人教版中考数学二轮复习专题练习上常用辅助线-旋转 23页

‎3.辅助线之—旋转 ‎1.如图，以正方形的边为斜边在正方形内作直角三角形，，、交于．已知、的长分别为、，求三角形的面积．‎ 解析：‎ 显然，‎ 所以，‎ 所以，‎ 所以，‎ 则逆时针旋转，旋转，则与重合，‎ 落在上的处，‎ 且,,,‎ 因为,‎ 所以,‎ 所以是等腰直角三角形．‎ 且，‎ 作，所以．‎ 所以．‎ ‎2.如图所示，在四边形中，，，于，若四边形的面积是，求的长．‎ 解析：‎ 把绕点逆时针旋转，使与重合，‎ 则,‎ ‎,四边形为矩形.‎ 旋转至，则，‎ 矩形为正方形，且，‎ ‎∴．‎ ‎3.如图，正方形中，．求证：．‎ 答案：见解析 解析：‎ ‎∵四边形是正方形，∴.‎ 将绕点顺时针旋转至,使与重合.‎ 则，且，.‎ ‎∵，∴.‎ ‎∵，且,‎ ‎∴.‎ 故.‎ ‎4.如图，正方形的边长为，点在线段上运动，平分交边于点．求证：．‎ 答案：见解析 解析：‎ ‎∵四边形是正方形，∴.‎ 将绕点顺时针旋转至,使与重合.‎ 则，且，.‎ ‎∵平分，∴，‎ ‎∴，‎ 即．∵，∴，‎ ‎∴，∴．即．‎ ‎∴，得证．‎ ‎5.、分别是正方形的边、上的点，且，，为垂足，求证：．‎ 答案：见解析 解析：‎ ‎∵四边形绕为正方形，∴.‎ 将绕点顺时针旋转至.‎ 则，.‎ ‎∵，∴.‎ ‎∴，即.‎ ‎∵,∴.‎ 根据全等三角形的对应高相等(利用三角形全等可证得)，可得.‎ ‎6.如图所示，在正方形中，，点、分别在、上，且，，求的面积．‎ 答案：见解析 解析：‎ 如图所示，将绕点顺时针旋转，得到，则、、共线.‎ ‎,.‎ 而，且，‎ 故，∵,∴.‎ 由此可得，，‎ ‎∴，∴.‎ 在中，，，故，‎ ‎.在中，，则.‎ 故.‎ ‎7.如图，正方形的边长为，、上各存一点、，若的周长为，求的度数．‎ 解析：‎ 把绕点旋转到的位置，‎ ‎．∵，‎ 又，∴．‎ 又，∴．‎ ‎∴．∴．‎ 又∵，∴．‎ ‎8.如图：正方形的边长为，是的中点，点在上，且．则的长是多少．的面积是多少.‎ 答案：5；15‎ 解析：‎ ‎①求的长：‎ ‎∵四边形为正方形，∴.‎ 将绕点逆时针旋转至处，使与重合，‎ 则，..‎ ‎∵，∴，‎ 则,‎ ‎∵，∴，∴.‎ 设，则,.‎ ‎∴在中，有.‎ ‎∴，解得.‎ ‎∴.‎ ‎②求的面积：‎ ‎∵,‎ ‎∴.‎ ‎9.如图，在直角梯形中，，，，是 上一点，且，，求的长．‎ 解析：‎ 过作，交延长线于．‎ ‎∵四边形是正方形，∴.‎ 将绕点顺时针旋转，至,使与重合.‎ 则有，，.‎ ‎∵,∴.‎ ‎∴.‎ ‎∵，∴.故.‎ 设，则，，‎ 在中，.‎ 即.‎ 解这个方程，得：． ∴．‎ ‎10.如图，在中，，，是内的一点，且，求的度数．‎ 解析：‎ 如图，将绕点旋转，使与重合，‎ 即，PC=CE，,‎ ‎∵,∴.‎ ‎∴为等腰直角三角形，‎ ‎∴，. ‎ 又∵，∴‎ 则.∴.‎ ‎11.如图，是等边内一点，若，，，求的度数．‎ 解析：‎ 如图，将沿点逆时针旋转，则，连接，．‎ ‎，，‎ ‎∴为等边三角形，‎ ‎，．‎ ‎∴，‎ ‎，‎ ‎12.为等边内一点，，，求证：以、、为边可以构成一个三角形，并确定所构成的三角形的各内角的度数.‎ 答案：见解析 解析：‎ 要判断、、三条线段可以构成一个三角形的三边，常采用判定其中任意两条线段之和大于第三条线段的办法，然而求所构成的三角形各内角的度数时又会束手无策.如果以为中心，将逆时针旋转，则点变到点，线段变到，点变到点，‎ 此时，，并且，.‎ 为等边三角形，所以，.‎ 这时，就是以、、为三边构成的三角形.‎ 易知 而 所以 因此 ‎13.如图，为正方形内一点，．求的度数．‎ 解析：‎ ‎∵四边形为正方形，∴.‎ 将绕着点按顺时针旋转到的位置（如图），连接．‎ 则 ‎∴是等腰直角三角形.‎ ‎∴‎ ‎∵‎ ‎∴‎ ‎∴为直角三角形. ‎ ‎∴, ∴.‎ ‎13.如图所示，是等边中的一点，，，，试求的边长.