2021年中考数学专题复习 专题20 相似三角形问题（教师版含解析） 37页

专题 20 相似三角形问题 一、比例 1．成比例线段(简称比例线段)：对于四条线段 a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比与另两条线段的 长度的比相等，即 d c b a  (或 a：b=c：d)，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。如果作为 比例内项的是两条相同的线段，即 c b b a  或 a：b=b：c，那么线段 b 叫做线段 a，c 的比例中项。 2．黄金分割：用一点 P 将一条线段 AB 分割成大小两条线段，若小段与大段的长度之比等于大段与全长之 比，则可得出这一比值等于 0·618…。这种分割称为黄金分割，分割点 P 叫做线段 AB 的黄金分割点，较长 线段叫做较短线段与全线段的比例中项。 3．平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。 4．两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。 5．平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)，所得的对应线段成比例。 二、相似、相似三角形及其基本的理论 1. 相似：相同形状的图形叫相似图形。相似图形强调图形形状相同，与它们的位置、大小无关。 2．相似三角形：对应角相等，对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。相似多边形对应边的比叫做相 似比。 3．三角形相似的判定方法 (1)定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似。 (2)平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，构成的三角形与原三角形相似。 (3)两个三角形相似的判定定理 判定定理 1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角形相似，可简述 为两角对应相等，两三角形相似。 判定定理 2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角相等，那么这两个三角 形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似。 判定定理 3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这两个三角形相似，可简 述为三边对应成比例，两三角形相似。 4．直角三角形相似判定定理: ①以上各种判定方法均适用 ②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例， 那么这两个直角三角形相似。 ③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。 5．相似三角形的性质: (1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例 (2)相似三角形对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比 (3)相似三角形周长的比等于相似比 (4)相似三角形面积的比等于相似比的平方。 【例题 1】(2020•河北)在如图所示的网格中，以点 O 为位似中心，四边形 ABCD 的位似图形是( ) A．四边形 NPMQ B．四边形 NPMR C．四边形 NHMQ D．四边形 NHMR 【答案】A 【分析】由以点 O 为位似中心，确定出点 C 对应点 M，设网格中每个小方格的边长为 1，则 OC ，OM ＝2 ，OD ，OB ，OA ，OR ，OQ＝2 ，OP＝2 ，OH＝3 ，ON＝2 ，由 㤵 2， 得点 D 对应点 Q，点 B 对应点 P，点 A 对应点 N，即可得出结果． 