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- 2021-11-11 发布
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第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24. 1. 1 圆
1.了解圆的基本概念,并能准确地表示出来.
2. 理解并掌握与圆有关的概念:弦、直径、圆弧、等圆、同心圆等.
重点:与圆有关的概念.
难点:圆的有关概念的理解.
一、自学指导.(10分钟)
自学:研读课本P79~80内容,理解记忆与圆有关的概念,并完成下列问题.
探究:
①在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A所形成的图形叫做__圆__,固定的端点O叫做圆心,线段OA叫做__半径__.
②用集合的观点叙述以O为圆心,r为半径的圆,可以说成是到定点O的距离为__r__的所有的点的集合.
③连接圆上任意两点的__线段__叫做弦,经过圆心的弦叫做__直径__;圆上任意两点间的部分叫做圆弧;圆上任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每条弧都叫做半圆,大于半圆的弧叫做__优弧__,小于半圆的弧叫做__劣弧__.
二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(3分钟)
1.以点A为圆心,可以画__无数__个圆;以已知线段AB的长为半径可以画__无数__个圆;以点A为圆心,AB的长为半径,可以画__1__个圆.
点拨精讲:确定圆的两个要素:圆心(定点)和半径(定长).圆心确定圆的位置,半径确定圆的大小.
2.到定点O的距离为5的点的集合是以__O__为圆心,__5__为半径的圆.
一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(5分钟)
1.⊙O的半径为3 cm,则它的弦长d的取值范围是__0<d≤6__.
点拨精讲:直径是圆中最长的弦.
2.⊙O中若弦AB等于⊙O的半径,则△AOB的形状是__等边三角形__.
点拨精讲:与半径相等的弦和两半径构造等边三角形是常用数学模型.
3.如图,点A,B,C,D都在⊙O上.在图中画出以这4点为端点的各条弦.这样的弦共有多少条?
解:图略.6条.
二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(15分钟)
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1.(1)在图中,画出⊙O的两条直径;
(2)依次连接这两条直径的端点,得一个四边形.判断这个四边形的形状,并说明理由.
解:矩形.理由:由于该四边形对角线互相平分且相等,所以该四边形为矩形.作图略.
点拨精讲:由刚才的问题思考:矩形的四个顶点一定共圆吗?
2.一点和⊙O上的最近点距离为4 cm,最远点距离为10 cm,则这个圆的半径是__3_cm或7_cm__.
点拨精讲:这里分点在圆外和点在圆内两种情况.
3.如图,图中有__1__条直径,__2__条非直径的弦,圆中以A为一个端点的优弧有__4__条,劣弧有__4__条.
点拨精讲:这类数弧问题,为防多数或少数,通常按一定的顺序和方向来数.
,第3题图) ,第4题图)
4.如图,⊙O中,点A,O,D以及点B,O,C分别在一直线上,图中弦的条数为__2__.
点拨精讲:注意紧扣弦的定义.
5.如图,CD为⊙O的直径,∠EOD=72°,AE交⊙O于B,且AB=OC,求∠A的度数.
解:24°.
点拨精讲:连接OB构造三角形,从而得出角的关系.
,第5题图) ,第6题图)
6.如图,已知AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,点D是BC的中点,若AC=10 cm,求OD的长.
解:5 cm.
点拨精讲:这里别忘了圆心O是直径AB的中点.
学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)
1.圆的定义、圆的表示方法及确定一个圆的两个基本条件.
2.圆的相关概念:(1)弦、直径;(2)弧及其表示方法;(3)等圆、等弧.
学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)
- 27 -
24.1.2 垂直于弦的直径
1.圆的对称性.
2.通过圆的轴对称性质的学习,理解垂径定理及其推论.
3.能运用垂径定理及其推论进行计算和证明.
重点:垂径定理及其推论.
难点:探索并证明垂径定理.
一、自学指导.(10分钟)
自学:研读课本P81~83内容,并完成下列问题.
