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- 2021-11-11 发布
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2019年内蒙古包头市中考数学试卷
一、选择题:本大题共12小题,每小题3分,共36分.
1.(3分)计算|﹣|+()﹣1的结果是( )
A.0 B. C. D.6
2.(3分)实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示.下列结论正确的是( )
A.a>b B.a>﹣b C.﹣a>b D.﹣a<b
3.(3分)一组数据2,3,5,x,7,4,6,9的众数是4,则这组数据的中位数是( )
A.4 B. C.5 D.
4.(3分)一个圆柱的三视图如图所示,若其俯视图为圆,则这个圆柱的体积为( )
A.24 B.24π C.96 D.96π
5.(3分)在函数y=﹣中,自变量x的取值范围是( )
A.x>﹣1 B.x≥﹣1 C.x>﹣1且x≠2 D.x≥﹣1且x≠2
6.(3分)下列说法正确的是( )
A.立方根等于它本身的数一定是1和0
B.顺次连接菱形四边中点得到的四边形是矩形
C.在函数y=kx+b(k≠0)中,y的值随着x值的增大而增大
D.如果两个圆周角相等,那么它们所对的弧长一定相等
7.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,以点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AB、AC于点D,E,再分别以点D、E为圆心,大于DE为半径画弧,两弧交于点F,作射线AF交边BC于点G,若BG=1,AC=4,则△ACG的面积是( )
A.1 B. C.2 D.
8.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,以BC为直径作半圆,交AB于点D,则阴影部分的面积是( )
A.π﹣1 B.4﹣π C. D.2
9.(3分)下列命题:
①若x2+kx+是完全平方式,则k=1;
②若A(2,6),B(0,4),P(1,m)三点在同一直线上,则m=5;
③等腰三角形一边上的中线所在的直线是它的对称轴;
④一个多边形的内角和是它的外角和的2倍,则这个多边形是六边形.
其中真命题个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
10.(3分)已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4,且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2=0的两根,则m的值是( )
A.34 B.30 C.30或34 D.30或36
11.(3分)如图,在正方形ABCD中,AB=1,点E,F分别在边BC和CD上,AE=AF,∠EAF=60°,则CF的长是( )
A. B. C.﹣1 D.
12.(3分)如图,在平面直角坐标系中,已知A(﹣3,﹣2),B(0,﹣2),C(﹣3,0),M是线段AB上的一个动点,连接CM,过点M作MN⊥MC交y轴于点N,若点M、N在直线y=kx+b上,则b的最大值是( )
A.﹣ B.﹣ C.﹣1 D.0
二、填空题:本大题有6小题,每小题3分,共24分.
13.(3分)2018年我国国内生产总值(GDP)是900309亿元,首次突破90万亿大关,90万亿用科学记数法表示为 .
14.(3分)已知不等式组的解集为x>﹣1,则k的取值范围是 .
15.(3分)化简:1﹣÷= .
16.(3分)甲、乙两班举行数学知识竞赛,参赛学生的竞赛得分统计结果如下表:
班级
参赛人数
平均数
中位数
方差
甲
45
83
86
82
乙
45
83
84
135
某同学分析上表后得到如下结论:
①甲、乙两班学生的平均成绩相同;
②乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数(竞赛得分≥85分为优秀);
③甲班成绩的波动性比乙班小.
上述结论中正确的是 .(填写所有正确结论的序号)
17.(3分)如图,在△ABC中,∠CAB=55°,∠ABC=25°,在同一平面内,将△ABC绕A点逆时针旋转70°得到△ADE,连接EC,则tan∠DEC的值是 .
18.(3分)如图,BD是⊙O的直径,A是⊙O外一点,点C在⊙O上,AC与⊙O相切于点C,∠CAB=90°,若BD=6,AB=4,∠ABC=∠CBD,则弦BC的长为 .
19.(3分)如图,在平面直角坐标系中,已知A(﹣1,0),B(0,2),将△ABO沿直线AB翻折后得到△ABC,若反比例函数y=(x<0)的图象经过点C,则k= .
20.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BC=3,D为斜边AC的中点,连接BD,点F是BC边上的动点(不与点B、C重合),过点B作BE⊥BD交DF延长线交于点E,连接CE,下列结论:
①若BF=CF,则CE2+AD2=DE2;
②若∠BDE=∠BAC,AB=4,则CE=;
③△ABD和△CBE一定相似;
④若∠A=30°,∠BCE=90°,则DE=.
其中正确的是 .(填写所有正确结论的序号)
三、解答题:本大题共有6小题,共60分.
21.(8分)某校为了解九年级学生的体育达标情况,随机抽取50名九年级学生进行体育达标项目测试,测试成绩如下表,请根据表中的信息,解答下列问题:
测试成绩(分)
23
25
26
28
30
人数(人)
4
18[来源:学,科,网]
15
8
5
(1)该校九年级有450名学生,估计体育测试成绩为25分的学生人数;
(2)该校体育老师要对本次抽测成绩为23分的甲、乙、丙、丁4名学生进行分组强化训练,要求两人一组,求甲和乙恰好分在同一组的概率.(用列表或树状图方法解答)
22.(8分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=BC,∠BAD=90°,AC交BD于点E,∠ABD=30°,AD=,求线段AC和BE的长.
