2020年辽宁省朝阳市中考数学试卷【含答案；word版本试题；可编辑】 13页

‎2020年辽宁省朝阳市中考数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）‎ ‎1. ‎-‎‎7‎的绝对值是（ ）‎ A.‎-‎‎7‎ B.‎7‎ C.‎7‎ D.‎‎±‎‎7‎ ‎2. 如图所示的主视图对应的几何体是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎3. 下列运算正确的是（ ）‎ A.a‎3‎‎⋅‎a‎2‎＝a‎6‎ B.‎(‎a‎3‎‎)‎‎2‎＝a‎5‎ C.‎2a‎3‎÷‎a‎2‎＝‎2a D.‎2x+3x＝‎‎5‎x‎2‎ ‎4. 计算‎12‎‎-‎12‎×‎‎1‎‎4‎的结果是（ ）‎ A.‎0‎ B.‎3‎ C.‎3‎‎3‎ D.‎‎1‎‎2‎ ‎5. 某品牌衬衫进价为‎120‎元，标价为‎240‎元，商家规定可以打折销售，但其利润率不能低于‎20%‎，则这种品牌衬衫最多可以打几折？（ ）‎ A.‎8‎ B.‎6‎ C.‎7‎ D.‎‎9‎ ‎6. 某书店与一山区小学建立帮扶关系，连续‎6‎个月向该小学赠送书籍的数量分别如下（单位：本）：‎300‎，‎200‎，‎200‎，‎300‎，‎300‎，‎500‎这组数据的众数、中位数、平均数分别是（ ）‎ A.‎300‎，‎150‎，‎300‎ B.‎300‎，‎200‎，‎‎200‎ C.‎600‎，‎300‎，‎200‎ D.‎300‎，‎300‎，‎‎300‎ ‎7. 如图，四边形ABCO是矩形，点D是BC边上的动点（点D与点B、点C不重合），则‎∠BAD+∠DOC‎∠ADO的值为（ ）‎ A.‎1‎ B.‎1‎‎2‎ C.‎2‎ D.无法确定 ‎8. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=‎4‎‎3‎x+4‎的图象与x轴、y轴分别相交于点B，点A，以线段AB为边作正方形ABCD，且点C在反比例函数y=kx(x<0)‎的图象上，则k的值为（ ）‎ A.‎-12‎ B.‎-42‎ C.‎42‎ D.‎‎-21‎ ‎9. 某体育用品商店出售毽球，有批发和零售两种售卖方式，小明打算为班级购买键球，如果给每个人买一个毽球，就只能按零售价付款，共需‎80‎元；如果小明多购买‎5‎个毽球，就可以享受批发价，总价是‎72‎元．已知按零售价购买‎40‎个毽球与按批发价购买‎50‎个毽球付款相同，则小明班级共有多少名学生？设班级共有x名学生，依据题意列方程得（ ）‎ A.‎50×‎80‎x=‎72‎x+5‎×40‎ B.‎‎40×‎80‎x=‎72‎x+5‎×50‎ C.‎40×‎72‎x-5‎=‎80‎x×50‎ D.‎‎50×‎72‎x-5‎=‎80‎x×40‎ ‎10. 如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在BC边上，且CE＝‎2BE，连接AE交BD于点G，过点B作BF⊥AE于点F，连接OF并延长，交BC于点M，过点O作OP⊥OF交DC于占N，S四边形MONC‎=‎‎9‎‎4‎，现给出下列结论：①GEAG‎=‎‎1‎‎3‎；②sin∠BOF=‎‎3‎‎10‎‎10‎；③OF=‎‎3‎‎5‎‎5‎；④OG＝‎BG ‎ 13 / 13‎ ‎；其中正确的结论有（ ）‎ A.