1.圆是轴对称图形,任何一条直径所在的直线都是它的对称轴,它也是中心对称图形,对称中心为圆心.
2.垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所对的两条弧,即一条直线如果满足:①AB经过圆心O且与圆交于A,B两点;②AB⊥CD交CD于E,那么可以推出:③CE=DE;④=;⑤=.
3.平分弦(非直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.
点拨精讲:(1)画图说明这里被平分的弦为什么不能是直径.
(2)实际上,当一条直线满足过圆心、垂直弦、平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧,这五个条件中的任何两个,就可推出另外三个.
二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(6分钟)
1.在⊙O中,直径为10 cm,圆心O到AB的距离为3 cm,则弦AB的长为 __8_cm__.
2.在⊙O中,直径为10 cm,弦AB的长为8 cm,则圆心O到AB的距离为__3_cm__.
点拨精讲:圆中已知半径、弦长、弦心距三者中的任何两个,即可求出另一个.
3.⊙O的半径OA=5 cm,弦AB=8 cm,点C是AB的中点,则OC的长为__3_cm__.
点拨精讲:已知弦的中点,连接圆心和中点构造垂线是常用的辅助线.
4.某公园的一石拱桥是圆弧形(劣弧),其跨度为24米,拱的半径为13米,则拱高为多少米?
(8米)
点拨精讲:圆中已知半径、弦长、弦心距或弓形高四者中的任何两个,即可求出另一个.
一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(6分钟)
1.AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB,E为垂足,若AE=9,BE=1,求CD的长.
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解:6.
点拨精讲:常用辅助线:连接半径,由半径、半弦、弦心距构造直角三角形.
2.⊙O的半径为5,弦AB的长为8,M是弦AB上的动点,则线段OM的长的最小值为__3__,最大值为__5__.
点拨精讲:当OM与AB垂直时,OM最小(为什么),M在A(或B)处时OM最大.
3.如图,线段AB与⊙O交于C,D两点,且OA=OB.求证:AC=BD.
证明:作OE⊥AB于E.则CE=DE.
∵OA=OB,OE⊥AB,
∴AE=BE,
∴AE-CE=BE-DE.
即AC=BD.
点拨精讲:过圆心作垂线是圆中常用辅助线.
二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(10分钟)
1.在直径是20 cm的⊙O中,∠AOB的度数是60°,那么弦AB的弦心距是__5__cm.
点拨精讲:这里利用60°角构造等边三角形,从而得出弦长.
2.弓形的弦长为6 cm,弓形的高为2 cm,则这个弓形所在的圆的半径为____cm.
3.如图,在以O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于C,D两点.求证:AC=BD.
证明:过点O作OE⊥AB于点E.则AE=BE,CE=DE.
∴AE-CE=BE-DE.
即AC=BD.
点拨精讲:过圆心作垂径.
4.已知⊙O的直径是50 cm,⊙O的两条平行弦AB=40 cm,CD=48 cm,求弦AB与CD之间的距离.
解:过点O作直线OE⊥AB于点E,直线OE与CD交于点F.由AB∥CD,则OF⊥CD.
(1)当AB,CD在点O两侧时,如图①.连接AO,CO,则AO=CO=25 cm,AE=20 cm,CF=24 cm.
由勾股定理知OE=15 cm,OF=7 cm.
∴EF=OE+OF=22 (cm).
即AB与CD之间距离为22 cm.
- 27 -
(2)当AB,CD在点O同侧时,如图②,连接AO,CO.则AO=CO=25 cm,AE=20 cm,CF=24 cm.
由勾股定理知OE=15 cm,OF=7 cm.
∴EF=OE-OF=8 (cm).
即AB与CD之间距离为8 cm.
由(1)(2)知AB与CD之间的距离为22 cm或8 cm.
点拨精讲:分类讨论,①AB,CD在点O两侧,②AB,CD在点O同侧.
