- 978.50 KB
- 2021-11-11 发布
- 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
- 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
- 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
- 网站客服QQ:403074932
第二十一章 一元二次方程
人教版
九年级数学上册
一、一元二次方程的基本概念
1.定义:
只含有一个未知数的整式方程,并且都可以化为
ax2+bx+c=0(a,b,c为常数,a≠0)的形式,这样的
方程叫做一元二次方程.
2.一般形式:
ax2 + bx +c=0 (a,b,c为常数,a≠0)
要点梳理
3.项数和系数:
ax2 + bx +c=0 (a,b,c为常数,a≠0)
一次项: ax2 一次项系数:a
二次项: bx 二次项系数:b
常数项:c
4.注意事项:
(1)含有一个未知数; (2)未知数的最高次数为2;
(3)二次项系数不为0; (4)整式方程.
二、解一元二次方程的方法
一元二次方程的解法 适用的方程类型
直接开平方法
配方法
公式法
因式分解
x2 + px + q = 0 (p2 - 4q ≥0)
(x+m)2=n(n ≥ 0)
ax2 + bx +c = 0(a≠0 , b2 - 4ac≥0)
(x + m) (x + n)=0
各种一元二次方程的解法及使用类型
三、一元二次方程在生活中的应用
列方程解应用题的一般步骤:
审 设 列 解 检 答
(1)审题:通过审题弄清已知量与未知量之间的数量关系.
(2)设元:就是设未知数,分直接设与间接设,应根据实际需要恰当选取设元法.
(3)列方程:就是建立已知量与未知量之间的等量关系.列方程这一环节最重
要,决定着能否顺利解决实际问题.
(4)解方程:正确求出方程的解并注意检验其合理性.
(5)作答:即写出答语,遵循问什么答什么的原则写清答语.
考点一 一元二次方程的定义
例1 若关于x的方程(m-1)x2+mx-1=0是一元二次方程,
则m的取值范围是( )
A. m≠1 B. m=1 C. m≥1 D. m≠0
解析 本题考查了一元二次方程的定义,即方程中必须保证有二
次项(二次项系数不为0),因此它的系数m-1≠0,即m≠1,故选A.
A
1.方程5x2-x-3=x2-3+x的二次项系数是 ,一次
项系数是 ,常数项是 .
4
-2 0
考点讲练
针对训练
考点二 一元二次方程的根的应用
解析 根据一元二次方程根的定义可知将x=0代入原方程一定
会使方程左右两边相等,故只要把x=0代入就可以得到以m为
未知数的方程m2-1=0,解得m=±1的值.这里应填-1.这种题的
解题方法我们称之为“有根必代”.
例2 若关于x的一元二次方程(m-1)x2+x+m2-1=0有一
个根为0,则m= .
【易错提示】求出m值有两个1和-1,由于原方程是一元二次方
程,所以1不符合,应引起注意.
-1
针对训练
2. 一元二次方程x2+px-2=0的一个根为2,则p的值
为 .-1
【易错提示】(1)配方法的前提是二次项系数是1;(a-b)2与
(a+b)2 要准确区分;(2)求三角形的周长,不能盲目地将三边
长相加起来,而应养成检验三边长能否成三角形的好习惯
解析 (1)配方法的关键是配上一次项系数一半的平方;
(2)先求出方程x2﹣13x+36=0的两根,再根据三角形的三边关
系定理,得到符合题意的边,进而求得三角形周长.
考点三 一元二次方程的解法
例3 (1)用配方法解方程x2-2x-5=0时,原方程应变为( )
A. (x-1)2=6 B.(x+2)2=9
C. (x+1)2=6 D.(x-2)2=9
(2) (易错题)三角形两边长分别为3和6,第三边的长是方程x2
﹣13x+36=0的根,则该三角形的周长为( )
A.13 B. 15 C.18 D.13或18
A
A
3.菱形ABCD的一条对角线长为6,边AB的长是方程
x2-7x+12=0的一个根,则菱形ABCD的周长为( )
A. 16 B. 12 C. 16或12 D. 24
A
针对训练
4.用公式法和配方法分别解方程:x2-4x-1=0
(要求写出必要解题步骤).
1 -4 -1.a b c,公式 : ,法
22 - 4 = -4 -4 1 -1 =20 0.b ac
2 -4 204 2 5.2 2 1
b b acx a
方程有两个不相等的实数根
1 22 5, 2 5.x x
4.用公式法和配方法分别解方程:x2-4x-1=0
(要求写出必要解题步骤).
