2020年秋九年级数学上册 第2章一元二次方程 6页

‎2.5　一元二次方程的应用 第2课时 图形面积问题 知识点 1　面积问题 图2－5－1‎ ‎1．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图2－5－1)，原空地一边减少了‎1 m，另一边减少了‎2 m，剩余空地的面积为‎18 m2‎，求原正方形空地的边长．设原正方形空地的边长为x m，则可列方程为(　　)‎ A．(x＋1)(x＋2)＝18‎ B．x2－3x＋16＝0‎ C．(x－1)(x－2)＝18‎ D．x2＋3x＋16＝0‎ ‎2．将一块正方形铁皮的四角各剪去一个边长为‎3 cm的小正方形，做成一个无盖的盒子，已知盒子的容积为‎300 cm3，则原正方形铁皮的边长为(　　)‎ A．‎10 cm B．‎13 cm C．‎14 cm D．‎‎16 cm 图2－5－2‎ ‎3．如图2－5－2是一块四周镶有宽度相等的花边的地毯，它的长为‎8 m，宽为‎5 m，如果地毯中央长方形图案的面积为‎18 m2‎.那么花边的宽为________m.‎ ‎4．如图2－5－3，利用一面墙(墙的长度不限)，另三边用‎58 m长的篱笆围成一个面积为‎200 m2‎的矩形场地，求矩形的长和宽．‎ 图2－5－3‎ ‎5．如图2－5－4，要在一个长为‎10 m、宽为‎8 m的院子中沿三边辟出宽度相等的花圃，使花圃的面积等于院子面积的30%，试求这个花圃的宽度．‎ 6‎ 图2－5－4‎ 知识点 2　动点问题 ‎6．教材练习第2题变式如图2－5－5，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝‎8 cm，‎ 图2－5－5‎ BC＝‎6 cm.动点P，Q分别从点A，B同时开始运动，点P的速度为‎1 cm/s，点Q的速度为‎2 cm/s，点Q运动到点C后停止运动，点P也随之停止运动．经过几秒后，能使△PBQ的面积为‎15 cm2？(　　)‎ A．2 s B．3 s C．4 s D．5 s ‎7．如图2－5－6，在Rt△ABC中，∠C＝90°，点P，Q同时由A，B两点出发分别沿AC，BC方向向点C匀速运动，其速度均为‎2 cm/s，几秒后△PCQ的面积是△ABC面积的一半？‎ 图2－5－6‎ ‎8．如图2－5－7，要利用一面墙(墙长为‎25米)建羊圈，用‎100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米．‎ 6‎ 图2－5－7‎ ‎9．在△ABC中，∠B＝60°，AB＝‎24 cm，BC＝‎16 cm，点P从点A开始沿AB边向点B以‎4 cm/s的速度运动，点Q从点C开始沿CB边向点B以‎2 cm/s的速度运动．它们同时出发，求几秒后，△PBQ的面积是△ABC面积的一半．‎ ‎10．2016·百色如图2－5－8，在直角墙角AOB(OA⊥OB，且OA，OB长度不限)中，要砌‎20 m长的墙，与直角墙角AOB围成地面为矩形的储仓，且矩形地面AOBC的面积为‎96 m2‎.‎ ‎(1)求矩形地面的长；‎ ‎(2)有规格为‎0.80 m×‎0.80 m和‎1.00 m×‎1.00 m的地板砖单价分别为55元/块和80元/块．若只选其中一种地板砖都恰好能铺满储仓的矩形地面(不计缝隙)，用哪一种规格的地板砖费用较少？‎ 6‎ 图2－5－8‎ ‎ ‎ ‎11．如图2－5－9①，要设计一幅宽‎20 cm，长‎30 cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2∶3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？‎ 分析：由横、竖彩条的宽度比为2∶3，可设每个横彩条的宽为2x cm，则每个竖彩条的宽为3x cm.为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图②的情况，得到矩形ABCD.