【解析】∵以点 O 为位似中心， ∴点 C 对应点 M， 设网格中每个小方格的边长为 1， 则 OC ，OM 2 ，OD ，OB ，OA ， OR ，OQ＝2 ，OP 2 ，OH 3 ，ON 2 ， ∵ 㤵 2， ∴点 D 对应点 Q，点 B 对应点 P，点 A 对应点 N， ∴以点 O 为位似中心，四边形 ABCD 的位似图形是四边形 NPMQ。 【对点练习】(2019 广西北海)如图，在平面直角坐标系中，△ABC 的三个顶点分别为 A(﹣1，1)，B(﹣4， 1)，C(﹣2，3)． (1)画出△ABC 关于点 O 成中心对称的△A1B1C1； (2)以点 A 为位似中心，将△ABC 放大为原来的 2 倍得到△AB2C2，请在第二象限内画出△AB2C2； (3)直接写出以点 A1，B1，C1 为顶点，以 A1B1 为的平行四边形的第四个顶点 D 的坐标． 【答案】见解析。 【解析】(1)根据关于原点对称的点坐标特征写出 A、B、C 关于原点的对称点 A1、B1、C1 的坐标，然后描点 即可.如图，△A1B1C1 为所作. (2)延长 AB 到 B2 使 AB2＝2AB，延长 AC 到 C2 使 AC2＝2AC，连接 B2C2，则△AB2C2 满足条件.第四个顶点 D 的坐 标为(﹣1，﹣3)或(5，﹣3)． (3)另一条平行四边形的性质，把 C1 点向左或右平移 3 个单位得到 D 点坐标． 第四个顶点 D 的坐标为(﹣1，﹣3)或(5，﹣3)． 【例题 2】(2019·广西贺州)如图，在△ABC 中，D，E 分别是 AB，AC 边上的点，DE∥BC，若 AD＝2，AB＝3，DE＝4，则 BC 等于( ) A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【解析】本题考查了相似三角形的判定与性质；证明三角形相似得出对应边成比例是解题的关键．由平行 线得出△ADE∽△ABC，得出对应边成比例 ＝ ，即可得出结果． ∵DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴ ＝ ， 即 ＝ ， 解得：BC＝6 【对点练习】(2019 年内蒙古赤峰市)如图，D、E 分别是△ABC 边 AB，AC 上的点，∠ADE＝∠ACB，若 AD＝2， AB＝6，AC＝4，则 AE 的长是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【解析】∵∠ADE＝∠ACB，∠A＝∠A， ∴△ADE∽△ACB， ∴ ＝ ，即 ＝ ， 解得，AE＝3 【点拨】证明△ADE∽△ACB，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可． 【例题 3】(2020•山东泰安模拟)如图，矩形 ABCD 中，AB＝3 ，BC＝12，E 为 AD 中点，F 为 AB 上一点， 将△AEF 沿 EF 折叠后，点 A 恰好落到 CF 上的点 G 处，则折痕 EF 的长是 ． 【答案】2 ． 【解析】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够作出适当 的辅助线，连接 CE，构造相似三角形，最终利用相似的性质求出结果． 连接 EC，利用矩形的性质，求出 EG，DE 的长度，证明 EC 平分∠DCF，再证∠FEC＝90°，最后证△FEC∽△ EDC，利用相似的性质即可求出 EF 的长度． 