初中数学中考复习课件章节考点专题突破：第五章 图形性质1 第21讲特殊三角形 47页

人教 数 学 第五章　图形的性质 ( 一 ) 第 21 讲　特殊三角形 要点梳理 1 ． 等腰三角形 (1) 性质： 相等 ， 相等 ， 底边上的高线、中线、顶角的角平分线 “ 三线合一 ” ； (2) 判定：有两边相等、两角相等或两线合一的三角形是等腰三角形． 两腰 两底角 要点梳理 2 ． 等边三角形 (1) 性质： 相等 ， 三内角都等于 ； (2) 判定：三边相等、三内角相等或有一个角是 60° 的等腰三角形是等边三角形． 三边 60 ° 要点梳理 3 ． 直角三角形 在 △ ABC 中 ， ∠ C ＝ 90°. (1) 性质：边与边的关系 ( 勾股定理 ) ： a 2 ＋ b 2 ＝ ； (2) 角与角的关系： ∠ A ＋ ∠ B ＝ ； 90 ° c 2 要点梳理 ( 3 ) 边与角的关系：若 ∠ A ＝ 30 ° ， 则 a ＝ 1 2 c ， b ＝ 3 2 c ； 若 a ＝ 1 2 c ， 则 ∠ A ＝ 30 ° ； 若 ∠ A ＝ 45 ° ， 则 a ＝ b ＝ 2 2 c ； 若 a ＝ 2 2 c ， 则 ∠ A ＝ 45 ° ； 斜边上的中线 m ＝ 1 2 c ＝ R ( 其中 R 为三角形外接圆的半 径 ) ． 要点梳理 (4) 判定：有一个角是直角的三角形是直角三角形；如果三角形的三边长 a ， b ， c 满足 a 2 ＋ b 2 ＝ c 2 ， 那么这个三角形是直角三角形；如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半 ， 那么这个三角形是直角三角形． 一个方法 面积法：用面积法证题是常用的技巧方法之一 ， 使用这种方法时一般是利用某个图形的多种面积求法或面积之间的和差关系列出等式 ， 从而得到要证明的结论． 两个特殊角：在直角三角形中斜边上中线等于斜边的一半 ， 同时这条中线将直角三角形分成了两个等腰三角形 ， 这一特征在解题中时有运用；在直角三角形中 ， 含锐角 30° 、 45° 这两类是较为特殊的 ， 它们的边、角有一些特殊的数量关系 ， 应该熟记在心． 三个防范 (1) 在解有关等腰三角形的问题时 ， 有一种习惯上的认识 ， 总认为腰大于底 ， 这是造成错解的原因．实际上底也可以大于腰 ， 此时也能构成三角形． (2) 有关等腰三角形的问题 ， 若条件中没有明确底和腰时 ， 一般应从某一边是底还是腰这两个方面进行讨论 ， 还要特别注意构成三角形的条件；同时 ， 在底角没有被指定的等腰三角形中 ， 应就某角是顶角还是底角进行讨论．注意运用分类讨论的方法 ， 将问题考虑全面 ， 不能想当然． (3) 在已知三角形三边的前提下 ， 判断这个三角形是否为直角三角形 ， 首先要确定三条边中的最大边 ， 再根据勾股定理的逆定理来判定．在解题时 ， 往往受思维定式的影响 ， 误认为如果是直角三角形 ， 则 c 就是斜边 ， 从而造成误解． 1 ． ( 2014 · 苏州 ) 如图， 在 △ ABC 中 ， 点 D 在 BC 上 ， AB ＝ AD ＝ DC ， ∠ B ＝ 80° ， 则 ∠ C 的度数为 ( ) A ． 30° 　　　　　　 B ． 40° C ． 45° D ． 60° B 2 ． ( 2014· 黔南州 ) 如图 ， 在 △ ABC 中 ， ∠ ACB ＝ 90 ° ， BE 平分 ∠ ABC ， ED ⊥ AB 于 D. 