必备中考数学专题复习课件第一部分 第二章第7课时一元二次方程及其应用 42页

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I. 当Δ>0时，一元二次方程有________________的实数 根； II. 当Δ=0时，一元二次方程有______________的实数 根； III. 当Δ<0时，一元二次方程__________实数根. 4. 一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的求根公式： x= （b2-4ac≥0）. b2-4ac 2个不相等 2个相等 没有 方法规律 5. 公式法和因式分解法的运用技巧 （1）在解一元二次方程时，最常用到的方法是公式法和 因式分解法.公式法适用于任何一元二次方程（有人称之 为万能法）. 在使用公式法时，一定要把原方程化成一般 形式，以便确定系数，而且在用公式前应先计算根的判别 式的值，以便判断方程是否有解. （2）在运用因式分解法时，一般要先将方程写成一般形 式，同时应使二次项系数化为正数. 典型例题 1. （2019安徽）解方程：（x-1）2＝4． 中考考点精讲精练 考点1　解一元二次方程(5年1考） 解：两边直接开平方，得x-1＝±2. ∴x-1＝2或x-1＝-2. 解得x1＝3，x2＝-1． 2. （2019沙坪坝区）解方程：x2+x-1＝0. 解：∵a=1,b=1,c=-1, ∴b2-4ac＝12-4×1×（-1）＝5. ∴x＝ ∴x1＝ ，x2＝ . 3. （2019齐齐哈尔）解方程：x2+6x＝-7. 解：∵x2+6x＝-7， ∴x2+6x+9＝-7+9，即（x+3）2＝2. 则x+3＝± . ∴x＝-3± . ∴x1＝-3+ ，x2＝-3- ． 4. （2019沙坪坝区）解方程：（x+2）（x+3）＝20. 解：原方程整理,得x2+5x-14＝0. ∴（x+7）（x-2）＝0. ∴x+7＝0或x-2＝0. ∴x1＝-7，x2＝2． 考点演练 5. （2019无锡）解方程：x2-2x-5＝0. 解：∵a＝1，b＝-2，c＝-5， ∴Δ＝4-4×1×（-5）＝24＞0. 则x＝ ∴x1=1+ ,x2=1- . 6. （2019常德）解方程：x2-3x-2＝0． 解：∵a＝1，b＝-3，c＝-2， ∴b2-4ac＝（-3）2-4×1×（-2）＝9+8＝17. ∴x＝ ∴x1＝ ，x2＝ 7. （2019绍兴）x为何值时，两个代数式x2+1，4x+1的 值相等？ 解：根据题意，得x2+1＝4x+1. ∴x2-4x＝0. ∴x（x-4）＝0. ∴x1＝0，x2＝4． 8. 解方程：（x+1）2=3（x+1）. 解：∵(x+1)2=3(x+1), ∴（x+1）2-3（x+1）=0. ∴（x+1）（x-2）=0. ∴x+1=0或x-2=0. 解得x1=-1，x2=2． 考点点拨： 本考点是广东中考的高频考点，题型一般为选择题和解 答题，难度中等. 解答本考点的有关题目，关键在于掌握解一元二次方程 的基本思路和步骤. 注意以下要点： （1）解一元二次方程的基本思路是降次，解法包括直接 开平方法、配方法、求根公式法和因式分解法四种； （2）求根公式法和因式分解法是最常用的两种方法，重 点在于掌握求根公式和因式分解的方法. 典型例题 1. （2019淮安）若关于x的一元二次方程x2+2x-k＝0有 两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. k＜-1 B. k＞-1 C. k＜1 D. k＞1 2. （2019北京）关于x的方程x2-2x+2m-1＝0有实数根， 且m为正整数，求m的值及此时方程的根． 考点2　一元二次方程根的判别式与根的情况（5年4考） B 解：∵关于x的方程x2-2x+2m-1＝0有实数根， ∴b2-4ac＝4-4（2m-1）≥0. 解得m≤1. ∵m为正整数，∴m＝1. ∴x2-2x+1＝0. 则（x-1）2＝0. 解得x1＝x2＝1． 3. （2019黄冈）若x1，x2是一元二次方程x2-4x-5＝0的 两 根，则x1·x2的值为（ ） A. -5 B. 5 C. -4 D. 4 4. （2019绥化）已知关于x的方程kx2-3x+1＝0有实数 根． （1）求k的取值范围； （2）若该方程有两个实数根，分别为x1和x2，当 x1+x2+x1x2 ＝4时，求k的值． A 解：（1）当k＝0时，原方程为-3x+1＝0， 解得x＝ ∴k＝0符合题意. 当k≠0时，原方程为一元二次方程， ∵该一元二次方程有实数根， ∴Δ＝（-3）2-4×k×1≥0. 解得k≤ 综上所述，k的取值范围为k≤ （2）∵x1和x2是方程kx2-3x+1＝0的两个根， ∴x1+x2＝ ，x1x2＝ ∵x1+x2+x1x2＝4， ∴ ＝4. 解得k＝1. 经检验，k＝1是分式方程的解，且符合题意． ∴k的值为1． 