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- 2021-11-11 发布
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第2课时 切线的判定和性质
01 教学目标
1.探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系.
2.能判定一条直线是否为圆的切线;会过圆上一点画圆的切线.
3.会运用圆的切线的性质与判定来解决相关问题.
02 预习反馈
阅读教材P97~98,完成下列问题.
1.切线的判定定理:经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
2.切线的性质:①切线和圆只有一个公共点;②切线到圆心的距离等于半径;③圆的切线垂直于过切点的半径.
3.当已知一条直线是某圆的切线时,切点的位置是确定的,辅助线常常是连接圆心和切点,得到半径,那么半径垂直于切线.
03 新课讲授
例 (教材P98例1)如图,△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,腰AB与⊙O相切于点D,求证:AC是⊙O的切线.
【思路点拨】 根据切线的判定定理,要证明AC是⊙O的切线,只要证明由点O向AC所作的垂线段OE是⊙O的半径就可以了,而OD是⊙O的半径,因此需要证明OE=OD.
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【解答】 证明:过点O作OE⊥AC,垂足为E,连接OD,OA.
∵⊙O与AB相切于点D,
∴OD⊥AB.
又△ABC为等腰三角形,O是底边BC的中点,
∴AO是∠BAC的平分线.
∴OE=OD,即OE是⊙O的半径.
这样,AC经过⊙O的半径OE的外端E,并且垂直于半径OE,所以AC与⊙O相切.
【方法归纳】 在解决有关圆的切线问题时,常常需要作过切点的半径.
【跟踪训练1】 (24.2.2第2课时习题)如图,AB为⊙O的直径,点E在⊙O上,C为的中点,过点C作直线CD⊥AE于D,连接AC.试判断直线CD与⊙O的位置关系,并说明理由.
解:直线CD与⊙O相切,理由:
连接OC.
∵C为的中点,∴=.
∴∠DAC=∠BAC.
∵OA=OC,
∴∠BAC=∠OCA.
∴∠DAC=∠OCA.∴OC∥AD.
∵AD⊥CD,∴OC⊥CD.
又∵OC为⊙O的半径,
∴CD是⊙O的切线.
【跟踪训练2
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】 如图,AB是⊙O的直径,BC切⊙O于B,AC交⊙O于P,E是BC边上的中点,连接PE,则PE与⊙O相切吗?若相切,请加以证明,若不相切,请说明理由.
解:相切.
证明:连接OP,BP,则OP=OB.
∴∠OBP=∠OPB.
∵AB为直径,
∴BP⊥PC.
在Rt△BCP中,E为斜边中点,
∴PE=BC=BE.∴∠EBP=∠EPB.
∴∠OBP+∠EBP=∠OPB+∠EPB,
即∠OBE=∠OPE.
∵BE为切线,∴AB⊥BC.
∴OP⊥PE.
又∵OP为⊙O的半径,
∴PE是⊙O的切线.
04 巩固训练
1.在正方形ABCD中,点P是对角线AC上的任意一点(不包含端点),以P为圆心的圆与AB相切,则AD与⊙P的位置关系是(B)
A.相离 B.相切 C.相交 D.不能确定
2.如图,A,B是⊙O上的两点,AC是过点A的一条直线,如果∠AOB=120°,那么当∠CAB的度数等于60°时,AC才能成为⊙O的切线.
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3.如图,AB是⊙O的直径,点D在AB的延长线上,DC切⊙O于C.若∠A=25°,则∠D=40°.
4.如图,在△ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O交BC于点D,交AB于点E,过点D作DF⊥AB,垂足为F,连接DE.求证:直线DF与⊙O相切.
证明:连接OD.∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵OD=OC,∴∠ODC=∠C.
∴∠ODC=∠B.∴OD∥AB.
∵DF⊥AB,∴OD⊥DF.
又∵点D在⊙O上,
∴直线DF与⊙O相切.
05 课堂小结
1.有圆的切线时,常常连接圆心和切点得切线垂直于半径;
2.“连半径证垂直”与“作垂直证半径”——判定直线与圆相切.
①当直线与圆有公共点时,只需“连半径、证垂直”即可;
②当已知条件中没有指出圆与直线有公共点时,常运用“d=r”进行判断,辅助线的作法是过圆心作已知直线的垂线,证明垂线段的长等于半径.
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