如果 ∠ A ＝ 30 ° ， AE ＝ 6 cm ， 那么 CE 等于 ( ) A. 3 cm B ． 2 cm C ． 3 cm D ． 4 cm C 3 ． ( 2014 · 玉林 ) 在等腰 △ ABC 中 ， AB ＝ AC ， 其周长为 20 cm ， 则 AB 边的取值范围是 ( ) A ． 1 cm ＜ AB ＜ 4 cm B ． 5 cm ＜ AB ＜ 10 cm C ． 4 cm ＜ AB ＜ 8 cm D ． 4 cm ＜ AB ＜ 10 cm B 4 ． ( 2014 · 扬州 ) 如图 ， 已知 ∠ AOB ＝ 60° ， 点 P 在边 OA 上 ， OP ＝ 12 ， 点 M ， N 在边 OB 上 ， PM ＝ PN ， 若 MN ＝ 2 ， 则 OM ＝ ( ) A ． 3 B ． 4 C ． 5 D ． 6 C 5 ． ( 2014 · 无锡 ) 已知 △ ABC 的三条边长分别为 3 ， 4 ， 6 ， 在 △ ABC 所在平面内画一条直线 ， 将 △ ABC 分割成两个三角形 ， 使其中的一个是等腰三角形 ， 则这样的直线最多可画 ( ) A ． 6 条 B ． 7 条 C ． 8 条 D ． 9 条 B 等腰三角形有关边角的讨论 【 例 1】 　 (1)( 2014 · 盐城 ) 若等腰三角形的顶角为 40° ， 则它的底角度数为 ( ) A ． 40° 　 B ． 50 ° 　 C ． 60° 　 D ． 70° (2) ( 2014 · 潍坊 ) 等腰三角形一条边的边长为 3 ， 它的另两条边的边长是关于 x 的一元二次方程 x 2 － 12 x ＋ k ＝ 0 的两个根 ， 则 k 的值是 ( ) A ． 27 B ． 36 C ． 27 或 36 D ． 18 D B 【 点评 】 　在等腰三角形中 ， 如果没有明确底边和腰 ， 某一边可以是底 ， 也可以是腰．同样 ， 某一角可以是底角也可以是顶角 ， 必须仔细分类讨论． 1 ． (1) ( 2014 · 宜昌 ) 如图 ， 在 △ ABC 中 ， AB ＝ AC ， ∠ A ＝ 30° ， 以 B 为圆心 ， BC 的长为半径圆弧 ， 交 AC 于点 D ， 连接 BD ， 则 ∠ ABD ＝ ( ) A ． 30° B ． 45° C ． 60° D ． 90° B (2) ( 2013 · 黔西南州 ) 如图 ， 已知 △ ABC 是等边三角形 ， 点 B ， C ， D ， E 在同一直线上 ， 且 CG ＝ CD ， DF ＝ DE ， 则 ∠ E ＝ 度． (3) ( 2013 · 白银 ) 等腰三角形的周长为 16 ， 其一边长为 6 ， 则另两边为 ． 15 6,4 或 5,5 等腰三角形的性质 【 例 2】 　 ( 2014 · 杭州 ) 在 △ ABC 中 ， AB ＝ AC ， 点 E ， F 分别在 AB ， AC 上 ， AE ＝ AF ， BF 与 CE 相交于点 P. 求证： PB ＝ PC ， 并直接写出图中其他相等的线段． 