2020九年级数学上册第1课时 二次函数y＝ax2＋k的图象和性质 6页

1 21.2.2 第 1 课时 二次函数 y＝ax2＋k 的图象和性质 知识点 1 抛物线 y＝ax2＋k 与 y＝ax2 的关系 1．在同一平面直角坐标系中用描点法作出二次函数 y1＝2x2－3 和 y2＝2x2 的图象，当自 变量取同一个数值时，对应的函数值 y1 总比 y2 小 3，因此将抛物线 y＝2x2 上每一个点向下平 移________个单位就可得到____________的图象，所以抛物线 y＝2x2－3 与 y＝2x2 的形状、 开口大小和________相同，只是____________不同，可以通过互相平移得到． 2． 如果二次函数 y＝ax2＋1 的图象是由抛物线 y＝－2x2 平移得到的，那么 a 的值为 ( ) A．2 B．－2 C．1 D．－1 3．［教材练习第 3 题变式］将抛物线 y＝3x2 向上平移 k 个单位，得到的抛物线为 y＝3x2 ＋2，则 k＝________． 4．不画图象，回答下列问题： (1)函数 y＝1 4 x2－5 的图象可以看成是由函数 y＝1 4 x2 的图象经过怎样的平移得到的？ (2)如果函数 y＝1 4 x2－5 的图象经过适当的平移得到函数 y＝1 4 x2＋3 的图象，那么应经过 怎样的平移？ 5．如果把抛物线 y＝mx2 向下平移 3 个单位后得到抛物线 y＝－2018x2＋n，求 m，n 的值． 知识点 2 二次函数 y＝ax2＋k 的图象和性质 6．因为抛物线 y＝－1 4 x2－2 可由抛物线 y＝－1 4 x2 向下平移 2 个单位得到，所以抛物线 y ＝－1 4 x2－2 的开口方向________，顶点坐标是________． 7．二次函数 y＝－x2＋1 的图象大致是( ) 2 图 21－2－6 8．抛物线 y＝5x2＋3 的对称轴是( ) A．直线 x＝3 5 B．直线 x＝－3 5 C．y 轴 D．直线 x＝3 9．下列函数中，当 x＞0 时，y 值随 x 值的增大而减小的是( ) A．y＝ 2x2 B．y＝－3x2－3 C．y＝1 2 x D．y＝x＋5 10．已知二次函数 y＝2018x2－1，当 x＝________时，y 有最小值，为________． 11．请写出一个开口向下，顶点坐标为(0，2)的抛物线的函数表达式：________________． 12．已知点 A(x1，y1)，B(x2，y2)在二次函数 y＝ax2＋1(a＜0)的图象上，若 x1＞x2＞0， 则 y1________y2(填“＞”“＜”或“＝”)． 13．在同一平面直角坐标系中画出函数 y＝x2，y＝x2＋1 与 y＝x2－1 的图象，并比较它 们之间的异同． 14．抛物线 y＝ax2＋c 的顶点坐标是(0，2)，且形状及开口方向与 y＝－1 2 x2 相同． (1)求 a，c 的值； (2)画出这个函数的图象． 15．若正比例函数 y＝mx，y 随 x 的增大而减小，则它和二次函数 y＝mx2＋m 的图象大致 是( ) 图 21－2－7 16．与二次函数 y＝－x2＋2 的图象关于 x 轴对称的抛物线的表达式为( ) 3 A．y＝－x2－2 B．y＝x2＋2 C．y＝x2－2 D．y＝－x2＋2 17．任给一些不同的实数 k，得到不同的抛物线 y＝x2＋k.当 k 取 0，±1 时，关于这些 抛物线有以下判断：①开口方向都相同；②对称轴都相同；③形状都相同；④都有最低点．其 中判断正确的有( ) A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个 18．