初中数学中考复习课件章节考点专题突破：聚焦中考专题2 开放探究型问题 36页

专题二　开放探究型问题 要点梳理 开放探究型问题的内涵：所谓开放探究型问题是指已知条件、解题依据、解题方法、问题结论这四项要素中 ， 缺少解题要素两个或两个以上 ， 需要通过观察、分析、比较、概括、推理、判断等探索活动来确定所需求的条件或结论或方法． 要点梳理 (1) 常规题的结论往往是唯一确定的 ， 而多数开放探究题的结论是不确定或不是唯一的 ， 它是给学生有自由思考的余地和充分展示思想的广阔空间； (2) 解决此类问题的方法 ， 可以不拘形式 ， 有时需要发现问题的结论 ， 有时需要尽可能多地找出解决问题的方法 ， 有时则需要指出解题的思路等． 要点梳理 对于开放探究型问题 ， 需要通过观察、比较、分析、综合及猜想 ， 展开发散性思维 ， 充分运用已学过的数学知识和数学方法 ， 经过归纳、类比、联想等推理的手段 ， 得出正确的结论．在解开放探究题时 ， 常通过确定结论或补全条件 ， 将开放性问题转化为封闭性问题． 三个解题方法 (1) 条件开放型问题：由已知的结论反思题目应具备怎样的条件 ， 即从题目的结论出发 ， 结合图形挖掘条件 ， 逆向追索 ， 逐步探寻 ， 是一种分析型思维方式．它要求解题者善于从问题的结论出发 ， 逆向追索 ， 多途寻因； (2) 结论开放型问题：从剖析题意入手 ， 充分捕捉题设信息 ， 通过由因导果 ， 顺向推理或联想、类比、猜测等 ， 从而获得所求的结论； (3) 条件和结论都开放型：此类问题没有明确的条件和结论 ， 并且符合条件的结论具有多样性 ， 需将已知的信息集中进行分析 ， 探索问题成立所必须具备的条件或特定的条件应该有什么结论 ， 通过这一思维活动得出事物内在联系 ， 从而把握事物的整体性和一般性． 1 ． ( 2014 · 赤峰 ) 直线 l 过点 M( － 2 ， 0) ， 该直线的解析式可以写为 ． ( 只写出一个即可 ) y ＝ x ＋ 2 2 ． ( 2014 · 绥化 ) 如图 ， AC ， BD 相交于点 O ， ∠ A ＝∠ D ， 请补充一个条件 ， 使△ AOB≌△DOC ， 你补充的条件是 ． ( 填出一个即可 ) AB ＝ CD 3 ． ( 2014· 漳州 ) 双曲线 y ＝ k ＋ 1 x 所在象限内 ， y 的值 随 x 值的增大而减小 ， 则满足 条件的一个数值 k 为 ． 3 ( 答案不唯一 ) 4 ． ( 2014 · 内江 ) 如图 ， 在四边形 ABCD 中 ， 对角线 AC ， BD 交于点 O ， AD∥BC ， 请添加一个条件： __ ， 使四边形 ABCD 为平行四边形． ( 不添加任何辅助线 ) AB ＝ BC( 答案不唯一） 5 ． ( 2014· 北京 ) 如图 ， 在平面直角坐标系 xOy 中 ， 正方形 OABC 的边长为 2. 写出一个函数 y ＝ k x ( k ≠ 0 ) ， 使它的图象 与正方形 OABC 有公共点 ， 这个函数的表达式为 ． 条件开放型问题 【 例 1 】 　已知四边形 ABCD ， AB ∥ CD ， 要得出四边形 ABCD 是平行四边形的结论 ， 还应具备什么条件？ 解：如图 ， 当 AB∥CD 时 ， 只要具备下列条件之一 ， 便可得出四边形 ABCD 是平行四边形． ( 1 ) AD∥BC ； ( 2 ) AB ＝ CD ； ( 3 ) ∠A ＝ ∠ C ； ( 4 ) ∠B ＝ ∠ D ； ( 5 ) ∠A ＋ ∠ B ＝ 180 ° …… 【 点评 】 　判断一个四边形是平行四边形的基本依据是：平行四边形的定义及其判定定理 ， 而本题告诉的四边形已有一组对边平行的条件 ， 由此可以想到： ① 两组对边分别平行； ② 一组对边平行且相等； ③ 一组对边平行 ， 一组对角相等．都能得到平行四边形的结论． 