2019年江苏省徐州市铜山区中考数学二模试卷（含答案解析） 22页

2019 年江苏省徐州市铜山区中考数学二模试卷 一．选择题（共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分） 1．﹣2018 的绝对值的相反数是（　　） A． B．﹣ C．2018 D．﹣2018 2．下列计算正确的是（　　） A．3a﹣a＝2 B．a2+a3＝a5 C．a6÷a2＝a4 D．（a2）3＝a5 3．在下图的四个立体图形中，从正面看是四边形的立体图形有（　　） A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 4．式子 有意义的 x 的取值范围是（　　） A．x≥﹣ 且 x≠1 B．x≠1 C． D．x＞﹣ 且 x≠1 5．下面四个图形分别是绿色食品、节水、节能和回收标志，在这四个标志中，是中心对称图形的是 （　　） A． B． C． D． 6．为庆祝首个“中国农民丰收节”，十渡镇西河村举办“西河稻作文化节”活动．西河水稻种植历 史悠久，因“色白粒粗，味极香美，七煮不烂”而享誉京城．已知每粒稻谷重约 0.000035 千克， 将 0.000035 用科学记数法表示应为（　　） A．35×10﹣6 B．3.5×10﹣6 C．3.5×10﹣5 D．0.35×10﹣4 7．如图，在⊙O 中，点 A、B、C 在⊙O 上，且∠ACB＝110°，则∠α＝（　　） A．70° B．110° C．120° D．140° 8．如图，矩形 ABCD 中，AB＝3，BC＝4，点 P 从 A 点出发，按 A→B→C 的方向在 AB 和 BC 上移 动．记 PA＝x，点 D 到直线 PA 的距离为 y，则 y 关于 x 的函数大致图象是（　　） A． B． C． D． 二．填空题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分） 9．如图，将一副三角板叠在一起，使它们的直角顶点重合于 O 点，且∠AOB＝155°，则∠COD＝　 　 ． 10．在九年级体育考试中，某校某班参加仰卧起坐测试的 8 名女生成绩如下（单位：次/分）：44， 45，42，48，46，43，47，45，则这组数据的众数为　 　． 11．已知 A（m，3）、B（﹣2，n）在同一个反比例函数图象上，则 ＝　 　． 12．如果一个正多边形每一个内角都等于 144°，那么这个正多边形的边数是　 　． 13．关于 x 的一元二次方程 x2+2x+m＝0 有两个相等的实数根，则 m 的值是　 　． 14．下列四个命题中：①对顶角相等；②同位角相等；③全等三角形对应边相等；④菱形的对角 线相等．其中，真命题的有　 　（填序号）． 15．在 Rt△ABC 中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，则这个三角形的外接圆的直径长为　 　． 16．如图，△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°，点 P 是 BC 边上的动点，则在 ①3.6②4，③5.5，④7，这四个数中 AP 长不可能是　 　 （填序号） 17．如图：已知正方形的边长为 a，将此正方形按照下面的方法进行剪拼：第一次，先沿正方形的 对边中点连线剪开，然后对接为一个长方形，则此长方形的周长为　 　；第二次，再沿长方 形的对边（长方形的宽）中点连线剪开，对接为新的长方形，如此继续下去，第 n 次得到的长方 形的周长为　 　． 18．如图，在矩形 ABCD 中，AB＝4，BC＝6，E 是矩形内部的一个动点，且 AE⊥BE，则线段 CE 的最小值为　 　． 三．解答题（共 10 小题，满分 86 分） 19．计算： （1）| ﹣2|+2 0100﹣（﹣ ）﹣1+3tan30°． （2） ÷（a+1）﹣ ． 20．解方程： （1）x2﹣8x+1＝0 （2） ＝1 （3）解不等式组 21．