2001年上海市数学中考试卷(含答案解析) 8页

2001 年上海市数学中考试卷 一、填空题（本题共 14 小题，每小题 2 分，满分 28 分） 1．计算： 2 · 18 ＝ 2．如果分式 2 42   x x 的值为零，那么 x＝ 3．不等式 7—2x＞1 的正整数解是 ． 4．点 A（1，3）关于原点的对称点坐标是 ． 5．函数 1  x xy 的定义域是 ． 6．如果正比例函数的图象经过点（2，4），那么这个函数的解析式为 ． 7．如果 x1、x2 是方程 x2－3x＋1＝0 的两个根，那么代数式（x1＋1）（ x2＋1）的值 是 ． 8．方程 2x ＝－x 的解是 ． 9．甲、乙两人比赛飞镖，两人所得平均环数相同，其中甲所得环数的方差为 15，乙所 得环数如下：0，1，5，9，10．那么成绩较为稳定的是 （填“甲”或“乙”）． 10．如果梯形的两底之比为 2∶5，中位线长 14 厘米，那么较大底的长为 厘米． 11．一个圆弧形门拱的拱高为 1 米，跨度为 4 米，那么这个门拱的半径为 米． 12．某飞机在离地面 1200 米的上空测得地面控制点的俯角为 60°，此时飞机与该地面 控制点之间的距离是 米． 13．在边长为 2 的菱形 ABCD 中，∠B＝45°，AE 为 BC 边上的高，将△ABE 沿 AE 所在直线翻折后得△AB'E，那么△AB'E 与四边形 AECD 重叠部分的面积是 ． 14．如图 1，在大小为 4×4 的正方形方格中，△ABC 的顶点 A、B、C 在单位正方形 的顶点上，请在图中画一个△A1B1C1，使△A1B1C1∽△ABC（相似比不为 1），且点 A1、 B1、C1 都在单位正方形的顶点上． 图 1 二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题 3 分，满分 12 分．每小题列出的四个答案中， 至少有一个是正确的，把所有正确答案的代号填入括号内，错选或不选得 0 分，否则每漏选 一个扣 1 分） 15．下列计算中，正确的是（ ）． A．a3·a2＝a6 B．（ a＋b）（ a－b）＝a2－b2 C．（ a＋b）2＝a2＋b2 D．（ a＋b）（ a－2b）＝a2－ab－2b2 16．下列多项式中，能在实数范围内分解因式的是（ ）． A．x2＋4 B．x2－2 C．x2－x－1 D．x2＋x＋1 17．下列命题中，真命题是（ ）． A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线相等的四边形是矩形 C．对角线互相平分且垂直的四边形是菱形 D．对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 18．如果⊙O1、⊙O2 的半径分别为 4、5，那么下列叙述中，正确的是（ ）． A．当 O1 O2＝1 时，⊙O1 与⊙O2 相切 B．当 O1 O2＝5 时，⊙O1 与⊙O2 有两个公共点 C．当 O1 O2＞6 时，⊙O1 与⊙O2 必有公共点 D．当 O1 O2＞1 时，⊙O1 与⊙O2 至少有两条公切线 三、（本题共 4 小题，每小题 7 分，满分 28 分） 1 9．计算 12 1 02 )13(12)2 1()2(  ． 20．解方程： 3 10 6 6  x x x x ． 21．小李通过对某地区 1998 年至 2000 年快餐公司发展情况的调查，制成了该地区快餐 公司个数情况的条形图（如图 2）和快餐公司盒饭年销量的平均数情况条形图（如图 3）．利 用图 2、图 3 共同提供的信息，解答下列问题： 图 2 图 3 （1）1999 年该地区销售盒饭共 万盒． （2）该地区盒饭销量最大的年份是 年，这一年的年销量是 万盒． （3）这三年中该地区每年平均销售盒饭多少万盒? 22．如图 4，在△ABC 中，∠C＝90°，点 D 在 BC 上，BD＝4，AD＝BC，cos∠ADC ＝ 5 3 ．求：（1）DC 的长；（2）sin B 的值． 图 4 四、（本题共 4 小题，每小题 10 分，满分 40 分） 23．如图 5，已知点 A（4，m）， B（－1，n）在反比例函数 y＝ x 8 的图象上，直线 AB 与 x 轴交于点 C．如果点 D 在 y 轴上，且 DA＝DC，求点 D 的坐标． 图 5 24．如图 6，在 Rt△ABC 中，∠B＝90°，∠A 的平分线交 BC 于点 D，E 为 AB 上的 一点，DE＝DC，以 D 为圆心，DB 长为半径作⊙D． 