解：在 △ ABF 和 △ ACE 中 ， î ï í ï ì AB ＝ AC ， ∠ BAF ＝ ∠ CAE ， AF ＝ AE ， ∴△ ABF ≌△ ACE ( SAS ) ， ∴∠ ABF ＝ ∠ ACE ( 全等三角形的对应角相等 ) ， ∴ BF ＝ CE ( 全等三角形的对应边相等 ) ， ∵ AB ＝ AC ， AE ＝ AF ， ∴ BE ＝ CF ， 在 △ BEP 和 △ CFP 中 ， î ï í ï ì ∠ BPE ＝ ∠ CPF ， ∠ PBE ＝ ∠ PCF ， BE ＝ CF ， ∴△ BEP ≌△ CFP ( AAS ) ， ∴ PB ＝ PC ， ∵ BF ＝ CE ， ∴ PE ＝ PF ， ∴ 图中相等的线段为 PE ＝ PF ， BE ＝ CF ， BF ＝ CE 【 点评 】 　在证明线段相等时 ， 利用全等三角形的对应角相等向两腰转化构造等腰三角形是常用的解题方法之一． 2 ． ( 2012 · 肇庆 ) 如图 ， 已知 AC ⊥ BC ， BD ⊥ AD ， AC 与 BD 交于点 O ， AC ＝ BD. 求证： (1)BC ＝ AD ； (2) △ OAB 是等腰三角形． 解： ( 1 ) ∵ AC ⊥ BC ， BD ⊥ AD ， ∴∠ D ＝ ∠ C ＝ 90 ° ， 在 Rt △ ACB 和 Rt △ BDA 中 ， AB ＝ BA ， AC ＝ BD ， ∴△ ACB ≌△ BDA ( HL ) ， ∴ BC ＝ AD ( 2 ) 由 △ ACB ≌△ BDA 得 ∠ CAB ＝ ∠ DBA ， ∴△ OAB 是等腰三角形 等边三角形 【 例 3】 　 ( 2013 · 聊城 ) 如图 ，在等边 △ ABC 中， AB ＝ 6 ， D 是 BC 的中点，将 △ ABD 绕点 A 旋转后得到 △ ACE ，那么线段 DE 的长度为 ． 【 点评 】 　在解题的过程中要充分利用等边三角形特有的性质 ， 每个角都相等 ， 每条边都相等 ， 这可以让我们轻松找到证明全等所需的条件． 3 ． (1) ( 2014 · 益阳 ) 如图 ， 将等边 △ ABC 绕顶点 A 顺时针方向旋转 ， 使边 AB 与 AC 重合得 △ ACD ， BC 的中点 E 的对应点为 F ， 则 ∠ EAF 的度数是 ． 60 ° ( 2 ) ( 2012· 荆州 ) 如图 ， △ ABC 是等边三角形 ， P 是 ∠ ABC 的平分线 BD 上一点 ， PE ⊥ AB 于点 E ， 线段 BP 的垂直 平分线交 BC 于点 F ， 垂足为点 Q. 若 BF ＝ 2 ， 则 PE 的长 为 ( ) A ． 2 B ． 2 3 C. 3 D ． 3 C 直角三角形、勾股定理 【 例 4】 　 (1)( 2014 · 无锡 ) 如图 ， △ ABC 中， CD ⊥ AB 于 D ， E 是 AC 的中点．若 AD ＝ 6 ， DE ＝ 5 ，则 CD 的长等于 ． 8 (2) ( 2013 · 山西 ) 如图 ， 在矩形纸片 ABCD 中 ， AB ＝ 12 ， BC ＝ 5 ， 点 E 在 AB 上 ， 将 △ DAE 沿 DE 折叠 ， 使点 A 落在对角线 BD 上的点 A′ 处 ， 则 AE 的长为 ___ ． 【 点评 】 　在线段的长无法直接求出时 ， 可利用另一线段把这一线段表示出来 ， 然后利用勾股定理得到一个方程 ， 最后得解 ， 这是利用勾股定理解决线段长的常用方法． 4 ． (1) ( 2014 · 东营 ) 如图 ， 有两棵树 ， 一棵高 12 米 ， 另一棵高 6 米 ， 两树相距 8 米 ， 一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢 ， 问小鸟至少飞 行 米． 