(注:==)
23.(10分)某出租公司有若干辆同一型号的货车对外出租,每辆货车的日租金实行淡季、旺季两种价格标准,旺季每辆货车的日租金比淡季上涨.据统计,淡季该公司平均每天有10辆货车未出租,日租金总收入为1500元;旺季所有的货车每天能全部租出,日租金总收入为4000元.
(1)该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆?淡季每辆货车的日租金多少元?
(2)经市场调查发现,在旺季如果每辆货车的日租金每上涨20元,每天租出去的货车就会减少1辆,不考虑其它因素,每辆货车的日租金上涨多少元时,该出租公司的日租金总收入最高?
24.(10分)如图,在⊙O中,B是⊙O上的一点,∠ABC=120°,弦AC=2,弦BM平分∠ABC交AC于点D,连接MA,MC.
(1)求⊙O半径的长;
(2)求证:AB+BC=BM.
25.(12分)如图,在正方形ABCD中,AB=6,M是对角线BD上的一个动点(0<DM<BD),连接AM,过点M作MN⊥AM交BC于点N.
(1)如图①,求证:MA=MN;
(2)如图②,连接AN,O为AN的中点,MO的延长线交边AB于点P,当时,求AN和PM的长;
(3)如图③,过点N作NH⊥BD于H,当AM=2时,求△HMN的面积.
26.(12分)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,连接BC.[来源:学科网]
(1)求该抛物线的解析式,并写出它的对称轴;
(2)点D为抛物线对称轴上一点,连接CD、BD,若∠DCB=∠CBD,求点D的坐标;
(3)已知F(1,1),若E(x,y)是抛物线上一个动点(其中1<x<2),连接CE、CF、EF,求△CEF面积的最大值及此时点E的坐标.
(4)若点N为抛物线对称轴上一点,抛物线上是否存在点M,使得以B,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出所有满足条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
2019年内蒙古包头市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:本大题共12小题,每小题3分,共36分.
1.(3分)计算|﹣|+()﹣1的结果是( )
A.0 B. C. D.6
【考点】2C:实数的运算;6F:负整数指数幂.菁优网版权所有
【分析】先根据二次根式的性质,绝对值的秘技,负指数幂的法则进行计算,然后进行有理数的加法运算.
【解答】解:原式=3+3=6.
故选:D.
【点评】本题是实数的运算,主要考查了二次根式的性质,绝对值的性质,负指数幂的运算,有理数的加法,关键是熟记法则.
2.(3分)实数a,b在数轴上的对应点的位置如图所示.下列结论正确的是( )
A.a>b B.a>﹣b C.﹣a>b D.﹣a<b
【考点】29:实数与数轴.菁优网版权所有
【分析】根据数轴可以发现a<b,且﹣3<a<﹣2,1<b<2,由此即可判断以上选项正确与否.
【解答】解:∵﹣3<a<﹣2,1<b<2,∴答案A错误;
∵a<0<b,且|a|>|b|,∴a+b<0,∴a<﹣b,∴答案B错误;
∴﹣a>b,故选项C正确,选项D错误.
故选:C.
【点评】本题考查的是数轴与实数的大小比较等相关内容,会利用数轴比较实数的大小是解决问题的关键.
3.(3分)一组数据2,3,5,x,7,4,6,9的众数是4,则这组数据的中位数是( )
A.4 B. C.5 D.
【考点】W4:中位数;W5:众数.菁优网版权所有
【分析】根据题意由众数是4,可知x=4,然后根据中位数的定义求解即可.
【解答】解:∵这组数据的众数4,
∴x=4,
将数据从小到大排列为:2,3,4,4,5,6,7,9
则中位数为:4.5.
故选:B.
【点评】本题考查了众数、中位数的定义,属于基础题,掌握基本定义是关键.
4.(3分)一个圆柱的三视图如图所示,若其俯视图为圆,则这个圆柱的体积为( )
A.24 B.24π C.96 D.96π
【考点】U1:简单几何体的三视图;U3:由三视图判断几何体.菁优网版权所有
【分析】由已知三视图为圆柱,首先得到圆柱底面半径,从而根据圆柱体积=底面积乘高求出它的体积.
【解答】解:由三视图可知圆柱的底面直径为4,高为6,
∴底面半径为2,
∴V=πr2h=22×6•π=24π,
故选:B.
【点评】此题考查的是圆柱的体积及由三视图判断几何体,关键是先判断圆柱的底面半径和高,然后求其体积.
5.(3分)在函数y=﹣中,自变量x的取值范围是( )
A.x>﹣1 B.x≥﹣1 C.x>﹣1且x≠2 D.x≥﹣1且x≠2
【考点】E4:函数自变量的取值范围.菁优网版权所有
【分析】根据分母不等于0和二次根式的被开方数非负,列出不等式组,进行解答便可.
【解答】解:根据题意得,
,
解得,x≥﹣1,且x≠2.
故选:D.
【点评】本题考查的知识点为:分式有意义,分母不为0.二次根式有意义,被开方数是非负数.自变量的取值范围必须使含有自变量的表达式都有意义:①当表达式的分母不含有自变量时,自变量取全体实数.例如y=2x+13中的x.②当表达式的分母中含有自变量时,自变量取值要使分母不为零.例如y=x+2x﹣1.③当函数的表达式是偶次根式时,自变量的取值范围必须使被开方数不小于零.④对于实际问题中的函数关系式,自变量的取值除必须使表达式有意义外,还要保证实际问题有意义.
