螂爬行的最短距离为 10 cm． 10．解：（1）蚂蚁从点 A 爬到点 G 有三种可能，展开成平面图形如图 2 所示，由勾股定 理计算出 AG2 的值分别为（4+2）2+12＝37、42+（1+2）2＝25、22+（4+1）2＝29， 比较后得 AG2 最小为 25．即最短路线的长是 5． （2）如图 3，AG2＝AC2+CG2＝AB2+BC2+CG2＝42+22+12＝21． 故答案为 37，25，29，5．