10 (2) ( 2013 · 绥化 ) 已知：如图在 △ ABC ， △ ADE 中 ， ∠ BAC ＝ ∠ DAE ＝ 90° ， AB ＝ AC ， AD ＝ AE ， 点 C ， D ， E 三点在同一条直线上 ， 连接 BD ， BE. 以下四个结论： ① BD ＝ CE ； ② BD ⊥ CE ； ③∠ ACE ＋ ∠ DBC ＝ 45° ； ④ BE 2 ＝ 2(AD 2 ＋ AB 2 ) ， 其中结论正确的有 ( ) A ． 1 个 B ． 2 个 C ． 3 个 D ． 4 个 试题　如图 ，在 △ ABC 的 AB ， AC 边的外侧作等边 △ ACE 和等边 △ ABF ， 连接 BE ， CF 相交于点 O . (1) 求证： CF ＝ BE ； (2) 连接 AO ， 则： ① AO 平分 ∠ BAC ； ② OA 平分 ∠ EOF ， 你认为正确的是 ______( 填 ① 或 ② ) ， 并证明你的结论． 审题视角 　 (1) 欲证明 CF ＝ BE ， 找 CF ， BE 所在的两个 △ ABE 与 △ AFC ， 证明 △ ABE ≌△ AFC ， 于是 CF ＝ BE ； (2) 证明 OA 平分 ∠ EOF ， 只要证 ∠ AOF ＝ ∠ AOE ， 或证点 A 到 OE ， OF 的距离相等；要证点 A 到 OE ， OF 的距离相等 ( 作 AP ⊥ OF ， AQ ⊥ OE ) ， 只要证 △ ABE ≌△ AFC ， 则由其对应高相等可证．可以利用全等三角形对应元素相等来实现证明 ， 或构造全等三角形、特殊三角形 ( 等腰三角形 ) 的两个底角相等来实现． 规范答题 解： (1) 证明： ∵△ ABF 和 △ ACE 是等边三角形 ， ∴ AB ＝ AF ， AC ＝ AE ， ∠ FAB ＝ ∠ EAC ＝ 60° ， ∴∠ FAB ＋ ∠ BAC ＝ ∠ EAC ＋ ∠ BAC ， 即 ∠ FAC ＝ ∠ BAE ， 在 △ ABE 与 △ AFC 中 ， AB ＝ AF ， ∠ BAE ＝ ∠ FAC ， AE ＝ AC ， ∴△ ABE ≌△ AFC (SAS) ， ∴ BE ＝ FC . (2) 证法一：如图 ① ， 连接 AO ， ∵△ ABE ≌△ AFC ， ∴∠ AFO ＝ ∠ ABO ， ∴ 四点 A ， O ， B ， F 共圆 ， ∴∠ AOF ＝ ∠ ABF ＝ 60° ， 同理 ∠ AOE ＝ 60° ， ∴ OA 平分 ∠ EOF ， ∵∠ AFO ≠∠ AEO ， ∴∠ NAO ≠∠ MAO ， ∴① 不正确 ， ② 正确． 证法二：如图 ① ， 作 AP ⊥ OF 于 P ， 作 AQ ⊥ OE 于 Q ， 易证： △ ABE ≌△ AFC (SAS) ， ∴ AP ＝ AQ ， ∴ 点 A 是 ∠ EOF 角平分线上的点 ， 故 OA 平分 ∠ EOF . 证法三：本题也可以在 BE 上截取 BG ＝ FO ， 如图 ② ， 证 △ AFO ≌△ ABG ， 则有 ∠ FOA ＝ ∠ BGA ， AO ＝ AG ， ∴∠ AOG ＝ ∠ AGO ， ∴∠ FOA ＝ ∠ AOG ， 即 AO 平分 ∠ FOE . 答题思路 第一步：通读问题 ， 根据问题选择合理的几何分析方法； 第二步： (1) 综合法 ( 由因导果 ) ：从命题的题设出发 ， 通过一系列的有关定理、公理、定义的运用 ， 逐步向前推进 ， 直到问题的解决； (2) 分析法 ( 执果索因 ) ， 从命题的结论考虑 ， 推敲使其成立需必备的条件 ， 然后再把条件看成要证的结论继续推敲 ， 如此逐步向上逆推 ， 直到已知的条件为止； (3) 两类结合法 ， 将分析法与综合法合并使用．