学生总结本堂课的收获与困惑.(3分钟)
1.圆是轴对称图形,任何一条直径所在直线都是它的对称轴.
2.垂径定理及其推论以及它们的应用.
学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)
24.1.3 弧、弦、圆心角
1. 通过学习圆的旋转性,理解圆的弧、弦、圆心角之间的关系.
2. 运用上述三者之间的关系来计算或证明有关问题.
重点:圆的弧、弦、圆心角之间的关系定理.
难点:探索推导定理及其应用.
一、自学指导.(10分钟)
自学:自学教材P83~84内容,回答下列问题.
探究:
1.顶点在__圆心__的角叫做圆心角,能够重合的圆叫做__等圆__;能够__重合__的弧叫做等弧;圆绕其圆心旋转任意角度都能够与原来的图形重合,这就是圆的__旋转性__.
2.在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧__相等__,所对的弦也__相等__.
3.在同圆或等圆中,两个__圆心角__,两条__弦__,两条__弧__中有一组量相等,它们所对应的其余各组量也相等.
4.在⊙O中,AB,CD是两条弦,
(1)如果AB=CD,那么__=,__∠AOB=∠COD__;
- 27 -
(2)如果=,那么__AB=CD__,__∠AOB=∠COD;
(3)如果∠AOB=∠COD,那么__AB=CD__,=__.
二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(6分钟)
1.如图,AD是⊙O的直径,AB=AC,∠CAB=120°,根据以上条件写出三个正确结论.(半径相等除外)
(1)__△ACO_≌_△ABO__;
(2)__AD垂直平分BC__;
(3)=.
2.如图,在⊙O中,=,∠ACB=60°,求证:∠AOB=∠BOC=∠AOC.
证明:∵=,∴AB=AC.
又∵∠ACB=60°,
∴△ABC为等边三角形,
∴AB=AC=BC,
∴∠AOB=∠BOC=∠AOC.
,第2题图) ,第3题图)
3.如图,(1)已知=.求证:AB=CD.
(2)如果AD=BC,求证:=.
证明:(1)∵=,
∴+=+,
∴=,∴AB=CD.
(2)∵AD=BC,
∴=,
∴+=+,即=.
- 27 -
一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(7分钟)
1.⊙O中,一条弦AB所对的劣弧为圆周的,则弦AB所对的圆心角为__90°__.
点拨精讲:整个圆周所对的圆心角即以圆心为顶点的周角.
2.在半径为2的⊙O中,圆心O到弦AB的距离为1,则弦AB所对的圆心角的度数为__120°__.
3.如图,在⊙O中,=,∠ACB=75°,求∠BAC的度数.
解:30°.
,第3题图) ,第4题图)
4.如图,AB,CD是⊙O的弦,且AB与CD不平行,M,N分别是AB,CD的中点,AB=CD,那么∠AMN与∠CNM的大小关系是什么?为什么?
点拨精讲:(1)OM,ON具备垂径定理推论的条件.
(2)同圆或等圆中,等弦的弦心距也相等.
解:∠AMN=∠CNM.
∵AB=CD,M,N为AB,CD中点,
∴OM=ON,OM⊥AB,ON⊥CD,
∴∠OMA=∠ONC,∠OMN=∠ONM,
∴∠OMA-∠OMN=∠ONC-∠ONM.
即∠AMN=∠CNM.
二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(10分钟)
1.如图,AB是⊙O的直径,==,∠COD=35°,求∠AOE的度数.
解:75°.
,第1题图) ,第2题图)
2.如图所示,CD为⊙O的弦,在CD上截取CE=DF,连接OE,OF,它们的延长线交⊙O于点A,B.
(1)试判断△OEF的形状,并说明理由;
(2)求证:=.
解:(1)△OEF为等腰三角形.
理由:过点O作OG⊥CD于点G,
则CG=DG.∵CE=DF,
- 27 -
∴CG-CE=DG-DF.