图 6 求证：（1）AC 是⊙O 的切线； （2）AB＋EB＝AC． 25．某电脑公司 2000 年的各项经营收入中，经营电脑配件的收入为 600 万元，占全年 经营总收入的 40％．该公司预计 2002 年经营总收入要达到 2160 万元，且计划从 2000 年到 2002 年，每年经营总收入的年增长率相同，问 2001 年预计经营总收入为多少万元? 26．如图 7，已知抛物线 y＝2x2－4x＋m 与 x 轴交于不同的两点 A、B，其顶点是 C， 点 D 是抛物线的对称轴与 x 轴的交点． 图 7 （1）求实数 m 的取值范围； （2）求顶点 C 的坐标和线段 AB 的长度（用含有 m 的式子表示）； （3）若直线 12  xy 分别交 x 轴、y 轴于点 E、F，问△BDC 与△EOF 是否有可 能全等，如果可能，请证明；如果不可能，请说明理由． 五、（本题满分 12 分） 27．已知在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AD＜BC，且 AD＝5，AB＝DC＝2． （1）如图 8，P 为 AD 上的一点，满足∠BPC＝∠A． 图 8 ①求证；△ABP∽△DPC ②求 AP 的长． （2）如果点 P 在 AD 边上移动（点 P 与点 A、D 不重合），且满足∠BPE＝∠A，PE 交直线 BC 于点 E，同时交直线 DC 于点 Q，那么 ①当点 Q 在线段 DC 的延长线上时，设 AP＝x，CQ＝y，求 y 关于 x 的函数解析式， 并写出函数的定义域； ②当 CE＝1 时，写出 AP 的长（不必写出解题过程）． 试卷答案 一、填空题（本题共 14 小题．每小题 2 分，满分 28 分） 1．6 2．－2 3．1，2 4．（－1，－3） 5．x＞1 （题 5 中定义域的意思即指函数自变量的取值范围．） 6．y＝2x 7．5 8．x＝－1 9．甲 10．20 11．2.5 12．800 3 13．2 2 —2 （题 13 考查图形的翻折问题，从平面图形来看，往往是一个“虚”的形式，故空间想 象力在解题时尤为重要，同时，这类题体现了运动变化的过程，如果图形还不能打开思路之 门，不妨动手折折试试．） 14．图略（画出一个符合要求的三角形） （题 14 的考查目标是阅读理解、计算、作图能力，单位正方形是指边长为 1 的正方形， 4×4 的正方形方格指边长为 4 的正方形，被分成 16 个单位正方形，再应用勾股定理计算出 AC，AB，BC 的长，依相似三角形性质按比例扩大，画出适中的△A1B1C1．） 二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题 3 分，满分 12 分） （题二不是平时习以为常的“四选一”型单选题，而是多项选择题，读准原题括号中的 提示后，解题时要逐个筛选，逐一排查．） 15．B、D 16．B、C 17．A、C 18．A、B、D 三、（本题共 4 小题，每小题?分，满分 28 分） 19．解： 12 1 02 )13(12)2 1()2(  ．3 3332 13323 13 11212     （题 19 中出现了分数指数， 2 1 12 意义是 12 ．） 20．解法一：设 x xy 6 ，则原方程为 3 101  yy ，整理，得 3y2－10y＋3＝0，解得 y1＝ 3 1 ，y2＝3．当 y＝ 3 1 时， 3 16  x x ，解得 x＝—9；当 y＝3 时， 36  x x ，解得 x＝3．经 检验，x1＝－9，x2＝3 都是原方程的根．则原方程的根是 x1＝－9，x2＝3． 解法二：方程两边同乘 3x（x＋6），得 3（x＋6）2＋3x2＝10x（x＋6），整理得．x2＋6x －27＝0，解得 x1＝－9，x2＝3．经检验，x1＝－9，x2＝3 都是原方程的根，所以原方程的 根是 x1＝－9，x2＝3． 21． （1）118；（ 2）2000，1 20： （3）解： 3 518002590150 ．．． x ＝96（万盒）． 答：这三年中，该地区每年平均销售盒饭 96 万盒． （题 21 考查统计图表在实际生产、生活中的应用，两个图形既相互独立，又互相联系．单 个图表的阅读可考查阅读能力，双图表则更体现了思维间的联系与综合能力．） 22．解：∵ 在 Rt△ACD 中，cos ∠ADC＝ 5 3AD CD ，设 CD＝3k，∴ AD＝5k． 又∵ BC＝AD，∴ 3k＋4＝5k，∴ k＝2．