为了解某校学生对《最强大脑》、《朗读者》、《中国诗词大会》、《出彩中国人》四个电视 节目的喜爱情况，随机抽取了 x 名学生进行调查统计（要求每名学生选出并且只能选出一个自己 最喜爱的节目），并将调查结果绘制成 如图统计图表： 学生最喜爱的节目人数统计表 节目 人数（名） 百分比 最强大脑 5 10% 朗读者 15 b% 中国诗词大会 a 40% 出彩中国人 10 20% 根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）x＝　 　，a＝　 　，b＝　 　； （2）补全上面的条形统计图； （3）若该校共有学生 1000 名，根据抽样调查结果，估计该校最喜爱《中国诗词大会》节目的学 生有多少名． 22．在一个不透明的袋中装有 5 个只有颜色不同的球，其中 3 个黄球，2 个黑球． （1）求从袋中同时摸出的两个球都是黄球的概率； （2）现将黑球和白球若干个（黑球个数是白球个数的 2 倍）放入袋中，搅匀后，若从袋中摸出 一个球是黑球的概率是 ，求放入袋中的黑球的个数． 23．如图，▱ABCD 的对角线 AC、BD 相交于点 O，AE＝CF． （1）求证：△BOE≌△DOF； （2）若 BD＝EF，连接 DE、BF，判断四边形 EBFD 的形状，并证明你的结论． 24．从甲地到乙地有两条公路，一条是全长 600km 的普通公路，另一条是全长 480km 的高速公路， 某客车在高速公路上行驶的平均速度比在普通公路上快 45km/h，由高速公路从甲地到乙地所需的 时间是由普通公路从甲地到乙地所需时间的一半，求该客车由高速公路从甲地到乙地所需的时间． 25．小亮一家到桃林口水库游玩．在岸边码头 P 处，小亮和爸爸租船到库区游玩，妈妈在岸边码头 P 处观看小亮与爸爸在水面划船，小船从 P 处出发，沿北偏东 60°方向划行，划行速度是 20 米/分 钟，划行 10 分钟后到 A 处，接着向正南方向划行一段时间到 B 处，在 B 处小亮观测到妈妈所在 的 P 处在北偏西 37°的方向上，这时小亮与妈妈相距多少米？（精确到 1m，参考数据：sin37° ≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75， ≈1.41， ≈1.73） 26．某文具商店销售功能相同的 A、B 两种品牌的计算器，购买 2 个 A 品牌和 3 个 B 品牌的计算器 共需 156 元；购买 3 个 A 品牌和 1 个 B 品牌的计算器共需 122 元． （1）求这两种品牌计算器的单价； （2）学校开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A 品牌计算器按原 价的八折销售，B 品牌计算器超出 5 个的部分按原价的七折销售，设购买 x 个 A 品牌的计算器需 要 y1 元，购买 x（x＞5）个 B 品牌的计算器需要 y2 元，分别求出 y1、y2 关于 x 的函数关系式； （3）当需要购买 50 个计算器时，买哪种品牌的计算器更合算？ 27．我们把两条中线互相垂直的三角形称为“中垂三角形”．例如图 1，图 2，图 3 中，AF，BE 是△ ABC 的中线，AF⊥BE，垂足为 P．像△ABC 这样的三角形均为“中垂三角形”．设 BC＝a，AC＝ b，AB＝c． 特例探索 （1）①如图 1，当∠ABE＝45°，c＝2 时，a＝　 　，b＝　 　； ②如图 2，当∠ABE＝30°，c＝4 时，求 a 和 b 的值． 归纳证明 （2）请你观察（1）中的计算结果，猜想三者之间的关系，用等式表示出来，并利用图 3 证明你 发现的关系式． （3）利用（2）中的结论，解答下列问题： 在边长为 3 的菱形 ABCD 中，O 为对角线 AC，BD 的交点，E，F 分别为线段 AO，DO 的中点， 连接 BE，CF 并延长交于点 M，BM，CM 分别交 AD 于点 G，H，如图 4 所示，求 MG2+MH2 的 值． 28．如图 1，抛物线 y＝﹣ x2+ x+6 与 x 轴交于 A、B（B 在 A 的左侧）两点，与 y 轴交于点 C， 将直线 AC 沿 y 轴正方向平移 2 个单位得到直线 A′C′，将抛物线的对称 轴沿 x 轴正方向平移 个单位得到直线 l． （1）求直线 AC 的解析式； （2）如图 2，点 P 为直线 A′C′上方抛物线上一动点，连接 PC，PA 与直线 AC 分别交于点 E、 F，过点 P 作 PP1⊥l 于点 P1，M 是线段 AC 上一动点，过 M 作 MN⊥A′C′于点 N，连接 P1M， 当△PCA 的面积最大时，求 P1M+MN+ NA′的最小值；[来源:学科网] （3）如图 3，连接 BC，将△BOC 绕点 A 顺时针旋转 60°后得到△B1O1C1，点 R 是直线 l 上一 点，在直角坐标平面内是否存在一点 S，使得以点 O1、C1、R、S 为顶点的四边形是矩形？