∴EG=FG.∵OG⊥CD,
∴OG为线段EF的垂直平分线.
∴OE=OF,
∴△OEF为等腰三角形.
(2)证明:连接AC,BD.
由(1)知OE=OF,
又∵OA=OB,
∴AE=BF,∠OEF=∠OFE.
∵∠CEA=∠OEF,∠DFB=∠OFE,
∴∠CEA=∠DFB.
在△CEA与△DFB中,
AE=BF,∠CEA=∠BFD,CE=DF,
∴△CEA≌△DFB,∴AC=BD,∴=.
点拨精讲:(1)过圆心作垂径;(2)连接AC,BD,通过证弦等来证弧等.
3.已知:如图,AB是⊙O的直径,M,N是AO,BO
的中点.CM⊥AB,DN⊥AB,分别与圆交于C,D点.求证:=.
证明:连接AC,OC,OD,BD.
∵M,N为AO,BO中点,
∴OM=ON,AM=BN.
∵CM⊥AB,DN⊥AB,
∴∠CMO=∠DNO=90°.
在Rt△CMO与Rt△DNO中,
OM=ON,OC=OD,
∴Rt△CMO≌Rt△DNO.
∴CM=DN.在Rt△AMC和Rt△BND中,
AM=BN,∠AMC=∠BND,CM=DN,
∴△AMC≌△BND.
∴AC=BD.∴=.
点拨精讲:连接AC,OC,OD,BD,构造三角形.
学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)
圆心角定理是圆中证弧等、弦等、弦心距等、圆心角等的常用方法.
学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)
24.1.4 圆周角
- 27 -
1.理解圆周角的定义,会区分圆周角和圆心角.
2.能在证明或计算中熟练运用圆周角的定理及其推论.
重点:圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题.
难点:运用数学分类思想证明圆周角的定理.
一、自学指导.(10分钟)
自学:阅读教材P85~87,完成下列问题.
归纳:
1.顶点在__圆周__上,并且两边都与圆__相交__的角叫做圆周角.
2.在同圆或等圆中,__等弧__或__等弦__所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的__圆心角__的一半.
3.在同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也__相等__.
4.半圆(或直径)所对的圆周角是__直角__,90°的圆周角所对的弦是__直径__.
5.圆内接四边形的对角__互补__.
二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(8分钟)
1.如图所示,点A,B,C,D在圆周上,∠A=65°,求∠D的度数.
解:65°.
,第1题图) ,第2题图)
2.如图所示,已知圆心角∠BOC=100°,点A为优弧上一点,求圆周角∠BAC的度数.
解:50°.
3.如图所示,在⊙O中,∠AOB=100°,C为优弧AB的中点,求∠CAB的度数.
解:65°.
,第3题图) ,第4题图)
4.如图所示,已知AB是⊙O的直径,∠BAC=32°,D是AC的中点,那么∠DAC的度数是多少?解:29°.
一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(7分钟)
1.如图所示,点A,B,C在⊙O上,连接OA,OB,若∠ABO=25°,则∠C=__65°__.
- 27 -
,第1题图) ,第2题图)
2.如图所示,AB是⊙O的直径,AC是弦,若∠ACO=32°,则∠COB= __64°__.
3.如图,⊙O的直径AB为10 cm,弦AC为6 cm,∠ACB的平分线交⊙O于D,求BC,AD,BD的长.
解:∵AB为直径,∴∠ACB=90°.
∴BC==8 (cm).
∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠BCD,
∴AD=BD.由AB为直径,知AD⊥BD,
∴△ABD为等腰直角三角形,
∴AD2+BD2=2AD2=2BD2=AB2,
∴AD=5 cm,BD=5 cm.
点拨精讲:由直径产生直角三角形,由相等的圆周角产生等腰三角形.
二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(8分钟)
1.如图所示,OA为⊙O的半径,以OA为直径的⊙C与⊙O的弦AB相交于点D,若OD=5 cm,则BE=__10_cm__.