比较起来 ， 分析法利于思考 ， 综合法宜于表达．因此 ， 在实际思考问题时 ， 可综合使用 ， 灵活处理 ， 以缩短题设与结论之间的距离 ， 直到完全沟通； 第三步：视问题需要 ， 添加合理的辅助线 ， 把已知与未知集中在一起； 第四步：从已知出发 ， 一步一步作推理 ， 使得问题得以证明； 第五步：反思回顾 ， 查看关键点、易错点 ， 完善解题步骤． 试题　在 △ ABC 中 ，高 AD 和高 BE 相交于 H ， 且 BH ＝ AC ， 求 ∠ ABC 的度数． 错解 解：如图 ① ， 在 Rt △ BHD 和 Rt △ ACD 中 ， ∠ C ＋ ∠ CAD ＝ 90° ， ∠ C ＋ ∠ HBD ＝ 90° ， ∴∠ HBD ＝ ∠ CAD . 又 ∵ BH ＝ AC ， ∴△ BHD ≌△ ACD ， ∴ BD ＝ AD . ∵∠ ADB ＝ 90° ， ∴∠ ABC ＝ 45°. 正解 解：这里的 ∠ ABC 有两种情况 ， ∠ ABC 是锐角 ( 图 ① ) 或 ∠ ABC 是钝角 ( 图 ② ) ．如图 ② ， 在 Rt △ BHD 和 Rt △ ACD 中 ， 易得 ∠ DCA ＝ ∠ DHB . 又 ∵ AC ＝ BH ， ∴△ DHB ≌△ DCA ， ∴ AD ＝ DB ， ∴∠ DBA ＝ 45° ， ∴∠ ABC ＝ 135°. 综上： ∠ ABC ＝ 45° 或 ∠ ABC ＝ 135°. 试题 已知 △ ABC 是等腰三角形 ， 由 A 所引 BC 边上的高 恰好等于 BC 边长的一半 ， 试求 ∠ BAC 的度数． 错解 解：如图 ③ ， ∵ AD ⊥ BC ， AD ＝ 1 2 BC ＝ BD ＝ CD ， ∴∠ BAD ＝ ∠ B ＝ ∠ C ＝ ∠ CAD ＝ 45 ° ， ∴∠ BAC ＝ 90 ° . 剖析 (1) 对于等腰三角形问题 ， 当给出的条件 ( 如边、角情况 ) 不明时 ， 一般要分情况逐一考察 ， 否则容易出现错解或漏解的错误． (2) 当顶角是锐角时 ， 腰上的高在三角形内；当顶角为直角时 ， 腰上的高与另一腰重合；当顶角为钝角时 ， 腰上的高在三角形外．这是在解与等腰三角形腰上的高有关的问题时 ， 应考虑的几个方面． 正解 解：题目中并没有指明 BC 是等腰 △ ABC 的底或腰 ． 当 BC 为底时 ， 可求得 ∠ BAC ＝ 90 ° ；当 BC 为腰时 ， 还应对 ∠ B 的大小进行讨论： ( 1 ) 当顶角 B 是锐角时 ， 如图 ④ ， ∵ AD ＝ 1 2 BC ＝ 1 2 AB ， AD ⊥ BC ， ∴∠ B ＝ 30 ° ， 从 而 ∠ BAC ＝ ∠ C ＝ 75 ° . ( 2 ) 当顶角 B 为直角时 ， 高 AD 和腰 AB 重合 ， 与已知矛盾 ， 故 ∠ B ≠ 90 ° . ( 3 ) 当顶角 B 为钝角时 ， 如图 ⑤ ， ∵ AD ＝ 1 2 BC ＝ 1 2 AB ， AD ⊥ BC ， ∴ ∠ DBA ＝ 30 ° ， 从而 ∠ BAC ＝ ∠ C ＝ 1 2 ∠ DBA ＝ 1 2 × 30 ° ＝ 15 ° . 综上 ， ∠ BAC 的度数为 90 ° 或 75 ° 或 15 ° .