①②③ B.②③④ C.①②④ D.①③④‎ 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．只需要将结果直接填写在答题卡对应题号处的横线上，不必写出解答过程，不填、错填，一律得0分）‎ ‎11. 在全国上下众志成城抗XXX、保生产、促发展的关键时刻，三峡集团‎2‎月‎24‎日宣布：在广东、江苏等地投资‎580‎亿元，开工建设‎25‎个新能源项目，预计提供‎17‎万个就业岗位将“‎580‎亿元”用科学记数法表示为________元．‎ ‎12. 临近中考，报考体育专项的同学利用课余时间紧张地训练，甲、乙两名同学最近‎20‎次立定跳远成绩的平均值都是‎2.58m，方差分别是：S‎2‎‎=0.075‎，S‎2‎‎=0.04‎，这两名同学成绩比较稳定的是________（填“甲”或“乙”）．‎ ‎13. 已知关于x、y的方程‎2x+y=2a+1‎x+2y=5-5a‎ ‎的解满足x+y＝‎-3‎，则a的值为________．‎ ‎14. 抛物线y＝‎(k-1)x‎2‎-x+1‎与x轴有交点，则k的取值范围是________‎≤‎‎5‎‎4‎且________‎≠1‎ ．‎ ‎15. 如图，点A，B，C是‎⊙O上的点，连接AB，AC，BC，且‎∠ACB＝‎15‎‎∘‎，过点O作OD // AB交‎⊙O于点D，连接AD，BD，已知‎⊙O半径为‎2‎，则图中阴影面积为________．‎ ‎16. 如图，动点P从坐标原点‎(0, 0)‎出发，以每秒一个单位长度的速度按图中箭头所示方向运动，第‎1‎秒运动到点‎(1, 0)‎，第‎2‎秒运动到点‎(1, 1)‎，第‎3‎秒运动到点‎(0, 1)‎，第‎4‎秒运动到点‎(0, 2)‎…则第‎2068‎秒点P所在位置的坐标是________．‎ 三、解答题（本大题共9小题，共72分，解答应写出必要的步骤、文字说明或证明过程）‎ ‎17. 先化简，再求值：‎(x-1‎x+1‎+1)÷‎x‎3‎‎-2x‎2‎+xx‎2‎‎-1‎，其中x=‎3‎+1‎．‎ ‎ 13 / 13‎ ‎18. 如图所示的平面直角坐标系中，‎△ABC的三个顶点坐标分别为A(-3, 2)‎，B(-1, 3)‎，C(-1, 1)‎，请按如下要求画图：‎ ‎（1）以坐标原点O为旋转中心，将‎△ABC顺时针旋转‎90‎‎∘‎，得到‎△‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎，请画出‎△‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎；‎ ‎（2）以坐标原点O为位似中心，在x轴下方，画出‎△ABC的位似图形‎△‎A‎2‎B‎2‎C‎2‎，使它与‎△ABC的位似比为‎2:1‎．‎ ‎19. 由于XXX的影响，学生不能返校上课，某校在直播授课的同时还为学生提供了四种辅助学习方式：A网上自测，B网上阅读，C网上答疑，D网上讨论．