如图，连接 EC， ∵四边形 ABCD 为矩形， ∴∠A＝∠D＝90°，BC＝AD＝12，DC＝AB＝3 ， ∵E 为 AD 中点， ∴AE＝DE＝ AD＝6 由翻折知，△AEF≌△GEF， ∴AE＝GE＝6，∠AEF＝∠GEF，∠EGF＝∠EAF＝90°＝∠D， ∴GE＝DE， ∴EC 平分∠DCG， ∴∠DCE＝∠GCE， ∵∠GEC＝90°﹣∠GCE，∠DEC＝90°﹣∠DCE， ∴∠GEC＝∠DEC， ∴∠FEC＝∠FEG+∠GEC＝ ×180°＝90°， ∴∠FEC＝∠D＝90°， 又∵∠DCE＝∠GCE， ∴△FEC∽△EDC， ∴ ， ∵EC＝ ＝ ＝3 ， ∴ ， ∴FE＝2 【对点练习】2019 黑龙江省龙东地区)一张直角三角形纸片 ABC，∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6，点 D 为 BC 边上的任一点，沿过点 D 的直线折叠，使直角顶点 C 落在斜边 AB 上的点 E 处，当△BDE 是直角三角形时， 则 CD 的长为________． 【答案】3 或 24 7 . 【解析】在△BDE 中，∠B 是锐角，∴有两种可能，∠DEB 或∠EDB 是直角，由此画出示意图，逐步求解即 可. 如下图，∠DEB 是直角时，∵∠ACB＝90°，AB＝10，AC＝6， ∴BC= 2 210 6 =8,设 CD=x，则 BD=8-x， 由折叠知 CD=ED=x，∵∠ACB＝∠DEB=90°， ∴△BED∽△BCA，∴ AC DE AB DB  ，即 6 10 8 x x   ，解得 x=3; 如下图，∠EDB 是直角时，ED∥AC， ∴△BED∽△BAC，∴ AC ED CB DB  ,即 6 8 8 x x   ，解得 x= 24 7 ， 综上，CD 的长为 3 或 24 7 . 【点拨】在△BDE 中，∠B 是锐角，有两种可能，∠DEB 或∠EDB 是直角，由此画出示意图，逐步求解即可. 【例题 4】(2020•杭州)如图，在△ABC 中，点 D，E，F 分别在 AB，BC，AC 边上，DE∥AC，EF∥AB． (1)求证：△BDE∽△EFC． (2)设 ， ①若 BC＝12，求线段 BE 的长； ②若△EFC 的面积是 20，求△ABC 的面积． 【解析】见解析。 【分析】(1)由平行线的性质得出∠DEB＝∠FCE，∠DBE＝∠FEC，即可得出结论； (2)①由平行线的性质得出 ，即可得出结果； ②先求出 ，易证△EFC∽△BAC，由相似三角形的面积比等于相似比的平方即可得出结果． 【解答】(1)证明：∵DE∥AC， ∴∠DEB＝∠FCE， ∵EF∥AB， ∴∠DBE＝∠FEC， ∴△BDE∽△EFC； (2)解：①∵EF∥AB， ∴ ， ∵EC＝BC﹣BE＝12﹣BE， ∴ ， 解得：BE＝4； ②∵ ， ∴ ， ∵EF∥AB， ∴△EFC∽△BAC， ∴ ( )2＝( )2 ， ∴S△ABC S△EFC 20＝45． 【对点练习】(2019•四川省凉山州)如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB 平分∠ADC，过点 B 作 BM∥CD 交 AD 于 M．连接 CM 交 DB 于 N． (1)求证：BD2＝AD•CD； (2)若 CD＝6，AD＝8，求 MN 的长． 【答案】见解析。 【解析】证明：(1)通过证明△ABD∽△BCD，可得 ，可得结论； ∵DB 平分∠ADC， ∴∠ADB＝∠CDB，且∠ABD＝∠BCD＝90°， ∴△ABD∽△BCD ∴ ∴BD2＝AD•CD (2)由平行线的性质可证∠MBD＝∠BDC，即可证 AM＝MD＝MB＝4，由 BD2＝AD•CD 和勾股定理可求 MC 的长， 通过证明△MNB∽△CND，可得 ，即可求 MN 的长．∵BM∥CD ∴∠MBD＝∠BDC ∴∠ADB＝∠MBD，且∠ABD＝90° ∴BM＝MD，∠MAB＝∠MBA ∴BM＝MD＝AM＝4 ∵BD2＝AD•CD，且 CD＝6，AD＝8， ∴BD2＝48， ∴BC2＝BD2﹣CD2＝12 ∴MC2＝MB2+BC2＝28 ∴MC＝2 ∵BM∥CD ∴△MNB∽△CND ∴ ，且 MC＝2 ∴MN＝ 【点拨】本题考查相似三角形的判定和性质，勾股定理，直角三角形的性质，求 MC 的长度是本题的关键． 一、选择题 1．(2020•重庆)如图，△ABC 与△DEF 位似，点 O 为位似中心．