6.(3分)下列说法正确的是( )
A.立方根等于它本身的数一定是1和0
B.顺次连接菱形四边中点得到的四边形是矩形
C.在函数y=kx+b(k≠0)中,y的值随着x值的增大而增大
D.如果两个圆周角相等,那么它们所对的弧长一定相等
【考点】24:立方根;F5:一次函数的性质;L8:菱形的性质;LN:中点四边形;M5:圆周角定理;MN:弧长的计算.菁优网版权所有
【分析】根据立方根的定义,中点四边形,一次函数的性质,弧,弦,圆心角的关系即可得到结论
【解答】解:A、立方根等于它本身的数一定是±1和0,故错误;
B、顺次连接菱形四边中点得到的四边形是矩形,故正确;
C、在函数y=kx+b(k≠0)中,当k>0时,y的值随着x值的增大而增大,故错误;
D、在同圆或等圆中,如果两个圆周角相等,那么它们所对的弧长一定相等,故错误.
故选:B.
【点评】本题考查了立方根的定义,中点四边形,一次函数的性质,弧,弦,圆心角的关系,熟练掌握各知识点是解题的关键.
7.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠B=90°,以点A为圆心,适当长为半径画弧,分别交AB、AC于点D,E,再分别以点D、E为圆心,大于DE为半径画弧,两弧交于点F,作射线AF交边BC于点G,若BG=1,AC=4,则△ACG的面积是( )
A.1 B. C.2 D.
【考点】KF:角平分线的性质;N2:作图—基本作图.菁优网版权所有
【分析】利用基本作图得到AG平分∠BAC,利用角平分线的性质得到G点到AC的距离为1,然后根据三角形面积公式计算△ACG的面积.
【解答】解:由作法得AG平分∠BAC,
∴G点到AC的距离等于BG的长,即G点到AC的距离为1,
所以△ACG的面积=×4×1=2.
故选:C.
【点评】本题考查了作图﹣基本作图:熟练掌握基本作图(作一条线段等于已知线段;作一个角等于已知角;作已知线段的垂直平分线;作已知角的角平分线;过一点作已知直线的垂线).也考查了交平分线的性质.
8.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,以BC为直径作半圆,交AB于点D,则阴影部分的面积是( )
A.π﹣1 B.4﹣π C. D.2
【考点】KW:等腰直角三角形;M5:圆周角定理;MO:扇形面积的计算.菁优网版权所有
【分析】连接CD,根据圆周角定理得到CD⊥AB,推出△ACB是等腰直角三角形,得到CD=BD,根据三角形的面积公式即可得到结论.
【解答】解:连接CD,
∵BC是半圆的直径,
∴CD⊥AB,
∵在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=2,
∴△ACB是等腰直角三角形,
∴CD=BD,
∴阴影部分的面积=×22=2,
故选:D.
【点评】本题考查了扇形的面积的计算,等腰直角三角形的性质,正确的作出辅助线是解题的关键.
9.(3分)下列命题:
①若x2+kx+是完全平方式,则k=1;
②若A(2,6),B(0,4),P(1,m)三点在同一直线上,则m=5;
③等腰三角形一边上的中线所在的直线是它的对称轴;
④一个多边形的内角和是它的外角和的2倍,则这个多边形是六边形.
其中真命题个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
【考点】O1:命题与定理.菁优网版权所有
【分析】利用完全平方公式对①进行判断;利用待定系数法求出直线AB的解析式,然后求出m,则可对②进行判断;根据等腰三角形的性质对③进行判断;根据多边形的内角和和外角和对④进行判断.
【解答】解:若x2+kx+是完全平方式,则k=±1,所以①错误;
若A(2,6),B(0,4),P(1,m)三点在同一直线上,而直线AB的解析式为y=x+4,则x=1时,m=5,所以②正确;
等腰三角形底边上的中线所在的直线是它的对称轴,所以③错误;
一个多边形的内角和是它的外角和的2倍,则这个多边形是六边形,所以④正确.
故选:B.
【点评】本题考查了命题与定理:命题的“真”“假”
是就命题的内容而言.任何一个命题非真即假.要说明一个命题的正确性,一般需要推理、论证,而判断一个命题是假命题,只需举出一个反例即可.
10.(3分)已知等腰三角形的三边长分别为a、b、4,且a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2=0的两根,则m的值是( )
A.34 B.30 C.30或34 D.30或36
【考点】A3:一元二次方程的解;AA:根的判别式;K6:三角形三边关系;KH:等腰三角形的性质.菁优网版权所有
【分析】分三种情况讨论,①当a=4时,②当b=4时,③当a=b时;结合韦达定理即可求解;
【解答】解:当a=4时,b<8,
∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2=0的两根,
∴4+b=12,
∴b=8不符合;
当b=4时,a<8,
∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2=0的两根,
∴4+a=12,
∴a=8不符合;
当a=b时,
∵a、b是关于x的一元二次方程x2﹣12x+m+2=0的两根,
∴12=2a=2b,
∴a=b=6,
∴m+2=36,
∴m=34;
故选:A.
【点评】本题考查一元二次方程根与系数的关系;根据等腰三角形的性质进行分类讨论,结合韦达定理和三角形三边关系进行解题是关键.