为了解学生对四种学习方式的喜欢情况，该校随机抽取部分学生进行问卷调查，规定被调查学生从四种方式中选择自己最喜欢的一种，根据调查结果绘制成如图两幅不完整的统计图：‎ 根据统计图提供的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）本次共调查了________名学生；‎ ‎（2）在扇形统计图中，m的值是________，D对应的扇形圆心角的度数是________；‎ ‎（3）请补全条形统计图；‎ ‎（4）若该校共有‎2000‎名学生，根据抽样调查的结果，请你估计该校最喜欢方式D的学生人数．‎ ‎ 13 / 13‎ ‎20. 某校准备组建“校园安全宣传队”，每班有两个队员名额，七年‎2‎班有甲、乙、丙、丁四位同学报名，这四位同学综合素质都很好，王老师决定采取抽签的方式确定人选．具体做法是：将甲、乙、丙、丁四名同学分别编号为‎1‎、‎2‎、‎3‎、‎4‎号，将号码分别写在‎4‎个大小、质地、形状、颜色均无差别的小球上，然后把小球放入不透明的袋子中，充分搅拌均匀后，王老师从袋中随机摸出两个小球，根据小球上的编号确定本班“校园安全宣传员”人选．‎ ‎（1）用画树状图或列表法，写出“王老师从袋中随机摸出两个小球”可能出现的所有结果．‎ ‎（2）求甲同学被选中的概率．‎ ‎21. 为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东‎30‎‎∘‎方向，C在A的南偏西‎15‎‎∘‎方向‎(30+30‎3‎)km处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是‎40km/h，第二组乘公交车，速度是‎30km/h，两组同学到达目的地分别用了多长时间？哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．‎ ‎22. 如图，以AB为直径的‎⊙O经过‎△ABC的顶点C，过点O作OD // BC交‎⊙O于点D，交AC于点F，连接BD交AC于点G，连接CD，在OD的延长线上取一点E，连接CE，使‎∠DEC＝‎∠BDC．‎ ‎ 13 / 13‎ ‎（1）求证：EC是‎⊙O的切线；‎ ‎（2）若‎⊙O的半径是‎3‎，DG⋅DB＝‎9‎，求CE的长．‎ ‎23. 某公司销售一种商品，成本为每件‎30‎元，经过市场调查发现，该商品的日销售量y（件）与销售单价x（元）是一次函数关系，其销售单价、日销售量的三组对应数值如下表：‎ 销售单价x（元）‎ ‎40‎ ‎60‎ ‎80‎ 日销售量y（件）‎ ‎80‎ ‎60‎ ‎40‎ ‎（1）直接写出y与x的关系式________；‎ ‎（2）求公司销售该商品获得的最大日利润；‎ ‎（3）销售一段时间以后，由于某种原因，该商品每件成本增加了‎10‎元，若物价部门规定该商品销售单价不能超过a元，在日销售量y（件）与销售单价x（元）保持（1）中函数关系不变的情况下，该商品的日销售最大利润是‎1500‎元，求a的值．‎ ‎24. 如图，在Rt△ABC中，‎∠BAC＝‎90‎‎∘‎，AB＝AC，M是AC边上的一点，连接BM，作AP⊥BM于点P，过点C作AC的垂线交AP的延长线于点E．