‎ 答案：‎ 解析：‎ 由于有等边三角形，故可考虑将绕点旋转，使、、出现在一个三角形中，从而构造出一个直角三角形.‎ 解：将绕点逆时针旋转，则与重合，点转至点，‎ 点转至点，连接，如图所示，有，，.‎ 故为等边三角形，，‎ 在中，，‎ 故，，‎ 从而有，‎ 故．‎ 所以，在中，，.‎ ‎14.如图所示，为正方形内一点，若，，.‎ 求：⑴ 的度数；⑵ 正方形的边长.‎ 答案：（1）；（2）‎ 解析：‎ ‎（1）将绕点顺时针旋转，得到.连接，因为，，‎ 所以，.‎ 在中，，，，则，‎ 所以，故.‎ ‎（2）因，则、、三点共线，‎ 故，，‎ 在中，根据勾股定理得 所以.‎ ‎15.在中，，是内任意一点，已知，求证：．‎ 答案：见解析 解析：‎ 因为，所以可将绕点旋转到的位置，‎ 连结、、，则，，‎ 因为，所以 由，可得，则．‎ ‎，即．‎ ‎16.如图，是等边外的一点，，，，求的度数．‎ 答案：30‎ 解析：‎ ‎∵，‎ ‎∴将绕点逆时针旋转至，使与重合，‎ 则，,‎ ‎，.‎ ‎∴,‎ ‎∴为等边三角形，‎ 则，,‎ 在中，∵,‎ ‎∴为直角三角形，即.‎ ‎∴.‎ ‎17.如图，正方形内一点，，连结、，请问：是等边三角形吗？为什么？‎ 答案：见解析 解析：‎ 将绕点逆时针旋转，得，‎ 再作关于的轴对称图形，得.‎ 所以，,‎ ‎，‎ ‎∴为等边三角形，即.‎ 又∵，‎ ‎∴.‎ ‎∵，‎ ‎∴,则有.‎ ‎∵.‎ ‎∴，∴.‎ ‎∴，∴.‎ 同理可得.‎ ‎∴为等边三角形.‎ ‎18.中，，四边形是的内接正方形，，，求的值.‎ 解析：‎ 如图，∵四边形是正方形，∴，‎ 将绕点逆时针旋转至，使与重合.则有.‎ ‎∵,∴.‎ ‎∵，∴.‎ 故.‎ ‎19.梯形中，，，，，，且，求的长和面积.‎ 解析：‎ ‎∵，∴将绕点顺时针旋转，至处，使与重合.‎ 则，，，‎ 延长交于点，‎ ‎∵旋转角是，∴，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴四边形是矩形，，‎ ‎∵，∴，，‎ 在中，根据勾股定理有，‎ 即，解得.‎ ‎.‎ ‎20.在梯形中，，，，，若，求的长。‎ 答案：6或4‎ 解析：‎ ‎∵，∴，‎ 过点作，交延长线与点，故四边形是矩形，‎ ‎∵，∴矩形是正方形，则，‎ 将绕点顺时针，至处，则，‎ ‎∴,‎ ‎∵，∴，∴，‎ ‎∵，∴，∴，‎ 设，则，，‎ ‎∴,‎ ‎∵,∴在中，，‎ 解得或，即的长为或.‎ ‎21.如图，等边三角形内一点，且，，求以为边的三角形各内角的度数。‎ 答案：见解析 解析：‎ 要判断、、三条线段可以构成一个三角形的三边，常采用判定其中任意两条线段之和大于第三条线段的办法，然而求所构成的三角形各内角的度数时又会束手无策.如果以为中心，将逆时针旋转，则点变到点，线段变到，点变到点，‎ 此时，，并且，.‎ 为等边三角形，所以，.‎ 这时，就是以、、为三边构成的三角形.‎ 易知 而 所以 因此 ‎22.如图，中，，，是中点，，与交于，与交于．求证：，．‎ ‎ ‎ 答案：见解析 解析：‎ 连结．‎ ‎∵，,∴‎ ‎∵是中点,∴且 ‎∵,∴‎ ‎∵,∴‎ 在与中，，，‎ ‎∴‎ ‎∴．‎ ‎∵∴．‎ ‎23.在等腰直角中，，，是的中点，点从出发向运动， 交于点，试说明的形状和面积将如何变化．‎ 答案：见解析 解析：‎ 连接．因为且，所以．‎ 因为是的中点，所以，，‎ ‎∴，则．‎ 因为，所以，‎ 所以，所以．‎ 因此是等腰直角三角形，在的运动过程中形状不变．‎ 的面积与边的大小有关．当点从出发到中点时，面积由大变小；‎ 当是中点时，三角形的面积最小；继续向点运动时，面积又由小变大．‎ ‎24.等腰直角三角形，，，为中点，，试猜想，、、三者的关系．‎ 答案：见解析 解析：‎ 如图，过点作，交于，‎ 连结，∵,.‎ ‎∴,‎ ‎∵且.‎ ‎∴，‎ ‎∴，，‎ ‎，，‎ ‎∴，∴.‎ ‎∴.‎ 又∵，‎ ‎∴、、又存在另一关系式.‎