2013~14学年上海市崇明县初三第一学期期末考试数学试卷 9页

2013~14 学年上海市崇明县初三第一学期期末考试数学试卷 （满分：150 分 考试时间：100 分钟） 考生注意： 1、本试卷含有三个大题，共 25 小题； 2、答题时，考生务必按照答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题 一律无效； 3、除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或 计算的主要步骤. 一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确项的代号并填涂在答题 纸的相应位置上】 1、已知 1 2 a b  ，那么 a ab 的值是（ ） A、 1 2 B、 2 3 C、 1 3 D、 3 4 2、在 Rt△ABC 中，∠C＝90°， B  ，AB＝a，那么 BC 的长为（ ） A、 sina  B、 cosa  C、 cos a  D、 tana  3、如果两个相似三角形的面积比为1: 2 ，那么它们的周长比为（ ） A、1: 2 B、1: 4 C、1: 2 D、 2:1 4、平面直角坐标系中，将抛物线 22yx 向下平移 2 个单位，那么所得抛物线的解析式为（ ） A、 222yxB、 222yxC、  222yxD、  222yx 5、如图，已知 AD∥BC，AC 与 BD 相交于点 O，点 G 是 BD 的中点，过点 G 作 GE∥BC 交 AC 于点 E，如果 AD＝1，BC＝3，那么 GE:BC 等于（ ） A、1: 2B、1:3 C、1: 4D、 2:3 第5题图 O G D B C A E 第6题图 O AP 6、如图，点 O 在 A 外，点 P 在线段 OA 上运动，以 OP 为半径的 O 与 的位置关系 不可能是（ ）[来源:学科网] A、外切 B、相交 C、外离 D、内含 二、填空题：（本大题共 12 题，每小题 4 分，满分 48 分） 7、化简：    3 2 2a b a b    _______________. 8、线段 AB＝10cm，点 P 是线段 AB 的黄金分割点，且 AP＞BP，那么 AP＝____________cm。 9、如果抛物线   21 2 3y k x x    的开口向上，那么 k 的取值范围是_____________。 10、抛物线 2 45y x x   的对称轴是直线__________________。 11、在中国地理地图册上，联结上海、香港、台湾三地组成一个三角形，用刻度尺测得它们 之间的距离如图所示，飞机从台湾直飞上海的距离约为 1290 千米，那么飞机从台湾绕道香 港再飞到上海的飞行距离约为______________千米。 5.4cm 3.6cm 3cm 香港 台湾 上海 第11题图 第15题图 D C A B 第16题图 C B A 12、在△ABC 中，若中线 AD 和中线 CE 相交于点 G，且 GC＝6，那么 EC＝__________。 13、在 O 中，OC⊥弦 AB 于点 C，AB＝4，OC＝1，那么 OB 的长是__________。 14、正多边形的一个外角等于 20°，那么这个正多边形的边数是_________. 15、如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为 D，若 AC＝2，AB＝3，那么cos BCD 的值为________。 16、河堤横断面如图所示，堤高 BC 为 4 米，迎水坡 AB 的坡比为1: 3 ，那么 AB 的长为____ 米。 17、根据三角形外心的概念，我们可引入如下一个新定义： 定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心。 根据准外心的定义，探究如下问题：如图，在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，BC＝10，AB＝6， 如果准外心 P 在边 AC 上，那么 PA 的长为_________. 第17题图 A B C 第18题图 E B' O A B A' 18、如图，在△AOB 中，已知∠AOB＝90°，AO＝3，BO＝6，将△AOB 绕顶点 O 逆时针 旋转到△A＇OB＇处，此时线段 A＇B＇与 BO 的交点 E 为 BO 的中心，那么线段 B＇E 的长 度为_______。 