2 4 1.x x移 得配 法 项: ,方
2 2 24 2 1 2 .x x配方,得
22 5x
2= 5x由 此 可 得 ,
1 22 5, 2 5.x x
考点四 一元二次方程的根的判别式的应用
例4 已知关于x的一元二次方程x2-3m=4x有两个不相等
的实数根,则m的取值范围是( )
A. B. m<2 C. m ≥0 D. m<04
3m
A
【易错提示】应用根的判别式之前务必将方程化为一般形式,
这样能帮助我们正确确定a,b,c的值.
解析 根据方程根的情况可知,此方程的根的判别式 >0,即
42-4×1×(-3m)=16+12m>0,解得 ,故选A.4
3m
Δ
5.下列所给方程中,没有实数根的是( )
A. x2+x=0 B. 5x2-4x-1=0
C.3x2-4x+1=0 D. 4x2-5x+2=0
6.(开放题)若关于x的一元二次方程x2-x+m=0有两个
不相等的实数根,则m的值可能是 (写出一个即
可).
D
0
针对训练
考点五 一元二次方程的根与系数的关系
例5 已知一元二次方程x2-4x-3=0的两根为m,n,
则m2-mn+n2= .25
解析 根据根与系数的关系可知,m+n=4,mn=-3. m2-mn+n2
=m2+n2-mn=(m+n)2-3mn=42-3 ×(-3)=25.故填25.
【重要变形】 2 2 2
1 2 1 2 1 2( ) 2 ;x x x x x x ①
2 2
1 2 1 2 1 2( ) ( ) 4x x x x x x ② 1 2
1 2 1 2
1 1 x x
x x x x
③
针对训练
7. 已知方程2x2+4x-3=0的两根分别为x1和x2,则x12+x22
的值等于( )
A. 7 B. -2 C. D.3
2
3
2
A
考点六 一元二次方程的应用
例6 某机械公司经销一种零件,已知这种零件的成
本为每件20元,调查发现当销售价为24元,平均每天
能售出32件,而当销售价每上涨2元,平均每天就少
售出4件.
(1)若公司每天的销售价为x元,则每天的销售量为
多少?
(2)如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于
每件28元,该公司想要每天获得150元的销售利润,
销售价应当为多少元?
市场销售问题
解析 本题为销售中的利润问题,其基本本数量关系用表析分如
下:设公司每天的销售价为x元.
单件利润 销售量(件) 每星期利润(元)
正常销售
涨价销售
4 32
x-20 32-2(x-24) 150
其等量关系是:总利润=单件利润×销售量.
解:(1)32-(x-24) ×2=80-2x;
(2)由题意可得(x-20)(80-2x)=150.
解得 x1=25, x2=35.
由题意x≤28, ∴x=25,即售价应当为25元.
【易错提示】销售量在正常销售的基础上进行减少.要注意验根.
128
例7 菜农小王种植的某种蔬菜,计划以每千克5元的价格
对外批发销售.由于部分菜农盲目扩大种植,造成该种蔬
菜滞销.小王为了加快销售,减少损失,对价格经过两次
下调后,以每千克3.2元的价格对外批发销售.求平均每
次下调的百分率是多少?
解:设平均每次下调的百分率是x,根据题意得
5(1-x)2=3.2
解得 x1=1.8 (舍去), x2=0.2=20%.
答:平均每次下调的百分率是20%.
平均变化率问题
例8 为了响应市委政府提出的建设绿色家园的号召,我
市某单位准备将院内一个长为30m,宽为20m的长方形空
地,建成一个矩形的花园,要求在花园中修两条纵向平
行和一条弯折的小道,剩余的地方种植花草,如图所示,
要是种植花草的面积为532m2,,那么小道的宽度应为多
少米?(所有小道的进出口的宽度相等,且每段小道为
平行四边形)
解:设小道进出口的宽为xcm
(30-2x)(20-x)=532
x2-35x+34=0
x1=1 x2=34(舍去)
答:小道进出口的宽度应为1米.
解决有关面积问题时,除了对所学图形面积公式熟悉外,还要
会将不规则图形分割或组合成规则图形,并找出各部分图形面积之
间的关系,再列方程求解.
(注意:这里的横坚斜小路的的宽度都相等)
平移转化
方法总结
相关文档
- 人教版初中数学九年级下册课件27.12021-11-1126页
- 数学冀教版九年级上册课件23-4 用2021-11-1121页
- 人教部编版九年级下册道德与法治课2021-11-1122页
- 苏教版数学九年级上册课件2-5直线2021-11-1119页
- 数学华东师大版九年级上册课件24-42021-11-1120页
- 【精品课件】人教版九年级化学上册2021-11-1123页
- 九年级上册青岛版数学课件3-4直线2021-11-118页
- 数学华东师大版九年级上册课件21-12021-11-1119页
- 华东师大版数学中考专题复习与训练2021-11-1149页
- 人教版初中物理课后作业课件1第一2021-11-1120页