11.(3分)如图,在正方形ABCD中,AB=1,点E,F分别在边BC和CD上,AE=AF,∠EAF=60°,则CF的长是( )
A. B. C.﹣1 D.
【考点】KD:全等三角形的判定与性质;KK:等边三角形的性质;LE:正方形的性质.菁优网版权所有
【分析】由正方形的性质得出∠B=∠D=∠BAD=90°,AB=BC=CD=AD=1,证明Rt△ABE≌Rt△ADF得出∠BAE=∠DAF,求出∠DAF=15°,在AD上取一点G,使∠GFA=∠DAF=15°,则AG=FG,∠DGF=30°,由直角三角形的性质得出DF=FG=AG,DG=DF,设DF=x,则DG=x,AG=FG=2x,则2x+x=1,解得:x=2﹣,得出DF=2﹣,即可得出结果.
【解答】解:∵四边形ABCD是正方形,
∴∠B=∠D=∠BAD=90°,AB=BC=CD=AD=1,
在Rt△ABE和Rt△ADF中,,
∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL),
∴∠BAE=∠DAF,
∵∠EAF=60°,
∴∠BAE+∠DAF=30°,
∴∠DAF=15°,
在AD上取一点G,使∠GFA=∠DAF=15°,如图所示:
∴AG=FG,∠DGF=30°,
∴DF=FG=AG,DG=DF,
设DF=x,则DG=x,AG=FG=2x,
∵AG+DG=AD,
∴2x+x=1,
解得:x=2﹣,
∴DF=2﹣,
∴CF=CD﹣DF=1﹣(2﹣)=﹣1;
故选:C.
【点评】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定、直角三角形的性质等知识;熟练掌握正方形的性质,证明三角形全等是解题的关键.
12.(3分)如图,在平面直角坐标系中,已知A(﹣3,﹣2),B(0,﹣2),C(﹣3,0),M是线段AB上的一个动点,连接CM,过点M作MN⊥MC交y轴于点N,若点M、N在直线y=kx+b上,则b的最大值是( )
A.﹣ B.﹣ C.﹣1 D.0
【考点】F5:一次函数的性质;F8:一次函数图象上点的坐标特征.菁优网版权所有
【分析】当点M在AB上运动时,MN⊥MC交y轴于点N,此时点N在y轴的负半轴移动,定有△AMC∽△NBM;只要求出ON的最小值,也就是BN最大值时,就能确定点N的坐标,而直线y=kx+b与y轴交于点N(0,b),此时b的值最大,因此根据相似三角形的对应边成比例,设未知数构造二次函数,通过求二次函数的最值得以解决.
【解答】解:连接AC,则四边形ABOC是矩形,∴∠A=∠ABO=90°,
又∵MN⊥MC,
∴∠CMN=90°,
∴∠AMC=∠MNB,
∴△AMC∽△NBM,
∴,
设BN=y,AM=x.则MB=3﹣x,ON=2﹣y,
∴,
即:y=x2+x
∴当x=﹣=﹣时,y最大=×()2+=,
∵直线y=kx+b与y轴交于N(0,b)
当BN最大,此时ON最小,点N (0,b)越往上,b的值最大,
∴ON=OB﹣BN=2﹣=,
此时,N(0,)
b的最大值为.
故选:A.
【点评】综合考查相似三角形的性质、二次函数的性质、二次函数的最值以及一次函数的性质等知识;构造相似三角形、利用二次函数的最值是解题的关键所在.
二、填空题:本大题有6小题,每小题3分,共24分.
13.(3分)2018年我国国内生产总值(GDP)是900309亿元,首次突破90万亿大关,90万亿用科学记数法表示为 9×1013 .
【考点】1I:科学记数法—表示较大的数.菁优网版权所有
【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值>10时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数.
【解答】解:90万亿用科学记数法表示成:9.0×1013,
故答案为:9.0×1013.
【点评】此题考查科学记数法的表示方法.科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数,表示时关键要正确确定a的值以及n的值.
14.(3分)已知不等式组的解集为x>﹣1,则k的取值范围是 k≤﹣2 .
【考点】CB:解一元一次不等式组.菁优网版权所有
【分析】求出每个不等式的解集,根据已知得出关于k的不等式,求出不等式的解集即可.
【解答】解:
由①得x>﹣1;
由②得x>k+1.
∵不等式组的解集为x>﹣1,
∴k+1≤﹣1,
解得k≤﹣2.
故答案为k≤﹣2.
【点评】本题考查了解一元一次不等式组的应用,解此题的关键是能根据不等式的解集和已知得出关于k的不等式,难度适中.
15.(3分)化简:1﹣÷= ﹣ .
【考点】6C:分式的混合运算.菁优网版权所有
【分析】根据分式混合运算的法则计算即可.
【解答】解:1﹣÷=1﹣•=1﹣=﹣,
故答案为:﹣.
【点评】本题考查了分式的混合运算,熟记法则是解题的关键.
16.(3分)甲、乙两班举行数学知识竞赛,参赛学生的竞赛得分统计结果如下表:
班级
参赛人数
平均数
中位数
方差
甲
45
83
86
82
乙
45
83
84
135
某同学分析上表后得到如下结论:
①甲、乙两班学生的平均成绩相同;
②乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数(竞赛得分≥85分为优秀);
③甲班成绩的波动性比乙班小.