把抛物线 y＝－3x2－1 平移，抛物线上一点(1，－4)平移到(1，2)，则平移后抛物 线的顶点坐标是________． 19．若二次函数 y＝(k＋1)x2＋k2－8 有最大值 1，则 k＝________． 20．能否适当地上下平移抛物线 y＝1 3 x2，使得到的新的图象经过点(3，－5)？若能，请 你求出平移的方向和距离；若不能，请你说明理由． 21．如图 21－2－8 所示，在平面直角坐标系中，二次函数 y＝ax2＋c 的图象过正方形 ABOC 的三个顶点 A，B，C，求 ac 的值． 图 21－2－8 22．如图 21－2－9 所示，抛物线 y＝－x2＋9 的顶点为 C，与 x 轴交于 A，B 两点，则 △ABC 的面积为________． 4 图 21－2－9 23．如图 21－2－10，在平面直角坐标系中，抛物线 y＝ax2＋4 与 y 轴交于点 A，过点 A 与 x 轴平行的直线交抛物线 y＝1 4 x2 于点 B，C，求 BC 的长． 图 21－2－10 5 教师详解详析 1．3 y＝2x2－3 开口方向 位置 2．B [解析] 因为平移不改变抛物线的开口大小与方向，所以 a 的值为－2. 3．2 4．解：(1)向下平移 5 个单位． (2)向上平移 8 个单位． 5．解：根据平移规律，得 m＝－2018，n＝－3. 6．向下 (0，－2) 7．B 8．C 9．B 10．0 －1 11．答案不唯一，如 y＝－3x2＋2 [解析] 只要满足 y＝ax2＋2(a＜0)均可． 12．＜ [解析] ∵a＜0，∴当 x＞0 时，y 随 x 的增大而减小．又∵x1＞x2＞0，∴y1＜y2. 13．解：列表： x －3 －2 －1 0 1 2 3 y＝x2 9 4 1 0 1 4 9 y＝x2＋1 10 5 2 1 2 5 10 y＝x2－1 8 3 0 －1 0 3 8 在同一平面直角坐标系中画出图象如下． 相同点：开口方向都向上，开口大小都相同；当 x>0 时，图象都是上升的，当 x<0 时， 图象都是下降的；最小值都是在 x＝0 时取得；对称轴都是 y 轴(或直线 x＝0)． 不同点：最小值不同，函数 y＝x2，y＝x2＋1 与 y＝x2－1 的最小值分别是 0，1，－1；顶 点坐标不同，分别是(0，0)，(0，1)，(0，－1)． (相同点和不同点答案不唯一，合理即可) 14．解：(1)由抛物线 y＝ax2＋c 的形状及开口方向与 y＝－1 2 x2 相同，得 a＝－1 2 . 由抛物线 y＝ax2＋c 的顶点坐标是(0，2)，得 c＝2. (2)函数 y＝－1 2 x2＋2 的图象如图所示． 6 15．A [解析] ∵正比例函数 y＝mx 中，y 随 x 的增大而减小，∴m＜0，则正比例函数 经过第二、四象限．抛物线开口向下，顶点在 x 轴下方，且与 y 轴的交点的纵坐标小于 0， 故选 A. 16． C 17． D 18． 0，5) 19．－3 20．解：能．设平移后的抛物线的表达式为 y＝1 3 x2＋b.由新的图象经过点(3，－5)，得1 3 ×32 ＋b＝－5. 解得 b＝－8. 即向下平移 8 个单位． 21．解：设正方形的对角线 OA 的长为 2m(m>0)，则 B(－m，m)，C(m，m)，A(0，2m)． 把点 C，A 的坐标分别代入二次函数的表达式，得 a＝－1 m ，c＝2m.故 ac＝－2. 22 27 23．解：∵抛物线 y＝ax2＋4 与 y 轴交于点 A， ∴点 A 的坐标为(0，4)，∴B，C 的纵坐标都为 4. 当 y＝4 时，1 4 x2＝4，解得 x＝±4， ∴点 B 的坐标为(－4，4)，点 C 的坐标为(4，4)， ∴BC＝4－(－4)＝8.