‎ ‎（1）如图‎1‎，求证：AM＝CE；‎ ‎ 13 / 13‎ ‎（2）如图‎2‎，以AM，BM为邻边作平行四边形AMBG，连接GE交BC于点N，连接AN，求GEAN的值；‎ ‎（3）如图‎3‎，若M是AC的中点，以AB，BM为邻边作平行四边形AGMB，连接GE交BC于点M，连接AN，经探究发现NCBC‎=‎‎1‎‎8‎，请直接写出GEAN的值．‎ ‎25. 如图，抛物线y=-‎1‎‎2‎x‎2‎+bx+c与x轴交于点A，点B，与y轴交于点C，抛物线的对称轴为直线x＝‎-1‎，点C坐标为‎(0, 4)‎．‎ ‎（1）求抛物线表达式；‎ ‎（2）在抛物线上是否存在点P，使‎∠ABP＝‎∠BCO，如果存在，求出点P坐标；如果不存在，请说明理由；‎ ‎（3）在（2）的条件下，若点P在x轴上方，点M是直线BP上方抛物线上的一个动点，求点M到直线BP的最大距离；‎ ‎（4）点G是线段AC上的动点，点H是线段BC上的动点，点Q是线段AB上的动点，三个动点都不与点A，B，C重合，连接GH，GQ，HQ，得到‎△GHQ，直接写出‎△GHQ周长的最小值．‎ ‎ 13 / 13‎ 参考答案与试题解析 ‎2020年辽宁省朝阳市中考数学试卷 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的）‎ ‎1.C ‎2.B ‎3.C ‎4.B ‎5.B ‎6.D ‎7.A ‎8.D ‎9.B ‎10.D 二、填空题（本大题共6个小题，每小题3分，共18分．只需要将结果直接填写在答题卡对应题号处的横线上，不必写出解答过程，不填、错填，一律得0分）‎ ‎11.‎‎5.8×‎‎10‎‎10‎ ‎12.乙 ‎13.‎‎5‎ ‎14.k,‎k ‎15.‎π‎3‎ ‎16.‎‎(45, 43)‎ 三、解答题（本大题共9小题，共72分，解答应写出必要的步骤、文字说明或证明过程）‎ ‎17.‎‎(x-1‎x+1‎+1)÷‎x‎3‎‎-2x‎2‎+xx‎2‎‎-1‎ ‎=x-1+(x+1)‎x+1‎÷‎x(x-1‎‎)‎‎2‎‎(x+1)(x-1)‎ ‎=‎2xx+1‎⋅‎‎(x+1)(x-1)‎x‎(x-1)‎‎2‎ ‎=‎‎2‎x-1‎‎，‎ 当x=‎3‎+1‎时，原式‎=‎2‎‎3‎‎+1-1‎=‎‎2‎‎3‎‎3‎．‎ ‎18.如图，‎△‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎即为所求．‎ 如图，‎△‎A‎2‎B‎2‎C‎2‎即为所求．‎ ‎19.‎‎50‎ ‎10‎‎,‎‎72‎‎∘‎ ‎50-20-15-10‎‎＝‎5‎（人）；‎ ‎ 13 / 13‎ ‎2000×‎10‎‎50‎=400‎‎（人）．‎ 答：该校最喜欢方式D的学生约有‎400‎人．‎ ‎20.‎(1‎，‎ ‎(1‎‎,‎(1)(2‎,‎(2)(2‎,‎(3)(2‎,‎(4)(3‎,‎(5)(3‎,‎(6)(3‎,‎(7)(4‎,‎(8)(4‎,‎(9)(4‎,（10）‎ 所有可能出现的结果共有‎12‎种，每种结果出现的可能性相同 ‎((11)‎所有可能出现的结果共有‎12‎种，甲被选中的结果共有‎6‎种，‎ ‎∴ P‎()‎‎=‎6‎‎12‎=‎‎1‎‎2‎．‎ ‎21.第一组用时‎1.5‎小时，第二组用时‎2‎小时，第二组先到达目的地 ‎22.