上述结论中正确的是 ①②③ .(填写所有正确结论的序号)
【考点】W1:算术平均数;W4:中位数;W7:方差.菁优网版权所有
【分析】根据平均数、中位数、方差的定义即可判断;
【解答】解:由表格可知,甲、乙两班学生的成绩平均成绩相同;
根据中位数可以确定,乙班优秀的人数少于甲班优秀的人数;
根据方差可知,甲班成绩的波动性比乙班小.
故①②③正确,
故答案为:①②③.
【点评】本题考查平均数、中位数、方差等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
17.(3分)如图,在△ABC中,∠CAB=55°,∠ABC=25°,在同一平面内,将△ABC绕A点逆时针旋转70°得到△ADE,连接EC,则tan∠DEC的值是 1 .
【考点】R2:旋转的性质;T7:解直角三角形.菁优网版权所有
【分析】根据旋转的性质以及锐角三角函数的定义即可求出答案.
【解答】解:由旋转的性质可知:AE=AC,∠CAE=70°,
∴∠ACE=∠AEC=55°,
又∵∠AED=∠ACB,∠CAB=55°,∠ABC=25°,
∴∠ACB=∠AED=100°,
∴∠DEC=100°﹣55°=45°,
∴tan∠DEC=tan45°=1,
故答案为:1
【点评】本题考查旋转的性质,解题的关键是熟练运用旋转的性质,本题属于中等题型.
18.(3分)如图,BD是⊙O的直径,A是⊙O外一点,点C在⊙O上,AC与⊙O相切于点C,∠CAB=90°,若BD=6,AB=4,∠ABC=∠CBD,则弦BC的长为 2 .
【考点】M5:圆周角定理;MC:切线的性质.菁优网版权所有
【分析】连接CD、OC,由切线的性质得出AC⊥OC,证出OC∥AB,由平行线的性质和等腰三角形的性质得出∠ABC=∠CBO,由圆周角定理得出∠BCD=90°=∠CAB,证明△ABC∽△CBD,得出=,即可得出结果.
【解答】解:连接CD、OC,如图:
∵AC与⊙O相切于点C,
∴AC⊥OC,
∵∠CAB=90°,
∴AC⊥AB,
∴OC∥AB,
∴∠ABC=∠OCB,
∵OB=OC,
∴∠OCB=∠CBO,
∴∠ABC=∠CBO,
∵BD是⊙O的直径,
∴∠BCD=90°=∠CAB,
∴△ABC∽△CBD,
∴=,
∴BC2=AB×BD=4×6=24,
∴BC==2;
故答案为:2.
【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、平行线的性质;熟练掌握切线的性质和圆周角定理,证明三角形相似是解题的关键.
19.(3分)如图,在平面直角坐标系中,已知A(﹣1,0),B(0,2),将△ABO沿直线AB翻折后得到△ABC,若反比例函数y=(x<0)的图象经过点C,则k= .
【考点】F8:一次函数图象上点的坐标特征;G4:反比例函数的性质;G6:反比例函数图象上点的坐标特征;PB:翻折变换(折叠问题).菁优网版权所有
【分析】由A(﹣1,0),B(0,2),可知OA,OB,由折叠得OA=AC=1,OB=BC=2,要求k的值只要求出点C的坐标即可,因此过点C作垂线,构造相似三角形,得出线段之间的关系,设合适的未知数,在直角三角形中由勾股定理,解出未知数,进而确定点C的坐标,最终求出k的值.
【解答】解:过点C作CD⊥x轴,过点B作BE⊥y轴,与DC的延长线相交于点E,
由折叠得:OA=AC=1,OB=BC=2,
易证,△ACD∽△BCE,
∴,
设CD=m,则BE=2m,CE=2﹣m,AD=2m﹣1
在Rt△ACD中,由勾股定理得:AD2+CD2=AC2,
即:m2+(2m﹣1)2=12,解得:m1=,m2=0(舍去);
∴CD=,BE=OA=,
∴C(,)代入y=得,k==,
故答案为:
【点评】考查折叠得性质、相似三角形的性质、直角三角形的勾股定理、反比例函数图象上点的坐标特征等知识,由于综合利用的知识较多,本题由一定的难度.
20.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BC=3,D为斜边AC的中点,连接BD,点F是BC边上的动点(不与点B、C重合),过点B作BE⊥BD交DF延长线交于点E,连接CE,下列结论:
①若BF=CF,则CE2+AD2=DE2;
②若∠BDE=∠BAC,AB=4,则CE=;
③△ABD和△CBE一定相似;
④若∠A=30°,∠BCE=90°,则DE=.
其中正确的是 ①②④ .(填写所有正确结论的序号)
【考点】KO:含30度角的直角三角形;KP:直角三角形斜边上的中线;S9:相似三角形的判定与性质.菁优网版权所有
【分析】①由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,得AD=BD,由BF=CF,BD=CD得DE是BC的垂直平分线,得BE=CE,再由勾股定理便可得结论,由此判断结论的正误;
②证明△ABC∽△DBE,求得BE,再证明DE∥AB,得DE垂直平分BC,得CE=BE,便可判断结论的正误;
③证明∠ABD=∠CBE,再证明BE与BC或BC与BE两边的比不一定等于AB与BD的比,便可判断结论正误;
④先求出AC,进而得BD,再在Rt△BCE中,求得BE
,进而由勾股定理求得结果,便可判断正误.
