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- 2021-11-11 发布
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第25章 投影与视图
25.1 投 影
第1课时 平行投影与中心投影
知识要点基础练
知识点1 平行投影
1.平行投影中的光线是(A)
A.平行的 B.聚成一点的
C.不平行的 D.向四面八方发散的
2.下列光线所形成的是平行投影的是(A)
A.太阳光线 B.台灯的光线
C.手电筒的光线 D.路灯的光线
3.如图所示,此时树的影子是在 太阳光 (填“太阳光”或“灯光”)下的影子.
4.如图,AB和DE是直立在地面上的两根立柱,AB=5米,某一时刻AB在阳光下的投影BC=3米,在测量AB的投影时,同时测量出DE在阳光下的投影长为6米,则DE的长为 10米 .
知识点2 中心投影
5.下列物体:①探照灯;②车灯;③太阳;④月亮;⑤台灯.其中所成的投影是中心投影的是(D)
A.①② B.①③
11
C.①②③ D.①②⑤
6.小红和小花在路灯下的影子一样长,则她们的身高关系是(D)
A.小红比小花高 B.小红比小花矮
C.小红和小花一样高 D.不确定
7.
如图,在A时测得某树的影长为4 m,B时又测得该树的影长为16 m,若两次日照的光线互相垂直,则树的高度为 8 m .
综合能力提升练
8.小华在上午8时、上午9时、上午10时、上午12时四次到室外的阳光下观察向日葵影子的变化情况,他发现这四个时刻向日葵影子的长度各不相同,那么影子最长的时刻为(A)
A.上午8时 B.上午9时
C.上午10时 D.上午12时
提示:在上午,时间越早,太阳光线与地平面的夹角越小,则物体的影长越长,所以这四个时刻中,上午8时向日葵的影子最长.
9.
如图,箭头表示投影的方向,则图中圆柱体的投影是(B)
A.圆 B.矩形
C.梯形 D.圆柱
10.如图,当太阳光与地面上的树影成45°角时,树影投射在墙上的影高CD等于2米,若树根到墙的距离BC等于8米,则树高AB等于 10 米.
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11.如图,地面A处有一支燃烧的蜡烛(长度不计),一个人在A与墙BC之间运动,则他在墙上的投影长度随着他离墙的距离变小而 变小 .(填“变大”“变小”或“不变”)
12.如图是一天中四个不同时刻两座建筑物的影子.
(1)将它们按时间先后顺序进行排列,并说一说你的理由;
(2)一天当中,物体在太阳光下的影子的方向是如何变化的?
解:(1)顺序为C,D,A,B,理由略.
(2)一天当中物体在太阳光下的影子的方向是正西、北偏西、正北、北偏东、正东变化的.
13.晚上,小华在舞蹈室发现镜子反射灯光形成了教练的影子(如图所示),小丽的影子是灯光下形成的,你能确定灯光的位置吗?你能画出小华的影子吗?
解:如图,M为灯泡的位置,小华的影子为AB.
11
14.如图,校园内有一棵与地面垂直的树,数学兴趣小组两次测量它在地面上的影子,第一次是阳光与地面成60°角时,第二次是阳光与地面成30°角时,两次测量的影长相差8米,求树高AB.(结果保留根号)
解:在Rt△ABD中,∵tan∠ADB=ABBD,
∴BD=ABtan60°=AB3,
在Rt△ACB中,∵tan∠ACB=ABBC,
∴BC=ABtan30°=AB33=3AB,
∵BC-BD=8,∴3AB-AB3=8,∴AB=43.
答:树高AB为43 米.
15.如图,在路灯下,小明的身高如图中线段AB所示,他在地面上的影子如图中线段AC所示,小亮的身高如图中线段FG所示,路灯灯泡在线段DE上.
(1)请你确定灯泡所在的位置,并画出小亮在灯光下形成的影子.
(2)如果小明的身高AB=1.6 m,他的影子长AC=1.4 m,且他到路灯的距离AD=2.1 m,求灯泡的高.
解:(1)如图,点O为灯泡所在的位置,
11
线段FH为小亮在灯光下形成的影子.
(2)根据题意,得ABOD=CACD,∴1.6OD=1.41.4+2.1,
∴OD=4 m.
答:灯泡的高为4 m.
拓展探究突破练
16.为了利用太阳光线或其他方法测量一棵大树的高度,准备了如下测量工具:①镜子;②皮尺;③长为2 m的标杆;④高为1.5 m的测角仪.请你根据你所设计的测量方案,回答下列问题:
(1)在你的设计方案中,选用的测量工具是 ;(填写工具序号)
(2)在图中画出你的方案示意图;
(3)你需要测量示意图中哪些数据,并用a,b,c表示测得的数据;
(4)写出求树高AB的算式.
解:答案不唯一,合理即可.