证明：如图，连接OC，‎ ‎∵ AB是直径，‎ ‎∴ ‎∠ACB＝‎90‎‎∘‎，‎ ‎∵ OD // BC，‎ ‎∴ ‎∠CFE＝‎∠ACB＝‎90‎‎∘‎，‎ ‎∴ ‎∠DEC+∠FCE＝‎90‎‎∘‎，‎ ‎∵ ‎∠DEC＝‎∠BDC，‎∠BDC＝‎∠A，‎ ‎∴ ‎∠DEC＝‎∠A，‎ ‎∵ OA＝OC，‎ ‎∴ ‎∠OCA＝‎∠A，‎ ‎∴ ‎∠OCA＝‎∠DEC，‎ ‎∵ ‎∠DEC+∠FCE＝‎90‎‎∘‎，‎ ‎∴ ‎∠OCA+∠FCE＝‎90‎‎∘‎，即‎∠OCE＝‎90‎‎∘‎，‎ ‎∴ OC⊥CE，‎ 又∵ OC是‎⊙O的半径，‎ ‎∴ CE是‎⊙O切线．‎ 由（1）得‎∠CFE＝‎90‎‎∘‎，‎ ‎∴ OF⊥AC，‎ ‎∵ OA＝OC，‎ ‎∴ ‎∠COF＝‎∠AOF，‎ ‎∴ CD‎=‎AD，‎ ‎∴ ‎∠ACD＝‎∠DBC，‎ 又∵ ‎∠BDC＝‎∠BDC，‎ ‎∴ ‎△DCG∽△DBC，‎ ‎∴ DCDB‎=‎DGDC，‎ ‎∴ DC‎2‎＝DG⋅DB＝‎9‎，‎ ‎∴ DC＝‎3‎，‎ ‎∵ OC＝OD＝‎3‎，‎ ‎∴ ‎△OCD是等边三角形，‎ ‎ 13 / 13‎ ‎∴ ‎∠DOC＝‎60‎‎∘‎，‎ 在Rt△OCE中tan60=‎CEOC，‎ ‎∴ ‎3‎‎=‎CE‎3‎，‎ ‎∴ CE=3‎‎3‎．‎ ‎23.y＝‎‎-x+120‎ 设公司销售该商品获得的日利润为w元，‎ w‎＝‎(x-30)y＝‎(x-30)(-x+120)‎＝‎-x‎2‎+150x-3600‎＝‎-(x-75‎)‎‎2‎+2025‎，‎ ‎∵ x-30≥0‎，‎-x+120≥0‎，‎ ‎∴ ‎30≤x≤120‎，‎ ‎∵ a＝‎-1<0‎，‎ ‎∴ 抛物线开口向下，函数有最大值，‎ ‎∴ 当x＝‎75‎时，w最大＝‎2025‎，‎ 答：当销售单价是‎75‎元时，最大日利润是‎2025‎元．‎ w‎＝‎(x-30-10)(-x+120)‎＝‎-x‎2‎+160x-4800‎＝‎-(x-80‎)‎‎2‎+1600‎，‎ 当w最大＝‎1500‎时，‎-(x-80‎)‎‎2‎+1600‎＝‎1500‎，‎ 解得x‎1‎＝‎70‎，x‎2‎＝‎90‎，‎ ‎∵ ‎40≤x≤a，‎ ‎∴ 有两种情况，‎ ‎①a<80‎时，在对称轴左侧，w随x的增大而增大，‎ ‎∴ 当x＝a＝‎70‎时，w最大＝‎1500‎，‎ ‎②a≥80‎时，在‎40≤x≤a范围内w最大＝‎1600≠1500‎，‎ ‎∴ 这种情况不成立，‎ ‎∴ a＝‎70‎．‎ ‎24.证明：∵ AP⊥BM，‎ ‎∴ ‎∠APB＝‎90‎‎∘‎，‎ ‎∴ ‎∠ABP+∠BAP＝‎90‎‎∘‎，‎ ‎∵ ‎∠BAP+∠CAE＝‎90‎‎∘‎，‎ ‎∴ ‎∠CAE＝‎∠ABP，‎ ‎∵ CE⊥AC，‎ ‎∴ ‎∠BAM＝‎∠ACE＝‎90‎‎∘‎，‎ ‎∵ AB＝AC，‎ ‎∴ ‎△ABM≅△CAE(ASA)‎，‎ ‎∴ CE＝AM；‎ 过点E作CE的垂线交BC于点F，‎ ‎∴ ‎∠FEC＝‎90‎‎∘‎，‎ ‎∵ AB＝AC，‎∠BAC＝‎90‎‎∘‎，‎ ‎∴ ‎∠ACB＝‎∠ABC＝‎45‎‎∘‎，‎ ‎∵ ‎∠ACE＝‎90‎‎∘‎，‎ ‎∴ ‎∠FCE＝‎45‎‎∘‎，‎ ‎∴ ‎∠CFE＝‎∠FCE＝‎45‎‎∘‎，‎ ‎∴ CE＝EF，‎∠EFN＝‎135‎‎∘‎，‎ ‎∴ 四边形AMBG是平行四边形，‎ ‎∴ AM＝BG，‎∠ABG＝‎∠BAC＝‎90‎‎∘‎，‎ ‎∴ ‎∠GBN＝‎∠ABG+∠ABC＝‎135‎‎∘‎，‎ ‎∴ ‎∠GBN＝‎∠EFN，‎ 由（1）得‎△ABM≅△CAE，‎ ‎∴ AM＝CE，‎ ‎∴ BG＝CE＝EF，‎ ‎∵ ‎∠BNG＝‎∠FNE，‎ ‎∴ ‎△GBN≅△EFN(AAS)‎，‎ ‎∴ GN＝EN，‎ ‎ 13 / 13‎ ‎∵ AG // BM，‎ ‎∴ ‎∠GAE＝‎∠BPE＝‎90‎‎∘‎，‎ ‎∴ AN=‎1‎‎2‎GE，‎ ‎∴ GEAN‎=2‎；‎ 如图，延长GM交BC于F，连接AF，‎ 在平行四边形ABMG中，AB // GM，‎△ABM≅△MGA，‎ ‎∴ ‎∠AMG＝‎∠BAC＝‎90‎‎∘‎，‎ ‎∴ ‎∠GMC＝‎∠ACE＝‎90‎‎∘‎，‎ ‎∴ GF // CE，‎ ‎∵ AM＝MC，‎ ‎∴ BF＝CF，‎ ‎∵ AB＝AC，‎ ‎∴ AF⊥BC,AF=‎1‎‎2‎BC，‎ ‎∵ CNBC‎=‎‎1‎‎8‎，‎ 设CN＝x，则BC＝‎8x，AF＝FC＝‎4x，FN＝‎3x，‎ ‎∴ Rt△AFN,AN=AF‎2‎+FN‎2‎=5x，‎ 在Rt△ABM中，‎ AB=‎2‎‎2‎BC=‎2‎‎2‎×8x=4‎2‎x‎，AM=‎1‎‎2‎AB=2‎2‎x，‎ ‎∴ BM=AB‎2‎+AM‎2‎=‎(4‎2‎x)‎‎2‎‎+‎‎(2‎2‎x)‎‎2‎=2‎10‎x，‎ ‎∴ AG=BM=2‎10‎x，‎ 由（1）知‎△ABM≅△CAE，‎ ‎∴ ‎△CAE≅△MGA，‎ ‎∴ AE＝AG，‎ 在Rt△AEG中，EG=AE‎2‎+AG‎2‎=‎2‎AG=‎2‎×2‎10‎x=4‎5‎x，‎ ‎∴ GEAN‎=‎4‎5‎x‎5x=‎‎4‎‎5‎‎5‎．‎ ‎25.∵ 抛物线对称轴为x＝‎-1‎，‎ ‎∴ ‎-b‎2×(-‎1‎‎2‎)‎=-1‎，‎ ‎∴ b＝‎-1‎，‎ 将‎(0, 4)‎代入y=-‎1‎‎2‎x‎2‎-x+c中，‎ ‎∴ c＝‎4‎，‎ ‎∴ y=-‎1‎‎2‎x‎2‎-x+4‎．‎ 如图‎1‎中，作PE⊥x轴于点E．‎ ‎ 13 / 13‎ ‎∵ ‎∠ABP＝‎∠BCO，‎∠PEB＝‎∠BOC＝‎90‎‎∘‎，‎ ‎∴ ‎△PEB∽△BOC，‎ ‎∴ PEBE‎=OBOC=‎‎1‎‎2‎（此处也可以由等角的正切值相等得到），‎ 设P(m,-‎1‎‎2‎m‎2‎-m+4)‎，则PE＝‎|-‎1‎‎2‎m‎2‎-m+4|‎，BE＝‎2-m，‎ ‎①当点P在x轴上方时：‎-‎1‎‎2‎m‎2‎-m+4‎‎2-m‎=‎‎1‎‎2‎，‎ 解得m‎1‎＝‎-3‎，m‎2‎＝‎2‎（不符题意，舍），‎ ‎②当点P在x轴下方时：‎1‎‎2‎m‎2‎‎+m-4‎‎2-m‎=‎‎1‎‎2‎，‎ 解得m‎1‎＝‎-5‎，m‎2‎＝‎2‎（不符题意，舍），‎ ‎∴ P(-3,‎5‎‎2‎)‎或P(-5,-‎7‎‎2‎)‎．‎ 作MF⊥x轴于点F，交BP于点R，作MN⊥BP于点N．