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- 2021-11-11 发布
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21.3 第1课时 用一元二次方程解决传播问题
01 基础题
知识点1 传播问题
1.某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮感染后会有81台电脑被感染,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑,则x满足的方程是(B)
A.1+x2=81 B.(1+x)2=81
C.1+x+x2=81 D.1+x+(1+x)2=81
2.(大同一中期末)有一人患了流感,经过两轮传染后共有100人患了流感,每轮传染中平均一个人传染的人数x满足的方程为(A)
A.1+x+x(1+x)=100
B.x(1+x)=100
C.1+x+x2=100
D.x2=100
3.某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干、小分支的总数是111.求每个支干长出多少个小分支?
解:设每个支干长出x个小分支,根据题意,得
1+x+x2=111.
解得x1=10,x2=-11(舍去).
5
答:每个支干长出10个小分支.
知识点2 握手问题
4.新年里,一个小组有若干人,若每人给小组的其他成员赠送一张贺年卡,则全组送贺卡共72张,此小组人数为(C)
A.7 B.8
C.9 D.10
5.某市体育局要组织一次篮球赛,赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场),计划安排28场比赛,应邀请多少支球队参加比赛?学习以下解答过程,并完成填空.
解:设应邀请x支球队参赛,则每队共打(x-1)场比赛,比赛总场数用代数式表示为x(x-1).
根据题意,可列出方程x(x-1)=28.
整理,得x2-x-56=0.
解得x1=8,x2=-7.
合乎实际意义的解为x=8.
答:应邀请8支球队参赛.
6.一条直线上有n个点,共形成了45条线段,求n的值.
解:由题意,得n(n-1)=45.
解得n1=10,n2=-9(舍去).
答:n等于10.
知识点3 数字问题
7.一个两位数,个位数字比十位数字少1,且个位数字与十位数字的乘积等于72,则这个两位数是98.
8.若两个连续整数的积是56,则它们的和是±15.
9.一个两位数,个位数字比十位数字大3,且个位数字的平方刚好等于这个两位数,求这个两位数是多少?
解:设这个两位数的个位数字为x,则十位数字为(x-3),由题意,得
x2=10(x-3)+x.
5
解得x1=6,x2=5.
当x=6时,x-3=3;
当x=5时,x-3=2.
答:这个两位数是36或25.
02 中档题
10.某航空公司有若干个飞机场,每两个飞机场之间都开辟一条航线,一共开辟了10条航线,则这个航空公司共有飞机场(B)
A.4个 B.5个
C.6个 D.7个
11.在一次商品交易会上,参加交易会的每两家公司之间都要签订一份合同,会议结束后统计共签订了78份合同,问有多少家公司出席了这次交易会?
解:设有x家公司出席了这次交易会,根据题意,得x(x-1)=78.
解得x1=13,x2=-12(舍去).
答:有13家公司出席了这次交易会.
12.如图是某月的日历表,在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6,7,8,13,14,15,20,21,22).若圈出的9个数中,最大数与最小数的积为192,则这9个数的和是多少?
解:设最小数为x,则最大数为x+16,根据题意,得x(x+16)=192.
解得x1=8,x2=-24(舍去).
故这9个数为8,9,10,15,16,17,22,23,24.
所以这9个数的和为8+9+10+15+16+17+22+23+24=144.
5
13.(襄阳中考)有一人患了流感,经过两轮传染后共有64人患了流感.
(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人?
(2)如果不及时控制,第三轮将又有多少人被传染?
解:(1)设每轮传染中平均一个人传染了x人,则
1+x+x(x+1)=64.
解得x1=7,x2=-9(舍去).
答:每轮传染中平均一个人传染了7个人.
(2)64×7=448(人).
答:第三轮将又有448人被传染.
03 综合题
14.(1)6位新同学参加夏令营,大家彼此握手,互相介绍自己,这6位同学共握手多少次?小莉是这样思考的:每一位同学要与其他5位同学握手5次,6位同学握手5×6=30次,但每两位同学握手2次,因此这6位同学共握手15次.依此类推,12位同学彼此握手,共握手66次;
(2)我们经常会遇到与上面类似的问题,如:2条直线相交,最多只有1个交点;3条直线相交,最多有3个交点;…;求20条直线相交,最多有多少个交点?
(3)在上述问题中,分别把人、线看成是研究对象,两人握手、两线相交是研究对象间的一种关系,要求的握手总次数、最多交点数就是求所有对象间的不同关系总数.它们都是满足一种相同的模型.请结合你学过的数学知识和生活经验,编制一个符合上述模型的问题;
(4)请运用解决上述问题的思想方法,探究一个多边形的对角线的条数可能为20条吗?一个多边形的对角线的条数可能为28条吗?
解:(2)每一条直线最多与其他19条直线相交,20条直线相交有20×19=380个交点,但每两条直线相交2次,因此这20条直线相交,最多有=190个交点.
(3)答案不唯一,如:现有12个乒乓球队参加乒乓球循环赛(每个队都要与其他队比赛1场),共需比赛多少场?
(4)若这个n边形的对角线条数为20条,则有
5
=20.
解得n1=8,n2=-5(舍去).
故一个多边形的对角线的条数可能是20条.
若这个n边形的对角线条数为28条,则有
=28.
整理,得n2-3n-56=0.
因为Δ=32+4×1×56=233,
所以n=.
因为为无理数,而对角线的条数是有理数,
所以不存在一个多边形的对角线的条数为28条.
5