若存 在，求出点 S 的坐标；若不存在，请说明理由． 2019 年江苏省徐州市铜山区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共 8 小题，满分 24 分，每小题 3 分）[来源:学科网] 1．【分析】直接利用绝对值以及相反数的定义分析得出答案． 【解答】解：﹣2018 的绝对值为：2018， 故 2018 的相反数是：﹣2018． 故选：D． 【点评】此题主要考查了绝对值以及相反数，正确把握相关定义是解题关键． 2．【分析】依据合并同类项法则、同底数幂的除法法则以及幂的乘方法则进行判断即可． 【解答】解：3a﹣a＝2a，故 A 选项错误； a2+a3≠a5，故 B 选项错误； a6÷a2＝a4，故 C 选项正确； （a2）3＝a6，故 D 选项错误； 故选：C． 【点评】本题主要考查了合并同类项法则、同底数幂的除法法则以及幂的乘方，合并同类项是指 同类项的系数的相加，并把得到的结果作为新的系数，要保持同类项的字母和字母的指数不变． 3．【分析】找到从正面看所得到的图形比较即可． 【解答】解：正方体的正视图是四边形； 球的正视图是圆； 圆锥的正视图是等腰三角形； 圆柱的正视图是四边形； 是四边形的有两个． 故选：B． 【点评】本题考查了三视图的知识，正视图是从物体的正面看得到的视图． 4．【分析】根据被开方数是非负数且分母不等于零，可得答案． 【解答】解：由题意，得 2x+1≥0 且 x﹣1≠0， 解得 x≥﹣ 且 x≠1， 故选：A． 【点评】本题考查了二次根式有意义的条件，利用被开方数是非负数且分母不等于零得出不等式 是解题关键． 5．【分析】根据中心对称图形的概念对各个选项中的图形进行判断即可． 【解答】解：A、B、C 都不是中心对称图形，D 是中心对称图形， 故选：D． 【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，如果一个图形绕某一点旋转 180°后能够与自身重 合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 6．【分析】科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对 值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 【解答】解：0.000035＝3.5×10﹣5， 故选：C． 【点评】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a| ＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 7．【分析】作 所对的圆周角∠ADB，如图，利用圆内接四边形的性质得∠ADB＝70°，然后根据 圆周角定理求解． 【解答】解：作 所对的圆周角∠ADB，如图， ∵∠ACB+∠ADB＝180°， ∴∠ADB＝180°﹣110°＝70°， ∴∠AOB＝2∠ADB＝140°． 故选：D． 【点评】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条 弧所对的圆心角的一半． 8．【分析】根据题意，分两种情况：（1）当点 P 在 AB 上移动时，点 D 到直线 PA 的距离不变， 恒为 4；（2）当点 P 在 BC 上移动时，根据相似三角形判定的方法，判断出△PAB∽△ADE，即 可判断出 y＝ （3＜x≤5），据此判断出 y 关于 x 的函数大致图象是哪个即可． 【解答】解：（1）当点 P 在 AB 上移动时， 点 D 到直线 PA 的距离为： y＝DA＝BC＝4（0≤x≤3）． （2）如图 1，当点 P 在 BC 上移动时， ， ∵AB＝3，BC＝4， ∴AC＝ ， ∵∠PAB+∠DAE＝90°，∠ADE+∠DAE＝90°， ∴∠PAB＝∠ADE， 在△PAB 和△ADE 中， ∴△PAB∽△ADE， ∴ ， ∴ ， ∴y＝ （3＜x≤5）． 