∴ CD＝3k＝6． （2） ∵ BC＝3k＋4＝6＋4＝10，AC＝ 22 CDAD  ＝4k＝8， ∴ 412108 2222  BCACAB ． ∴ 41 414 412 8sin  AB ACB ． （题 22 考查解直角三角形知识，解题时依三角函数定义设参数，结合代数知识求解， 应注意的是 AC DCADC cos ，则设 DC＝3k，AC＝5k，但不能把 DC＝3，AC＝5 当作已 知量直接应用．） 四、（本题共 4 小题，每小题 10 分，满分 40 分） 23．解：由点 A、B 在 y＝ x 8 的图象上，得 m＝2，n＝－8，则点 A 的坐标为（4，2）， 点 B 的坐标为（－1，－8）．设直线 AB 的函数解析式为 y＝kx＋b，则      bk bk 8 42 ，解得      ． ， 6 2 b k 则直线 AB 的函数解析式为 y＝2x－6．所以点 C 坐标为（3，0）．设 D（0，y）， 由 DA＝DC，得（y－2）2＋42＝y2＋32．解得 y＝ 4 11．则点 D 的坐标是（0， 4 11）． 24．证明： （1）过 D 作 DF⊥AC，F 为垂足．∵ AD 是∠BAC 的平分线，DB⊥AB，∴ DB＝ DF．∴ 点 D 到 AC 的距离等于圆 D 的半径．∴ AC 是⊙D 的切线． （2） ∵ AB⊥BD，⊙ D 的半径等于 BD，∴ AB 是⊙O 的切线．∴ AB＝AF．∵ 在 Rt△BED 和 Rt△FCD 中，ED＝CD，BD＝FD，∴ △BED≌△FCD．∴ BE＝FC．∴ AB＋BE＝AF＋FC＝AC． 25．解：2000 年的经营总收入为 600÷40％＝1500（万元）．设年增长率为 x，则 1500 （1＋x）2＝2160，（ 1＋x）2＝1.44，1＋x＝±1.2（舍去 1＋x＝—1.2）， 1500（1＋x）＝1500 ×1.2＝1800（万元）． 答：2001 年预计经营总收入为 1800 万元． 26．解： （1） ∵ 抛物线 y＝2x2－4x＋m 与 x 轴交于不同的两个点，∴ 关于 x 的方程 2x2—4x ＋m＝0 有两个不相等的实数根．∴ △＝（—4） 2—4·2m＞0，∴ m＜2． （2）由 y＝2x2－4x＋m＝2（x—1）2＋m－2，得顶点 C 的坐标是（1，m－2）．由 2x2 —4x＋m＝0，解得，x1＝1＋ m242 1  或 x2＝1— m242 1  ． ∴ AB＝（1＋ m242 1  ）—（1— m242 1  ）＝ m24 ． （3）可能． 证明：由 y＝ 2 x＋1 分别交 x 轴、y 轴于点 E、F，得 E（－ 2 2 ，0）， F（0，1）．∴ OE＝ 2 2 ，OF＝1．而 BD＝ m242 1  ，DC＝2－m．当 OE＝BD，得 m242 1 2 2  ， 解得 m＝1．此时 OF＝OC＝1． 又∵ ∠EOF＝∠CDB＝90°，∴ △BDC≌△EOF．∴ △BDC 与△EOF 有可能全 等． （题 26 是一元二次方程，二次函数与直线形的综合考查题，由图象可知，抛物线与 x 轴有两个交点，则△＞0；求 AB 的长度可用简化公式 aAB  ；（ 3）要求判断△BDC 与 △EOF 是否有可能全等，即指探索全等的可能性，本题已有∠CDB＝∠EOF＝90°，BD 与 OE 或 OF 都可能是对应边，证出其中一种情形成立即可，解题时要注意“有可能”这 个关键词．） 27．（ 1）①证明： ∵ ∠ABP＝180°－∠A－∠APB，∠ DPC＝180°－∠BPC－∠APB，∠ BPC＝∠A， ∴ ∠ABP＝∠DPC．∵ 在梯形 ABCD 中，AD∥BC，AB＝CD，∴ ∠A＝∠D．∴ △ ABP∽△DPC． ②解：设 AP＝x，则 DP＝5－x，由△ABP∽△DPC，得 DC PD AP AB  ，即 2 52 x x  ， 解得 x1＝1，x2＝4，则 AP 的长为 1 或 4． （2）①解：类似（1）①，易得△ABP∽△DPQ，∴ DQ AP PD AB  ．即 y x x  25 2 ， 得 22 5 2 1 2  xxy ，1＜x＜4． ②AP＝2 或 AP＝3－ 5 ． （题 27 是一道涉及动量与变量的考题，其中（1）可看作（2）的特例，故（2）的推断 与证明均可借鉴（1）的思路．这是一种从模仿到创造的过程，模仿即借鉴、套用，创造即 灵活变化，这是中学生学数学应具备的一种基本素质，世上的万事万物总有着千丝万缕的联 系，也有着质的区别，模仿的关键是发现联系，创造的关键是发现区别，并找到应付新问题 的途径．）