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- 2021-11-11 发布
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初中数学十字相乘法因式分解
要点:
一、 2 ()x p q x pq 型的因式分解
特点是:(1)二次项的系数是 1(2)常数项是两个数之积(3)一次项系数是常数
的两个因数之和。对这个式子先去括号,得到:
pqxqpx )(2 )()( 22 pqqxpxxpqqxpxx
))(()()( qxpxpxqpxx
因此: ))(()(2 qxpxpqxqpx
利用此式的结果可以直接将某些二次项系数是 1 的二次三项式分解因式。
二、一般二次三项式 2ax bx c的分解因式
大家知道, 2
1 1 2 2 1 2 1 2 2 1 1 2( )( ) ( )a x c a x c a a x a c a c x c c 。
反过来,就可得到: 2
1 2 1 2 2 1 1 2 1 1 2 2( ) ( )( )a a x a c a c x c c a x c a x c
我们发现,二次项系数a 分解成 12aa ,常数项c 分解成 12cc ,把 1 2 1 2, , ,a a c c 写成
11
22
ac
ac ,这里按斜线交叉相乘,再相加,就得到 1 2 2 1a c a c ,那么 2ax bx c就可以分
解成 1 1 2 2( )( )a x c a x c.
这种借助画十字交叉线分解系数,从而将二次三项式分解因式的方法,叫做十字相
乘法。
【典型例题】[例 1] 把下列各式分解因式。(1) 232 xx (2) 672 xx
分析:(1) 232 xx 的二次项的系数是 1,常数项 212 ,一次项系数 213 ,这
是一个 pqxqpx )(2 型式子。
(2) 672 xx 的二次项系数是 1,常数项 )6()1(6 ,一次项系数 7 )1(
)6( ,这也是一个 pqxqpx )(2 型式子,因此可用公式 pqxqpx )(2 x(
))( qxp 分解以上两式。
解:(1)因为 212 ,并且 213 ,所以 )2)(1(232 xxxx
(2)因为 )6()1(6 ,并且 )6()1(7 ,所以 )6)(1(672 xxxx
[例 2] 把下列各式因式分解。
(1) 22 xx (2) 1522 xx
分析:(1) xx2 2 的二次项系数是 1,常数项 2)1(2 ,一次项系数 2)1(1 ,
这是一个 pqxqpx )(2 型式子。
(2) 1522 xx 的二次项系数是 1,常数项 3)5(15 ,一次项系数 )5(2
3 ,这也是一个 pqxqpx )(2 型式子。
以上两题可用 ))(()(2 qxpxpqxqpx 式子分解。
解:(1)因为 ,并且 2)1(1 ,所以 )1)(2(22 xxxx
(2)因为 3)5(15 ,并且 3)5(2 ,所以 )3)(5(1522 xxxx
注意:(1)当常数项是正数时,它分解成两个同号因数,它们和一次项系数的符号相
同。
(2)当常数项是负数时,它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数和一次
项系数的符号相同。
[例 3] 把下列各式因式分解。
(1) 372 2 xx (2) 576 2 xx (3) 22 865 yxyx
解:(1) )12)(3(372 2 xxxx
12
31
7)1(1)3(2
(2) )53)(12(576 2 xxxx
53
12
713)5(2
(3) )45)(2(865 22 yxyxyxyx
y
y
45
21
yyy 6)2(5)4(1
[例 4] 将 40)(3)( 2 yxyx 分解因式。
分析:可将 yx 看成是一个字母,即 ayx ,于是上式可化为 4032 aa 二次项系
数是 1,常数 5)8(40 ,一次项系数 5)8(3 ,所以可用 )(2 qpx x
))(( qxpxpq 式子分解。
解:因为 5)8(40 ,并且 5)8(3 ,所以
40)(3)( 2 yxyx )5)(8(]5)][(8)[( yxyxyxyx
[例 5] 把 2222 65 xyxyx 分解因式。
分析:多项式各项有公因式 2x ,第一步先提出各项公因式 2x ,得到:
)65(65 222222 yyxxyxyx ,经分析 652 yy 它符合 pqyqpy )(2 型式
子,于是可继续分解。第二步,按 pqyqpy )(2 型二次三项式分解,得到:
)1)(6()65( 222 yyxyyx
解: )1)(6()65(65 2222222 yyxyyxxyxyx
[例 6] 将 xyyx 1681 55 分解因式。
解: xyyx 1681 55 )49)(49()1681( 222244 yxyxxyyxxy
)23)(23)(49( 22 xyxyyxxy