综上，可得 y 关于 x 的函数大致图象是： ． 故选：D． 【点评】（1）此题主要考查了动点问题的函数图象，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确： 通过看图获取信息，不仅可以解决生活中的实际问题，还可以提高分析问题、解决问题的能力． 用图象解决问题时，要理清图象的含义即会识图． （2）此题还考查了相似三角形的判定和性质的应用，要熟练掌握． 二．填空题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分） 9．【分析】先根据直角三角板的性质得出∠AOC+∠DOB＝180°，进而可得出∠COD 的度数． 【解答】解：∵△AOC△BOD 是一副直角三角板， ∴∠AOC+∠DOB＝180°， ∴∠AOB+∠COD＝∠DOB+∠AOD+∠COD＝∠DOB+∠AOC＝90°+90°＝180°， ∵∠AOB＝155°， ∴∠COD＝180°﹣∠AOB＝180°﹣155°＝25°， 故答案为：25° 【点评】本题考查的是角的计算，熟知直角三角板的特点是解答此题的关键． 10．【分析】根据众数的定义即一组数据中出现次数最多的数，即可得出答案． 【解答】解：∵45 出现了 2 次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数为 45； 故答案为：45． 【点评】此题考查了众数，掌握众数的定义是解题的关键；众数是一组数据中出现次数最多的数 ． 11．【分析】设反比例函数解析式为 y＝ （k 为常数，k≠0），根据反比例函数图象上点的坐标特 征得到 k＝3m＝﹣2n，即可得 的值． 【解答】解：设反比例函数解析式为 y＝ ， 根据题意得：k＝3m＝﹣2n ∴ ＝﹣ 故答案为：﹣ ． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数y＝ （k 为常数，k≠0）的图 象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值 k，即 xy＝k． 12．【分析】设正多边形的边数为 n，然后根据多边形的内角和公式列方程求解即可． 【解答】解：设正多边形的边数为 n， 由题意得， ＝144°， 解得 n＝10． 故答案为：10． 【点评】本题考查了多边形的内角与外角，熟记公式并准确列出方程是解题的关键． 13．【分析】由于关于 x 的一元二次方程 x2+2x+m＝0 有两个相等的实数根，可知其判别式为 0，据 此列出关于 m 的方程，解答即可． 【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程 x2+2x+m＝0 有两个相等的实数根， ∴△＝0， ∴22﹣4m＝0， ∴m＝1， 故答案为：1． 【点评】本题主要考查了根的判别式的知识，解答本题的关键是掌握一元二次方程有两个相等的 实数根，则可得△＝0，此题难度不大． 14．【分析】要说明一个命题的正确性，一般需要推理、论证，而判断一个命题是假命题，只需举 出一个反例即可． 【解答】解：①对顶角相等是真命题； ②两直线平行，同位角相等，是假命题； ③全等三角形对应边相等是真命题； ④菱形的对角线垂直，是假命题； 故答案为：①③ 【点评】本题主要考查了命题与定理的运用，解题时注意：命题的“真”“假”是就命题的内容 而言，任何一个命题非真即假． 15．【分析】根据这个三角形的外接圆直径是斜边长即可得到结论． 【解答】解：根据题意得：斜边是 AC，即外接圆直径＝ ＝ ＝10， 这个三角形的外接圆的直径长为 10， 故答案为：10． 【点评】本题考查的是直角三角形的外接圆半径，重点在于理解直角三角形的外接圆是以斜边中 点为圆心，斜边长的一半为半径的圆． 16．【分析】利用垂线段最短分析AP 最小不能小于 3；利用含 30 度角的直角三角形的性质得出 AB ＝6，可知 AP 最大不能大于 6．此题可解． 【解答】解：根据垂线段最短，可知 AP 的长不可小于 3； ∵△ABC 中，∠C＝90°，AC＝3，∠B＝30°， ∴AB＝6， ∴AP 的长不能大于 6． 