已知 OA：OD＝1：2，则△ABC 与△DEF 的面 积比为( ) A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：5 【答案】C 【解析】根据位似图形的概念求出△ABC 与△DEF 的相似比，根据相似三角形的性质计算即可． ∵△ABC 与△DEF 是位似图形，OA：OD＝1：2， ∴△ABC 与△DEF 的位似比是 1：2． ∴△ABC 与△DEF 的相似比为 1：2， ∴△ABC 与△DEF 的面积比为 1：4。 2.(2020 浙江绍兴)如图，三角板在灯光照射下形成投影，三角板与其投影的相似比为 2：5，且三角板的 一边长为 8cm．则投影三角板的对应边长为( ) A．20cm B．10cm C．8cm D．3.2cm 【答案】A 【分析】根据对应边的比等于相似比列式进行计算即可得解． 【解答】解：设投影三角尺的对应边长为 xcm， ∵三角尺与投影三角尺相似， ∴8：x＝2：5， 解得 x＝20． 3．(2020•遂宁)如图，在平行四边形 ABCD 中，∠ABC 的平分线交 AC 于点 E，交 AD 于点 F，交 CD 的延长线 于点 G，若 AF＝2FD，则 的值为( ) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由 AF＝2DF，可以假设 DF＝k，则 AF＝2k，AD＝3k，证明 AB＝AF＝2k，DF＝DG＝k，再利用平行线 分线段成比例定理即可解决问题． 【解析】由 AF＝2DF，可以假设 DF＝k，则 AF＝2k，AD＝3k， ∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD，AB＝CD， ∴∠AFB＝∠FBC＝∠DFG，∠ABF＝∠G， ∵BE 平分∠ABC， ∴∠ABF＝∠CBG， ∴∠ABF＝∠AFB＝∠DFG＝∠G， ∴AB＝CD＝2k，DF＝DG＝k， ∴CG＝CD+DG＝3k， ∵AB∥DG， ∴△ABE∽△CGE， ∴ 。 4．(2020•遂宁)如图，在正方形 ABCD 中，点 E 是边 BC 的中点，连接 AE、DE，分别交 BD、AC 于点 P、Q， 过点 P 作 PF⊥AE 交 CB 的延长线于 F，下列结论： ①∠AED+∠EAC+∠EDB＝90°， ②AP＝FP， ③AE AO， ④若四边形 OPEQ 的面积为 4，则该正方形 ABCD 的面积为 36， ⑤CE•EF＝EQ•DE． 其中正确的结论有( ) A．5 个 B．4 个 C．3 个 D．2 个 【答案】B 【分析】①正确．证明∠EOB＝∠EOC＝45°，再利用三角形的外角的性质即可解决问题． ②正确．利用四点共圆证明∠AFP＝∠ABP＝45°即可． ③正确．设 BE＝EC＝a，求出 AE，OA 即可解决问题． ④错误，通过计算正方形 ABCD 的面积为 48． ⑤正确．利用相似三角形的性质证明即可． 【解析】如图，连接 OE． ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴AC⊥BD，OA＝OC＝OB＝OD， ∴∠BOC＝90°， ∵BE＝EC， ∴∠EOB＝∠EOC＝45°， ∵∠EOB＝∠EDB+∠OED，∠EOC＝∠EAC+∠AEO， ∴∠AED+∠EAC+∠EDO＝∠EAC+∠AEO+∠OED+∠EDB＝90°，故①正确， 连接 AF． ∵PF⊥AE， ∴∠APF＝∠ABF＝90°， ∴A，P，B，F 四点共圆， ∴∠AFP＝∠ABP＝45°， ∴∠PAF＝∠PFA＝45°， ∴PA＝PF，故②正确， 设 BE＝EC＝a，则 AE a，OA＝OC＝OB＝OD a， ∴ ，即 AE AO，故③正确， 根据对称性可知，△OPE≌△OQE， ∴S△OEQ S 四边形 OPEQ＝2， ∵OB＝OD，BE＝EC， ∴CD＝2OE，OE∥CD， ∴ ，△OEQ∽△CDQ， ∴S△ODQ＝4，S△CDQ＝8， ∴S△CDO＝12， ∴S 正方形 ABCD＝48，故④错误， ∵∠EPF＝∠DCE＝90°，∠PEF＝∠DEC， ∴△EPF∽△ECD， ∴ ， ∵EQ＝PE， ∴CE•EF＝EQ•DE，故⑤正确， 故选：B． 