考点演练 5. （2019新疆）若关于x的一元二次方程（k-1）x2+x+1 ＝0有两个实数根，则k的取值范围是（ ） A. k≤ B. k＞ C. k＜ 且k≠1 D. k≤ 且k≠1 6. （2018北京）关于x的一元二次方程ax2+bx+1=0． （1）当b=a+2时，利用根的判别式判断方程根的情况； （2）若方程有两个相等的实数根，写出一组满足条件的 a，b的值，并求此时方程的根． D 解：（1）∵Δ=b2-4ac=（a+2）2-4a=a2+4， 又∵a≠0, ∴a2＞0.∴Δ＞0. ∴方程有两个不相等的实数根. （2）∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ=b2-4a=0. 若b=2，a=1，则方程变形为x2+2x+1=0. 解得x1=x2=-1． 7. （2019自贡）关于x的一元二次方程x2-2x+m＝0无实 数根，则实数m的取值范围是（ ） A. m＜1 B. m≥1 C. m≤1 D. m＞1 8. （2019巴中）已知关于x的一元二次方程x2+（2m+1） x+m2-1＝0有两个不相等的实数根． （1）求m的取值范围； （2）设x1，x2是方程的两根，且x12+x22+x1x2-17＝0， 求m的值． D 解：（1）根据题意，得Δ＝（2m+1）2-4（m2-1）＞0， 解得m> （2）根据题意，得 x1+x2＝-（2m+1），x1x2＝m2-1， ∴x12+x22+x1x2-17＝(x1+x2)2-x1x2-17＝（2m+1）2- （m2-1）- 17＝0. 解得m1＝ ，m2＝-3（不合题意，舍去）. ∴m的值为 . 考点点拨： 本考点是广东中考的高频考点，题型一般为选择题，难 度中等. 解答本考点的有关题目，关键是熟练掌握一元二次方程 根的判定方法. 注意以下要点： 一元二次方程根的情况与判别式Δ的关系： （1）Δ＞0 方程有两个不相等的实数根； （2）Δ=0 方程有两个相等的实数根； （3）Δ＜0 方程没有实数根. 典型例题 1. （2019大连）某村2016年的人均收入为20 000元， 2018年的人均收入为24 200元. （1）求2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率； （2）假设2019年该村人均收入的增长率与前两年的年平 均增长率相同，请你预测2019年该村的人均收入是多少 元？ 考点3　一元二次方程的应用（5年未考） 解：（1）设2016年到2018年该村人均收入的年平均增长 率为x，根据题意，得 20 000(1+x)2=24 200. 解得x1=0.1=10%，x2=-2.1（不合题意，舍去）． 答：2016年到2018年该村人均收入的年平均增长率为 10%． （2）24 200×(1+10%)=26 620（元)． 答：预测2019年该村的人均收入是26 620元． 2. 已知某两个连续自然数的积比它们的和大109，求这 两个自然数． 解：设这两个连续自然数分别是x,x+1，依题意，得 x（x+1）-［x+（x+1）］=109. 整理，得（x-11）（x+10）=0. 解得 x1=11，x2=-10（舍去）． 则x+1=12． 答：这两个自然数分别是11,12． 3. 有一条长为16 m的绳子，你能否用它围出一个面积为 15 m2的矩形，长、宽分别是多少？ 解：设矩形的长为x m，则宽为（8-x）m，则 x（8-x）=15，即x2-8x+15=0. 解得x=3或x=5. 答：矩形的长为5 m，宽为3 m． 4. （2019安顺）安顺市某商贸公司以每千克40元的价格 购进一种干果，计划以每千克60元的价格销售，为了让 顾客得到更大的实惠，现决定降价销售，已知这种干果 销售量 y（kg）与每千克降价x（元）（0＜x＜20）之间满足一 次函数关系，其图象如图2-7-1： （1）求y与x之间的函数关系式； （2）商贸公司要想获利2 090元， 则这种干果每千克应降价多少元？ 解：（1）设一次函数解析式为y＝kx+b， 当x＝2时，y＝120；当x＝4时，y＝140. ∴ 解得 ∴y与x之间的函数关系式为y＝10x+100. （2）由题意，得（60-40-x）（10x+100）＝2 090. 整理，得x2-10x+9＝0. 解得x1＝1，x2＝9. ∵让顾客得到更大的实惠，∴x＝9. 答：商贸公司要想获利2 090元，则这种干果每千克应降 价9元． 考点演练 5. （2019德州）习近平总书记说：“读书可以让人保持 思想活力，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之 气”．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向 社会开放学校图书馆．据统计，第一个月进馆128人次， 进馆人次逐月增加，到第三个月末累计进馆608人次，若 进馆人次的月平均增长率相同． （1）求进馆人次的月平均增长率； （2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不超过500 人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图 书馆能否接纳第四个月的进馆人次，并说明理由． 解：（1）设进馆人次的月平均增长率为x，则由题意， 得 128+128(1+x)+128(1+x)2=608. 