故答案为：④ 【点评】本题主要考查了垂线段最短和的性质和含 30 度角的直角三角形的理解和掌握，解答此 题的关键是利用含 30 度角的直角三角形的性质得出 AB＝6． 17．【分析】先根据题意列出前 3 个长方形的周长，得出规律即可． 【解答】解：第 1 个长方形的周长为 4a+2× a， 第 2 个长方形的周长为 2×4a+2× a， 第 3 个长方形的周长为 2×8a+2× a， …… ∴第 n 个长方形的周长为 2n﹣1•4a+2×（ ）na， 故答案为：4a+2× a，2n﹣1•4a+2×（ ）na． 【点评】本题主要考查图形的变化规律，解题的关键是根据题意得出前几个长方形的周长，并据 此得出周长的变化规律． 18．【分析】由AE⊥BE 知点 E 在以 AB 为直径的半⊙O 上，连接 CO 交⊙O 于点 E′，当点 E 位于 点 E′位置时，线段 CE 取得最小值，利用勾股定理可得答案． 【解答】解：如图， ∵AE⊥BE， ∴点 E 在以 AB 为直径的半⊙O 上， 连接 CO 交⊙O 于点 E′， ∴当点 E 位于点 E′位置时，线段 CE 取得最小值， ∵AB＝4， ∴OA＝OB＝OE′＝2， ∵BC＝6， ∴OC＝ ＝ ＝2 ， 则 CE′＝OC﹣OE′＝2 ﹣2， 故答案为：2 ﹣2． 【点评】本题主要考查圆周角定理、圆的基本性质及矩形的性质、勾股定理，根据 AE⊥BE 知点 E 在以 AB 为直径的半⊙O 上是解题的关键． 三．解答题（共 10 小题，满分 86 分） 19．【分析】（1）根据绝对值、零次幂、负整数指数幂、特殊角的三角函数值计算即可． （2）按照分式的混合运算法则化简即可． 【解答】解：（1）原式＝2﹣ +1+3+3× ＝6； （2）原式＝ • ﹣ ＝ ﹣ ＝ ＝﹣1． 【点评】本题考查分式的混合运算，有理数的混合运算，零次幂，负整数指数幂，特殊角的三角 函数值等知识，解题的关键是记住分式的混合运算，先乘方，再乘除，然后加减，有括号的先算 括号里面的． 20．【分析】（1）把 1 移到等号的右边，然后等号两边同时加上一次项一半的平方，再开方求解； （2）根据去分母、去括号、移项、合并同类项、化系数为 1 的步骤求出 x 的值，再把 x 的值代入 原分式方程的公分母中进行检验； （3）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【解答】解：（1）x2﹣8x+1＝0 x2﹣8x＝﹣1， x2﹣8x+16＝﹣1+16，即（x﹣4）2＝15， ∴∴x﹣4＝± ， ∴x1＝4+ ，x2＝4﹣ ； （2）去分母得，x（x+3）﹣3＝x2﹣9， 去括号得，x2+3x﹣3＝x2﹣9， 移项、合并同类项得，3x＝﹣6， 系数化为 1 得，x＝﹣2， 经检验，x＝﹣2 是原方程的根； （3） ， 由①x≤1； 由②x＞﹣2； ∴原不等式组的解是﹣2＜x≤1． 【点评】本题考查的是解一元二次方程、解分式方程及解一元一次不等式组，在解（2）时要注 意验根，这是此题的易错点． 21．【分析】（1）根据最强大脑的人数除以占的百分比确定出 x 的值，进而求出 a 与 b 的值即可； （2）根据 a 的值，补全条形统计图即可； （3）由中国诗词大会的百分比乘以 1000 即可得到结果． 【解答】解：（1）根据题意得：x＝5÷10%＝50，a＝50×40%＝20，b＝ ×100＝30； 故答案为：50；20；30； （2）中国诗词大会的人数为 20 人，补全条形统计图，如图所示： （3）根据题意得：1000×40%＝400（名）， 则估计该校最喜爱《中国诗词大会》节目的学生有 400 名． 【点评】此题考查了条形统计图，用样本估计总体，以及统计表，弄清题中的数据是解本题的关 键． 22．【分析】（1）画树状图展示所有 20 种等可能的结果数，再找出从袋中同时摸出的两个球都是 黄球的结果数，然后根据概率公式求解； （2）设放入袋中的黑球的个数为 x，利用概率公式得到 ＝ ，然后解方程即可． 【解答】解：（1）画树状图为： 共有 20 种等可能的结果数，其中从袋中同时摸出的两个球都是黄球的结果数为 6， 所以从袋中同时摸出的两个球都是黄球的概率＝ ＝ ； （2）设放入袋中的黑球的个数为 x， 根据题意得 ＝ ， 解得x＝2， 所以放入袋中的黑球的个数为 2． 