5．(2020•潍坊)如图，点 E 是▱ ABCD 的边 AD 上的一点，且 ，连接 BE 并延长交 CD 的延长线于点 F， 若 DE＝3，DF＝4，则▱ ABCD 的周长为( ) A．21 B．28 C．34 D．42 【答案】C 【分析】根据平行四边形的性质得 AB∥CD，再由平行线得相似三角形，根据相似三角形求得 AB，AE，进 而根据平行四边形的周长公式求得结果． 【解析】∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB∥CF，AB＝CD， ∴△ABE∽△DFE， ∴ ， ∵DE＝3，DF＝4， ∴AE＝6，AB＝8， ∴AD＝AE+DE＝6+3＝9， ∴平行四边形 ABCD 的周长为：(8+9)×2＝34． 故选：C． 6．(2020•天水)如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆 BE 测量建筑物的高度，已知标杆 BE 高 1.5m，测得 AB＝1.2m，BC＝12.8m，则建筑物 CD 的高是( ) A．17.5m B．17m C．16.5m D．18m 【答案】A 【分析】根据题意和图形，利用三角形相似，可以计算出 CD 的长，从而可以解答本题． 【解析】∵EB⊥AC，DC⊥AC， ∴EB∥DC， ∴△ABE∽△ACD， ∴ ， ∵BE＝1.5m，AB＝1.2m，BC＝12.8m， ∴AC＝AB+BC＝14m， ∴ 㘠 㘠 ， 解得，DC＝17.5， 即建筑物 CD 的高是 17.5m， 7.(2019•海南省)如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4．点 P 是边 AC 上一动点，过点 P 作 PQ ∥AB 交 BC 于点 Q，D 为线段 PQ 的中点，当 BD 平分∠ABC 时，AP 的长度为( ) A. B． C． D． 【答案】B． 【解析】本题考查的是相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 根据勾股定理求出 AC，根据角平分线的定义、平行线的性质得到∠QBD＝∠BDQ，得到 QB＝QD，根据相似三 角形的性质列出比例式，计算即可． ∵∠C＝90°，AB＝5，BC＝4， ∴AC＝ ＝3， ∵PQ∥AB， ∴∠ABD＝∠BDQ，又∠ABD＝∠QBD， ∴∠QBD＝∠BDQ， ∴QB＝QD， ∴QP＝2QB， ∵PQ∥AB， ∴△CPQ∽△CAB， ∴ ＝ ＝ ，即 ＝ ＝ ， 解得，CP＝ ， ∴AP＝CA﹣CP＝ 二、填空题 8．(2020•郴州)在平面直角坐标系中，将△AOB 以点 O 为位似中心， 为位似比作位似变换，得到△A1OB1， 已知 A(2，3)，则点 A1 的坐标是 ． 【解析】( ，2)． 【分析】直接利用位似图形的性质进而得出对应点坐标即可． 【解析】∵将△AOB 以点 O 为位似中心， 为位似比作位似变换，得到△A1OB1，A(2，3)， ∴点 A1 的坐标是：( 2， 3)， 即 A1( ，2)． 9．(2020•乐山)把两个含 30°角的直角三角板按如图所示拼接在一起，点 E 为 AD 的中点，连结 BE 交 AC 于 点 F．则 ． 【解析】 ． 【分析】连接 CE，解直角三角形，用 AD 表示 AB，根据直角三角形的性质，用 AD 表示 CE，再证明 CE∥AB 得△ABF∽△CEF，由相似三角形的性质得 ，进而得 便可． 【解析】连接 CE，∵∠CAD＝30°，∠ACD＝90°，E 是 AD 的中点， ∴AC AD，CE AD＝AE， ∴∠ACE＝∠CAE＝30° ∵∠BAC＝30°，∠ABC＝90°， ∴AB AC AD，∠BAC＝∠ACE， ∴AB∥CE， ∴△ABF∽△CEF， ∴ ， ∴ 10．(2020•绥化)在平面直角坐标系中，△ABC 和△A1B1C1 的相似比等于 ，并且是关于原点 O 的位似图形， 若点 A 的坐标为(2，4)，则其对应点 A1 的坐标是 ． 