化简，得4x2+12x－7=0. ∴(2x－1)(2x+7)=0. ∴x=0.5=50%或x=-3.5（舍去). 答：进馆人次的月平均增长率为50%． （2）∵进馆人次的月平均增长率为50%， ∴第四个月的进馆人次为 128(1+50%)3=128× =432<500. 答：校图书馆能接纳第四个月的进馆人次． 6. （2019徐州）如图2-7-2，有一块矩形硬纸板，长30 cm，宽20 cm．在其四角各剪去一个同样的正方形，然后 将四周突出部分折起，可制成一个无盖长方体盒子．当 剪去正方形的边长取何值时，所得长方体盒子的侧面积 为200 cm2？ 解：设剪去正方形的边长为x cm，则做成无盖长方体 盒子的底面长为（30-2x） cm， 宽为（20-2x） cm，高为x cm， 依题意，得 2×［（30-2x）+（20-2x）］x＝200. 整理，得2x2-25x+50＝0. 解得x1＝ ，x2＝10． 当x＝10时，20-2x＝0，不合题意，舍去． 答：当剪去正方形的边长为 cm时，所得长方体 盒子的侧面积为200 cm2． 7. 某种小鸡传染病传染快，一只带病毒的小鸡经过两轮 的传染后使鸡场里共有169只小鸡患病，在每轮的传染中， 平均一只小鸡传染了几只小鸡？ 解：设在每轮的传染中，平均一只小鸡传染了x只小 鸡，由题意,得 x+1+x（x+1）=169. 解得x1=12，x2=-14（舍去）. 答：在每轮的传染中，平均一只小鸡传染了12只小 鸡． 8. （2019东营）为加快新旧动能转换，提高公司经济效 益，某公司决定对近期研发出的一种电子产品进行降价 促销，使生产的电子产品能够及时售出，根据市场调查： 这种电子产品销售单价定为200元时，每天可售出300个； 若销售单价每降低1元，每天可多售出5个．已知每个电 子产品的固定成本为100元，问这种电子产品降价后的销 售单价为多少元时，公司每天可获利32 000元？ 解：设降价后的销售单价为x元，则降价后每天可 售出［300+5（200-x）］个，依题意，得 （x-100）［300+5（200-x）］＝32 000. 整理，得x2-360x+32 400＝0. 解得x1＝x2＝180． 180＜200，符合题意． 答：这种电子产品降价后的销售单价为180元时， 公司每天可获利32 000元． 考点点拨： 本考点是广东中考的高频考点，题型一般为解答题和选 择题，难度中等. 解答本考点的有关题目，关键在于找到合适的等量关系. 1. （2019广东）已知x1，x2是一元二次方程x2-2x＝0的 两个实数根，下列结论错误的是（ ） A. x1≠x2 B. x12-2x1＝0 C. x1+x2＝2 D. x1·x2＝2 2. （2018广东）关于x的一元二次方程x2-3x+m=0有两个 不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. m＜ B. m≤ C. m＞ D. m≥ 广东中考 D A 3. （2017广东）若2是方程x2-3x+k=0的一个根，则常数 k的值为（ ） A. 1 B. 2 C. -1 D. -2 4. （2015广东）若关于x的方程x2+x-a+94=0有两个不相 等的实数根，则实数a的取值范围是（ ） A. a≥2 B. a≤2 C. a＞2 D. a＜2 5. （2019广州）关于x的一元二次方程x2-（k-1）x-k+2 ＝0有两个实数根x1，x2，若（x1-x2+2）（x1-x2-2） +2x1x2＝-3，则k的值为（ ） A. 0或2 B. -2或2 C. -2 D. 2 B C D 6. （2016广州）定义运算：a*b=a（1-b）. 若a，b是方 程x2-x+ m=0（m＜0）的两根，则b*b-a*a的值为 （ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 与m有关 7. （2016梅州）用一条长40 cm的绳子围成一个面积为 64 cm2的矩形. 设矩形的一边长为x cm，则可列方程为 ________________. 8. （2015广东）解方程：x2-3x+2=0. A x（20-x）=64 解：∵a=1，b=-3,c=2, ∴Δ=b2-4ac=(-3)2-4×1×2=1. ∴x= ∴x1=1，x2=2. 9. （2019广州）随着粤港澳大湾区建设的加速推进，广 东省正加速布局以5G等为代表的战略性新兴产业，据统 计，目前广东5G基站的数量约1.5万座，计划到2020年底， 全省5G基站数是目前的4倍，到2022年底，全省5G基站数 量将达到17.34万座． （1）计划到2020年底，全省5G基站的数量是多少万座？ （2）按照计划，求2020年底到2022年底，全省5G基站数 量的年平均增长率． 解：（1）1.5×4=6（万座）． 答：计划到2020年底，全省5G基站的数量是6万座． （2）设2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均 增长率为x， 依题意，得6(1+x)2=17.34. 解得x1=0.7=70%，x2=－2.7 （舍去）． 答：2020年底到2022年底，全省5G基站数量的年平均增 长率为70%．