1 ． ( 2014 · 巴中 ) 如图 ， 在四边形 ABCD 中 ， 点 H 是 BC 的中点 ， 作射线 AH ， 在线段 AH 及其延长线上分别取点 E ， F ， 连结 BE ， CF. (1) 请你添加一个条件 ， 使得△ BEH≌△CFH ， 你添加的条件是 ， 并证明． (2) 在问题 (1) 中 ， 当 BH 与 EH 满足什么关系时 ， 四边形 BFCE 是矩形 ， 请说明理由． 解： ∵ BH ＝ CH ， EH ＝ FH ， ∴四边形 BFCE 是平行四边形 ( 对角线互相平分的四边形为平行四边形 ) ， ∵当 BH ＝ EH 时 ， 则 BC ＝ EF ， ∴平行四边形 BFCE 为矩形 ( 对角线相等的平行四边形为矩形 ) ． EH ＝ FH 　 结论开放型问题 【 例 2 】 　 ( 2014 · 襄阳 ) 如图 ， A ， P ， B ， C 是⊙ O 上的四个点 ， ∠ APC ＝∠ BPC ＝ 60° ， 过点 A 作⊙ O 的切线交 BP 的延长线于点 D. (1) 求证：△ ADP∽△BDA ； 解： ( 1 ) 证明：作⊙ O 的直径 AE ， 连接 PE ， ∵ AE 是 ⊙ O 的直径 ， AD 是 ⊙ O 的切线 ， ∴∠ DAE ＝ ∠ APE ＝ 90 ° ， ∴∠ PAD ＋∠ PAE ＝∠ PAE ＋ ∠ E ＝ 90 ° ， ∴ ∠ PAD ＝ ∠ E ， ∵∠ PBA ＝ ∠ E ， ∴∠ PAD ＝ ∠ PBA ， ∵∠ PAD ＝ ∠ PBA ， ∠ ADP ＝ ∠ BDA ， ∴△ ADP ∽△ BDA (2) 试探究线段 PA ， PB ， PC 之间的数量关系 ， 并证明你的结论； (3) 若 AD ＝ 2 ， PD ＝ 1 ， 求线段 BC 的长． 【 点评 】 解结论开放型问题时要充分利用已知条件或图形特征 ， 进行猜想、归纳、类比 ， 透彻分析出给定条件下可能存在的结论现象 ， 然后经过论证作出取舍 ， 这是一种归纳类比型思维．它要求解题者充分利用条件进行大胆而合理的猜想 ， 发现规律 ， 得出结论 ， 这类题主要考查解题者的发散性思维能力和知识应用能力． 2 ． ( 2013· 杭州 ) (1) 先求解下列两题： ① 如图 ① ， 点 B ， D 在射线 AM 上 ， 点 C ， E 在射线 AN 上 ， 且 AB ＝ BC ＝ CD ＝ DE ， 已知 ∠ EDM ＝ 84 ° ， 求 ∠ A 的度数； ② 如图 ② ， 在直角坐标系中 ， 点 A 在 y 轴正半轴上 ， AC ∥ x 轴 ， 点 B ， C 的横坐 标都是 3 ， 且 BC ＝ 2 ， 点 D 在 AC 上 ， 且横坐标为 1 ， 若反比例函数 y ＝ k x (x ＞ 0) 的图象经过点 B ， D ， 求 k 的值． (2) 解题后 ， 你发现以上两小题有什么共同点？请简单地写出． 解： ( 1 ) ①∵ AB ＝ BC ＝ CD ＝ DE ， ∴∠ A ＝ ∠ BCA ， ∠ C BD ＝ ∠ BDC ， ∠ ECD ＝ ∠ CED ， 根据三角形的外角性质 ， ∠ A ＋ ∠ BCA ＝ ∠ CBD ， ∠ A ＋ ∠ CDB ＝ ∠ ECD ， ∠ A ＋ ∠ CED ＝ ∠ EDM ， 又 ∵∠ EDM ＝ 84 ° ， ∴∠ A ＋ 3 ∠ A ＝ 84 ° ， 解得 ， ∠ A ＝ 21 ° ； ②∵ 点 B 在反比例 函数 y ＝ k x 图象上 ， 点 B ， C 的横坐标都是 3 ， ∴ 点 B ( 3 ， k 3 ) ， ∵ BC ＝ 2 ， ∴ 点 C ( 3 ， k 3 ＋ 2 ) ， ∵ AC ∥ x 轴 ， 点 D 在 AC 上 ， 且横坐 标为 1 ， ∴ D ( 1 ， k 3 ＋ 2 ) ， ∵ 点 D 也在反比例函数图象上 ， ∴ k 3 ＋ 2 ＝ k ， 解得 ， k ＝ 3 ； ( 2 ) 用已知的量通过关系去表达未知的量 ， 使用转换的思维和方法． 