【解析】(4，8)或(﹣4，﹣8)． 【分析】利用关于原点对称的点的坐标，把 A 点横纵坐标分别乘以 2 或﹣2 得到其对应点 A1 的坐标． 【解析】∵△ABC 和△A1B1C1 的相似比等于 ，并且是关于原点 O 的位似图形， 而点 A 的坐标为(2，4)， ∴点 A 对应点 A1 的坐标为(2×2，2×4)或(﹣2×2，﹣2×4)， 即(4，8)或(﹣4，﹣8)． 三、解答题 11．(2020•泰安)小明将两个直角三角形纸片如图(1)那样拼放在同一平面上，抽象出如图(2)的平面图形， ∠ACB 与∠ECD 恰好为对顶角，∠ABC＝∠CDE＝90°，连接 BD，AB＝BD，点 F 是线段 CE 上一点． 探究发现： (1)当点 F 为线段 CE 的中点时，连接 DF(如图(2))，小明经过探究，得到结论：BD⊥DF．你认为此结论是否 成立？ ．(填“是”或“否”) 拓展延伸： (2)将(1)中的条件与结论互换，即：BD⊥DF，则点 F 为线段 CE 的中点．请判断此结论是否成立．若成立， 请写出证明过程；若不成立，请说明理由． 问题解决： (3)若 AB＝6，CE＝9，求 AD 的长． 【答案】见解析。 【分析】(1)证明∠FDC+∠BDC＝90°可得结论． (2)结论成立：利用等角的余角相等证明∠E＝∠EDF，推出 EF＝FD，再证明 FD＝FC 即可解决问题． (3)如图 3 中，取 EC 的中点 G，连接 GD．则 GD⊥BD．利用(1)中即可以及相似三角形的性质解决问题即可． 【解析】(1)如图(2)中， ∵∠EDC＝90°，EF＝CF， ∴DF＝CF， ∴∠FCD＝∠FDC， ∵∠ABC＝90°， ∴∠A+∠ACB＝90°， ∵BA＝BD， ∴∠A＝∠ADB， ∵∠ACB＝∠FCD＝∠FDC， ∴∠ADB+∠FDC＝90°， ∴∠FDB＝90°， ∴BD⊥DF． 故答案为是． (2)结论成立： 理由：∵BD⊥DF，ED⊥AD， ∴∠BDC+∠CDF＝90°，∠EDF+∠CDF＝90°， ∴∠BDC＝∠EDF， ∵AB＝BD， ∴∠A＝∠BDC， ∴∠A＝∠EDF， ∵∠A+∠ACB＝90°，∠E+∠ECD＝90°，∠ACB＝∠ECD， ∴∠A＝∠E， ∴∠E＝∠EDF， ∴EF＝FD， ∵∠E+∠ECD＝90°，∠EDF+∠FDC＝90°， ∴∠FCD＝∠FDC， ∴FD＝FC， ∴EF＝FC， ∴点 F 是 EC 的中点． (3)如图 3 中，取 EC 的中点 G，连接 GD．则 GD⊥BD． ∴DG EC ， ∵BD＝AB＝6， 在 Rt△BDG 中，BG ( ， ∴CB 3， 在 Rt△ABC 中，AC 3 ， ∵∠ACB＝∠ECD，∠ABC＝∠EDC， ∴△ABC∽△EDC， ∴ ， ∴ ， ∴CD ， ∴AD＝AC+CD＝3 ． 12．(2020•达州)如图，在梯形 ABCD 中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝6cm，CD＝2cm．P 为线段 BC 上的一动点， 且和 B、C 不重合，连接 PA，过点 P 作 PE⊥PA 交射线 CD 于点 E．聪聪根据学习函数的经验，对这个问题进 行了研究： (1)通过推理，他发现△ABP∽△PCE，请你帮他完成证明． (2)利用几何画板，他改变 BC 的长度，运动点 P，得到不同位置时，CE、BP 的长度的对应值： 当 BC＝6cm 时，得表 1： BP/cm … 1 2 3 4 5 … CE/cm … 0.83 1.33 1.50 1.33 0.83 … 当 BC＝8cm 时，得表 2： BP/cm … 1 2 3 4 5 6 7 … CE/cm … 1.17 2.00 2.50 2.67 2.50 2.00 1.17 … 这说明，点 P 在线段 BC 上运动时，要保证点 E 总在线段 CD 上，BC 的长度应有一定的限制． ①填空：根据函数的定义，我们可以确定，在 BP 和 CE 的长度这两个变量中， BP 的长度为自变量， EC 的长度为因变量； ②设 BC＝mcm，当点 P 在线段 BC 上运动时，点 E 总在线段 CD 上，求 m 的取值范围． 