‎ ‎∵ y=-‎1‎‎2‎x‎2‎-x+4=-‎1‎‎2‎(x+4)(x-2)‎，‎ ‎∴ A(-4, 0)‎，B(2, 0)‎，‎ 设yBP＝kx+‎b‎1‎，‎ 将P(-3,‎5‎‎2‎),(2,0)‎代入得解得k=-‎1‎‎2‎,b‎1‎=1‎，‎ ‎∴ yBP‎=-‎1‎‎2‎x+1‎，‎ 设M(a,-‎1‎‎2‎a‎2‎-a+4)‎，则R(a,-‎1‎‎2‎a+1)‎，‎ ‎∴ MR=(-‎1‎‎2‎a‎2‎-a+4)-(-‎1‎‎2‎a+1)=-‎1‎‎2‎a‎2‎-‎1‎‎2‎a+3‎，‎ ‎∵ ‎∠MNR＝‎∠RFB＝‎90‎‎∘‎，‎∠NRM＝‎∠FRB，‎ ‎∴ ‎△MNR∽△BFR，‎ ‎∴ NRMN‎=‎RFFB，‎ ‎∵ tan∠ABP=‎1‎‎2‎=RFFB=‎NRMN，‎ 在Rt△MNR中NR:MN:MR＝‎1:2:‎‎5‎，‎ ‎∴ MNMR‎=‎2‎‎5‎=‎‎2‎‎5‎‎5‎，‎ ‎∴ MN=-‎5‎‎5‎a‎2‎-‎5‎‎5‎a+‎6‎‎5‎‎5‎=-‎5‎‎5‎(a+‎1‎‎2‎‎)‎‎2‎+‎‎5‎‎5‎‎4‎，‎ 当a=-‎‎1‎‎2‎时，MN最大为‎5‎‎5‎‎4‎．‎ ‎ 13 / 13‎ 作Q点关于AC的对称点Q‎1‎，作Q关于CB的对称点Q‎2‎，连接Q‎1‎Q‎2‎与AC于G‎1‎，与CB交于点H‎1‎，连接QQ‎1‎交AC于J，连接QQ‎2‎交CB于K，此时‎△QG‎1‎H‎1‎的周长最小，这个最小值＝QQ‎2‎．‎ ‎∵ QJ＝JQ‎1‎，QK＝KQ‎2‎，‎ ‎∴ Q‎1‎Q‎2‎＝‎2JK，‎ ‎∴ 当JK最小时，Q‎1‎Q‎2‎最小，如图‎2‎中：‎ ‎∵ ‎∠CJQ＝‎∠CKQ＝‎90‎‎∘‎，‎ ‎∴ C、J、Q、K四点共圆，线段CQ就是圆的直径，JK是弦，‎ ‎∵ ‎∠JCK是定值，‎ ‎∴ 直径CQ最小时，弦JK最小，‎ ‎∴ 当点Q与点O重合时，CQ最小，此时JK最小，如图‎3‎中：‎ ‎∵ 在Rt△COA中，‎∠COA＝‎90‎‎∘‎，CO＝‎4‎，AO＝‎4‎，‎ ‎∴ AC=AO‎2‎+CO‎2‎=‎4‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎=4‎‎2‎，‎ ‎∵ Rt△COB，‎∠COB＝‎90‎‎∘‎，BO＝‎2CB=CO‎2‎+BO‎2‎=‎4‎‎2‎‎+‎‎2‎‎2‎=2‎‎5‎，‎ ‎∵ OJ⊥AC，OK⊥CB，‎ ‎∴ ‎1‎‎2‎CB⋅OK=‎1‎‎2‎OC⋅OB，‎ ‎∴ OK=‎‎4‎‎5‎‎5‎，‎ ‎∴ CN=CO‎2‎-OK‎2‎=‎4‎‎2‎‎-(‎4‎‎5‎‎5‎)‎=‎‎8‎‎5‎‎5‎，‎ ‎∵ ‎∠JCO＝‎∠OCA，‎∠CJO＝‎∠COA，‎ ‎∴ ‎△CJO∽△COA，‎ ‎∴ CJCO‎=‎COCA，‎ ‎∴ CO‎2‎＝CJ⋅CA，同理可得：CO‎2‎＝CK⋅CB，‎ ‎∴ CJ⋅CA＝CK⋅CB，‎ ‎∴ CJCB‎=‎CKCA，‎ ‎∵ ‎∠JCK＝‎∠BCA，‎ ‎∴ ‎△CJK∽△CBA，‎ ‎∴ JKBA‎=‎CKCA，‎ ‎ 13 / 13‎ ‎∴ JK‎6‎‎=‎‎8‎‎5‎‎5‎‎4‎‎2‎，‎ ‎∴ JK=‎‎6‎‎10‎‎5‎，‎ ‎∴ ‎△QGH周长的最小值＝Q‎1‎Q‎2‎＝‎2JK=‎6‎‎10‎‎5‎×2=‎‎12‎‎10‎‎5‎．‎ ‎ 13 / 13‎