‎ ‎(1)结合以上分析完成填空：‎ 如图②：用含x的代数式表示：AB＝________cm；AD＝________cm；矩形ABCD的面积为________cm2.‎ ‎(2)列出方程并完成本题的解答．‎ 图2－5－9‎ ‎　　　　‎ 详解详析 ‎1．C　[解析] 根据题意，可知剩余的长方形空地的长为(x－1)m，宽为(x－2)m，所以可列出方程为(x－1)(x－2)＝18，故选C.‎ ‎2． D　[解析] 设原正方形铁皮的边长是x cm，则做成的没有盖的长方体盒子的长、宽均为(x－3×2)cm，高为‎3 cm，根据题意列方程得(x－3×2)×(x－3×2)×3＝300，解得x1‎ 6‎ ‎＝16，x2＝－4(不合题意，舍去)．即原正方形铁皮的边长是‎16 cm.故选D.‎ ‎3．1　[解析] 设花边的宽为x m，则地毯的长为(8－2x)m，宽为(5－2x)m，‎ 根据题意列方程得(8－2x)(5－2x)＝18，解得x1＝1，x2＝5.5(不符合题意，舍去)．故花边的宽为1 m.‎ ‎4．解：设垂直于墙的一边长为x m，则平行与墙的一边长为(58－2x)m.‎ 依题意得x(58－2x)＝200，‎ 解得x1＝25，x2＝4，‎ ‎58－2x1＝8，58－2x2＝50.‎ 答：矩形的长为25 m，宽为8 m或矩形的长为50 m，宽为4 m.‎ ‎5．解：设这个花圃的宽度为x m，依题意，得 ‎(10－2x)(8－x)＝10×8×(1－30%)，‎ 解得x1＝12(不合题意，舍去)，x2＝1.‎ 答：这个花圃的宽度为1 m.‎ ‎6．B　[解析] 设经过t s后，能使△PBQ的面积为‎15 cm2，‎ 则BP＝(8－t)cm，BQ＝2t cm，‎ 由三角形的面积计算公式列方程得×(8－t)×2t＝15，解得t1＝3，t2＝5(当t＝5时，BQ＝10，不合题意，舍去)．‎ 故经过3 s后，能使△PBQ的面积为15 cm2.‎ ‎7．解：设t s后△PCQ的面积是△ABC面积的一半，则可得此时PC＝AC－AP＝(12－2t)cm，CQ＝BC－BQ＝(9－2t)cm，‎ ‎∴△PCQ的面积为·PC·CQ＝(12－2t)(9－2t)cm2.‎ ‎∵△PCQ的面积是△ABC面积的一半，△ABC的面积＝×12×9＝54(cm2)，‎ ‎∴(12－2t)(9－2t)＝27，解得t＝9或t＝1.5.∵0≤t≤4.5，‎ ‎∴t＝1.5，则1.5 s后△PCQ的面积是△ABC面积的一半．‎ ‎8．设AB＝x米，则BC＝(100－4x)米．‎ 根据题意得x(100－4x)＝400，‎ 整理得x2－25x＋100＝0，解得x1＝20，x2＝5.‎ 当AB＝20米时，BC＝20米，符合题意；‎ 当AB＝5米时，BC＝80米>25米，故舍去．‎ 答：羊圈的边长AB，BC都为20米．‎ ‎9．解：设x s后，△PBQ的面积是△ABC面积的一半，则(24－4x)(16－2x)×＝××24×16×，解得x＝2或x＝12(舍去)．‎ 答：2 s后，△PBQ的面积是△ABC面积的一半．‎ ‎10．解： (1)设矩形地面的长为x m，则宽为(20－x)m，由题意，得x(20－x)＝96，‎ 解得x1＝12，x2＝8(舍去)．‎ 答：矩形地面的长为12 m.‎ ‎(2)需要规格为‎0.80 m×‎0.80 m的地板砖96÷(0.8×0.8)＝150(块)，‎ 则总费用为55×150＝8250(元)；‎ 6‎ 需要规格为1.00 m×1.00 m的地板砖96÷(1.0×1.0)＝96(块)，‎ 则总费用为80×96＝7680(元)．‎ ‎∵7680＜8250，∴用规格为‎1.00 m×‎1.00 m的地板砖费用较少．‎ ‎11． (1)(20－6x)　(30－4x)　(24x2－260x＋600)‎ ‎(2)根据题意，得24x2－260x＋600＝(1－)×20×30，整理，得6x2－65x＋50＝0，‎ 解得x1＝，x2＝10(不合题意，舍去)，‎ 则2x＝，3x＝.‎ 答：每个横、竖彩条的宽度分别为 cm， cm.‎ 6‎