【解析】见解析。 【分析】(1)根据两角对应相等两三角形相似证明即可． (2)①根据函数的定义判断即可． ②设 BP＝xcm，CE＝ycm．利用相似三角形的性质构建二次函数，利用二次函数的性质求出 y 的最大值即可 解决问题． 【解答】(1)证明：∵AB∥CD， ∴∠B+∠C＝90°， ∵∠B＝90°， ∴∠B＝∠C＝90°， ∵AP⊥PE， ∴∠APE＝90°， ∴∠APB+∠EPC＝90°， ∵∠EPC+∠PEC＝90°， ∴∠APB＝∠PEC， ∴△ABP∽△PCE． (2)解：①根据函数的定义，我们可以确定，在 BP 和 CE 的长度这两个变量中，BP 的长度为自变量，EC 的 长度为因变量， 故答案为：BP，EC． ②设 BP＝xcm，CE＝ycm． ∵△ABP∽△PCE， ∴ ， ∴ 䁜 䁜 ， ∴y x2 mx (x m)2 ， ∵ ＜0， ∴x m 时，y 有最大值 ， ∵点 E 在线段 CD 上，CD＝2cm， ∴ 2， ∴m≤4 ， ∴0＜m≤4 ． 13．(2020•枣庄)在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD 是中线，AC＝BC，一个以点 D 为顶点的 45°角绕点 D 旋转， 使角的两边分别与 AC、BC 的延长线相交，交点分别为点 E、F，DF 与 AC 交于点 M，DE 与 BC 交于点 N． (1)如图 1，若 CE＝CF，求证：DE＝DF； (2)如图 2，在∠EDF 绕点 D 旋转的过程中，试证明 CD2＝CE•CF 恒成立； (3)若 CD＝2，CF ，求 DN 的长． 【解析】见解析。 【分析】(1)根据等腰直角三角形的性质得到∠ACD＝∠BCD＝45°，证明△DCF≌△DCE，根据全等三角形的 对应边相等证明结论； (2)证明△FCD∽△DCE，根据相似三角形的性质列出比例式，整理即可证明结论； (3)作 DG⊥BC，根据等腰直角三角形的性质求出 DG，由(2)的结论求出 CE，证明△ENC∽△DNG，根据相似三 角形的性质求出 NG，根据勾股定理计算，得到答案． 【解答】(1)证明：∵∠ACB＝90°，AC＝BC，CD 是中线， ∴∠ACD＝∠BCD＝45°，∠ACF＝∠BCE＝90°， ∴∠DCF＝∠DCE＝135°， 在△DCF 和△DCE 中， ， ∴△DCF≌△DCE(SAS) ∴DE＝DF； (2)证明：∵∠DCF＝135°， ∴∠F+∠CDF＝45°， ∵∠FDE＝45°， ∴∠CDE+∠CDF＝45°， ∴∠F＝∠CDE， ∵∠DCF＝∠DCE，∠F＝∠CDE， ∴△FCD∽△DCE， ∴ ， ∴CD2＝CE•CF； (3)解：过点 D 作 DG⊥BC 于 G， ∵∠DCB＝45°， ∴GC＝GD CD ， 由(2)可知，CD2＝CE•CF， ∴CE 2 ， ∵∠ECN＝∠DGN，∠ENC＝∠DNG， ∴△ENC∽△DNG， ∴ ，即 ， 解得，NG ， 由勾股定理得，DN ． 14．(2020•上海)已知：如图，在菱形 ABCD 中，点 E、F 分别在边 AB、AD 上，BE＝DF，CE 的延长线交 DA 的 延长线于点 G，CF 的延长线交 BA 的延长线于点 H． (1)求证：△BEC∽△BCH； (2)如果 BE2＝AB•AE，求证：AG＝DF． 【解析】见解析。 【分析】(1)想办法证明∠BCE＝∠H 即可解决问题． (2)利用平行线分线段成比例定理结合已知条件解决问题即可． 【解答】(1)证明：∵四边形 ABCD 是菱形， ∴CD＝CB，∠D＝∠B，CD∥AB， ∵DF＝BE， ∴△CDF≌CBE(SAS)， ∴∠DCF＝∠BCE， ∵CD∥BH， ∴∠H＝∠DCF， ∴∠BCE＝∠H， ∵∠B＝∠B， ∴△BEC∽△BCH． (2)证明：∵BE2＝AB•AE， ∴ ， ∵AG∥BC， ∴ ， ∴ ， ∵DF＝BE，BC＝AB， ∴BE＝AG＝DF， 即 AG＝DF． 15．