方案一:
(1)①②.
(2)测量方案示意图如图1.
(3)CA=a,CD=b,DE(眼睛到地面的高度)=c.
(4)AB=acb.
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方案二:
(1)②③.
(2)测量方案示意图如图2(其中BC为太阳光线).
(3)AC=a,CD=b,ED=c=2 m.
(4)AB=2ab.
第2课时 正投影
知识要点基础练
知识点1 正投影的概念
1.如图所示,水杯的杯口与投影面平行,投影线的方向如箭头所示,它的正投影图是(D)
2.在平行投影中,如果投影线 垂直 于投影面,那么这种投影称为正投影.
3.下列投影是正投影的是 ③④ .(填序号)
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知识点2 正投影的性质
4.一支铅笔 (记为线段AB),它的正投影为线段CD,则下列各式中一定成立的是(D)
A.AB=CD B.AB≤CD
C.AB>CD D.AB≥CD
5.一块圆形铁片,它的正投影是(D)
A.圆 B.椭圆
C.线段 D.不能确定
【变式拓展】正方形在太阳光的投影下得到的几何图形一定是(B)
A.正方形
B.平行四边形或一条线段
C.矩形
D.菱形
6.(绥化中考)正方形的正投影不可能是(D)
A.线段 B.矩形
C.正方形 D.梯形
7.平行于投影面的平行四边形的面积 等于 它的正投影的面积.(填“大于”“小于”或“等于”)
综合能力提升练
8.如图所示的圆台的上下底面与投影线平行,圆台的正投影是(C)
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A.矩形 B.两条线段
C.等腰梯形 D.圆环
9.下列说法正确的是(B)
A.正投影是中心投影的一种特例
B.正投影是平行投影的一种特例
C.正投影既不是平行投影也不是中心投影
D.平行投影就是正投影
10.一个圆柱形的茶叶盒在太阳光下旋转,其影子的变化过程可能是(D)
A.矩形、矩形、圆 B.正方形、圆、矩形
C.圆、矩形、矩形 D.无法确定
11.如图所示是一个圆锥在某平面上的正投影,则该圆锥的侧面积是 154π .
12.如图所示,地面上直立一根标杆AB,杆长为2 m.
(1)当阳光垂直照射地面时,标杆在地面上的投影是什么图形?
(2)当阳光与地面的倾斜角为60°时,标杆在地面上的投影是什么图形?并画出投影示意图.
答案图
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解:(1)阳光垂直地面时,产生的投影是正投影,是一个与标杆的正切面相等的圆.
(2)如图所示,标杆在地面上的投影为BC.在Rt△ABC中,BC=ABtan60°=23=233,所以标杆在地面上的投影是长度为233 m的线段.
13.指出如图所示的几何体各个面的正投影图形,并画出投影线的方向如箭头所示时该几何体的正投影.
解:立体图形除正面和后面的正投影为五边形外,其他的正投影为大小不同的矩形(图略).
14.一个水平放在桌面上的圆柱,从前向后形成的正投影是一个边长为20 cm的正方形,求此圆柱的表面积.
解:依题意,该圆柱的高为20 cm,底面直径为20 cm.
则S=2·2022·π+20π·20=600π cm2,
所以此圆柱的表面积为600π cm2.
15.如图,小明家窗外有一堵围墙AB,由于围墙的遮挡,清晨太阳光恰好从窗户的最高点C射进房间的地板F处,中午太阳光恰好能从窗户的最低点D射进房间的地板E处,小明测得窗子距地面的高度OD=0.8 m,窗高CD=1.2 m,并测得OE=0.8 m,OF=3 m,求围墙AB的高度.
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解:延长OD,∵DO⊥BF,∴∠DOE=90°.
∵OD=0.8 m,OE=0.8 m,
∴∠DEB=45°.
∵AB⊥BF,
∴∠BAE=45°,∴AB=BE.
设AB=BE=x m,∵AB⊥BF,CO⊥BF,
∴AB∥CO,
∴△ABF∽△COF,∴ABBF=COOF,
即xx+(3-0.8)=1.2+0.83,
解得x=4.4.
经检验:x=4.4是原方程的解.
答:围墙AB的高度是4.4 m.
拓展探究突破练
16.一个圆柱的轴截面平行于投影面,圆柱的正投影是邻边长分别为4 cm,3 cm的矩形,求圆柱的表面积和体积.
解:由题可知,有两种情况:①当圆柱底面圆的半径为1.5 cm,高为4 cm时,
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圆柱的表面积为2π×32×4+2π×322=12π+92π=332π cm2,
体积为π322×4=9π cm3;
②当圆柱底面圆的半径为2 cm,高为3 cm时,
圆柱的表面积为2π×2×3+2π×22=12π+8π=20π cm2,
体积为π×22×3=12π cm3.
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