三、解答题：（本大题共 7 小题，满分 78 分） 19、（本题满分 10分） 计算： tan 60 cot 45 sin 60 cot 302cos30    20、（本题满分 10 分，每小题 5 分） 如图，D、E 是△ABC 边 AB 上的点，F、G分别是边 AC、BC 上的点，且满足 AD＝DE＝EB， DF∥BC，EG∥AC。 （1）求证：FG∥AB； （2）设 CA a ， CB b ，请用向量 a 、 b 表示向量GF 。 第20题图 G FD E A B C 21、（本题满分 10 分，每小题 5 分） 如图，已知△ABC 是等边三角形，AB＝6，点 D 在 AC 上，AD＝2CD，CM 是∠ACB 的外角 平分线，联结 BD 并延长与 CM 交于点 E。 （1）求 CE 的长； （2）求∠EBC 的正切值。 第21题图 ED B C A M 22、（ 本题满分 10 分） 在数学活动课上，九年级（1）班数学兴趣小组的同学们测量校园内一棵大树（如图）的高 度，涉及的方案及测量数据如下： （1）在大树前的平地上选择一点 A，测得由点 A 看大树顶端 C 的仰角为 35°； （2）在点 A 和大树之间选择一点 B（A、B、D 在同一直线上），测得由点 B 看大树顶端 C 的仰角恰好为 45°； （3）量出 A、B 两点之间的距离为 4.5 米。 请你根据以上数据求出大树 CD 的高度。（结果精确到 0.1） （参考数据：sin35 ≈0.57， cos35 ≈0.82， tan35 ≈0.70） 第22题图 BD A C 23、（本题满分 12 分，其中第 1 小题 5 分，第 2 小题 7 分） 如图，△ABC 中，点 D、E 分别在 BC 和 AC 边上，点 G 是 BE 边上一点，且∠BAD＝∠BGD ＝∠C，联结 AG。 （1）求证： BD BC BG BE   ； （2）求证：∠BGA＝∠BAC。 B CA D E G 24、（本题满分 12 分，每小题各 4 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线 2y x bx c   与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧）， 点 B 的坐标为 3,0 ，与 y 轴交于点  0,3C ，顶点为 D。 （1）求抛物线的解析式及顶点 D 坐标； （2）联结 AC、BC，求∠ACB 的正切值； （3）点 P 是抛物线的对称轴上一点，当△PBD 与△CAB 相似时，求点 P 坐标。 [来源:Zxxk.Com] 25、（本题满分 14 分，其中第 1、2 小题各 5 分，第 3 小题 4 分） 如图，在△ABC 中，AB＝8，BC＝10， 3cos 4C  ， 2ABC C   ，BD 平分∠ABC 交 AC 边 于点 D，点 E 是 BC 边上的一个动点（不与 B、C 重合），F 是 AC 边上一点，且∠AEF＝∠ ABC，AE 与 BD 相交于点 G。[来源:学科网 ZXXK] （1）求证： AB BG CE CF ； （2）设 BE＝x，CF＝y，求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出 x 的取值范围； （3）当△AEF 是以 AE 为腰的等腰三角形时，求 BE 的长。 G F D A B CE 2013~14 学年上海市崇明县初三第一学期期末考试数学试卷参考答案 一、选择题 1、C 2、B 3、C 4、A 5、B 6、D 二、填空题 7、 4a+ b 8、5 5 5 9、 1k  10、 2x  11、3870 12、 9 13、 5 14、 18 15、 2 3 16、8 17、4 或 7 4 18、 95 5 三、解答题 19、解：原式 3 1 3 3 1312 2 232 2         [来源:学科网 ZXXK] 20、（ 1）证明：∵ AD DE EB∴ 11 33 AD BE AB AB ∵DF∥BC，EG∥AC ∴ 1 3 AF AD AC AB， 1 3 BG BE BC AB ∴ AF BG AC BC ∴FG∥AB （2）解：∵DF∥BC ∴ 2 3 CF BD AC BA ∵GF∥AB ∴ 2 3 FG CF AB AC ∴ 2 3FG AB ∵ GF 与 BA 同向 ∴ 2 3GF BA ∵CA a ，CB b ∴ BA a b ∴ 22 33GF a b 21、（ 1）解：在 BC 延长线上取一点 F，∵△ABC 是等边三角形 ∴ 60ABC ACB     ， 6AB AC， 120ACF   ∵CM 是 ACB 的外角平分线∴ 