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- 2021-11-11 发布
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课时作业(十二)
[第二章 2 第4课时 二次函数y=ax2+bx+c的图象与性质]
一、选择题
1.2018·浦东新区一模如果二次函数y=ax2+bx+c的图象全部在x轴的下方,那么下列判断正确的是( )
A.a<0,b<0 B.a>0,b<0
C.a<0,c>0 D.a<0,c<0
2.2017·宁波镇海区期末点(-1,y1),(1,y2),(4,y3)都在抛物线y=-x2+4x+m上,则y1,y2,y3的大小关系是( )
A.y1<y2<y3 B.y3<y2<y1
C.y3<y1<y2 D.y1<y3<y2
3.已知抛物线y=x2-2mx-4(m>0)的顶点M关于坐标原点O的对称点为M′,若点M′在这条抛物线上,则点M的坐标为( )
A.(1,-5) B.(3,-13)
C.(2,-8) D.(4,-20)
4.一次函数y=ax+b和反比例函数y=在同一平面直角坐标系中的图象如图K-12-1所示,则二次函数y=ax2+bx+c的图象大致为( )
图K-12-1
图K-12-2
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5.2017·天津红桥区期末已知二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点(-2,0),(x1,0),且1<x1<2,与y轴的正半轴的交点在点(0,2)的下方,则下列结论:①a<b<c;②2a+c>0;③4a+c<0;④2a-b+1>0.其中正确结论的个数为( )
A.1 B.2 C.3 D.4
二、填空题
6.当二次函数y=x2+4x+9取最小值时,x的值为________.
7.某市政府大楼前广场上有一喷水池,水从地面喷出,喷出水的路径是一条抛物线.如果以水平地面为x轴,建立如图K-12-3所示的平面直角坐标系,水在空中划出的曲线是抛物线y=-x2+4x(单位:米)的一部分,则水喷出的最大高度是________米.
图K-12-3
8.如图K-12-4,已知关于x的二次函数y=x2+bx+c的图象经过点(-1,0),(1,-2),当y随x的增大而增大时,x的取值范围是________.
图K-12-4
9.如图K-12-5,在平面直角坐标系中,△OAB的顶点A,B的坐标分别为(4,0),(4,n),若经过点O,A的抛物线y=-x2+bx+c的顶点C落在边OB上,则图中阴影部分的面积为________.
图K-12-5
三、解答题
10.2017·苏州期末已知二次函数y=-2x2+4x+6.
(1)求出该函数图象的顶点坐标、对称轴及图象与x轴、y轴的交点坐标,并在如图K-12-6所示的网格图中画出这个函数的大致图象;
(2)利用函数图象回答:
①当x在什么范围内时,y随x的增大而增大?当x在什么范围内时,y随x的增大而减小?
②当x在什么范围内时,y>0?
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图K-12-6
11.已知函数y=4x2-mx+5,当x>-2时,y随x的增大而增大;当x<-2时,y随x的增大而减小.求当x=1时,y的值.
12.抛物线y=ax2+bx+c向右平移2个单位长度得到抛物线y=a(x-3)2-1,且平移后的抛物线经过点A(2,1).
(1)求平移后的抛物线的函数表达式;
(2)设原抛物线与y轴的交点为B,顶点为P,平移后的抛物线的对称轴与x轴交于点M,求△BPM的面积.
13.2017·通州区一模在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=x2-2mx+m2-m+2的顶点为D.线段AB的两个端点分别为A(-3,m),B(1,m).
(1)求点D的坐标(用含m的代数式表示);
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(2)若该抛物线经过点B(1,m),求m的值;
(3)若线段AB与该抛物线只有一个公共点,结合函数的图象,求m的取值范围.
新定义若二次函数的二次项系数为1,则此二次函数可表示为y=x2+px+q,我们称[p,q]为此函数的特征数,如函数y=x2+2x+3的特征数是[2,3].
(1)若一个函数的特征数为[-2,1],求此函数图象的顶点坐标.
(2)探究下列问题:
①若一个函数的特征数为[4,-1],将此函数的图象先向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度,求得到的图象对应的函数的特征数;
②若一个函数的特征数为[2,3],则此函数的图象经过怎样的平移,才能使得到的图象对应的函数的特征数为[3,4]?
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详解详析
【课时作业】
[课堂达标]
1.[解析] D ∵二次函数y=ax2+bx+c的图象全部在x轴的下方,∴a<0,<0,∴a<0,c<0,故选D.
2.[解析] D ∵y=-x2+4x+m=-(x-2)2+4+m,∴抛物线的对称轴为直线x=2.∵a=-1<0,∴抛物线开口向下,且当x<2时,y随x的增大而增大,当x>2时,y随x的增大而减小.∵2-(-1)=3,2-1=1,4-2=2,∴y1,y2,y3的大小关系是y1<y3<y2.故选D.
3.[解析] C 先利用配方法求得点M的坐标,然后利用关于原点的对称点的特点得到点M′的坐标,最后将点M′的坐标代入抛物线的表达式求解即可.
∵y=x2-2mx-4=x2-2mx+m2-m2-4=(x-m)2-m2-4,
∴M(m,-m2-4),
∴M′(-m,m2+4).
∵点M′在这条抛物线上,
∴m2+2m2-4=m2+4,解得m=±2.
∵m>0,∴m=2,∴M(2,-8).
故选C.
4.[答案] C
5.[解析] D ①∵图象与x轴的两交点为(-2,0),(x1,0),且1<x1<2,对称轴x==-,则-<-<0,且a<0,∴a<b<0,由抛物线与y轴的正半轴的交点在点(0,2)的下方,得00,
故只需满足当x=1时,y′=m2-4m+3≤0,
解得1≤m≤3.
故m的取值范围是1≤m≤3.
[素养提升]
解:(1)由题意,得y=x2-2x+1=(x-1)2,
∴特征数为[-2,1]的函数图象的顶点坐标为(1,0).
(2)①特征数为[4,-1]的函数为y=x2+4x-1,即y=(x+2)2-5,
∵函数图象先向右平移1个单位长度,再向上平移1个单位长度得到的图象的函数表达式为y=(x+2-1)2-5+1,即y=x2+2x-3,
∴得到的图象对应的函数的特征数为[2,-3].
②∵特征数为[2,3]的函数的表达式为y=x2+2x+3,即y=(x+1)2+2,
特征数为[3,4]的函数的表达式为y=x2+3x+4,即y=(x+)2+,
∴所求平移过程为:先向左平移个单位长度,再向下平移个单位长度(平移方法不唯一).
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