【点评】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果 n，再从 中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后利用概率公式计算事件 A 或事件 B 的概率． 23．【分析】（1）根据平行四边形的性质得出 BO＝DO，AO＝OC，求出 OE＝OF，根据全等三角 形的判定定理推出即可； （2）根先推出四边形 EBFD 是平行四边形，再根据矩形的判定得出即可． 【解答】（1）证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴BO＝DO，AO＝OC， ∵AE＝CF， ∴ AO﹣AE＝OC﹣CF， 即：OE＝OF， 在△BOE 和△DOF 中， ∴△BOE≌△DOF（SAS）； （2）矩形， 证明：∵BO＝DO，OE＝OF， ∴四边形 BEDF 是平行四边形， ∵BD＝EF， ∴平行四边形 BEDF 是矩形． 【点评】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和矩形的判定，能灵活运用定 理进行推理是解此题的关键． 24．【分析】本题依据题意先得出等量关系即客车由高速公路从 A 地道 B 的速度＝客车由普通公路 的速度+45，列出方程，解出检验并作答． 【解答】解：设客车由高速公路从甲地到乙地需 x 小时，则走普通公路需 2x 小时， 根据题意得： ， 解得 x＝4 经检验，x＝4 原方程的根， 答：客车由高速公路从甲地到乙地需 4 时． 【点评】本题主要考查分式方程的应用，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关 键．根据速度＝路程÷时间列出相关的等式，解答即可． 25．【分析】作 PQ⊥AB 于 Q，根据已知，∠APQ＝30°．解直角三角形求出 PB 即可； 【解答】解：作 PQ⊥AB 于 Q，根据已知，∠APQ＝30°． [来源:学科网 ZXXK] 则 AQ＝ AP ∵AP＝20×10＝200 ∴AQ＝100 ∴PQ＝ ＝100 ， 在 Rt△BPQ 中，sinB＝ ， ∴PB＝100 ÷0.60≈288 米 ∴此时，小亮与妈妈相距 288 米． 【点评】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解 决问题，属于中考常考题型． 26．【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得到答案； （2）根据题意用含 x 的代数式表示出 y1、y2 即可； （3）把 x＝50 代入两个函数关系式进行计算，比较得到答案． 【解答】解：（1）设 A、B 两种品牌的计算器的单价分别为 x、y 元，由题意得， ， 解得 ． 答：A、B 两种品牌的计算器的单价分别为 30 元、32 元； （2）y1＝24x， y2＝160+（x﹣5）×32×0.7＝22.4x+48；[来源:学科网 ZXXK] （3）当 x＝50 时，y1＝24x＝1200， y2＝22.4x+48＝1168， ∵1168＜1200， ∴买 B 品牌的计算器更合算． 【点评】本题考查的是二元一次方程组的应用和一次函数的应用，正确找出等量关系列出方程组 并正确解出方程组、掌握一次函数的性质是解题的关键． 27．【分析】（1）在图 1 中，PB＝ABsin45°＝2＝PA，即可求解；同理可得：a＝2 ，b＝2 ； （2）PB＝ABcosα＝ccosα，PA＝csinα，PF＝ PA＝ csinα，PE＝ csinα，则 a2+b2＝（2AE）2+ （2BF）2，即可求解； （3）证明：MG＝ ME＝ MB，MH＝ MC，则 MG2+MH2＝ （MB2+MC2），即可求解． 