1 602ECF ACF     ∴ ECF ABC   ∴CE∥AB ∴ CE CD AB AD 又∵ 2AD CD ， 6AB  ∴ 1 62 CE  ∴ 3CE  （2）过点 E 作 EH BC ，垂足为 H ∵ 60ECF   ， 90EHC  ， 3CE  ∴ 3 2CH  ， 33 2EH  又∵ 6BC  ， ∴ 15 2BH BC CH   ∵ 90EHB  ∴ 3tan 5 EHEBC BH   22、解：由题意得， 35A   ， 45CBD  ， 90CDB   ， 4.5AB  米 设 CD 的长为 x 米， 在 Rt△CDB 中， tan 1CDCBD DB   ∴ BD CD x[来源:学。科。网 Z。X。X。K] 在 Rt△CDA 中， tan 0.7CDA AD∴ 0.7CD AD ∴  0.7 4.5xx∴ 10.5x  答：大树 CD 的高为10.5 米。 23、（ 1）证明：∵ BDG EBC   BGD C   ∴△BDG∽△BEC ∴ BD BG BE BC ∴ BD BC BG BE   （2）证明：∵ DBA ABC   ， BAD C   ∴△DBA∽△ABC ∴ BD AB AB BC ∴ 2AB BD BC ∵ ∴ 2AB BG BE∴ BG AB AB BE ∵ GBA ABE   ∴△GBA∽△ABE ∴ BGA BAC   24、（ 1）抛物线 2y x bx c   过点  3,0B ，  0,3C ∴ 9 3 0 3 bc c      ∴ 4 3 b c    ∴ 2 43y x x   ∴顶点 D 的坐标为 2, 1 （2）∵抛物线 2 43y x x   与 x 轴交于点 A、B（A 在 B 的左侧） ∴  1,0A 又∵  0,0O ，  0,3C ，  3,0B ∴ 3BO CO ∵ 90COB   ∴ 45 , 3 2OBC BC    过点 A 作 AH BC ，垂足为 H，∴ 90AHB   ∵ 2AB  ∴ 2AH BH∴ 22CH BC BH   ∴ 21tan 222 AHACB CH    （3）∵抛物线 2 43y x x   的对称轴为直线 2x  点 P 是抛物线对称轴上一点， ∴可设点 P 的坐标为 2,n 把对称轴直线 与 x 轴的交点记为 E，则点 E 的坐标为 2,0 ∵  2, 1D  ，  3,0B ∴ 1, 2DE BE BD   ∵ 90BED   ∴ 45EDB EBD     ∴ 45CBO BDE     ∴当△PBD 与△CAB 相似时，点 P 在点 D 的上方，并存在以下两种情况： 1° BD BA DP BC ∴ 22 1 32n  ∴ 2n  ∴  2,2P 2° BD BC DP BA ∴ 2 3 2 12n  ∴ 1 3n  ∴ 12, 3P 综上所述，当△PBD 与△CAB 相似时，点 或 。 25、（ 1）证明：∵BD 平分 ABC ∴ 2ABC ABD   ∵ 2ABC C   ∴ ABD C   ∵ AEC ABC BAE     即 AEF FEC ABC BAE       ∵ AEF ABC   ∴ BAE FEC   ∴△ABG∽△ECF∴ AB BG CE CF （2）过点 A 作 BC 的平行线交 BD 的延长线于点 M ∵AM∥BC ∴∠M＝∠DBC ∵∠ABD＝∠DBC ∴∠M＝∠ABD∴AM＝AB＝8 过点 A 作 AN MB ，垂足为 N ∵ 3,cos ,4ABD C C AB AC     ∴ 6, 12BN MN BM   ∵AM∥BC ∴ AM MG BE BG ∴ 8 12 BG x BG  ∴ 12 8 xBG x  ∵ AB BG CE CF ∴ 12 8 8 10 x x xy  ∴   230 3 0 102 16 xxyxx    （3）当△AEF 是以 AE 为腰的等腰三角形时存在以下两种情况： 1° AE AF ，则 AEF AFE   易证明 FE FC y， 又∵ 3cos 4C  易得 3 2EC y ， 又∵ 10EC x ∴ 20 2 3 xy  又∵ 230 3 2 16 xxy x   解得  126.4 , 10xx舍去 即 BE 的长为 6.4 2° EA EF 作线段 CF 的垂直平分线交 BC 于点 H，交 FC 于点 K，联结 HF 则易证△ABE≌△EHF，HF＝HC ∴ 8,AB EH BE FH HC x     ∴ 2 8 10x  ∴ 1x  即 BE 的长为 1 综上所述，当△AEF 是以 AE 为腰的等腰三角形时，BE 的长为 6.4 或 1。