注意:多项式分解因式的一般步骤是:(1)如果多项式各项有公因式,那么先提
出公因式。(2)在各项提出公因式后,或各项没有公因式的情况下,可考虑运用公式
法,对于四项式多项式可以考虑运用分组分解法。(3)要分解到每个多项式不能再分
解为止。
【模拟试题】
一. 填空题:
1. 2832 xx ( )( ) 2. 22 352 yxyx )7( yx ( )
3. 22 144320 yxyx )74( yx ( ) 4. 51918 2 xx ( )( 12 x )
5. 61135 22 mnnm -( )( ) 6. 235116 aa ( )( )
7. 652 xkx ( 23 x )( ) k
8. )25)(74(1443 2 yxyxyxym ,则 m
9. )5)(74(4320 2 nxyxmxyx ,则 m , n
10. 分解因式 16)3(8)3( 2242 xxxx 。
二. 选择题:
1. 16102 xx 分解因式为( )
A. )8)(2( xx B. )8)(2( xx C. )8)(2( xx D. )8)(2( xx
2. 22 3013 yxyx 分解为( )
A. )10)(3( yxyx B. )2)(15( yxyx C. )3)(10( yxyx D. )2)(15( yxyx
3. 把 35296 2 xx 分解因式为( )
A. )53)(72( xx B. )52)(73( xx C. )52)(73( xx D. )53)(72( xx
4. 把 222 44 nmnmx 分解因式为( )
A. )2)(2( nmxnmx B. )2)(2( nmxnmx
C. )2)(2( nmxnmx D. )2)(2( nmxnmx
5. 在下列二次三项式中,不是 pqxqpx )(2 型式子的是( )
A. 20122 xx B. 10092 xx C. 14132 xx D. 5292 xx
三. 解答题:
1. 将下列各式因式分解。
(1) 652 xx (2) 302 xx (3) 144302 xx 1)
(3) 2 11 18xx (4) 225 26aa (5) 2232x xy y
2. 将下列各式因式分解。
(1) 1718 24 mm (2) 4224 2073 yyxx (3) 23 14 5bb
(4) 223xx (5) 22 5 7xx (6) 23 2 1aa
3. 因式分解。
(1) 24)7(10)7( 222 xxxx (2) 2222224 )()(2 zyzyxx
4. 已知 0284715 22 yxyx ,求
y
x 的值。
5. 已知 06 22 baba ( 0a , 0b ),求
b
a
a
b 的值
6. 已知 02629 22 baba ,求 ba 32 的值。
试题答案
一.
1. 7x ; 4x 2. yx 5 3. yx 25 4. 59 x
5. 35 mn ; 27 mn 6. a72 ; a53 7. 32 x ;6
8. 220x 9. 214y ; y2 10. 2222 )23()2()1( xxxx
二.1. A 2. D 3. B 4. B 5. B
三.1. 解:
(1) )1)(6(652 xxxx (2) )5)(6(302 xxxx
(3) )6)(24(144302 xxxx
2. 解:(1) )1)(17()1718(1718 222424 mmmmmm
)1)(1)(17( 2 mmm
(2) )53)(2)(2()53)(4(2073 2222224224 yxyxyxyxyxyyxx
(3) )2)(2)(2()2)(4()82(82 2222435 xxxxxxxxxxxxx
3. 解:(1) )73)(52()356(356 222424 nnknnkkknkn aaaaaaaaa
(2) )54)(12(8
1)5148(88
5
4
7 22 xxxxxx
4. 解:
(1) )27)(127(24)7(10)7( 22222 xxxxxxxx
)27)(4)(3( 2 xxxx
(2) 222222222222224 )()]([)()(2 zyxzyxzyzyxx
5. 解: 0284715 22 yxyx 0)45)(73( yxyx
∴ yx 3
7 或 yx 5
4 当 yx 3
7 时,(1)
3
73
7
y
y
y
x
(2)当
5
4x y 时,
5
45
4
y
y
y
x
6. 解: 06 22 baba 0)2)(3( baba ba 3 ba 2
当 ba 3 时,
3
1333
13
3 b
b
b
b
b
a
a
b
当 ba 2 时,
2
1222
12
2 b
b
b
b
b
a
a
b
7. 解: 02629 22 baba 0)169()12( 22 bbaa
0)13()1( 22 ba 1a
3
1b
312)
3
1(31232 ba
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