【 例 3】 　 ( 2014 · 龙东 ) 如图 ， 在平面直角坐标系中 ， 正方形 ABCD 的顶点 A 在 y 轴正半轴上 ， 顶点 B 在 x 轴正半轴上 ， OA ， OB 的长分别是一元二次方程 x 2 － 7x ＋ 12 ＝ 0 的两个根 (OA ＞ OB) ． 存在开放型问题 (1) 求点 D 的坐标． (2) 求直线 BC 的解析式． (3) 在直线 BC 上是否存在点 P ， 使 △ PCD 为等腰三角形？若存在 ， 请直接写出点 P 的坐标；若不存在 ， 说明理由． 存在．点 P 与点 B 重合时 ， P 1 ( 3 ， 0 ) ， 点 P 与点 B 关于点 C 对称时 ， P 2 ( 11 ， 6 ) ． 【 点评 】 　本题是一道典型的 “ 存在性问题 ” ， 主要利用了解一元二次方程、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质 ， 作辅助线构造出全等三角形是解题的关键 ， 考查了等腰三角形存在的条件 ， 有一定的开放性． 3 ． 已知一次函数 y ＝－ x － 4 和反比例函数 y ＝ k x ( k ≠ 0) ． (1) k 满足什么条件时 ， 这两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个交 点？ (2) 设 (1) 中的两个交点为 A ， B ， 试问 ∠ AOB 是锐角还是钝角？为什么？ 综合开放型问题 【 例 4】 　 ( 2012 · 南京 ) 看图说故事． 请你编一个故事 ，使故事情境中出现的一对变量 x ， y 满足图示的函数关系式，要求： ① 指出变量 x 和 y 的含义； ② 利用图中数据说明这对变量变化过程的实际意义，其中须涉及 “ 速度 ” 这个量． 解： ① 该函数图象表示小明骑车离出发地的路程 y ( 单位： km ) 与他所用的时间 x ( 单位： min ) 的关系． ② 小明以 400 m/ min 的速度匀速骑了 5 min ， 在原地休息了 6 min ， 然后以 500 m/ min 的速度匀速骑车回出发地． ( 本题答案不唯一 ) 【 点评 】 解决综合开放性问题时 ， 需要类比、试验、创新和综合运用所学知识 ， 建立合理的数学模型 ， 从而使问题得以解决．综合开放型问题的解题方法一般不唯一或解题路径不明确 ， 要求解题者不墨守成规 ， 敢于创新 ， 积极发散思维 ， 优化解题方案和过程． 4 ． 已知两数 4 和 8 ， 试写出第三个数 ， 使三个数中 ， 其中一个数是其余两个数的比例中项 ， 则第三个数是 ． ( 只需写出一个 ) 试题 在五环图案中 ， 分别填写五个数 a ， b ， c ， d ， e ， 如图 ， 其 中 a ， b ， c 是三个连续偶数 ， a ＜ b ＜ c ， d ， e 是两个连续奇数 ， d ＜ e ， 且满足 a ＋ b ＋ c ＝ d ＋ e ， 例如 ， 请你在 0 到 20 之间选择另一组 符合条件的数填入图中： 错解 剖析 ( 1 ) 在 0 到 20 之间 ， 符合条件的答案除例题外 ， 还有两组 ， 因题目要求只画一个图 ， 为了完整准确起见 ， 两组答案都应写出 ， 用 “ 或 ” 字连接； ( 2 ) 正确的解题方法可使答案完整无漏 ， 例如：此题中可采用二元一 次方程不定解的方法来解答 ， 设最小偶数为 x ， 最小奇数为 y ， 则三 个连 续偶数为 x ， x ＋ 2 ， x ＋ 4 ， 两个连续奇数为 y ， y ＋ 2. 据题意 ， a ＋ b ＋ c ＝ d ＋ e ， 得 x ＋ ( x ＋ 2 ) ＋ ( x ＋ 4 ) ＝ y ＋ ( y ＋ 2 ) ， 3 x ＋ 6 ＝ 2 y ＋ 2 ， 整理得 y ＝ 3 2 x ＋ 2 ， 下面列表表示它的解：故符合条件的解有 î ï í ï ì x ＝ 2 ， y ＝ 5 ， 或 î ï í ï ì x ＝ 6 ， y ＝ 11 ， 或 î ï í ï ì x ＝ 10 ， y ＝ 17. 正 解