【解答】解:①∵∠ABC=90°,D为斜边AC的中点,
∴AD=BD=CD,
∵AF=CF,
∴BF=CF,
∴DE⊥BC,
∴BE=CE,∵
∵BE⊥BD,
∴BD2+BE2=DE2,
∴CE2+AD2=DE2,
故①正确;
②∵AB=4,BC=3,
∴AC=,
∴,
∵∠A=∠BDE,∠ABC=∠DBE=90°,
∴△ABC∽△DBE,
∴,
即.
∴BE=,
∵AD=BD,
∴∠A=∠ABD,
∵∠A=∠BDE,∠BDC=∠A+∠ABD,
∴∠A=∠CDE,
∴DE∥AB,
∴DE⊥BC,
∵BD=CD,
∴DE垂直平分BC,
∴BE=CE,
∴CE=,
故②正确;
③∵∠ABC=∠DBE=90°,
∴∠ABD=∠CBE,
∵,
但随着F点运动,BE的长度会改变,而BC=3,
∴或不一定等于,
∴△ABD和△CBE不一定相似,
故③错误;
④∵∠A=30°,BC=3,
∴∠A=∠ABD=∠CBE=30°,AC=2BC=6,
∴BD=,
∵BC=3,∠BCE=90°,
∴BE=,
∵∴,
故④正确;
故答案为:①②④.
【点评】本题是三角形的一个综合题,主要考查了勾股定理,相似三角形的性质与判定,全等三角形的性质与判定,解直角三角形,直角三角形的性质,线段垂直平分线的判定与性质,考试的内容多,难度较大,关键是综合应用以上性质灵活解题.
三、解答题:本大题共有6小题,共60分.
21.(8分)某校为了解九年级学生的体育达标情况,随机抽取50名九年级学生进行体育达标项目测试,测试成绩如下表,请根据表中的信息,解答下列问题:
测试成绩(分)
23
25
26
28
30
人数(人)[来源:Zxxk.Com]
4
18
15
8
5
(1)该校九年级有450名学生,估计体育测试成绩为25分的学生人数;
(2)该校体育老师要对本次抽测成绩为23分的甲、乙、丙、丁4名学生进行分组强化训练,要求两人一组,求甲和乙恰好分在同一组的概率.(用列表或树状图方法解答)
【考点】V5:用样本估计总体;X6:列表法与树状图法.菁优网版权所有
【分析】(1)由总人数乘以25分的学生所占的比例即可;
(2)画树状图可知:共有12个等可能的结果,甲和乙恰好分在同一组的结果有4个,由概率公式即可得出结果.
【解答】解:(1)450×=162(人),
答:该校九年级有450名学生,估计体育测试成绩为25分的学生人数为162人;
(2)画树状图如图:
共有12个等可能的结果,
∵丙丁分到一组时,甲乙也恰好在同一组,
∴甲和乙恰好分在同一组的结果有4个,
∴甲和乙恰好分在同一组的概率为=.
【点评】本题考查了列表法与树状图法,统计表等知识,解题的关键是熟练掌握基本知识,属于中考常考题型.
22.(8分)如图,在四边形ABCD中,AD∥BC,AB=BC,∠BAD=90°,AC交BD于点E,∠ABD=30°,AD=,求线段AC和BE的长.
(注:==)
【考点】S9:相似三角形的判定与性质;T7:解直角三角形.菁优网版权所有
【分析】直接利用相似三角形的判定与性质得出=,进而得出AC,BE的长.
【解答】解:在Rt△ABD中
∵∠BAD=90°,∠ABD=30°,AD=,
∴tan∠ABD=,[来源:Zxxk.Com]
∴=,
∴AB=3,
∵AD∥BC,
∴∠BAD+∠ABC=180°,
∴∠ABC=90°,
在Rt△ABC中,∵AB=BC=3,
∴AC==3,
∵AD∥BC,
∴△ADE∽△CBE,
∴=,
∴=,
设DE=x,则BE=3x,
∴BD=DE+BE=(+3)x,
∴=,
∵在Rt△ABD中,∠ABD=30°,
∴BD=2AD=2,
∴DE=2×,
∴DE=3﹣,
∴BE=(3﹣)=3﹣3.
【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质,正确得出DE,BD
之间关系是解题关键.
23.(10分)某出租公司有若干辆同一型号的货车对外出租,每辆货车的日租金实行淡季、旺季两种价格标准,旺季每辆货车的日租金比淡季上涨.据统计,淡季该公司平均每天有10辆货车未出租,日租金总收入为1500元;旺季所有的货车每天能全部租出,日租金总收入为4000元.
(1)该出租公司这批对外出租的货车共有多少辆?淡季每辆货车的日租金多少元?
(2)经市场调查发现,在旺季如果每辆货车的日租金每上涨20元,每天租出去的货车就会减少1辆,不考虑其它因素,每辆货车的日租金上涨多少元时,该出租公司的日租金总收入最高?
【考点】B7:分式方程的应用;HE:二次函数的应用.菁优网版权所有
【分析】(1)根据题意可以列出方程,进而求得结论;
(2)根据题意可以求得总收入和上涨价格之间的函数解析式,然后化为顶点式即可解答本题.