点拨精讲:利用两个直径构造两个垂直,从而构造平行,产生三角形的中位线.
,第1题图) ,第2题图)
2.如图所示,点A,B,C在⊙O上,已知∠B=60°,则∠CAO=__30°__.
3.OA,OB,OC都是⊙O的半径,∠AOB=2∠BOC.求证:∠ACB=2∠BAC.
证明:∵∠AOB是劣弧所对的圆心角,
∠ACB是劣弧所对的圆周角,
∴∠AOB=2∠ACB.
同理∠BOC=2∠BAC,∵∠AOB=2∠BOC,∴∠ACB=2∠BAC.
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点拨精讲:看圆周角一定先看它是哪条弧所对圆周角,再看所对的圆心角.
4.如图,在⊙O中,∠CBD=30°,∠BDC=20°,求∠A.
解:∠A=50°
点拨精讲:圆内接四边形的对角互补.
学生总结本堂课的收获与困惑.(2分钟)
圆周角的定义、定理及推论.
学习至此,请使用本课时对应训练部分.(10分钟)
24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
1. 结合实例,理解平面内点与圆的三种位置关系.
2.理解不在同一直线上的三个点确定一个圆并掌握它的运用.
3.了解三角形的外接圆和三角形外心的概念.
4.了解反证法的证明思想.
重点:点和圆的位置关系;不在同一直线上的三个点确定一个圆及它们的运用.
难点:反证法的证明思路.
一、自学指导.(10分钟)
自学:阅读教材P92~94.
归纳:
1.设⊙O的半径为r,点P到圆心的距离OP=d,则有:点P在圆外⇔__d>r__;点P在圆上⇔__d=r__ ;点P在圆内⇔__d<r__ .
2.经过已知点A可以作__无数__个圆,经过两个已知点A,B可以作__无数__个圆;它们的圆心__在线段AB的垂直平分线__上;经过不在同一条直线上的A,B,C三点可以作__一个__圆.
3.经过三角形的__三个顶点__的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心是三角形的三条边__垂直平分线__的交点,叫做这个三角形的外心.
任意三角形的外接圆有__一个__,而一个圆的内接三角形有__无数个__.
4.用反证法证明命题的一般步骤:
①反设:__假设命题结论不成立__;
②归缪:__从假设出发,经过推理论证,得出矛盾__;
③下结论:__由矛盾判定假设不成立,从而肯定命题成立__.
二、自学检测:学生自主完成,小组内展示,点评,教师巡视.(6分钟)
1.在平面内,⊙O的半径为5 cm,点P到圆心的距离为3 cm,则点P与⊙O的位置关系是点__P在圆内__.
2.在同一平面内,一点到圆上的最近距离为2,最远距离为10,则该圆的半径是__
- 27 -
4或6__.
3.△ABC内接于⊙O,若∠OAB=28°,则∠C的度数是__62°或118°__.
一、小组合作:小组讨论交流解题思路,小组活动后,小组代表展示活动成果.(7分钟)
1.经过同一条直线上的三个点能作出一个圆吗?
(用反证法证明)
2.在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,AB=10,CD是斜边AB上的中线,以AC为直径作⊙O,设线段CD的中点为P,则点P与⊙O的位置关系是怎样的?
点拨精讲:利用数量关系证明位置关系.
3.如图,⊙O的半径r=10,圆心O到直线l的距离OD=6,在直线l上有A,B,C三点,AD=6,BD=8,CD=9,问A,B,C三点与⊙O的位置关系是怎样的?
点拨精讲:垂径定理和勾股定理的综合运用.
4.用反证法证明“同位角相等,两直线平行”.
二、跟踪练习:学生独立确定解题思路,小组内交流,上台展示并讲解思路.(10分钟)
1.已知⊙O的半径为4,OP=3.4,则P在⊙O的__内部__.
2.已知点P在⊙O的外部,OP=5,那么⊙O的半径r满足__0
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