【解答】解：如图 1、2、3、4，连接 EF，则 EF 是△ABC 的中位线， 则 EF＝ AB，EF∥AB，∴△EFP∽△BPA， ∴ …①， （1）在图 1 中，PB＝ABsin45°＝2＝PA， 由①得：PF＝1， b＝2BF＝2 ＝2 ＝a； ②同理可得：a＝2 ，b＝2 ； （2）关系为：a2+b2＝5c2， 证明：如图 3，设：∠EAB＝α， 则：PB＝ABcosα＝ccosα，PA＝csinα， 由①得：PF＝ PA＝ csinα，PE＝ csinα， 则 a2+b2＝（2AE）2+（2BF）2＝c2×5[（sinα）2+（cosα）2]＝5c2； （3）∵AE＝OE＝ EC，AG∥BC， ∴AG＝ BC＝ AD，则 EF＝ BC＝ AD， 同理 HG＝ AD，∴GH＝ AD， ∴GH＝ EF， ∵GH∥BC，EF∥BC， ∴HG∥EF，∴MG＝ ME＝ MB， 同理：MH＝ MC， 则 MG2+MH2＝ （MB2+MC2）＝ ×5×BC2＝5． 【点评】本题为四边形综合题，考查了三角形相似、中位线等知识，其中（3），直接利用（2） 的结论是本题的新颖点和突破点． 28．【分析】（1）根据抛物线的解析式，令 y＝0，求出点 A 和点 B 的横坐标，令 x＝0，求出点 C 的纵坐标，再根据待定系数法求出直线 AC 的解析式； （2）先求出使△PCA 面积最大时点 P 的坐标，再根据题意求出点 P1 的坐标，因为直线 A'C'与直 线 AC 的距离是定值，所以 MN 的长度不变，然后通过作对称点，平移，由两点之间线段最终最 短求出结果； （3）根据题意画出图形，由旋转求出相关点的坐标，再通过矩形的性质和平移规律求出点 S 的 坐标． 【解答】解：（1）令 y＝0，则﹣ x2+ x+6＝0， 解得 x1＝6 ，x2＝﹣2 ， ∵B 在 A 的左侧 ∴A（6 ，0），B（﹣2 ，0） 令 x＝0，则 y＝6，即 C（0，6）， 设直线 AC 解析式为 y＝kx+b，把 A（6 ，0），C（0，6）代入， ∴ ，解得： ， 所以直线 AC 解析式为： ． （2）如图，过 P 作 PH⊥x 轴交 AC 于点 H， ∴S△PCA＝ PH•（xA﹣xC）＝3 PH， ∴当 PH 取最大值时，S△PCA 最大， 设 P（m， m2+ m+6），H（m， m+6）， ∴PH＝ m2+ m，（0＜m＜6 ）， ＝ （m﹣3 ）2+ ， ∴当 m＝3 时，PH 取最大值，[来源:学+科+网 Z+X+X+K] 此时 P（3 ， ）， 在抛物线 y＝﹣ x2+ x+6 中， 对称轴为 x＝ ＝2 ， ∴由平移知直线 l 为：x＝ ， ∴P1（ ， ）， 设直线 l 与 x 轴的垂足为 Q，连接 P1A， 在 Rt△P1AQ 中， QA＝ ，P1Q＝ ，P1A＝5 ， ∴tan∠P1AQ＝ ， ∴∠P1AQ＝60°， 作 P1 关于直线 AC 的对称点 P1′，连接 P1P1′，与直线 AC、A’C’分别交于 S、T 点， 则△AP1P1′是等边三角形， ∴P1′A＝P1A＝5 ，P1′（ ，0）， ∵MN⊥AC，CC'＝2，∠C'A'A＝30°， ∴MN＝ ， 将 P1′沿 MN 方向平移 个单位得到 P1′'（ ， ），将直线 A’C’绕点A’顺时针旋转45 °得到直线 l1，过点 P1′'作 P1′'G⊥l1 于点 G，与 A’C’的交点即为 N 点， 易知△P1′'TN 和△A'GN 都为等腰直角三角形， ∴P1′'N＝ P1′'T＝ ，A'N＝A'T﹣TN＝ ， ∴GN＝ ﹣ ， ∴（P1M+MN+ NA′）最小＝ + ； （3）连接 OO1，则△OO1B 为等边三角形， ∴∠O1OA＝∠OAO1＝∠OO1A＝60°，OO1＝O1A＝OA＝6 ， ∴O1（3 ，9），B1（2 ，12），C1（6 ，12）， ①如图 2﹣1，当四边形 Q1RS1C1 为矩形时， xR﹣xO1＝ ﹣3 ＝ ， ∵由题意知，QR 与直线 l 的夹角为 30°， ∴yQ1﹣yR＝ × ＝ ， ∴xS1＝xC1+ ＝ ，yS1＝yC1﹣ ＝ ， ∴S1（ ， ）， 同理可求出 S2（ ， ），S3（ ， ﹣ ），S4（ ， + ）， 综上所述：在直角坐标平面内存在一点 S，使得以点 O1、C1、R、S 为顶点的四边形是矩形，坐 标是 S1（ ， ），S2（ ， ），S3（ ， ﹣ ），S4（ ， + ） ． 【点评】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数 形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段 之间的关系．