【解答】解:(1)该出租公司这批对外出租的货车共有x辆,
根据题意得,,
解得:x=20,
经检验:x=20是分式方程的根,
∴1500÷(20﹣10)=150(元),
答:该出租公司这批对外出租的货车共有20辆,淡季每辆货车的日租金150元;
(2)设每辆货车的日租金上涨a元时,该出租公司的日租金总收入为W元,
根据题意得,W=[a+150×(1+)]×(20﹣),
∴W=﹣a2+10a+4000=﹣(a﹣100)2+4500,
∵﹣<0,
∴当a=100时,W有最大值,
答:每辆货车的日租金上涨100元时,该出租公司的日租金总收入最高.
【点评】本题考查二次函数的应用,解答本题的关键是明确题意,找出所求问题需要的条件,利用二次函数的性质解答.
24.(10分)如图,在⊙O中,B是⊙O上的一点,∠ABC=120°,弦AC=2,弦BM
平分∠ABC交AC于点D,连接MA,MC.
(1)求⊙O半径的长;
(2)求证:AB+BC=BM.
【考点】KD:全等三角形的判定与性质;KQ:勾股定理;M2:垂径定理;M5:圆周角定理.菁优网版权所有
【分析】(1)连接OA、OC,过O作OH⊥AC于点H,由圆内接四边形的性质求得∠AMC,再求得∠AOC,最后解直角三角形得OA便可;
(2)在BM上截取BE=BC,连接CE,证明BC=BE,再证明△ACB≌△MCE,得AB=ME,进而得结论.
【解答】解:(1)连接OA、OC,过O作OH⊥AC于点H,如图1,
∵∠ABC=120°,
∴∠AMC=180°﹣∠ABC=60°,
∴∠AOC=2∠AMC=120°,
∴∠AOH=∠AOC=60°,
∵AH=AC=,
∴OA=,
故⊙O的半径为2.
(2)证明:在BM上截取BE=BC,连接CE,如图2,
∵∠MBC=60°,BE=BC,
∴△EBC是等边三角形,
∴CE=CB=BE,∠BCE=60°,
∴∠BCD+∠DCE=60°,
∵∠ACM=60°,
∴∠ECM+∠DCE=60°,
∴∠ECM=∠BCD,
∵∠ABC=120°,BM平分∠ABC,
∴∠ABM=∠CBM=60°,
∴∠CAM=∠CBM=60°,∠ACM=∠ABM=60°,
∴△ACM是等边三角形,
∴AC=CM,
∴△ACB≌△MCE,
∴AB=ME,
∵ME+EB=BM,
∴AB+BC=BM.
【点评】本题是圆的一个综合题,主要考查圆的圆内接四边形定理,圆周角定理,垂径定理,角平分线定义,三角形全等的性质与判定,等边三角形的性质与判定,解直角三角形,内容较多,有一定难度,第一题关键在于求∠AOC的度数,第二题的关键在于构造全等三角形.
25.(12分)如图,在正方形ABCD中,AB=6,M是对角线BD上的一个动点(0<DM<BD),连接AM,过点M作MN⊥AM交BC于点N.
(1)如图①,求证:MA=MN;
(2)如图②,连接AN,O为AN的中点,MO的延长线交边AB于点P,当时,求AN和PM的长;
(3)如图③,过点N作NH⊥BD于H,当AM=2时,求△HMN的面积.
【考点】SO:相似形综合题.菁优网版权所有
【分析】(1)过点M作MF⊥AB于F,作MG⊥BC于G,由正方形的性质得出∠ABD=∠DBC=45°,由角平分线的性质得出MF=MG,证得四边形FBGM是正方形,得出∠FMG=90°,证出∠AMF=∠NMG,证明△AMF≌△NMG,即可得出结论;
(2)证明Rt△AMN∽Rt△BCD,得出=()2,求出AN=2,由勾股定理得出BN==4,由直角三角形的性质得出OM=OA=ON=AN=,OM⊥AN,证明△PAO∽△NAB,得出=,求出OP=,即可得出结果;
(3)过点A作AF⊥BD于F,证明△AFM≌△MHN得出AF=MH,求出AF=BD=×6=3,得出MH=3,MN=2,由勾股定理得出HN==,由三角形面积公式即可得出结果.