(2020•甘孜州)如图，AB 是⊙O 的直径，C 为⊙O 上一点，AD 和过点 C 的切线互相垂直，垂足为 D． (1)求证：∠CAD＝∠CAB； (2)若 ，AC＝2 ，求 CD 的长． 【答案】见解析。 【分析】(1)连接 OC，根据切线的性质，判断出 AD∥OC，再应用平行线的性质，即可推得 AC 平分∠DAB； (2)如图 2，连接 BC，设 AD＝2x，AB＝3x，根据圆周角定理得到∠ACB＝∠ADC＝90°，根据相似三角形的性 质即可得到结论． 【解析】(1)证明：如图 1，连接 OC， ， ∵CD 是切线，∴OC⊥CD． ∵AD⊥CD，∴AD∥OC，∴∠1＝∠4． ∵OA＝OC，∴∠2＝∠4，∴∠1＝∠2，∴AC 平分∠DAB； (2)解：如图 2， 连接 BC， ∵ ， ∴设 AD＝2x，AB＝3x， ∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB＝∠ADC＝90°， ∵∠DAC＝∠CAB，∴△ACD∽△ABC， ∴ ，∴ 䁜 䁜 ， ∴x＝2(负值舍去)， ∴AD＝4， ∴CD 2 ． 16．(2020•宁波)【基础巩固】 (1)如图 1，在△ABC 中，D 为 AB 上一点，∠ACD＝∠B．求证：AC2＝AD•AB． 【尝试应用】 (2)如图 2，在▱ ABCD 中，E 为 BC 上一点，F 为 CD 延长线上一点，∠BFE＝∠A．若 BF＝4，BE＝3，求 AD 的 长． 【拓展提高】 (3)如图 3，在菱形 ABCD 中，E 是 AB 上一点，F 是△ABC 内一点，EF∥AC，AC＝2EF，∠EDF ∠BAD，AE＝ 2，DF＝5，求菱形 ABCD 的边长． 【解析】见解析。 【分析】(1)证明△ADC∽△ACB，得出 ，则可得出结论； (2)证明△BFE∽△BCF，得出比例线段 ，则 BF2＝BE•BC，求出 BC，则可求出 AD． (3)分别延长 EF，DC 相交于点 G，证得四边形 AEGC 为平行四边形，得出 AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G，证 明△EDF∽△EGD，得出比例线段 ，则 DE EF，可求出 DG，则答案可求出． 【解析】(1)证明：∵∠ACD＝∠B，∠A＝∠A， ∴△ADC∽△ACB， ∴ ， ∴AC2＝AD•AB． (2)∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD＝BC，∠A＝∠C， 又∵∠BFE＝∠A， ∴∠BFE＝∠C， 又∵∠FBE＝∠CBF， ∴△BFE∽△BCF， ∴ ， ∴BF2＝BE•BC， ∴BC ， ∴AD ． (3)如图，分别延长 EF，DC 相交于点 G， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴AB∥DC，∠BAC ∠BAD， ∵AC∥EF， ∴四边形 AEGC 为平行四边形， ∴AC＝EG，CG＝AE，∠EAC＝∠G， ∵∠EDF ∠BAD， ∴∠EDF＝∠BAC， ∴∠EDF＝∠G， 又∵∠DEF＝∠GED， ∴△EDF∽△EGD， ∴ ， ∴DE2＝EF•EG， 又∵EG＝AC＝2EF， ∴DE2＝2EF2， ∴DE EF， 又∵ ， ∴DG ， ∴DC＝DG﹣CG＝5 2． 17.(2019•湖北省荆门市)如图，为了测量一栋楼的高度 OE，小明同学先在操场上 A 处放一面镜子，向后退 到 B 处，恰好在镜子中看到楼的顶部 E；再将镜子放到 C 处，然后后退到 D 处，恰好再次在镜子中看到楼的 顶部 E(O，A，B，C，D 在同一条直线上)，测得 AC＝2m，BD＝2.1m，如果小明眼睛距地面髙度 BF，DG 为 1.6m， 试确定楼的高度 OE． 【答案】楼的高度 OE 为 32 米． 【解析】设 E 关于 O 的对称点为 M，由光的反射定律知，延长 GC、FA 相交于点 M， 连接 GF 并延长交 OE 于点 H， ∵GF∥AC， ∴△MAC∽△MFG， ∴ ， 即： ， ∴ ， ∴OE＝32