【解答】(1)证明:过点M作MF⊥AB于F,作MG⊥BC于G,如图①所示:
∴∠AFM=∠MFB=∠BGM=∠NGM=90°,
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ABC=∠DAB=90°,AD=AB,∠ABD=∠DBC=45°,
∵MF⊥AB,MG⊥BC,
∴MF=MG,
∵∠ABC=90°,
∴四边形FBGM是正方形,[来源:Zxxk.Com]
∴∠FMG=90°,
∴∠FMN+∠NMG=90°,
∵MN⊥AM,
∴∠AMF+∠FMN=90°,
∴∠AMF=∠NMG,
在△AMF和△NMG中,,
∴△AMF≌△NMG(ASA),
∴MA=MN;
(2)解:在Rt△AMN中,由(1)知:MA=MN,
∴∠MAN=45°,
∵∠DBC=45°,
∴∠MAN=∠DBC,
∴Rt△AMN∽Rt△BCD,
∴=()2,
在Rt△ABD中,AB=AD=6,
∴BD=6,
∵,
∴=,
解得:AN=2,
∴在Rt△ABN中,BN===4,
∵在Rt△AMN中,MA=MN,O是AN的中点,
∴OM=OA=ON=AN=,OM⊥AN,
∴∠AOP=90°,
∴∠AOP=∠ABN,
∵∠PAO=∠NAB,
∴△PAO∽△NAB,
∴=,即:=,
解得:OP=,
∴PM=OM+OP=+=;
(3)解:过点A作AF⊥BD于F,如图③所示:
∴∠AFM=90°,
∴∠FAM+∠AMF=90°,
∵MN⊥AM,
∴∠AMN=90°,
∴∠AMF+∠HMN=90°,
∴∠FAM=∠HMN,
∵NH⊥BD,
∴∠AFM=∠MHN=90°,
在△AFM和△MHN中,,
∴△AFM≌△MHN(AAS),
∴AF=MH,
在等腰直角△ABD中,∵AF⊥BD,
∴AF=BD=×6=3,
∴MH=3,
∵AM=2,
∴MN=2,
∴HN===,
∴S△HMN=MH•HN=×3×=3,
∴△HMN的面积为3.
【点评】本题是相似形综合题目,考查了相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、正方形的判定与性质、直角三角形的性质、勾股定理、角平分线的性质等知识;本题综合性强,有一定难度,证明三角形相似和三角形全等是解题的关键.
26.(12分)如图,在平面直角坐标系中,已知抛物线y=ax2+bx+2(a≠0)与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,连接BC.
(1)求该抛物线的解析式,并写出它的对称轴;
(2)点D为抛物线对称轴上一点,连接CD、BD,若∠DCB=∠CBD,求点D的坐标;
(3)已知F(1,1),若E(x,y)是抛物线上一个动点(其中1<x<2),连接CE、CF、EF,求△CEF面积的最大值及此时点E的坐标.
(4)若点N为抛物线对称轴上一点,抛物线上是否存在点M,使得以B,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请直接写出所有满足条件的点M的坐标;若不存在,请说明理由.
【考点】HF:二次函数综合题.菁优网版权所有
【分析】(1)将点A(﹣1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx+2即可;
(2)过点D作DG⊥y轴于G,作DH⊥x轴于H,设点D(1,y),在Rt△CGD中,CD2=CG2+GD2=(2﹣y)2+1,在Rt△BHD中,BD2=BH2+HD2=4+y2,可以证明CD=BD,即可求y的值;
(3)过点E作EQ⊥y轴于点Q,过点F作直线FR⊥y轴于R,过点E作FP⊥FR于P,证明四边形QRPE是矩形,根据S△CEF=S矩形QRPE﹣S△CRF﹣S△EFP,代入边即可;
(4)根据平行四边形对边平行且相等的性质可以得到存在点M使得以B,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形,点M(2,2)或M(4,﹣)或M(﹣2,﹣);
【解答】解:(1)将点A(﹣1,0),B(3,0)代入y=ax2+bx+2,
可得a=﹣,b=,
∴y=﹣x2+x+2;
∴对称轴x=1;
(2)如图1:过点D作DG⊥y轴于G,作DH⊥x轴于H,
设点D(1,y),
∵C(0,2),B(3,0),
∴在Rt△CGD中,CD2=CG2+GD2=(2﹣y)2+1,
∴在Rt△BHD中,BD2=BH2+HD2=4+y2,
在△BCD中,∵∠DCB=∠CBD,
∴CD=BD,
∴CD2=BD2,
∴(2﹣y)2+1=4+y2,
∴y=,
∴D(1,);
(3)如图2:过点E作EQ⊥y轴于点Q,过点F作直线FR⊥y轴于R,过点E作FP⊥FR于P,
∴∠EQR=∠QRP=∠RPE=90°,
∴四边形QRPE是矩形,
∵S△CEF=S矩形QRPE﹣S△CRF﹣S△EFP﹣S△CQE
∵E(x,y),C(0,2),F(1,1),
∴S△CEF=EQ•QR﹣×EQ•QC﹣CR•RF﹣FP•EP,
∴S△CEF=x(y﹣1)﹣x(y﹣2)﹣×1×1﹣(x﹣1)(y﹣1),
∵y=﹣x2+x+2,
∴S△CEF=﹣x2+x,
∴当x=时,面积有最大值是,
此时E(,);
(4)存在点M使得以B,C,M,N为顶点的四边形是平行四边形,
设N(1,n),M(x,y),
①四边形CMNB是平行四边形时,
=,
∴x=﹣2,
∴M(﹣2,﹣);
②四边形CNBM时平行四边形时,
=,
∴x=2,
∴M(2,2);
③四边形CNNB时平行四边形时,
=,
∴x=4,
∴M(4,﹣);
综上所述:M(2,2)或M(4,﹣)或M(﹣2,﹣);
【点评】本题考查二次函数的图象及性质;熟练掌握二次函数的性质,灵活运用勾股定理求边长,掌握平行四边形的判定方法是解题的关键.
声明:试题解析著作权属菁优网所有,未经书面同意,不得复制发布
日期:2019/7/29 11:40:35;用户:学无止境;邮箱:419793282@qq.com;学号:7910509
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